Visualização de propriedades de projeções, sólidos e aplicações

Esta página contém as construções geométricas e visualizações 3D dos exemplos e exercícios utilizados na disciplina de Expressão Gráfica I

A apostila está disponível no link: apostila de Projeções Cotadas

Os objetos programados em 3D podem ser visualizados em Realidade Virtual (RV) e Realidade Aumentada (RA). As propriedades de projeções, os sólidos e as maquetes podem ser vistos em RA com os marcadores indicados, e por meio dos links criados nos marcadores, os objetos podem ser vistos em RV.

1. Desenho Geométrico

Material da página 1 até a página 10.

📏 📐 Resolução

Vamos utilizar a régua e o compasso para resolver este exercício. Clique nos botões do passo a passo para fazer a construção na sua apostila.

  • Com a ponta seca em A, desenhe um arco com raio maior do que a metade de AB.
  • Com a ponta seca em B, desenhe um arco com o mesmo raio usado no passo anterior.
  • Os pontos de interseção dos arcos são P e Q.
  • Desenhe a reta que passa pelos pontos de interseção dos arcos.
  • Pronto! A mediatriz do segmento AB está construída. Note que a figura PAQB é um losango e, portanto, suas diagonais são perpendiculares e se encontram no ponto médio das mesmas.
  • Agora veja como fica a construção da mediatriz do segmento AB próximo da margem da folha. Podemos começar desenhando um arco com a ponta seca em A e um raio maior do que a metade de AB.
  • Com a ponta seca em B, podemos desenhar um arco com a mesma medida usada no ponto A.
  • Podemos desenhar um arco com medida diferente da que usamos nos passos anteriores para encontrar o segundo ponto da mediatriz.
  • Desenhando os arcos com centros em A e B com mesma medida, encontramos os pontos P e Q da mediatriz.
  • Desenhe a reta que passa pelos pontos P e Q.
  • Pronto! A mediatriz do segmento AB está construída.

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📏 📐 Resolução com esquadros

Podemos utilizar a régua e um dos esquadros ou a régua e o compasso para resolver este exercício. Primeiro, veja como é a construção com a régua e o esquadro de 45°.

  • Alinhe um dos catetos do esquadro com a reta r.
  • Coloque a régua como apoio na hipotenusa do esquadro. A régua ficará fixa.
  • Deslize o esquadro até chegar na posição do ponto P. Lembre-se de não mover a régua.
  • Desenhe a reta que passa pelo ponto P com o cateto do esquadro.
  • Pronto! A reta paralela s // r está construída.
📏 📐 Resolução com régua e compasso

Agora veja os passos da construção feita com régua e compasso.

  • Desenhe um arco com a ponta seca em P, que intercepte a reta r no ponto Q.
  • Com a ponta seca em Q, use o mesmo raio PQ para marcar o ponto R na reta r.
  • Desenhe o arco com a ponta seca em R, com a mesma medida PQ, interceptando o primeiro arco que você desenhou no ponto S.
  • Desenhe a reta que passa pelos pontos P e S com a régua.
  • Pronto! A reta paralela s // r está construída. Note que a figura PQRS é um losango e, portanto, seus lados opostos são paralelos.
📏 📐 Resolução com esquadros

Vamos utilizar a régua e um dos esquadros para resolver este exercício. Clique nos botões do passo a passo para fazer a construção na sua apostila.

  • Alinhe um dos catetos do esquadro com a reta r.
  • Coloque a régua como apoio na hipotenusa do esquadro. A régua ficará fixa.
  • Deslize o esquadro até o cateto vertical chegar na posição do ponto P. Lembre-se de não mover a régua.
  • Desenhe a reta que passa pelo ponto P.
  • Pronto! A reta perpendicular p está construída.
  • Alinhe um dos catetos do esquadro com a reta r.
  • Coloque a régua como apoio na hipotenusa do esquadro. A régua ficará fixa.
  • Deslize o esquadro até o cateto vertical chegar na posição do ponto P. Lembre-se de não mover a régua.
  • Desenhe a reta que passa pelo ponto P.
  • Pronto! A reta perpendicular p está construída.
📏 📐 Resolução com régua e compasso

Agora veja como fica a construção da reta perpendicular à reta r que passa por P usando régua e compasso.

  • Com a ponta seca em P desenhe um arco para a esquerda obtendo o ponto Q sobre a reta r e um arco para a direita obtendo o ponto R sobre a reta. Ambos os arcos com o mesmo raio.
  • Com a ponta seca em Q, desenhe um arco com raio maior do que a metade de QR.
  • Com a ponta seca em R, desenhe um arco com o mesmo raio usado no passo anterior. Os pontos de interseção dos arcos são S e T.
  • Desenhe a reta que passa pelos pontos S e T de interseção dos arcos. Pronto! A perpendicular à reta r que passa pelo ponto P está construída!
  • Com a ponta seca em P desenhe um arco com raio maior que a distância de P à reta r, obtendo os pontos Q e R sobre a reta r.
  • Com a ponta seca em Q desenhe um arco.
  • Com a ponta seca em R desenhe um arco com o mesmo raio do passo anterior, obtendo o ponto S.
  • Desenhe a reta p que passa pelos pontos P e S. Pronto! A reta p é perpendicular à reta r e passa pelo ponto P. Note que essa construção é baseada na construção da mediatriz de um segmento dado!
📏 📐 Resolução

Vamos utilizar a régua e o compasso para resolver este exercício. Clique nos botões do passo a passo para fazer a construção na sua apostila.

  • Com a ponta seca no vértice O do ângulo desenhe um arco obtendo os pontos P e Q, cada um em um lado do ângulo.
  • Com a ponta seca no ponto P desenhe um arco.
  • Com a ponta seca em Q desenhe um arco com o mesmo raio do passo anterior, obtendo o ponto R.
  • Desenhe a reta OR que é a bissetriz do ângulo dado.
  • Note que construímos dois triângulos: um verde e outro laranja.
  • Esses triângulos são congruentes (iguais) e por isso os ângulos α e β são também congruentes.

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📏 📐 Resolução

Vamos utilizar a régua e o compasso para resolver este exercício. Clique nos botões do passo a passo para fazer a construção na sua apostila.

  • Com a ponta seca no vértice O do ângulo desenhe um arco obtendo os pontos R e Q, cada um em um lado do ângulo.
  • Com o mesmo raio do passo anterior, desenhe um arco agora com vértice no ponto P, obtendo o ponto S sobre a reta r.
  • Agora meça com o compasso o tamanho do segmento QR.
  • Com raio QR desenhe um arco com centro no ponto S, obtendo o ponto T sobre o segundo arco desenhado.
  • Construa a reta PT. O ângulo α obtido é congruente ao ângulo α dado. Note que o triângulo ROQ é congruente ao TPS, por isso que os ângulos são também congruentes.
📏 📐 Resolução com régua e compasso

Vamos utilizar a régua e o compasso para resolver este exercício. Clique nos botões do passo a passo para fazer a construção na sua apostila.

Ângulos de 60°, 30°, 90° e 45°:

  • Desenhe uma reta r e marque dois pontos A e B sobre ela.
  • Construa o arco de centro A e raio AB e o arco de centro B e raio AB obtendo o ponto C.
  • Construa a reta AC. O ângulo CAB mede 60°, pois o triângulo ABC construído é equilátero e, portanto, todos os seus ângulos internos medem 60°.
  • Essa construção fornece dois ângulos: o de 60° e o de 120°. Quando dois ângulos somam 180° são chamados de suplementares.
  • Para obtermos o ângulo de 30° basta dividir o ângulo de 60° em duas partes iguais. Então construa novamente um ângulo de 60° conforme vimos anteriormente.
  • Agora construa a bissetriz desse ângulo, obtendo a reta AD. O ângulo DAB mede 30°. Que ângulo também obtivemos nessa construção? Lembre-se do ângulo suplementar!
  • Essa construção fornece também o suplemento do ângulo de 30°, ou seja, o ângulo de 150°.
  • Para construir um ângulo de 90° com régua e compasso basta construir uma reta perpendicular. Lembra que já fizemos isso? Vamos repetir então. Desenhe uma reta r e marque um ponto A sobre ela.
  • Com a ponta seca do compasso em A, marque um ponto B para a esquerda e um ponto C para a direita. Use o mesmo raio para esses arcos.
  • Com centro em B e um raio maior que a metade do segmento BC construa um arco, e faça o mesmo em C. Na interseção desses arcos obtemos os pontos D e E.
  • A reta DE é perpendicular à reta r e, assim, o ângulo obtido mede 90°,
  • Para obtermos o ângulo de 45° basta dividir o ângulo de 90° em duas partes iguais. Então construa novamente um ângulo de 90° conforme vimos anteriormente.
  • Agora construa a bissetriz desse ângulo, obtendo a reta AF. O ângulo FAC mede 45°. Lembra do ângulo suplementar? O suplemento do ângulo de 45° mede 135°.

Ângulos de 75° e 15°:

  • Para construir um ângulo de 75° basta dividir um ângulo de 150° ao meio. Já sabemos construir um ângulo de 150°, lembra? Comece construindo um ângulo BAC de 60°. Construa um arco BC de tal forma que intercepte a reta r em dois pontos B e F.
  • Construa sua bissetriz, obtendo um ângulo de 30°. O suplemento do ângulo de 30° irá medir 150°.
  • Como o ângulo DAF mede 150°, basta agora construir usa bissetriz, obtendo o ângulo de 75°. Os ângulos DAE e EAF medem 75°.
  • Para construir um ângulo de 15° basta construir um ângulo de 30°. E para construir um ângulo de 30° basta construir um de 60°. Então vamos começar construindo um ângulo de 60°.
  • Agora construa a bissetriz do ângulo de 60°, obtendo dois ângulos de 30°.
  • Escolha um dos ângulos de 30° e construa sua bissetriz, obtendo dois ângulos de 15°.
📏 📐 Resolução com esquadros

Vamos utilizar a régua e os esquadros para resolver este exercício. Existem várias maneiras para construir ângulos usando os esquadros. Aqui veremos algumas. Clique nos botões do passo a passo para fazer a construção na sua apostila.

Ângulos de 60° e 30°:

  • Para construir o ângulo de 60° desenhe uma reta r e encaixe o cateto menor do esquadro de 30/60 sobre essa reta. O ângulo da esquerda do esquadro mede 60° e o de cima mede 30°. Já temos o ângulo de 60° formado com a reta! Mas não podemos ainda traçar o outro lado do ângulo de 60° pois o vértice não estará definido!
  • Use a régua para apoiar o outro cateto desse esquadro (você pode usar também o outro esquadro ao invés da régua).
  • Deslize o esquadro de 30/60 até que a hipotenusa corte a reta r. Mantenha fixa a régua.
  • Desenhe a reta s concorrente com a reta r dada. Pronto! Agora o vértice O do ângulo está definido!
  • Essa construção fornece dois ângulos: o de 60° e o seu suplemento de 120°.
  • Construir o ângulo de 30° com os esquadros é muito parecido com o de 60°. Desenhe uma reta r e agora encaixe o cateto maior do esquadro de 30/60 sobre a reta r. O ângulo da esquerda do esquadro mede 30° e o de cima mede 60°. Já temos o ângulo de 30° formado, mas como na construção anterior, não podemos traçar o lado do ângulo ainda!
  • Vamos usar o esquadro de 45 apoiado no outro cateto. Podemos usar a régua também.
  • Deslize o esquadro de 30/60 até que a hipotenusa corte a reta r. Mantenha fixo o esquadro de 45.
  • Desenhe a reta s concorrente com a reta r dada. Pronto! Agora o vértice O do ângulo está definido!
  • Essa construção fornece dois ângulos: o de 30° e o seu suplemento de 150°.

Ângulos de 90° e 45°:

  • Lembra quando construímos uma reta perpendicular à outra reta? Então, o ângulo formado é reto, ou seja, de 90°. Vamos repetir o processo agora. Desenhe uma reta r e encaixe um cateto do esquadro nessa reta (você pode usar qualquer esquadro agora).
  • Use a régua para apoiar a hipotenusa desse esquadro (você pode usar também o outro esquadro ao invés da régua).
  • Deslize o esquadro até que o outro cateto corte a reta r. Mantenha fixa a régua.
  • Desenhe a reta s concorrente com a reta r dada. Pronto! Agora o vértice O do ângulo está definido!
  • Essa construção fornece dois ângulos retos.
  • Construir o ângulo de 45° com os esquadros é muito parecido com o de 30° e o de 60°. Desenhe uma reta r e agora encaixe o cateto do esquadro de 45 sobre a reta r. Já temos o ângulo de 45° formado, mas não podemos traçar o lado do ângulo ainda! Lembra o porquê?
  • Use o outro esquadro ou a régua para apoiar o outro cateto.
  • Deslize o esquadro de 45 até que a hipotenusa corte a reta r. Mantenha fixo o esquadro de 30/60.
  • Desenhe a reta s concorrente com a reta r dada. Pronto! Agora o vértice O do ângulo está definido!
  • Essa construção fornece dois ângulos: o de 45° e o seu suplemento de 135°.

Ângulos de 75° e 15°:

  • Para construir o ângulo de 75° basta lembrar que ele é a soma de 30° com 45°. Desenhe uma reta r e agora encaixe o cateto maior do esquadro de 30/60 sobre a reta r, já temos um ângulo de 30°.
  • Agora encaixe a hipotenusa do esquadro de 45 na hipotenusa do esquadro de 30/60. A soma dos dois ângulos da esquerda é 75°, mas não podemos traçar o lado do ângulo ainda!
  • Deslize o esquadro de 45 até que o cateto corte a reta r. Mantenha fixo o esquadro de 30/60.
  • Desenhe a reta s concorrente com a reta r dada utilizando o cateto do esquadro de 45. Pronto! Agora o vértice O do ângulo está definido!
  • Essa construção fornece dois ângulos: o de 75° e o seu suplemento de 105°.
  • A construção do ângulo de 15° é parecida com a de 75°. Desenhe uma reta r e agora encaixe o cateto menor do esquadro de 30/60 sobre a reta r, já temos um ângulo de 60°.
  • Agora encaixe a hipotenusa do esquadro de 45 na hipotenusa do esquadro de 30/60. A soma dos dois ângulos de cima é 75° e como o ângulo da direita é de 90° então o ângulo que aparecerá no lado esquerdo, após deslizarmos o esquadro de 45, será de 15°.
  • Deslize o esquadro de 45 até que o cateto corte a reta r. Mantenha fixo o esquadro de 30/60.
  • Segure agora o esquadro de 45 e deslize o de 30/60.
  • Mantenha fixo agora o de 30/60 e deslize o de 45.
  • Pronto! Só traçar a reta s utilizando o cateto de cima do esquadro de 45.
  • Essa construção fornece dois ângulos: o de 15° e o seu suplemento de 165°.

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📏 📐 Resolução

Para dividirmos um segmento graficamente em partes iguais utilizamos o Teorema de Tales que diz que “Um feixe (conjunto) de retas paralelas determina sobre um feixe de retas concorrentes segmentos proporcionais correspondentes”.

  • Na figura da direita temos o feixe de retas paralelas: r, s, t e u, e o feixe de retas concorrentes em O: f e g.
  • Essas paralelas determinam sobre as retas concorrentes os segmentos: a, b e c, e os seus correspondentes nesta ordem: m, n e p. Assim, o Teorema de Tales garante que os segmentos a, b e c são proporcionais aos segmentos correspondentes m, n e p. Ou seja, a/m = b/n = c/p. Note que podemos ter variações na forma de montar as proporções, por exemplo, a/m = b/n é análogo a a/b=m/n.
  • Vamos aplicar esse teorema na divisão gráfica do segmento dado AB em 5 partes iguais. Trace uma reta auxiliar passando por uma das extremidades do segmento AB, neste caso, foi por A.
  • Precisamos marcar 5 unidades iguais sobre a reta auxiliar a partir do ponto A. Então abra o compasso com uma unidade arbitrária u (usamos aqui u=1,5cm).Construa um arco com centro em A e raio u, obtendo o ponto 1 sobre a reta auxiliar.
  • Construa um novo arco agora com centro no ponto 1 e o mesmo raio u, obtendo o ponto 2 sobre a reta auxiliar.
  • Continue o processo até obter o ponto 5.
  • Desenhe a reta r ligando os pontos 5 e B.
  • Trace com os esquadros uma reta s paralela à reta r que passe pelo ponto 4, obtendo o ponto F sobre a reta AB.
  • Trace com os esquadros as demais retas paralelas passando pelos pontos 3, 2 e 1. Determinando sobre a reta AB os pontos E, D e C, respectivamente.
  • Pelo Teorema de Tales como os segmentos A1, 12, 23, 34, 45 são proporcionais a u então AC, CD, DE, EF e FB são proporcionais a u’. E, portanto, o segmento AB foi dividido graficamente em 5 partes iguais.
📏 📐 Resolução

Para dividirmos o segmento AB graficamente em partes proporcionais a números dados vamos aplicar o Teorema de Tales. Temos que construir um feixe de retas concorrentes cortadas por um feixe de paralelas, lembra?

  • Comece traçando uma reta auxiliar passando por uma das extremidades do segmento AB, neste caso, foi por A.
  • Como queremos dividir o segmento dado AB em partes proporcionais aos números dados m, n e p, vamos associá-los a segmentos de comprimentos 2cm, 4,2cm e 5,3cm, respectivamente. Marque sobre a reta auxiliar, a partir do ponto A, um segmento m de medida 2cm, obtendo o ponto 1.
  • A partir do ponto 1, marque o segmento n de medida 4,2cm, obtendo o ponto 2.
  • Marque o segmento p de comprimento 5,3cm, a partir do ponto 2, obtendo o ponto 3.
  • Desenhe a reta r ligando os pontos 3 e B.
  • Trace com os esquadros uma reta s paralela à reta r que passe pelo ponto 2, obtendo o ponto D sobre a reta AB.
  • Trace com os esquadros uma reta t paralela à reta r (ou s) que passe pelo ponto 1, obtendo o ponto C sobre a reta AB.
  • Pelo Teorema de Tales temos que os segmentos AC, CD e DB são proporcionais a A1, 12 e 23, respectivamente. Ou seja, a, b e c são proporcionais a m, n e p nesta ordem. Assim, o segmento AB foi dividido em partes proporcionais pelos pontos C e D como pedido.
📏 📐 Resolução

Para construir a circunferência pertencente aos pontos dados A, B e C, devemos encontrar o centro O da mesma para depois desenhá-la com o compasso. Antes de iniciarmos a construção devemos pensar na estratégia de solução! Acompanhe o desenvolvimento do raciocínio e depois a resolução gráfica!

  • Vamos iniciar pensando no exercício resolvido, ou seja, na figura auxiliar da direita temos uma circunferência de centro O que passa pelos pontos A, B e C. Vamos procurar uma relação do centro O com os dados do exercício.
  • Note que a distância do centro O ao ponto A é r, o mesmo acontece com o ponto C, ou seja, a distância do centro O ao ponto C também é r. Não sabemos quanto mede r, mas conhecemos que O é equidistante de A e C!
  • Assim, o ponto O pertence à mediatriz do segmento AC! Lembra que vimos essa propriedade da mediatriz?
  • Agora vamos observar que a distância do centro O ao ponto C é r, e que a distância do centro O ao ponto B também é r. Assim, o ponto O é equidistante de B e C!
  • Logo, o ponto O pertence à mediatriz do segmento BC!
  • Portanto, já temos a estratégia de solução: para obtermos o centro O basta construir as mediatrizes dos segmentos AC e BC! Agora vamos à construção gráfica!
  • Construa a mediatriz do segmento AC.
  • Construa a mediatriz do segmento BC.
  • Obtenha o ponto O na interseção da med(AC) com a med(BC).
  • Pronto! Agora é só construir a circunferência de centro O que ela passará pelos pontos dados A, B e C. Note que poderíamos ter utilizado também a mediatriz do segmento AB ao invés de alguma outra. Não construímos as três mediatrizes, bastam duas apenas!

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📏 📐 Resolução

Num triângulo ABC, o lado oposto ao vértice A é denotado por a=BC, o lado oposto ao B é denotado por b=AC e o lado oposto ao C é denotado por c=AB. Para construir um triângulo ABC dados os lados é necessário determinar a posição dos seus vértices A, B e C. Vamos à construção!

  • Construa uma reta suporte r.
  • Marque um ponto B sobre a mesma. Esse será o primeiro vértice do triângulo que queremos construir.
  • Vamos agora obter o vértice C! Sabemos que a distância entre B e C mede a=7cm. Basta então construir o arco de centro em B e raio a=7cm, na interseção com a reta r teremos C.
  • Falta somente o vértice A! Sabemos que a distância entre B e A mede c=9cm. Logo, A estará sobre uma circunferência de centro B e raio c=9cm! Construa essa primeira circunferência!
  • Sabemos que a distância entre C e A mede b=6cm. Assim, A estará sobre uma circunferência de centro C e raio b=6cm! Construa essa segunda circunferência! Na interseção dessas duas circunferências obtemos o vértice A do triângulo!
  • Pronto! Com os três vértices determinados podemos representar agora o triângulo ABC.
  • Para obter o circuncentro O basta construir as mediatrizes dos lados do triângulo ABC. Temos três lados e, portanto, três mediatrizes. Basta construir duas apenas. Construa a mediatriz do lado AB.
  • Construa a mediatriz do lado AC.
  • Essas duas mediatrizes se encontram no ponto O denominado de Circuncentro do triângulo ABC. Note que esse ponto é equidistante das extremidades dos segmentos AB e AC e, portanto, é equidistante dos três pontos ao mesmo tempo!
  • Logo, o circuncentro O é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo ABC!
📏 📐 Resolução

Para obter o baricentro G do triângulo precisamos construir as medianas do mesmo. Uma mediana é um segmento que une um vértice do triângulo ao ponto médio do lado oposto. Veja como resolver o exercício.

  • Vamos nomear os vértices do triângulo como A, B e C. Construa as mediatrizes dos lados AB e AC, obtendo também os pontos médios Mc e Mb, respectivamente.
  • Desenhe o segmento mb ligando o ponto B ao ponto médio Mb do lado oposto, este é a mediana relativa ao lado b.
  • Agora desenhe o segmento mc ligando o ponto C ao ponto médio Mc do lado oposto, este é a mediana relativa ao lado c.
  • A interseção das duas medianas mb e mc nos dá o baricentro G. Note que não é preciso desenhar a terceira mediana ma! O baricentro possui uma propriedade importante: ele divide cada mediana em duas partes, sendo que a parte que contém o vértice tem o dobro do tamanho da parte que contém o ponto médio. Meça no desenho para verificar!
📏 📐 Exercício proposto 1.1

Nesta atividade, construa o incentro e a circunferência inscrita.

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📏 📐 Resolução

Para obtermos o Ortocentro H do triângulo precisamos construir suas alturas.

  • Construa pelo vértice B uma reta perpendicular ao lado oposto b, obtendo o ponto Hb sobre a reta AC. Essa reta é denominada de reta suporte da altura. E a altura relativa ao lado b é o segmento BHb.
  • Agora construa pelo vértice C uma reta perpendicular ao lado oposto c, obtendo o ponto Hc sobre a reta AB. A altura relativa ao lado c é o segmento CHc.
  • A interseção das retas suportes das alturas nos fornece o Ortocentro H do triângulo ABC.
📏 📐 Resolução

Quando dividimos uma circunferência em partes iguais estamos dividindo o ângulo central de 360° em partes iguais e também estamos construindo polígonos regulares inscritos nessa circunferência. É importante observar que se a circunferência for dividida em n partes iguais, também será facilmente dividida em 2n partes, bastando traçar bissetrizes dos ângulos centrais.

Vamos dividir a circunferência em 3 partes iguais, ou seja, construir o polígono regular de 3 lados inscrito na circunferência dada. Esse será o triângulo equilátero!

  • Marque um ponto A qualquer sobre a circunferência dada.Coloque a ponta seca do compasso no ponto A e abra até chegar ao centro O da circunferência dada. Estamos “pegando” o raio OA com o compasso.
  • Construa dois arcos de circunferência, um para a esquerda e outro para a direita, com centro em A e raio OA, obtendo os pontos B e F, respectivamente.
  • Agora com centro em B e raio OA construa mais um arco obtendo o ponto C.
  • Com centro em F e raio OA construa mais um arco obtendo o ponto E.
  • Com centro ou em E ou em C, construa mais um arco obtendo um ponto D.
  • Acabamos de dividir a circunferência em 6 partes iguais obtendo o hexágono regular inscrito na circunferência! Pois construímos 6 triângulos: OAB, OBC, OCD, ODE, OEF e OFA, todos equiláteros de lado OA.
  • Finalmente para obter o triângulo equilátero inscrito nessa circunferência basta unir os vértices B, D e F, por exemplo.
📏 📐 Resolução

Vamos dividir a circunferência em 4 partes iguais, ou seja, construir o polígono regular de 4 lados inscrito na circunferência dada. Esse será o quadrado!

  • Marque um ponto A qualquer sobre a circunferência dada. Construa a reta OA obtendo o ponto C sobre a circunferência.
  • Usando os esquadros construa uma reta perpendicular à reta OA passando pelo centro O, obtendo os pontos B e D sobre a circunferência.
  • Agora desenhe o polígono ABCD. Ele é um quadrado pois os ângulos centrais formados são de 90°.

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📏 📐 Solução

Vamos dividir a circunferência em 6 partes iguais. Lembra que no item a desse exercício já fizemos isso?

Então basta repetir o processo aqui. Lembre de utilizar como medida no compasso o raio da circunferência dada! Pronto! Temos o hexágono regular inscrito na circunferência!
📏 📐 Resolução

Vamos dividir a circunferência em 8 partes iguais. Para isso, vamos começar dividindo a circunferência em 4 partes iguais. Lembra? Já fizemos isso no item b desse exercício!

  • Comece por um ponto A qualquer da circunferência e trace dois diâmetros AE e CG perpendiculares utilizando os esquadros. Já temos o quadrado ACEG inscrito. Não precisa representar esse quadrado!
  • Construa a bissetriz do ângulo GOE obtendo os pontos B e F sobre a circunferência. Acabamos de obter ângulos centrais de 45°.
  • Construa agora a bissetriz do ângulo COE obtendo sobre a circunferência os pontos D e H. Temos mais 4 ângulos centrais de 45°.
  • Pronto! O polígono ABCDEFG é um octógono regular inscrito na circunferência dada. Agora é só representar. O que é preciso fazer para obtermos o polígono regular de 16 lados inscrito nessa circunferência?
📏 📐 Resolução

Vamos dividir a circunferência em 10 partes iguais. Acompanhe o procedimento.

  • Desenhe um diâmetro 12.
  • Construa um segundo diâmetro 34 perpendicular ao primeiro.
  • Trace a mediatriz do raio O1, obtendo o ponto 5, médio do segmento.
  • Construa o arco de centro no ponto 5 e raio 53, obtendo o ponto 6 sobre o diâmetro 12.
  • O segmento O6=l10 é o lado do decágono regular inscrito nessa circunferência.
  • Marque essa medida l10 no compasso e a partir de um ponto A qualquer da circunferência construa um arco obtendo o ponto B.
  • Com a mesma medida l10 no compasso, construa um arco de centro em B obtendo o ponto C.
  • Continue o processo até obter o ponto J.
  • Pronto! Agora é só unir os pontos A, B, C, ..., J para obter o decágono regular inscrito na circunferência de raio r dada. Por propriedade o l10 é o segmento áureo do raio e, portanto, mede r(√5-1)/2. Para deduzir essa relação basta observar o triângulo retângulo O53 e que os segmentos 56 e 53 são congruentes!

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📏 📐 Resolução

Para dividir a circunferência em 5 partes iguais podemos dividi-la primeiro em 10 partes iguais e ao invés de unir os vértices um a um, basta unir de dois em dois, ou utilizar uma propriedade geométrica. Veja a seguir qual seria.

  • Repita o processo da divisão da circunferência em 10 partes iguais visto no item anterior.
  • O segmento 63=l5 é o lado do pentágono regular inscrito na circunferência dada.
  • Marque essa medida l5 no compasso e a partir de um ponto A qualquer da circunferência construa um arco obtendo o ponto B.
  • Com a mesma medida do l5 no compasso, obtenha os demais vértices.
  • Pronto! Agora é só unir os pontos A, B, C, D e E para representar o pentágono regular inscrito na circunferência de raio r dada. Por propriedade o l5 é hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos l10 e l6=r.
📏 📐 Resolução

Vamos construir o triângulo equilátero de lado l dado! Mas antes reveja o exercício 6 da página 3 em que construímos o ângulo de 60°, lá utilizamos dois processos: um com régua e compasso e outro com os esquadros para obtermos o ângulo de 60°. Reveja também o exercício 10 da página 5, em que construímos um triângulo dados os tamanhos dos lados. O que já aprendemos iremos utilizar agora.

  • Existem várias formas de resolver esse problema. Vamos a uma delas! Construa uma reta suporte r.
  • Marque um ponto B sobre a mesma. Esse será o primeiro vértice do triângulo que queremos construir.
  • Vamos agora obter o vértice C! Sabemos que a distância entre B e C mede a=l=4cm. Basta então construir o arco de centro em B e raio a=l=4cm, na interseção com a reta r teremos C.
  • Falta somente o vértice A! Sabemos que a distância entre B e A mede c=l=4cm. Logo, A estará sobre uma circunferência de centro B e raio c=l=4cm! Construa essa primeira circunferência! Veja que não é preciso construir toda ela, basta um arco somente.
  • Sabemos que a distância entre C e A mede b=l=4cm. Assim, A estará sobre uma circunferência de centro C e raio b=l=4cm! Construa essa segunda circunferência, ou melhor, esse segundo arco! Na interseção desses dois arcos de circunferência obtemos o vértice A do triângulo!
  • Pronto! Com os três vértices determinados podemos representar agora o triângulo ABC. Nessa construção usamos somente régua e compasso! Como seria a construção usando régua e esquadros?
📏 📐 Resolução

Vamos construir o quadrado de lado l dado! O quadrado é um polígono que possui os quatro lados congruentes (iguais) e os quatro ângulos internos também congruentes e cada um medindo 90°.

  • Existem várias formas de resolver esse problema. Vamos a uma delas! Construa uma reta suporte r.
  • Marque um ponto B sobre a mesma. Esse será o primeiro vértice do quadrado que queremos construir.
  • Vamos agora obter o vértice C! Sabemos que a distância entre B e C mede a=l=4cm. Basta então construir o arco de centro em B e raio a=l=4cm, na interseção com a reta r teremos C.
  • O ângulo interno do quadrado que queremos construir é 90°, então o ponto A estará sobre uma perpendicular à reta r passando pelo ponto B. Use os esquadros ou o compasso para construir essa perpendicular.
  • Sabemos que a distância entre B e A mede l=4cm. Logo, A estará sobre uma circunferência de centro B e raio l=4cm! Construa essa primeira circunferência! Lembre-se que não é preciso construir toda ela!
  • Falta obtermos o último vértice D. Como a distância entre D e C é l=4cm, então D estará sobre uma circunferência de centro C e raio l=4cm. Construa essa circunferência.
  • E como a distância entre D e A é l=4cm, então D estará sobre uma circunferência de centro A e raio l=4cm. Construa essa circunferência obtendo o ponto D sobre a circunferência obtida no passo anterior.
  • Pronto! O quadrado está construído. Para obter o ponto D poderíamos ter usado os esquadros e traçado paralelas, tente fazer novamente dessa maneira.

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📏 📐 Resolução

Vamos construir o pentágono regular de lado l dado! O pentágono regular é um polígono que possui os cinco lados congruentes e os cinco ângulos internos também congruentes. Existem processos de construção exatos e aproximados. Vamos aprender um aproximado que é rápido de ser construído e nos dá um resultado muito bom!

  • Construa uma reta suporte r.
  • Marque um ponto 1 sobre a mesma. Esse será o primeiro vértice do pentágono que queremos construir.
  • Marque no compasso 3 centímetros e construa a circunferência de centro 1 e raio l=3cm, obtendo sobre a reta r o ponto 2, que será o segundo vértice do pentágono. Não feche o compasso, vamos usar essa medida mais vezes!
  • Construa a circunferência de centro no ponto 2 e raio l=3cm obtendo sobre a primeira circunferência os pontos 3 e 4.
  • Construa a reta s que passe pelos pontos 3 e 4.
  • Agora com centro no ponto 4 construa uma terceira circunferência de raio l=3cm obtendo sobre a primeira o ponto 5, sobre a segunda o ponto 7 e sobre a reta s o ponto 6.
  • Trace a reta t unindo os pontos 5 e 6 obtendo o ponto 8 sobre a segunda circunferência. Esse ponto será mais um vértice do pentágono.
  • E agora trace a reta u pelos pontos 6 e 7 obtendo o ponto 9 sobre a primeira circunferência. Esse ponto será mais um vértice do pentágono.
  • Para obtermos o último vértice construa um arco de circunferência de centro no ponto 8 e raio l=3cm e outro arco com centro no ponto 9 e raio l=3cm encontrando na interseção o último vértice 10.
  • Agora é só unir os pontos 1, 2, 8, 10 e 9! Embora essa construção nos dê um polígono com os 5 lados congruentes, os ângulos internos não são iguais!
📏 📐 Exercício proposto 1.2
📏 📐 Resolução

Para determinar a reta tangente à circunferência dada basta encontrar o ponto T de tangência! Antes de iniciarmos a construção vamos aprender duas propriedades importantes!

  • Veja a primeira figura auxiliar.Por definição uma reta tangente possui um único ponto T em comum com a circunferência! E por propriedade a reta tangente forma com o raio r=OT no ponto T um ângulo de 90°!
  • Na segunda figura auxiliar temos que o segmento QR é um diâmetro da circunferência de centro M, assim, temos a seguinte propriedade: qualquer ponto P da mesma sempre “enxerga” esse diâmetro segundo um ângulo reto, ou seja, o ângulo QPR=90°. Dizemos que a semicircunferência é um Arco Capaz de 90° do segmento QR. Temos dois Arcos Capazes de 90°!
  • Agora é a resolução gráfica! Nomeie o centro da circunferência dada como O. Construa a reta AO. Vamos obter o ponto T de tangência para obter a reta tangente.
  • Como o ângulo OTA=90° então T pertence ao Arco Capaz de 90° do segmento AO. Ou seja, pertence à circunferência de diâmetro AO. Construa a mediatriz do segmento OA obtendo o ponto M médio do segmento.
  • Construa a circunferência de centro M e raio OM, obtendo sobre a circunferência dada dois pontos de tangência T1 e T2. Note que são duas soluções para o ponto de tangência!
  • Desenhe as retas AT1 e AT2 que são as retas tangentes à circunferência dada passando pelo ponto dado A. Pronto! Você consegue agora identificar as propriedades vistas nas figuras auxiliares?

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📏 📐 Exercício proposto 1.3
📏 📐 Resolução

Lembre-se que para que uma reta seja tangente à uma circunferência devemos ter que o ângulo formado entre o raio e a reta no ponto de tangência mede 90°! Vamos à construção.

  • Construa a reta OT.
  • Usando os esquadros ou o compasso construa a reta t passando pelo ponto T e perpendicular à reta s. Pronto! A reta t é tangente à circunferência dada pois o ângulo formado entre ela e o raio no ponto T é 90°.

19. Construir um triângulo ABC sabendo-se que:
a) seu perímetro (perímetro é a soma dos lados do polígono) mede 15cm
b) seus lados são proporcionais a números dados, ou seja, AB é proporcional a 5, BC é proporcional a 3 e AC é proporcional a 4,5.

📏 📐 Exercício proposto 1.4

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2.1. Propriedades das projeções cilíndricas

Material da página 11 até a página 25.

Leia o conteúdo das páginas 11, 12 e 13 da apostila. Agora vamos começar a trabalhar com as projeções de objetos e figuras em um plano π'.

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Para projetar um ponto A qualquer do espaço usando a projeção cônica, basta definir a reta projetante a, que passa pelo centro de projeção O e pelo ponto A. A interseção desta reta com o plano π' é a projeção A' do ponto A.
Visualização em 3D
Para projetar um ponto A qualquer do espaço usando a projeção cilíndrica, basta definir a reta projetante a, paralela à direção d e que passa pelo ponto A. A interseção desta reta com o plano π' é a projeção A' do ponto A. Se a reta d formar ângulo 0 < θ < 90°, a projeção é chamada oblíqua.
Projeção cilíndrica oblíqua em 3D
Quando θ = 90°, temos a projeção ortogonal.
Projeção cilíndrica ortogonal em 3D

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Quando a reta r não é paralela à direção d, a sua projeção r' é uma reta.
Visualização em 3D: projeção oblíqua
Visualização em 3D: projeção ortogonal
No caso em que as retas r e d são paralelas, a projeção r' é um ponto.
Visualização em 3D: projeção oblíqua
Visualização em 3D: projeção ortogonal

👓 Realidade Aumentada e Realidade Virtual

Esta apostila tem recursos programados em Realidade Aumentada e Realidade Virtual. Você pode acessar estes recursos usando o seguinte endereço:

https://paulohscwb.github.io/cotadas/ra.html

Os ambientes podem ser acessados em qualquer navegador com um dispositivo de webcam (smartphone, tablet ou notebook).

Os objetos modelados em 3D aparecem sobre as coordenadas da apostila. Você pode usá-los para conferir as construções ou apenas visualizar os objetos em 3D.

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Considerando r e s estão em planos projetantes distintos, as projeções r' e s' são paralelas.
Propriedade em 3D: projeção oblíqua
Propriedade em 3D: projeção ortogonal
Se r e s estão em um mesmo plano projetante, as projeções r' e s' são coincidentes.
Propriedade em 3D: projeção oblíqua
Propriedade em 3D: projeção ortogonal
Quando as retas r e s são paralelas à direção d, suas projeções r' e s' são pontos.
Propriedade em 3D: projeção oblíqua
Propriedade em 3D: projeção ortogonal

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A proporção entre as medidas dos segmentos paralelos AB e CD é a mesma de suas projeções, ou seja: AB/CD = A'B'/C'D'.
Propriedade em 3D: projeção oblíqua
Propriedade em 3D: projeção ortogonal
Se os segmentos AB e CD são colineares, a mesma proporção entre as medidas é válida: AB/CD = A'B'/C'D'.
Propriedade em 3D: projeção oblíqua
Propriedade em 3D: projeção ortogonal

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Uma figura pertencente a um plano paralelo ao plano de projeções π' fica projetada com o mesmo tamanho, sem redução ou ampliação de tamanho.
Propriedade em 3D: projeção oblíqua
Propriedade em 3D: projeção ortogonal
Uma figura que pertence a um plano α paralelo à direção d de projeções tem projeção reduzida a um segmento.
Propriedade em 3D: projeção oblíqua
Propriedade em 3D: projeção ortogonal
Planos paralelo, projetante e oblíquo: projeção ortogonal

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📏 📐 Resolução

Vamos utilizar a régua e o compasso para resolver este exercício. De acordo com a propriedade 3, podemos encontrar a projeção do ponto médio de AB construindo a mediatriz da projeção deste segmento. Clique nos botões do passo a passo para fazer a construção na sua apostila.

  • Com a ponta seca em A', desenhe um arco com raio maior do que a metade de A'B'.
  • Com a ponta seca em B', desenhe um arco com o mesmo raio usado no passo anterior.
  • Desenhe a reta que passa pelos pontos de interseção dos arcos usando a régua.
  • A projeção do ponto médio M' está na interseção da mediatriz de A'B' com o segmento A'B'.
  • Como os pontos A' e B' estão coincidentes, quer dizer que o segmento AB é paralelo à direção das projetantes. Logo, M' coincide com A' e B'.
📏 📐 Resolução

Vamos utilizar a régua, o compasso e os esquadros para resolver este exercício. De acordo com a propriedade 2, podemos encontrar a projeção dos lados de um paralelogramo utilizando a construção de retas paralelas.

  • A projeção do lado C'D' será paralela ao segmento A'B'. Logo, podemos desenhar a reta C'D' // A'B' com o uso de esquadros.
  • Alinhando o esquadro de 45° com A'B', coloque como apoio o outro esquadro ou a régua. Deslize o esquadro de 45° deixando o outro esquadro ou a régua fixo.
  • Usando a mesma construção, você pode desenhar a reta paralela a A'D', ou usar o compasso. Pela propriedade 3, A'B' = C'D', logo, podemos "pegar" a medida A'B' com o compasso...
  • ... e desenhá-la com centro em D' e o raio A'B'. Logo, encontramos o ponto C'.
  • Pronto! O paralelogramo está construído. Agora é sua vez de fazer o item b!
  • A construção do item b é parecida com a que fizemos no item a.
📏 📐 Resolução

Vamos utilizar a régua e o compasso para resolver este exercício. De acordo com a propriedade 5, o paralelogramo está em um plano paralelo à direção d das projetantes.

  • O vértice C' do paralelogramo estará no prolongamento da reta A'B'.
  • De acordo com a propriedade 3, os segmentos A'B' e C'D' são iguais. Logo, podemos "pegar" a medida A'B' com o compasso...
  • ... e desenhar o arco com medida A'B' no prolongamento deste segmento.
  • Assim, encontramos o vértice C' do paralelogramo.
  • Usando as mesmas propriedades usadas nos itens anteriores, podemos concluir que as projeções dos vértices A e D coincidem no item d.

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📏 📐 Resolução: item a

Vamos utilizar a régua e o compasso para resolver este exercício.

  • Relembrando uma propriedade do paralelogramo: as diagonais interceptam-se em seus respectivos pontos médios. Logo, pela propriedade 3, A'M' = M'C'.
  • Logo, podemos "pegar" a medida A'B' com o compasso e prolongar o segmento A'M'.
  • Para encontrar C', basta desenhar o arco com medida A'M' no prolongamento de A'M'.
  • O mesmo acontece com os segmentos B'M' e M'D'. Logo, podemos "pegar" a medida B'M' com o compasso...
  • ... e podemos desenhar o arco com centro em M' e raio B'M'.
  • Pronto! O paralelogramo está construído. Não esqueça de desenhar os lados desta figura.
📏 📐 Resolução: item b

Vamos utilizar a régua e o compasso para resolver este exercício.

  • Como as projeções dos vértices A' e B' são coincidentes, pela propriedade 1, podemos concluir que AB // d. Portanto, temos que C'D' // d.
  • Podemos "pegar" a medida entre os pontos A'=B' e M' com o compasso e prolongar o segmento que une estes pontos.
  • Os pontos C' e D' também coincidem, pois AB // CD. Para encontrar C'=D', basta desenhar o arco com medida A'M' no prolongamento de A'M'.
  • O paralelogramo está construído. Use o link abaixo para visualizar em 3D a propriedade que usamos. Agora você pode construir o item c deste exercício.
Visualização em 3D: item b
📏 📐 Solução

Usando as propriedades dos itens a e b, você consegue fazer a construção deste paralelogramo.

📏 📐 Resolução: item a

Vamos utilizar a régua e o compasso para resolver este exercício.

  • Relembrando a propriedade do baricentro: A distância do baricentro a um vértice mede 2/3 da mediana, ou seja, CG = 2CM/3 ou GM = CM/3.
  • Pela propriedade 3, a medida G'M' mede CM/3. Então vamos construir a mediatriz do segmento A'B'.
  • Usando os arcos de mesma medida, com centros em A' e B', obtemos os pontos que definem a mediatriz de A'B'.
  • Unindo os pontos M' e G', podemos usar o compasso para "pegar" a medida G'M'.
  • Com o centro em G', marcamos uma vez o segmento com medida igual a G'M'.
  • Na sequência, marcamos novamente um segmento com a mesma medida. Assim, encontramos G'C' = 2G'M'.
  • Agora você pode desenhar os lados do triângulo A'B'C'.
📏 📐 Resolução: item b

Vamos utilizar a régua e o compasso para resolver este exercício.

  • Vamos usar a mesma propriedade do item anterior: A distância do baricentro a um vértice mede 2/3 da mediana, ou seja, CG = 2CM/3 ou GM = CM/3.
  • Pela propriedade 2, se os pontos A' e B' coincidem, o lado AB é paralelo à direção d. Logo, o ponto M' também coincide com A' e B'.
  • Logo, podemos prolongar a reta A'G' para encontrar a projeção do vértice C. Usando o compasso, "pegamos" a medida A'G' e podemos marcá-la a partir de G'
  • Marcando-se duas vezes esta medida A'G' encontramos a projeção C'. Neste caso, o triângulo ABC fica projetado como um segmento.
  • Use o link abaixo para visualizar o exercício em 3D. Agora é sua vez de construir o item c.
Visualização em 3D: item b
📏 📐 Solução

Utilizando as mesmas propriedades dos itens anteriores, você consegue construir este triângulo. Use o link abaixo para te ajudar na visualização em 3D.

Visualização em 3D

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📏 📐 Resolução

Vamos utilizar a régua, o compasso e os esquadros para resolver este exercício.

  • Relembrando as propriedades do hexágono regular: os lados são iguais ao raio da circunferência circunscrita, e os raios são paralelos aos lados.
  • Pela propriedade 3, os segmentos A'O' e B'C' terão projeções com mesma medida e serão paralelos. Logo, podemos construir a paralela a A'O' que passa por B'.
  • Alinhando a hipotenusa de um esquadro e apoiando este esquadro com a régua ou outro esquadro, basta deslizar o esquadro que você alinhou até chegar em B'.
  • Como AO = BC e AO // BC, pelas propriedades 2 e 3 temos que A'O' = B'C' e A'O' // B'C'. Podemos "pegar" a medida A'O' com o compasso...
  • ... e marcá-la na paralela construída, a partir do ponto B'. Assim, encontramos a projeção do ponto C'.
  • Usando a propriedade 3, como A, O e D são colineares, temos que A'O' = O'D'. Podemos "pegar" essa medida com o compasso...
  • ... e desenhar o arco com centro em O'. Assim, encontramos o vértice D'.
  • Podemos fazer a mesma construção com os segmentos O'F' = O'C' para encontrar F'.
  • E para fechar o hexágono, fazemos a mesma construção com os segmentos B'O' = O'E'. Use o link abaixo para visualizar o exercício em 3D.
  • Com as propriedades que usamos no item a, você consegue fazer a construção deste hexágono do item b.
Visualização em 3D: item a
📏 📐 Resolução

Vamos utilizar a régua e o compasso para resolver este exercício.

  • Usando as propriedades do hexágono regular, podemos notar que AB = OC e AB // OC. Logo, as projeções desses serão iguais e paralelas.
  • Pela propriedade 5, como os pontos A', B' e O' são colineares, o hexágono está em um plano paralelo à direção de projeções d. Logo, C' estará na mesma reta.
  • Podemos "pegar" a medida A'B' com o compasso e transferir esta medida a partir de O', encontrando o ponto C'.
  • Como BO = OE, pela propriedade 3 temos que B'O' = O'E'. Podemos "pegar" a medida B'O' com o compasso...
  • ... e marcá-la a partir do ponto O', encontrando o vértice E'. Podemos usar a mesma propriedade para encontrar os outros vértices.
  • Podemos marcar A'O' = O'D' para encontrar o vértice D'.
  • E para finalizar o hexágono, marcamos O'C' = O'F'. Visualize este hexágono em 3D com o link abaixo.
Visualização em 3D
📏 📐 Exercício proposto 2.1

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Os segmentos oblíquos ao plano de projeções π' são projetados com tamanho reduzido, ou seja, AB > A'B'
Visualização da propriedade em 3D
Quando a reta r // π' e as retas r e s são perpendiculares ou ortogonais, as retas r' e s' são perpendiculares.
Visualização da propriedade em 3D
Planos paralelo, projetante e oblíquo: projeção ortogonal

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📏 📐 Resolução

Vamos utilizar a régua e o compasso para resolver este exercício.

  • Usando as propriedades do losango, temos que as medidas dos lados são iguais AB = BC = CD = AD e as diagonais AC e BD são perpendiculares. Podemos usar a propriedade 7 de projeções ortogonais.
  • Como a reta AC é paralela a π', o ângulo de 90° está projetado em verdadeira grandeza (vg). Podemos construir a mediatriz da projeção da diagonal A'C'.
  • A interseção da mediatriz de A'C' com a reta r' é o vértice B'.
  • Como BM = MD, pela propriedade 3 temos que B'M' = M'D'. Podemos marcar com o compasso a medida B'M' a partir do ponto M', encontrando o vértice D'.
  • Pronto, a projeção do losango está construída. Veja no link abaixo a representação em 3D deste exercício.
Visualização em 3D
📏 📐 Resolução

Vamos utilizar a régua e o compasso para resolver este exercício.

  • Usando as propriedades do retângulo, temos que os vértices pertencem a uma circunferência com centro no encontro das diagonais M. Esta circunferência é chamada de arco capaz de 90°.
  • Como o segmento AB é paralelo a π', sua projeção A'B' está em verdadeira grandeza (vg). Podemos construir a circunferência com centro em A' e raio 3cm.
  • Vamos começar construindo a mediatriz de A'C' para desenhar o arco capaz de 90°.
  • Com o centro em M', podemos construir a circunferência de raio M'A' = M'C'.
  • Agora podemos desenhar a circunferência com centro em A' e raio 3cm. A interseção desta circunferência com o arco capaz de 90° é o vértice B'. Escolha uma das interseções para este vértice B'
  • Como os lados AB e CD são paralelos, podemos desenhar a circunferência com centro em C' e raio 3cm para encontrar o vértice D'.
  • Pronto, a projeção do retângulo está construída. Veja no link abaixo a representação em 3D deste exercício.
Visualização em 3D

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📏 📐 Resolução

Vamos utilizar o compasso e os esquadros para resolver este exercício.

  • Um paralelepípedo tem todas as faces com paralelogramos. Supondo-se que o vértice F está mais próximo do observador, temos as arestas determinadas por F visíveis
  • Outra maneira de construir o paralelepípedo é considerando que o vértice F está mais distante do observador. Neste caso, suas arestas tornam-se invisíveis. Neste exercício você pode escolher uma das visibilidades apresentadas.
  • Vamos começar construindo a reta paralela a B'C' que passa por A' para encontrar o vértice D' da base do paralelepípedo. Podemos usar o esquadro de 45° para alinhar com o segmento.
  • Deslizando o esquadro com o outro esquadro apoiado, podemos desenhar a reta paralela a B'C' pelo vértice A'.
  • Fazendo a mesma construção, podemos desenhar a reta paralela ao segmento A'B' que passa por C'. O encontro destas paralelas é o vértice D'.
  • Agora podemos desenhar as arestas laterais. Basta desenhar as retas paralelas à aresta lateral A'E' que passam pelos vértices B', C' e D'.
  • Com o compasso, você pode "pegar" a medida A'E'...
  • ... e marcar com a ponta seca em B' para encontrar o vértice F'.
  • Fazendo a mesma construção com os vértices C' e D', você encontra os vértices G' e H'. Esta construção é possível por causa das propriedades 2 e 3 de projeções cilíndricas.
  • Agora você pode "passar a limpo" o desenho do paralelepípedo. Como ainda não estamos trabalhando com as coordenadas dos vértices, você pode escolher uma das visualizações mostradas nos passos 1 e 2.
📏 📐 Exercício proposto 2.2

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📏 📐 Solução

Você pode utilizar o compasso e os esquadros para resolver este exercício. Lembre-se de aplicar as propriedades de projeções cilíndricas e cilíndricas ortogonais.

Usando as propriedades de projeções cilíndricas ortogonais, verifique quais dos segmentos são projetados em verdadeira grandeza (vg) em π': AB, AE, HJ e JG.

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2.2. Pontos e segmentos em épura

Material da página 26 até a página 32.

Para representar um ponto em épura, basta marcar as coordenadas x(abscissa), y(ordenada) e indicar o valor da cota a do ponto. Use o link abaixo para visualizar em 3D.
Visualização em 3D

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📏 📐 Resolução
  • Para marcar o ponto A, devemos traçar uma paralela ao eixo y, pelo ponto x=40, já que a abscissa do ponto A é 40.
  • Traçando uma paralela ao eixo x, pelo ponto y=30, marcamos a ordenada do ponto A.
  • Na interseção das duas retas, temos a projeção do ponto A, aonde deve ser indicada a cota de 20.
  • Os pontos B, C e D são feitos de maneira análoga. Use o link abaixo para a visualização em 3D destes pontos.
Visualização em 3D

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Usamos o rebatimento encontrar a verdadeira grandeza (vg) de um segmento AB. Neste caso, o segmento é rebatido usando a projeção A'B' como eixo para rebater o segmento em π'. Neste caso, marcamos as cotas dos pontos a partir de suas projeções.
Visualização em 3D

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📏 📐 Resolução
  • Traça-se o segmento A’B’.
  • Traça-se um segmento perpendicular a A’B’, por A’.
  • Para se rebater o ponto A no plano π’, mede-se a cota do ponto A, marcando-se o ponto auxiliar A’1.
  • De modo análogo marca-se o ponto auxiliar B’1.
  • A VG do segmento é o segmento A’1B’1.
  • O triângulo A’1B’1C’1 é o triângulo ABC rebatido sobre o plano π’.
📏 📐 Exercício proposto 2.3
📏 📐 Resolução
  • Traça-se o segmento E’F’ e um segmento perpendicular a E’F’, por E’.
  • Para se rebater o ponto E no plano π’, mede-se a cota do ponto E, marcando-se o ponto auxiliar E’1.
  • De modo análogo marca-se o ponto auxiliar F’1. Observe que F’1 foi marcado no sentido oposto à E’1 já que as cotas de E e F têm sinais contrários.
  • A VG do segmento é o segmento E’1F’1.

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Rebatimento usado para encontrar a verdadeira grandeza (vg) de um segmento AB. Neste caso, o segmento é rebatido usando o segmento AC como eixo para rebater o segmento em um plano horizontalβ que passa por A. Neste caso, marcamos a diferença de cotas entre os pontos A e B a partir da projeção B'
Visualização em 3D
📏 📐 Resolução

Solução do item b

📏 📐 Resolução

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📏 📐 Resolução
  • Usando o seu esquadro, trace paralelas aos eixos nas coordenadas indicadas marcando as projeções A’ e B’. Indique suas cotas e trace o segmento A’B’.
  • Traça-se um segmento perpendicular a A’B’, por A’.
  • Mede-se a diferença de cota entre os pontos A e B, marcando-se o ponto auxiliar A’1. A VG do segmento AB é o segmento A’1B’.
📏 📐 Exercício proposto 2.4

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📏 📐 Solução

Solução do item c.

📏 📐 Solução

Solução do item d

📏 📐 Resolução
  • Conforme o enunciado, localizamos as projeções dos pontos a 8cm de distância. A escala do desenho é de 1:100 isso implica que 1cm no desenho, corresponde a 100cm ou 1m no terreno. Dessa maneira, podemos indicar as cotas de cada um dos pontos na escala considerada.
  • Traça-se uma perpendicular por B’, marcando o ponto auxiliar B’1 à distância de 9cm de B’.
  • A VG de AB é dada pela distância entre A’ e B’1.

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3. Representações de retas

Material da página 33 até a página 51.

📏 📐 Resolução

As retas podem assumir três diferentes posições com relação ao plano de projeção π’. A primeira reta que iremos estudar é a reta vertical.

  • Observe sua representação. Essa reta é perpendicular ao plano de projeção π’.
  • A sua projeção coincide com todos os pontos pertencentes à reta e, por isso, representamos r’ coincidente com A’.
📏 📐 Resolução

A segunda reta que iremos estudar é a reta horizontal.

  • Observe sua representação. Essa reta é paralela ao plano de projeção π’. Isso implica que todos os seus pontos têm mesma cota.
  • Para representarmos a projeção de uma reta horizontal que passa por AB, simplesmente traçamos a sua projeção passando por A’B’ e nomeamos r’. Além disso, é preciso indicar a cota de B, que será a mesma de A.

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📏 📐 Resolução

A terceira reta que iremos estudar é a reta qualquer.

  • Observe sua representação. Essa reta é oblíqua ao plano de projeção π’.
  • A projeção da reta qualquer que passa pelos pontos A e B é representada como uma reta que passa pelas projeções A’ e B’.
📏 📐 Resolução
  • Trata-se de uma reta qualquer, pois observa-se que sua projeção é uma reta e passa por pontos de cotas diferentes;
  • Trata-se de uma reta vertical, pois sua projeção é pontual, o que indica que a reta é perpendicular ao plano de projeção;
  • Trata-se de uma reta horizontal, pois todos os pontos possuem a mesma cota, o que indica que a reta é paralela ao plano de projeção;
  • Se a=b, a reta será horizontal já que todos os pontos possuiriam a mesma cota, o que indica que a reta é paralela ao plano de projeção. Se a≠b, a reta é qualquer, já que sua projeção é uma reta e passa por pontos de cotas diferentes;
  • Trata-se de uma reta qualquer, pois observa-se que sua projeção é uma reta e passa por pontos de cotas diferentes;
  • Trata-se de uma reta qualquer, pois observa-se que sua projeção é uma reta e passa por pontos de cotas diferentes;
  • Trata-se de uma reta qualquer, pois observa-se que sua projeção é uma reta e passa por pontos de cotas diferentes;
  • Trata-se de uma reta horizontal, pois todos os pontos possuem a mesma cota, o que indica que a reta é paralela ao plano de projeção;
  • Trata-se de uma reta vertical, pois sua projeção é pontual, o que indica que a reta é perpendicular ao plano de projeção.

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📏 📐 Resolução

Observe o desenho em 3D, nosso objetivo é rebater o triângulo ABC no plano de projeção π'. Com isso obteremos a VG do segmento AB, bem como a VG do ângulo θ.

  • Traça-se um segmento perpendicular a A’B’, por A’. Para se rebater o ponto A no plano π' , mede-se a cota do ponto A, marcando-se o ponto auxiliar A’1 .
  • De modo análogo marca-se o ponto auxiliar B’1.
  • Traça-se uma paralela a r’ passando pelo ponto A’1, marcando-se o ponto auxiliar C’1.
  • Traça-se uma reta passando pelos pontos A’1B’1C’1. O triângulo A’1B’1C’1. Trata-se do triângulo ABC rebatido sobre o plano π'.
  • Com isso, obtemos a Vg de AB e a VG do ângulo θ.
  • Usando as medidas encontradas calculamos o coeficiente de redução e a declividade.

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📏 📐 Resolução: item a

Observe o desenho em 3D, nosso objetivo é obter a distância horizontal equivalente à diferença de cota de uma unidade.

  • Iniciamos fazendo o rebatimento do segmento AB sobre o plano π’, para tanto, traçamos perpendiculares a r’, por A’ e B’ marcando suas respectivas cotas, e, assim, encontrando os pontos auxiliares A’1 e B’1. Com isso, já sabemos que encontramos a VG de AB.
  • Agora marcamos a distância vertical de 1 unidade, na perpendicular B’B’1.
  • Traçando uma paralela a r’, encontramos C’1 e, por uma perpendicular a r’, por esse ponto, marcamos a projeção do ponto C’, de cota 3,2. Isso porque, partimos de B, de cota 4,2 e “descemos” uma unidade.
  • C’B’ indica o intervalo da reta r.
📏 📐 Resolução: item b

Observe o desenho em 3D, nosso objetivo é obter a distância horizontal equivalente à diferença de cota de uma unidade. Diferentemente do que fizemos no item a, iremos usar o Teorema de Thales.

  • Iniciamos construindo uma reta qualquer por A’. Com a régua, igualamos a marcação de 2 cm da régua no ponto (já que A tem cota 2) e marcamos dois pontos, um em 3 cm e outro em 4,2 cm (cota do ponto B).
  • Ao traçarmos uma paralela pelo último segmento traçado passando pela marcação feita em 3 cm, encontramos a projeção do ponto C de cota 3.
  • Como a diferença de cota entre C e A é de 1 unidade, A’C’ representa o intervalo da reta r.

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📏 📐 Resolução
  • Iniciamos traçando uma reta qualquer concorrente à reta r’ pelo ponto de menor cota. Nesse caso A’.
  • Com a régua igualamos a marca da régua de acordo com a cota do ponto. Nesse caso, igualamos a marca de 0,8 à A’.
  • Marcamos então os pontos 1, 2, 3, 4, 5, 6, e 6,3 (cota do ponto B).
  • Unimos o ponto 6,3 a B’ e traçamos retas paralelas obtendo os pontos de cotas inteiras, e com isso a graduação da reta AB.
📏 📐 Solução

O processo é similar ao anterior, no entanto, devemos tomar cuidado com a cota negativa.

Unimos o ponto 6,2 a B’ e traçamos retas paralelas obtendo os pontos de cotas inteiras, e com isso a graduação da reta AB.

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📏 📐 Solução
📏 📐 Solução

Como o ponto de cota zero encontra-se externo ao segmento CD, uma das possibilidades é encontrar o intervalo da reta.

Nesse caso, obteve-se E’(3). Observe que a distância de E’ a D’ é a mesma de D’ a F’ e de F’ a G’. O traço de r sobre π’ é G’ de cota zero.
📏 📐 Solução

O traço de r sobre π’ nada mais é que o ponto em que a reta cruza o plano π’, ou seja, o ponto da reta que possui cota zero. No exercício está representado por C’(0).

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📏 📐 Exercício proposto 3.1
📏 📐 Resolução
  • Iniciamos marcando a projeção dos pontos A e B.
  • Traçamos uma perpendicular por A, marcando dois centímetros e encontramosA’1.
  • Traçamos uma perpendicular por A’1.
  • Marca-se 60° a partir de A’1.
  • Aonde a perpendicular sobre B’ encontrar a reta traçada, marcamos B’1. Usando a régua obtém-se a cota do ponto B.
  • Com isso a reta ficará determinada.

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Visualização em 3D do 1° exemplo
Visualização em 3D do 2° exemplo
📏 📐 Solução

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📏 📐 Solução

📏 📐 Solução

📏 📐 Solução

Para encontrar o ponto P de uma reta, dada a sua cota, usamos o mesmo processo usado para graduar uma reta. Inicia-se com uma reta pelo ponto de menor cota, e, com o auxílio da régua marca-se a cota do segundo ponto da reta e do ponto P. Traçando-se paralelas, encontra-se o ponto P desejado.

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📏 📐 Solução

📏 📐 Solução

📏 📐 Exercício proposto 3.2

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Duas retas quaisquer r e s são paralelas quando suas projeções r' e s' são paralelas, e as graduações destas retas crescem no mesmo sentido. Use o link abaixo para visualizar esta propriedade em 3D.
Visualização em 3D do 1° exemplo
Visualização em 3D do 2° exemplo
Visualização em 3D do 3° exemplo

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📏 📐 Solução

Como r' é um ponto, significa que a reta r é perpendicular ao plano de projeção.

Logo a reta s, também será uma reta vertical, ou seja, perpendicular ao plano de projeção.
📏 📐 Solução

A reta r é uma reta horizontal de cota 1, então uma reta paralela à reta r, também será uma reta horizontal.

Porém a reta s é uma reta horizontal de cota 3. Suas projeções coincidem, pois pertencem ao mesmo plano projetante.
📏 📐 Solução

A reta r é uma reta horizontal, logo a reta s também será uma horizontal e suas projeções devem ser paralelas.

A cota da reta s é a mesma cota do ponto P que a define.
📏 📐 Resolução

As retas r e s pertencem ao mesmo plano projetante, portanto suas projeções são coincidentes, assim r' coincide com s', porém isso não é suficiente para que as retas sejam consideradas paralelas, ainda precisamos de mais um ponto da reta s.

  • Tomar o intervalo entre os pontos que definem a reta r
  • Marcar esse intervalo a partir do ponto P
  • Definimos o ponto Q de cota 5, pois retas paralelas devem ter intervalos iguais e cotas crescendo no mesmo sentido.
📏 📐 Resolução

Para que duas retas quaisquer sejam paralelas, devem ocorrer três condições:
• suas projeções devem ser paralelas, r'//s'
• as cotas devem crescer no mesmo sentido
• os intervalos são iguais

  • Traçar a reta passando por P' paralela à r'.
  • Tomar o intervalo da reta r com o compasso
  • Transportar esse intervalo para s'
  • A cota do ponto Q deve ser 1,3, pois é igual à diferença entre as cotas dos pontos da reta r e crescem no mesmo sentido.

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📏 📐 Resolução

Vamos verificar se as retas são paralelas ou concorrentes, considerando a reta s qualquer e a reta r vertical. Como pertencem ao mesmo plano projetante, elas são necessariamente concorrentes, basta encontrar o ponto P de concorrência. Usando o método do rebatimento, siga os seguintes passos:

  • Marcar a cota do ponto A
  • Marcar a cota do ponto B
  • Representar a reta s rebatida, unindo A'1 e B'1
  • Rebater a reta r.
  • Verificar que a cota do ponto P, de intersecção entre as retas tem cota 5. Use o link abaixo para visualizar este exemplo em 3D.
Visualização em 3D
📏 📐 Resolução: 1° exemplo

Vamos verificar se as retas são paralelas ou concorrentes considerando as retas r e s quaisquer. Devemos verificar o ponto de interseção tem a mesma cota nas duas retas, para isso utilizamos o método do rebatimento.

Planos projetantes distintos e não paralelos

  • Marcar a cota do ponto A'(2).
  • Marcar a cota do ponto B'(7)
  • Representar a reta rebatida unindo A'1 e B'1
  • Verificar qual é a cota do ponto P na reta r rebatida. A cota do ponto P na reta r é 4.
  • Rebater a reta s, marcando a cota do ponto C'(1)
  • Marcar a cota do ponto D'(6)
  • Representar a reta s rebatida
  • Verificar que a cota do ponto P na reta s também é 4. Portanto as retas r e s são concorrentes no ponto P de cota 4
  • Verificar que a cota do ponto P na reta s também é 4. Portanto as retas r e s são concorrentes. Use o link abaixo para visualizar este exemplo em 3D.
Visualização em 3D
📏 📐 Solução: 2° exemplo

Agora você pode praticar, resolva o exercício, seguindo o mesmo modelo do exercício anterior. Verificar se as retas são paralelas ou concorrentes.

Neste caso as retas são reversas, pois o ponto P possui cotas diferentes nas retas r e s. Use o link abaixo para visualizar este exemplo em 3D.
Visualização em 3D
📏 📐 Resolução

Como as retas são concorrentes, basta verificar se o ângulo entre elas é 90°. Se for, elas são perpendiculares. Faremos isso através do método do rebatimento.

  • Rebater os pontos A e B.
  • Representar a reta rebatida r'1 que passa pelos pontos A'1 e B'1
  • Rebater os pontos C e D.
  • Representar a reta s'1 que passa pelos pontos C'1 e D'1
  • Representar o ponto de concorrência das retas, P
  • Verificar a cota do ponto P(1,7). Como as retas pertencem ao mesmo plano projetante, são concorrentes no Ponto P de cota 1,7. Use o link abaixo para visualizar este exemplo em 3D.
Visualização em 3D

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📏 📐 Resolução

Devemos verificar se as retas são concorrentes ou ortogonais, para isso basta verificar se o ponto se o ponto onde as retas se cruzam na projeção, possui cota 2 na reta s.

  • Rebater os pontos A e B.
  • Verificar a cota do ponto de intersecção das projeções, medindo o segmento. Verificamos que a cota do ponto P é 1,7, portanto as retas são ortogonais.
📏 📐 Resolução

Como as retas são concorrentes, basta verificar se o ângulo entre elas é 90°, se for, elas são perpendiculares. Faremos isso através do método do rebatimento.

  • Rebater os pontos: A, B, C e D e representar as retas r e s, rebatidas
  • Verificar o ângulo entre as retas rebatidas: 111°
📏 📐 Compreenda a construção:

Das relações métricas no triângulo retângulo, temos que:

h²=n.m, analogamente, no triângulo da figura abaixo: u²=Ir.Is, sendo a unidade de cota igual a 1, temos que: 1²=Ir.Is, ou seja Ir=1/Is.

Visualização em 3D: perpendiculares
Visualização em 3D: ortogonais

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📏 📐 Resolução

Para encontrar o intervalo da reta s, perpendicular à reta r, utilizamos o intervalo inverso.

  • Como a diferença de cotas entre os pontos A e B é 1, a distância A'B' é o intervalo da reta r, I'r
  • Traçar a perpendicular à reta r' pelo ponto B' e sobre ela marcar uma unidade de cota, obtendo o ponto B'1
  • Unir esse ponto ao ponto A', obtendo a reta r rebatida, r'1 .
  • Traçar pelo ponto B'1 uma reta perpendicular à r'1, obtendo o Intervalo da reta s.
  • Pegar com o compasso o intervalo da reta s, Is para encontrar mais um ponto da reta s.
  • Com a ponta seca em P',obter o ponto Q'1(0). Lembre-se que nas retas perpendiculares, os intervalos crescem em sentidos opostos, dessa forma, escolhendo-se o ponto à esquerda do ponto P, ele terá conta inferior à cota de P, enquanto que se escolher o ponto à direita de P, ele terá a cota maior do que a cota de P.
  • A cota do ponto Q é 2.
📏 📐 Exercício proposto 3.3

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📏 📐 Resolução

Como os planos projetantes das retas são paralelos, então suas projeções são paralelas.

  • Traçar s' paralela a r', passando por P'
  • Como as cotas dos pontos A e B são consecutivas, então a distância A'B' é o Intervalo da reta r, Ir.
  • Rebater o ponto B, obtendo o ponto B'1 e a reta r'1
  • Pelo ponto B'1 traçar a reta perpendicular à reta r'1, obtendo o Intervalo da reta s, Is.
  • Transferir o intervalo Is para a reta s', obtendo o ponto Q'. Lembre-se que as cotas dos pontos P' e Q' crescem no sentido oposto ao crescimento da reta r.
📏 📐 Solução

Como os planos projetantes das retas são paralelos, então suas projeções são paralelas. Observe que a diferença de cotas entre os pontos A e B, é de 3 unidades de cota, assim, ao rebater o ponto B, marcamos 3 unidades de cota (3cm) e o segmento entre A' e B' representa 3 intervalos da reta r, que chamamos de 3Ir, obtendo o ponto B'1.

Ao traçar a perpendicular à reta rebatida, r'1, pelo ponto B'1, obtemos 3 intervalos da reta s, que chamamos de 3Is. Quando transportamos esse intervalo para a reta s, devemos lembrar que em retas ortogonais, as cotas crescem em sentidos opostos.
📏 📐 Exercício proposto 3.4

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4. Representações de planos

Material da página 52 até a página 72.

Use o link abaixo para visualizar em 3D as representações de um plano α(A,B,C) por 3 pontos não colineares, α(r,C) por um ponto e uma reta que não se pertencem, α(r,s) por duas retas concorrentes ou α(s,t) por duas retas paralelas.
Visualização em 3D
b) Para determinar o plano horizontal é necessário apenas um ponto, pois já possuímos a informação de que o plano é paralelo ao plano de projeção π'.
c) As retas contidas no plano horizontal são horizontais.
d) Uma figura contida no plano horizontal tem sua projeção em VG.
e) A reta perpendicular ao plano horizontal é perpendicular ao plano π', portanto é uma reta vertical.
f) A condição para que um ponto pertença ao plano horizontal é que sua cota tenha o mesmo valor da cota do plano α.
g) O traço de uma reta sobre o plano é um ponto rα, cuja projeção tem cota igual à cota do plano.

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📏 📐 Resolução

A pirâmide possui base quadrada e como está no plano horizontal, todos os pontos possuem a mesma cota e o quadrado está representado em Verdadeira Grandeza (VG). Como a pirâmide é regular, sua altura é perpendicular à base e passa pelo centro da base.

  • Desenhar o quadrado em VG, obtendo os pontos C'e D'. Observe que é possível representar dois quadrados, uma para cima do segmento A'B' e outro para baixo. Vamos escolher a posição para baixo, pois tem mais espaço para desenhar. As cotas dos pontos C e D são iguais à cota do plano, ou seja, (3).
  • Encontrar o centro da base, como a base é um quadrado, seu centro é o ponto de encontro das diagonais, assim traçamos as diagonais do quadrado e encontramos a projeção do centro que chamamos de O', sua cota é igual à cota do plano, pois pertence ao plano horizontal.
  • A reta perpendicular ao plano horizontal é uma reta vertical, assim sua projeção é um ponto, que coincide com O'. A altura da pirâmide pode ser marcada acima ou abaixo do plano horizontal de cota 3, vamos considerar a solução acima do plano, marcando o vértice V, que está localizado à 4,3cm do plano, porém sua projeção coincide com a projeção do ponto O' e sua cota é 7,3, pois é a cota do plano (3) somada à altura da pirâmide 4,3.
Visualização em 3D
📏 📐 Resolução

A pirâmide possui base hexagonal e como está contida no plano horizontal, todos os pontos possuem a mesma cota e o hexágono está em Verdadeira Grandeza (VG).

  • Desenhar o hexágono em VG, obtendo os pontos C', D', E' e F'. Observe que é possível representar dois hexágonos, uma para a direita do segmento A'B' e outro para a esquerda. Vamos escolher a posição para direita, pois tem mais espaço para desenhar. As cotas dos pontos C, D, E e F são iguais à cota do plano, ou seja, (1).
  • Unir cada vértice da base com o vértice da pirâmide V. Observe que as projeções dos pontos D e E, estão por baixo das outras faces da pirâmide, logo são invisíveis e, portanto, representados com linhas trajecadas.
Visualização em 3D

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📏 📐 Exercício proposto 4.1

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Use o link abaixo para a visualização em 3D do rebatimento do plano vertical.
Visualização em 3D
📏 📐 Rebatimento do plano

Vamos rebater o plano vertical para encontrar a VG de uma figura.

  • Para encontrar a VG do triângulo ABC, rebatemos o plano α, para isso, rebatemos cada ponto do triângulo.
  • Obter a figura em VG: A'1B'1C'1 que é a verdadeira grandeza do triângulo ABC.
b) Para determinar o plano vertical são necessários apenas dois pontos, pois já possuímos a informação de que o plano é perpendicular ao plano de projeção π'
c) As retas contidas no plano vertical são: reta vertical, reta horizontal e reta qualquer.
d) Uma figura contida no plano vertical não tem sua projeção em VG, assim precisamos utilizar o método do rebatimento para determinar a VG de uma figura contida nesse plano.
e) A reta perpendicular ao plano vertical é paralela ao plano π', portanto é uma reta horizontal.
f) A condição para que um ponto pertença ao plano é que sua projeção pertença ao traço do plano απ'
g) O traço de uma reta sobre o plano é um ponto rα, cuja projeção está contida em απ'.

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📏 📐 Resolução
  • Para desenhar a base da pirâmide, precisamos rebater o plano vertical, que contém os vértices A e B.
  • Obter a figura em VG: A'1B'1C'1.Obter as projeções dos pontos C e D e suas cotas.
  • Como é uma pirâmide reta, a altura passa pelo centro da base, assim devemos encontrar o ponto O'1 e medir sua cota.
  • A reta que contem a altura é uma reta horizontal, pois é perpendicular ao plano α, que é vertical, assim para marcar a altura, traçamos uma reta perpendicular ao traço do plano απ' e marcamos a altura da pirâmide (4). Observe que a cota do ponto V é igual a cota de O, já que a reta OV é horizontal, V'(3,4).
  • Traçar as arestas da pirâmide, o ponto A que possui a menor cota é invisível, por isso o representamos com linha tracejada.
Visualização em 3D
📏 📐 Solução

A resolução desse exercício é semelhante ao anterior, apenas a base é diferente.Observe que as alturas são retas horizontais e, portanto, possuem a mesma cota.

Os pontos com as cotas mais baixas são invisíveis na projeção, pois estão por baixo das faces do sólido e portanto representados com linhas tracejadas. Use o link abaixo para visualizar o sólido em 3D.
Visualização em 3D

3. Represente a projeção cotada de uma pirâmide reta de base hexagonal regular, sabendo-se que a base ABCDEF está contida no plano vertical definido por A(4; 8; 2,5) e B(6; 4; 1) e a altura mede h = 5cm.

📏 📐 Exercício proposto 4.2

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Propriedades:
a) Quantidade de pontos que determinam o plano: 3 pontos não colineares
b) Retas contidas no plano: Reta horizontal e reta qualquer
c) VG: uma figura contida no plano qualquer não apresenta VG na projeção, devemos usar o rebatimento que será visto mais a frente.
d) Reta perpendicular: a reta perpendicular ao plano qualquer é uma reta qualquer
e)Pertinência de ponto ao plano: para que um ponto pertença ao plano, ele deve pertencer a uma das retas do plano.
f) Traço: o traço do plano qualquer no plano de projeção π' é uma reta horizontal de cota zero.

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📏 📐 Resolução

Para que a reta esteja contida no plano, ela deve ser concorrente com duas retas do plano.

  • Nesse caso, o mais simples é considerar a reta que passa pelos pontos A e B, pois estes pontos pertencem ao plano, logo a reta que passa por eles também pertence ao plano.
📏 📐 Resolução
  • Para que a reta r seja paralela à reta b, deve satisfazer 3 condições: r'//b', Ir=Ib, as graduações das retas a e r devem crescer no mesmo sentido. Traçar r' paralela à b' passando por A'.
  • Como os intervalos devem ser iguais, tomamos a distância de C' até B'.
  • Marcamos essa distância a partir do ponto A', obtendo o ponto D'. Como os intervalos devem ser iguais e as cotas devem crescer o mesmo sentido, a cota do ponto D' é 5.

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📏 📐 Resolução

Para que um ponto pertença a um plano, ele deve pertencer a uma das retas do plano. Seguimos os mesmos passos do exercício anterior. conduzimos pelo ponto P uma reta que seja concorrente com as duas retas do plano ou que seja concorrente com uma e paralela à outra e verificamos se essa reta pertence ao plano.

Traçar a reta que passa pelo ponto A e pelo ponto P e verificar se ela pertence ao plano, ou seja, devemos verificar se a reta é concorrente com a reta b, pois com a reta a ela é, já que passa pelo ponto A que, certamente pertence ao plano. Assim, devemos verificar se o ponto de interseção, Q', entre a reta traçada r'(A'P') com a reta b, possui a mesma cota nas duas retas. Rebatemos então a reta r e a reta b.

  • Traçar a reta que passa pelos pontos A' e P', chamamos esta reta de r'. Obtemos o ponto Q', interseção de r' com b'.
  • Rebater a reta b, ou seja, rebatemos os pontos C e B, obtendo a reta b'1.
  • Verificamos a cota do ponto Q sobre a reta b, chamamos esse ponto de Q'r. O ponto Q possui cota 5 sobre a reta b.
  • Rebater a reta r, ou seja, rebater os pontos A e P.
  • Verificamos que a cota do ponto Q sobre a reta r, também é 5. Logo as retas r e b são concorrentes, portanto a reta r pertence ao plano e o ponto P também pertence ao plano.
📏 📐 Resolução

Neste exercício vamos utilizar uma reta r, concorrente com a reta a e paralela à reta b. Traçar a reta que passa pelo ponto P, é paralela à reta b e concorrente com a reta a.

Para que a reta r seja paralela à reta b, são necessárias 3 condições:

• As projeções devem ser paralelas;

• Os intervalos devem ser iguais;

• As graduações devem crescer no mesmo sentido.

  • Traçar r' paralela à b'.
  • Tomamos o intervalo B'C' e marcamos a partir de P', obtendo o ponto Q'. Assim a reta r é paralela à reta b.
  • Rebatemos a reta a, obtendo a'1.
  • Verificamos que a cota do ponto de interseção das retas M' é 6.3. Na reta r', esse ponto não tem a mesma cota, pois o ponto P tem cota 6, assim as retas r e a não são concorrentes e portanto não são coplanares, desta forma o ponto P não pertence ao plano.

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📏 📐 Resolução

Para verificar se a reta r pertence ao plano α, devemos verificar se ela é concorrente com duas retas do plano. Dessa forma, iremos verificar se a reta r é concorrente com as retas a e b

  • Rebater a reta a. O ponto de interseção entre as retas r e a é o ponto M. Rebatemos então o ponto M sobre a reta a e verificamos que sua cota na reta a é 3.5.
  • Rebatemos a reta r e verificamos que a cota do ponto M sobre a reta r, também é 3.5, ou seja o ponto M possui a mesma cota na reta a e na reta r, portanto as retas r e a são concorrentes.
  • Rebatemos a reta b. O ponto de intereseção entre as retas r e b é o ponto N. Rebatemos então o ponto N sobre a reta b e verificamos que sua cota na reta b é 5.
  • Rebatemos a reta r e verificamos que a cota do ponto N sobre a reta r, também é 5, ou seja o ponto N possui a mesma cota na reta b e na reta r, portanto as retas r e b são concorrentes. Concluímos que a reta r é concorrente com a reta a no ponto M(3.5) e com a reta b no ponto N(5), logo a reta r pertence ao plano α, definido pelas retas a e b.
📏 📐 Solução

Vamos seguir os passos do exercício anterior, ou seja, vamos verificar se os pontos M e N são interseções das retas r com a e r com b, respectivamente. Para isso rebatemos as retas a e r, e b e r. Se o ponto M tiver a mesma cota nas retas a e r, significa que as retas a e r são concorrentes e se o ponto N tiver a mesma cota nas retas r e b, as retas r e b são concorrentes, portanto se a reta r for concorrente com as retas a e b, ela pertence ao plano por elas definido.

Observamos que a cota do ponto M é a mesma nas retas a e r, portanto a reta r é concorrente com a reta a, porém o ponto N tem cota 5.4 na reta b e 5.2 na reta r, logo as retas r e b são reversas, e portanto, a reta r não pertence ao plano α.

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📏 📐 Resolução

Como as retas horizontais possuem a mesma cota, basta encontrar dois pontos do plano que possuam a mesma cota. Basta encontrar mais um ponto do plano de cota 2,5, assim, vamos graduar a reta que passa pelos pontos A e C, para encontrar o ponto dela que possua cota 2,5.

  • Vamos usar Tales para graduar a reta AC, encontramos os pontos de cota 2 e 2,5.
  • Unir o ponto de cota 2,5 com o ponto B, essa é a horizontal do plano que passa pelo ponto B.
📏 📐 Resolução

Para encontrar o traço do plano α sobre o plano π', basta encontrar sua horizontal de cota 0. Para isso, devemos encontrar dois pontos do plano de cota 0.

  • Encontrar o zero da reta A'B', para isso graduar a reta.
  • Graduar a reta A'C', encontramos o intervalo da reta A'C'.
  • Tomamos o intervalo da reta A'C' com o compasso.
  • Com essa medida encontramos o ponto da reta que tem cota 1.
  • Marcando mais uma vez esse intervalo, encontramos o ponto da reta que possui cota 0.
  • Unindo os dois pontos do plano que possuem cota zero, temos o traço do plano α sobre o plano π'

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📏 📐 Exercício proposto 4.3
📏 📐 Resolução

Para que um ponto pertença ao plano, ele deve estar em uma das retas do plano.

  • Representar o plano por duas retas, nesse caso, optamos por representar o plano pelas retas A'C' e A'B', as quais chamamos respectivamente de r' e s'.
  • Pelo ponto P conduzimos uma reta que passe por um dos pontos que definem o plano, nesse caso optamos conduzir a reta passando pelos pontos P e C, a qual chamaremos de t'. Ao ponto de interseção das retas t' e s', damos o nome de Q'.
  • Verificar a cota do ponto Q para que pertença à reta s. Para isso, rebatemos a reta s e o ponto Q. Verificamos que a cota do ponto Q é 5.7.
  • Com a cota do ponto Q, já temos a reta t definida. Agora basta encontrar a cota do ponto P, rebatendo a reta t, rebatendo os pontos C e Q.
  • Medimos a cota do ponto P, e verificamos que é 9.

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Use o link abaixo para visualizar em 3D a reta de declive de um plano.
Visualização em 3D
📏 📐 Resolução
  • Representar uma reta do plano, por exemplo a reta a(A,B). Obs: para garantir que o resultado esteja dentro da folha de trabalho recomenda-se escolher a reta definida pelos ponto de maior e menor cota.
  • Graduar a reta a(A,B) utilizando, por exemplo, o Teorema de Tales.
  • Definir o ponto de cota 4 da reta a(A,B): D(4).
  • Encontrar a reta horizontal de cota 4 do plano α unindo os pontos C e D.
  • Representar as horizontais de cota 3 e 5 do plano α. Obs: as horizontais de um plano são paralelas entre si.
  • Traçar uma reta perpendicular às horizontais do plano. Esta reta é a reta de maior declive. Obs. Não esqueça de marcar no mínimo 2 pontos desta reta para defini-la.
📏 📐 Resolução

Num plano existem infinitas retas, se o plano for qualquer estas retas podem ser horizontais ou quaisquer.

  • Sabemos que as retas horizontais de um plano são perpendiculares as suas retas de maior declive, portanto para encontrar a horizontal de cota 2(h2) basta encontrar uma reta perpendicular à reta dα pelo ponto A(2).
  • Se conduzirmos pelo ponto B(4) uma reta perpendicular à reta dα teremos a horizontal de cota 4(h4) do plano α.
  • Podemos definir um ponto C(2) do plano. Ele deve pertencer à reta h2.
  • Podemos definir um ponto D(4) do plano. Ele deve pertencer à reta h4.
  • Unindo os pontos C(2) e D(4) temos uma reta qualquer no plano, r(C,D).

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📏 📐 Resolução

O ângulo que um plano forma com o plano de projeção é igual à inclinação de uma de suas retas de maior declive.

  • Encontrar a projeção auxiliar do ponto A.
  • Encontrar a projeção auxiliar do ponto B.
  • Unindo A1 e B1 temos a reta d'α1 que corresponde a projeção auxiliar da reta dα
  • O ângulo formado pela projeção da reta de maior declive d'α com sua projeção auxiliar d'α1 é o ângulo que o plano α forma com o plano de projeção π'.
📏 📐 Resolução

Representar uma reta do plano, por exemplo a reta definida pelos pontos B e C.

  • Para garantir que o resultado esteja dentro da folha de trabalho recomenda-se escolher a reta definida pelos pontos de maior e menor cota.
  • Graduar a reta definida pelos pontos B e C utilizando, por exemplo, o Teorema de Tales.
  • Unindo o ponto de cota 3 desta reta com o ponto A, também de cota 3, temos a horizontal de cota 3 do plano α.
  • Representar as horizontais de cota 5 e -2 do plano α. Obs. As horizontais de um plano são paralelas entre si.
  • Traçar uma reta de maior declive do plano (d'α) e identificar no mínimo dois pontos desta reta. Os pontos D, E e F são pontos desta reta. Obs: As retas de maior declive de um plano são perpendiculares às horizontais do plano.
  • Encontrar a projeção auxiliar da reta de maior declive.
  • O ângulo que o plano α(A, B, C) forma com o plano π' é o ângulo formado pela projeção da reta de maior declive com sua projeção auxiliar.

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📏 📐 Resolução

O ângulo que um plano forma com o plano de projeção (inclinação) é igual a inclinação de uma de suas retas de declive.

Vimos que uma reta de declive de um plano qualquer é suficiente para representá-lo. Neste exercício conhecemos a projeção de uma de suas retas de declive assim como de um de seus pontos, porém para definir uma reta precisamos de um segundo ponto. A solução consiste em encontrar este segundo ponto.

  • Encontrar uma reta que forma ângulo de 60° com a projeção da reta de declive do plano α.
  • A bissetriz do ângulo de 60° corresponde a projeção da reta de declive rebatida d'α1.
  • Sobre a reta de declive rebatida d'α1 marcamos um ponto B'1.
  • A partir de B'1 traçamos uma reta perpendicular à d'α1 e encontramos B' sobre d'α1. Medimos a distância entre B' e B'1 que corresponde à cota do ponto B. A reta de declive fica então definida pelos pontos A e B e forma 30° com π'.
📏 📐 Resolução

Vamos resolver o exercício encontrando uma das retas de declive do plano α. Sabemos que uma reta de declive define um plano qualquer e a sua inclinação corresponde à inclinação do plano.

  • Sobre a reta h'2 marcamos um ponto A'(2). Conduzimos por A'(2) a projeção de uma das retas de declive do plano α d'α. Obs: As retas de declive de um plano são perpendiculares às retas horizontais do plano.
  • Encontramos uma reta que forma ângulo de 60° com a projeção da reta de declive do plano α d'α. Esta reta é a reta de declive rebatida d'α1.
  • Sobre d'α1 definimos um ponto B'1.
  • A partir de B'1 traçamos uma reta perpendicular à d'α e encontramos B' sobre d'α. Medimos a distância entre B' e B'1 que corresponde à cota do ponto B.
  • A reta de declive fica então definida pelos pontos A e B e forma 60° com π'.

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Use o link abaixo para visualizar em 3D o processo do rebatimento de um plano qualquer α sobre π.
Visualização em 3D

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📏 📐 Resolução

O triângulo ABC está contido em um plano qualquer α e sua projeção não está em verdadeira grandeza (VG). Para encontrar a VG de uma figura contida num plano qualquer devemos efetuar o rebatimento do mesmo sobre o plano horizontal π , ou sobre um outro plano paralelo à π, ou seja vamos transformar o plano qualquer em um horizontal.

  • Marcar os pontos A, B e C em épura.
  • Unindo A' com B' temos απ' que poder ser considerado o eixo do rebatimento. Obs: Para rebater um plano qualquer precisamos definir um eixo de rebatimento, que deve ser uma reta horizontal do próprio plano. Neste caso, os pontos A e B têm cota 0, logo definem a horizontal de cota zero do plano π, ou seja, definem o traço do plano απ
  • Encontrar A'1 e B'1. Obs: Pontos do eixo permanecem no mesmo lugar quando rebatemos um plano. Os pontos A e B pertencem ao eixo, logo A'≡A'1 e B'≡B'1.
  • Conduzir por C' uma reta perpendicular ao eixo. Na interseção desta reta com o eixo temos o ponto O'C. Obs: Pontos que não pertencem ao eixo de rebatimento se deslocam perpendicularmente a este.
  • Construir o triângulo de rebatimento para o ponto C: C'C'0O'C. Obs: O cateto C'C'0 tem tamanho igual à cota do ponto C pois, neste caso, temos como eixo do rebatimento o traço do plano απ.
  • Com centro em O'C, descrever um arco de circunferência de raio igual à hipotenusa do triângulo do rebatimento, ou seja com raio O'CC0. Encontrar o ponto C rebatido C'1 na interseção deste arco com a reta perpendicular ao eixo.
  • Unir A'1, B'1 e C'1 que é a VG do triângulo ABC.
📏 📐 Resolução

O triângulo ABC está contido em um plano qualquer e sua projeção não está em verdadeira grandeza (VG). Para encontrar a VG de uma figura contida num plano qualquer devemos efetuar o rebatimento do mesmo sobre o plano horizontal π', ou sobre um outro plano paralelo à π', ou seja vamos transformar o plano qualquer em um horizontal.

  • Marcar os pontos A, B e C em épura.
  • Para rebater um plano qualquer sobre um plano horizontal precisamos definir um eixo de rebatimento, que pode ser qualquer reta horizontal do plano. Utilizando o Teorema de Tales definimos um ponto D'(30) sobre a reta definida pelos pontos A'(70) e C'(10).
  • Definimos a reta horizontal h'30 do plano definido pelos pontos A, B e C. Pelo ponto C'(10) podemos conduzir a reta horizontal h'10 do plano, que vamos considerar como eixo do rebatimento. Obs: As horizontais de um plano são paralelas entre si.
  • O ponto C pertence ao eixo, logo C'≡C'1. Os pontos A e B se deslocarão perpendicularmente ao eixo do rebatimento. Definimos os pontos O'A e O'B nas interseções do eixo com as perpendiculares ao eixo que passam por A e B respectivamente.
  • Para rebater o ponto A, vamos construir o triângulo de rebatimento para este ponto: A'A'0O'A. O cateto A'A'0 tem tamanho igual à diferença de cotas entre o ponto A e o eixo de rebatimento.
  • Com centro em O'A, descrevemos um arco de circunferência de raio igual à hipotenusa do triângulo do rebatimento, ou seja com raio O'AA0. Uma das interseções deste arco com a reta perpendicular ao eixo, que passa pela projeção do ponto A nos dá o ponto A'1.
  • Precisamos agora rebater o ponto B. Podemos repetir o processo utilizado para rebater o ponto A ou podemos encontrar a projeção cotada da reta a(A,B): a'. Esta reta terá um ponto E sobre o eixo, logo E'≡E'1.
  • Unindo A'1 e E'1 temos a projeção a'1 da reta a o ponto B'1 estará sobre ela.
  • Unindo A1, B1 e C1 temos a VG do triângulo ABC contido num plano qualquer.

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📏 📐 Resolução

Para representar um triângulo equilátero ABC contido no plano α(A,B,P) é necessário rebater este plano para que o triângulo apresente VG.

  • Marcar os pontos A, B e P em épura. Encontrar a reta r(B,P) e definir o ponto Q'(60) desta reta. Obs: O ponto Q foi definido utilizando o Teorema de Tales.
  • Definir a horizontal h'60 unindo A' com Q'. Conduzir por P' a horizontal h'30. Esta horizontal será considerado o eixo de rebatimento. Obs: As horizontais de um plano são paralelas entre si.
  • Conduzir por A' uma reta perpendicular ao eixo. Na interseção desta reta com o eixo temos o ponto O'A. Conduzir por B' uma reta perpendicular ao eixo. Na interseção desta reta com o eixo temos o ponto O'B. Obs: Pontos que não pertencem ao eixo de rebatimento se deslocam perpendicularmente a este.
  • Construir o triângulo de rebatimento para o ponto A: A'A'0O'A e com centro em O'A, descrever um arco de circunferência de raio igual à hipotenusa do triângulo do rebatimento, ou seja com raio O'AA0. Encontrar o ponto A rebatido A'1 na interseção deste arco com a reta perpendicular ao eixo. Obs: O cateto A'A'0 tem tamanho igual à diferença de cotas entre o ponto A e o eixo do rebatimento.
  • Definir uma reta a'(A',B'). Esta reta terá um ponto comum R' com o eixo de rebatimento. Como R' pertence ao eixo, R'≡R'1. Unir R'1 com A'1 definido assim a'1. O ponto B rebatido B'1 pertence a reta a rebatida a'1.
  • Construir o triângulo equilátero A'1B'1C'1 em VG. Obs: Podemos construir dois triângulos equiláteros distintos, logo o exercício admite duas soluções.
  • O próximo passo é encontrar a projeção cotada do ponto C. Traçar por C'1 uma reta perpendicular ao eixo. Obs: Pontos que não pertencem ao eixo de rebatimento se deslocam perpendicularmente a este.
  • Definir uma reta b(B,C). Esta reta terá um ponto comum S com o eixo de rebatimento. Como S pertence ao eixo, S'≡S'1.
  • Unir S' com B' e definir a projeção cotada da reta b: b'(S',B'). O ponto C pertence a reta b, logo C' estará sobre b'.
  • Para definir a cota do ponto C, rebatemos o plano projetante da reta b(B,C) ou aplicamos o Teorema de Tales.
  • Os pontos A', B' e C' definem a projeção cotada do triângulo equilátero ABC.
📏 📐 Resolução: 1ª parte

Para representar um quadrado ABCD contido no plano α(A,B,P) é necessário rebater este plano deixando-o paralelo ou coincidente com o plano de projeção π'.

  • Marcar os pontos A, B e P em épura.
  • Encontrar a escala de declive de uma das retas do plano, por exemplo, da reta a(A,B). Definir o ponto Q(20) desta reta. Obs: O ponto Q foi definido utilizando o Teorema de Tales.
  • Definir a horizontal h'20 unindo P' com Q'. Esta horizontal será considerada como o eixo de rebatimento.
  • Conduzir por A' uma reta perpendicular ao eixo. Na interseção desta reta com o eixo temos o ponto O'A. Conduzir por B' uma reta perpendicular ao eixo. Na interseção desta reta com o eixo temos o ponto O'B. Obs: Pontos que não pertencem ao eixo de rebatimento se deslocam perpendicularmente a este.
  • Construir o triângulo de rebatimento para o ponto B (ou para o ponto A): triângulo B'B'0O'B e com centro em O'B.
  • Descrever um arco de circunferência de raio igual à hipotenusa do triângulo do rebatimento, ou seja, com raio O'BB0. Encontrar o ponto B rebatido B'1 na interseção deste arco com a reta perpendicular ao eixo conduzida por B'. Obs: O cateto B'B'0 tem tamanho igual à diferença de cotas entre o ponto B e o eixo do rebatimento.
  • Sobre a reta a'(A',B') foi encontrado o ponto Q'. Este ponto pertence à reta a e ao eixo, logo Q'≡Q'1. Podemos então encontrar a reta a1 unindo B'1 com Q'1. Sobre esta reta podemos marcar o ponto B1, pois o ponto B pertence à reta a.
  • Construir o quadrado A'1B'1C'1D'1 em VG. Obs: Podemos construir dois quadrados distintos, logo o exercício admite duas soluções.
📏 📐 Resolução: 2ª parte
  • O próximo passo é encontrar a projeção cotada dos pontos C e D. Traçar pelos pontos C'1 e D'1 retas perpendiculares ao eixo. Obs: Pontos que não pertencem ao eixo de rebatimento se deslocam perpendicularmente a este.
  • Definir uma reta b'1(C'1,D'1). Esta reta terá um ponto comum R com o eixo de rebatimento. Como R pertence ao eixo, R'≡R'1.
  • Conduzir pelo ponto R', a projeção cotada da reta b, paralelamente à projeção cotada da reta a. Obs: As retas a(A,B) eb(C,D) são paralelas, logo suas projeções serão paralelas, ou serão coincidentes, ou pontuais (propriedade 2 das projeções cilíndricas).
  • Encontrar os pontos C' e D' sobre b' e definir a projeção do quadrado.
  • Falta ainda definir as cotas dos pontos C e D. Para isso podemos, por exemplo, definir uma reta c(B,C). Esta reta tem um ponto S sobre o eixo, então S'≡S'1.
  • Aplicando o Teorema de Tales verificamos que a diferença de cotas entre os pontos B e C é de 18 unidades.
  • Logo o ponto C tem cota 88. A diferença de cotas entre os pontos A e D também será de 18 unidades, logo o ponto D tem cota 68.

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📏 📐 Solução

📏 📐 Solução

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📏 📐 Solução

📏 📐 Solução

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📏 📐 Exercício proposto 4.4

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📏 📐 Solução

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5.1. Interseções

Material da página 73 até a página 77.

📏 📐 Resolução

Dois planos são paralelos se:
- suas escalas de declive são paralelas: dα // dβ
- ou a//r e b//s onde aXb ∈ α e rXs ∈ β

  • Conduzir duas retas concorrentes do plano α, por exemplo, as retas a(A,B) e b(C,D).
  • Conduzir pelo ponto P uma reta r(P,R) paralelamente à reta a(A,B). Obs: Vimos que duas retas quaisquer são paralelas se suas projeções são paralelas (ou coincidentes), seus intervalos são iguais e suas graduações crescem no mesmo sentido.
  • Conduzir pelo ponto P uma reta s(P,S) paralela à reta b(B,C). Pronto! O plano β é paralelo ao plano α pois a//r e b//s e aXb ∈ α e rXs ∈ β.
📏 📐 Resolução

Se as retas de declive de dois planos são paralelas dα // dβ podemos afirmar que os planos são paralelos. Duas retas são paralelas quando suas projeções são paralelas, seus intervalos iguais e suas graduações crescem no mesmo sentido.

  • Conduzir pelo ponto P a projeção de uma reta de declive do plano β, paralelamente à projeção da reta de declive do plano α.
  • Medir a distância em projeção entre os pontos A e B. Obs: A diferença de cotas entre A e B corresponde a três unidades, logo a distância entre A e B corresponde a três intervalos da reta de maior declive do plano α (dα).
  • A partir da projeção do ponto P, marcamos a distância AB e encontramos um segundo ponto da reta de declive do plano β (dβ).
  • Definimos então o ponto Q. A diferença de cotas entre os pontos P e Q deve ser de três unidades e deve crescer no mesmo sentido que a graduação da reta de declive do plano α. Pronto! O plano β é paralelo ao plano α pois suas escalas de declive são paralelas: dα // dβ.

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📏 📐 Solução

A projeção da interseção entre um plano horizontal e um plano vertical coincide com o traço do plano vertical em π'.

Trata-se de uma reta horizontal com a cota igual à cota do plano horizontal: neste caso, a cota é do plano é igual à cota do ponto A, com 3 unidades.
Visualização em 3D
📏 📐 Resolução

Considerando o plano horizontal α definido pelo ponto A, vamos encontrar a reta horizontal do plano qualquer β com cota igual à cota de A.

  • Temos os pontos de cotas iguais a 3 e 4: logo, a distância entre B'(4) e C'(3) é o intervalo do plano. Marcando este intervalo ao lado do ponto B'(4), temos o ponto D'(5).
  • A interseção (αβ)' será a horizontal de cota 5 do plano β.
Visualização em 3D

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📏 📐 Solução

A projeção da interseção entre dois planos verticais será a reta vertical que coincide com a interseção dos traços απ' e βπ'.

📏 📐 Resolução

Considerando o plano vertical definido pelo traço απ', vamos encontrar duas retas horizontais do plano qualquer β.

  • Podemos construir a reta horizontal do plano β com cota 2, que passa pelo ponto A'(2).
  • A interseção desta reta horizontal com απ' é um dos pontos de interseção dos planos P'(2).
  • Construa a reta horizontal do plano β com cota 1, que passa pelo ponto B'(1).
  • A interseção desta reta horizontal com απ' é o segundo ponto de interseção dos planos Q'(1).
  • A interseção (αβ)' será a reta qualquer (αβ)' ≡ απ', definida pelos pontos P e Q.
Visualização em 3D
Use o link abaixo para visualizar em 3D a interseção entre dois planos quaisquer
Visualização em 3D

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📏 📐 Resolução

Para encontrar a reta comum a dois planos quaisquer utilizamos planos horizontais auxiliares e encontramos as retas comuns aos dois planos quaisquer com os planos horizontais auxiliares, ou seja, encontramos retas horizontais dos planos quaisquer.

  • Pelo ponto A, que tem cota 3, podemos conduzir a horizontal do plano α de cota 3: hα3. Pelo ponto B, que tem cota 2, podemos conduzir a horizontal do plano α de cota 2: hα2. Obs: As horizontais de um plano são perpendiculares às retas de declive deste plano.
  • Pelo ponto C, que tem cota 2, podemos conduzir a horizontal do plano β de cota 2: hβ2. Pelo ponto D, que tem cota 3, podemos conduzir a horizontal do plano β de cota 3: hβ2.
  • As retas hα2 e hβ2 tem um ponto em comum: X'(2). As retas hα3 e hβ3 tem um ponto em comum: Y'(3). Obs: Estes pontos pertencem aos dois planos dados.
  • Pronto! A reta comum aos planos α e β fica definida pelos pontos X'(2) e Y'(3): αβ(X,Y).
📏 📐 Resolução

Conforme visto no exercício anterior, para encontrar a reta comum a dois planos quaisquer utilizamos planos horizontais auxiliares e encontramos as retas comuns aos dois planos quaisquer com os planos horizontais auxiliares.

  • Pelo ponto A, que tem cota 3, podemos conduzir a horizontal do plano α de cota 3: hα3. Pelo ponto B, que tem cota 2, podemos conduzir a horizontal do plano α de cota 2: hα2. Obs: As horizontais de um plano são perpendiculares às retas de declive deste plano.
  • Pelo ponto C, que tem cota 2, podemos conduzir a horizontal do plano β de cota 2: hβ2. Pelo ponto D, que tem cota 3, podemos conduzir a horizontal do plano beta de cota 3: hβ3.
  • As retas hα2 e hβ2 têm um ponto em comum: X'(2). As retas hα3 e hβ3 têm um ponto em comum: Y'(3). Obs: Estes pontos pertencem aos dois planos dados.
  • A reta comum aos planos alfa e beta fica então definida pelos pontos X'(2) e Y'(3): αβ(X,Y).
  • Como os intervalos dos dois planos são iguais a projeção da reta comum aos planos vai coincidir com a bissetriz das horizontais.
📏 📐 Resolução

Como as projeções das retas de declive dos dois planos são paralelas, a reta comum será uma reta horizontal.

  • Fazer com que as duas retas de declive tenham projeções coincidentes. Para isso vamos projetar a reta de declive do plano α sobre o plano projetante da reta de declive do plano β: d'α0≡d'β. Obs: Ao projetar um ponto sobre um plano projetante, ele se desloca perpendicularmente ao traço do plano e sua cota não se altera.
  • Rebater o plano projetante da reta de declive do plano β e encontrar d'β1. Como a reta de declive do plano α foi projetada sobre este plano, a reta d'α1 também será encontrada.
  • Como a reta αβ é horizontal, sua projeção αβ'1 fica reduzida a um ponto e está na interseção das retas d'β1 e d'α1.
  • A partir de αβ'1 conduzir a projeção αβ' da reta comum aos planos, perpendicularmente às retas de declive. Esta reta é horizontal e sua cota corresponde a distância entre αβ'1 e o plano projetante do plano β.
Visualização em 3D

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📏 📐 Solução

📏 📐 Solução

📏 📐 Exercício Proposto 5.1

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5.2. Representações de telhados

Material da página 78 até a página 95.

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Use o link abaixo para visualizar em 3D os elementos de um telhado
Visualização em 3D

👓 Realidade Aumentada e Realidade Virtual

Você pode acessar os recursos de RA e RV das representações de telhados usando o seguinte endereço:

https://paulohscwb.github.io/cotadas/telhados.html

Os telhados modelados em 3D aparecem sobre as coordenadas da apostila. Você pode usá-los para conferir as construções ou apenas visualizar os modelos em 3D.

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📏 📐 Resolução
  • Construa duas retas perpendiculares.
  • Marque sobre uma delas uma unidade de cota de 1m. Como a escala é 1:100 essa unidade será representada por 1cm.
  • Apoie ângulo de 30° do esquadro de 30/60 sobre o lado do ângulo reto. Encaixe o outro esquadro no cateto menor.
  • Deslize o esquadro de 30/60 até que sua hipotenusa passe pela extremidade do segmento u. Desenhe a reta que fornece o ângulo de 30°.
  • Você obteve o Intervalo para 30° graficamente numa escala 1:100.
  • Agora vamos obter as horizontais de α. Note que a reta r(A,B) é uma horizontal de α de cota (2) e que a reta s é uma horizontal de β de cota (2). Temos que obter agora mais uma horizontal de cada plano.
  • Construa uma reta de declive de α, marque sobre ela o Intervalo de 30° obtendo um ponto de cota (3) e construa a horizontal de α de cota 3.
  • Agora construa uma reta de declive de β, marque sobre ela o Intervalo de 30° obtendo um ponto de cota (3) e construa a horizontal de β de cota 3.
  • Marque o ponto P'(2) na interseção das horizontais de cota (2) e o ponto Q na interseção das horizontais de cota (3). Os pontos P e Q definem a reta de interseção αβ procurada. Como as horizontais de α e β são concorrentes a interseção será uma reta do tipo qualquer. Se fossem paralelas seria uma reta do tipo horizontal. Esse exercício tem 4 soluções possíveis.
  • Como as inclinações são iguais temos que a projeção da interseção αβ é a bissetriz do ângulo formado entre as horizontais, ou seja, os ângulos δ e θ são iguais! Lembre-se que não podemos apenas construir a bissetriz do ângulo mas temos que obter os pontos que definem a reta!

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📏 📐 Resolução: 1ª parte

Para simplificar a notação vamos denominar cada água do telhado por letras minúsculas do nosso alfabeto. Os lados da poligonal que representa a planta da cobertura são horizontais de cota 2 de cada água.

  • Vamos determinar as interseções das águas da cobertura dada. Como as todas as águas possuem a mesma inclinação utilizaremos o processo das bissetrizes. Construa as bissetrizes de cada ângulo interno da poligonal, obtendo os segmentos (ad), (ab), (bc) e (cd). Eles são as projeções de algumas das interseções entre as águas do telhado.
  • Vamos escolher o lado d da poligonal e prolongar a bissetriz (cd), note que ela encontra o prolongamento da bissetriz (ad) antes de encontrar qualquer outro prolongamento de outra bissetriz.
  • Desenhe a bissetriz (cd) até que encontre a bissetriz (ad). Esse ponto de interseção (acd) pertence às duas bissetrizes e, portanto, pertence às águas a, d e c. Assim, esse ponto pertenceà interseção entre as águas a e c, que ainda não foi obtida.
  • Agora podemos escolher o outro lado b da poligonal e prolongar a bissetriz (bc) até que encontre outra bissetriz mais próxima, no caso será (ab), obtendo o ponto (abc). Esse ponto de interseção (abc) pertence às águas a, b e c. Assim, esse pontopertence à interseção entre a e c.
  • Desenhe o segmento unindo os pontos (acd) e (abc), esta será a interseção entre as águas a e c. Pronto! Temos as projeções das interseções das águas desse telhado.
  • Este telhado possui uma cumeeira (ac) e quatro espigões (ad), (ab), (bc) e (cd). Para obtermos a cota da cumeeira basta obter a cota de qualquer ponto desse segmento, vamos escolher o ponto P≡(acd). Construa reta de declive d’a por P, marque o ponto Q(2) sobre a ha(2).
📏 📐 Resolução: 2ª parte
  • Obtenha graficamente o I30° na escala 1:100 desenhando o triângulo retângulo como fizemos no exercício anterior. Agora gradue a reta de declive da água a obtendo pontos de cotas 3, 4 e 5. Podemos estimar visualmente a cota do ponto P que será em torno de 4,2 metros.
  • Para obter a cota exata do ponto P vamos rebater o segmento RQ sobre um plano horizontal de cota 2. Rebata o ponto R obtendo R1, lembre-se de marcar a diferença de cotas entre R e Q que é 3 metros. O ponto Q’ coincide com Q’1.
  • Represente o segmento R’1Q’1 que nos dá a VG de RQ. Por P’ trace uma perpendicular a d’a obtendo sobre R’1Q’1 o ponto P’1. A cota do ponto P será 2,2+2 = 4,2 metros.
  • Vamos obter a declividade do espigão (bc). Vamos chamar o ponto (abc) de S. Lembre-se que a cota de S é a mesma que a de P. A declividade do espigão (bc)=CS é: de(bc)=de(CS)=dV / dH. Temos dV=|cota(S) – cota(C)|=4,2 – 2=2,2m, e dH=C’S’=5,4m. Portanto, de(bc)=de(CS)=tg(θbc)=dV/dH= 2,2 / 5,4=0,407=40,7%.
  • Vamos obter também graficamente a VG do espigão (bc). Rebata os pontos C e S sobre um plano horizontal de cota 2, obtendo os pontos C’2 e S’2. Esse segmento nos dá a VG do espigão (bc) = 5,8m. Nessa figura temos também o ângulo θ = 22° que o espigão forma com π’. Note que não é o mesmo ângulo que as águas do telhado formam com π’!
  • Agora vamos obter a área da água a rebatendo a figura ABSP sobre um plano horizontal de cota 2. Escolhemos como eixo a reta ha(2), assim A’≡A’3e B’≡B’3. O ponto rebatido P’3 estará na interseção da reta d’a com a circunferência de centro Q’ e de raio sendo a VG de PQ (que já temos).
  • Para obtermos o ponto S rebatido basta lembrar que a cumeeira (ac)≡PS é horizontal e após o rebatimento P’3S’3 ficará paralela ao eixo. Assim, S’3 estará na interseção da reta perpendicular ao eixo que passa pelo ponto S’ e da paralela ao eixo que passa pelo ponto P’3.
  • Basta agora calcular a área da figura A’3B’3S’3P’3 que está em VG. Dividindo a figura em dois triângulos e um retângulo temos que S(F1) = S(F3) = 3,8 x 4,4 / 2 = 8,36m² e S(F2) = 2,3 x 4,4 = 10,12m², fornecendo a área total de 26,84m². Use o link abaixo para visualizar o telhado em 3D
  • Para indicar o sentido de escoamento das águas desenhamos setas no sentido de decrescimento da reta de declive de cada água. Lembre-se que essa direção é sempre perpendicular às horizontais do plano!
Visualização em 3D

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📏 📐 Bissetrizes

Vamos determinar as interseções das águas da cobertura dada. Como todas as águas possuem a mesma inclinação utilizaremos o processo das bissetrizes. Elas são as projeções de algumas das interseções entre as águas do telhado. Acompanhe o traçado das bissetrizes utilizando os esquadros. Nomeie os vértices da poligonal de A a F.

  • Como temos ângulos de 90° na poligonal vamos utilizar o esquadro de 45° para construir as bissetrizes. Coloque a hipotenusa do esquadro de 30/60 sobre o lado A’B’.
  • Coloque o esquadro de 45 como apoio no cateto do esquadro de 30/60.
  • Deslize o esquadro de 30/60 para baixo. Lembre-se de não mover o esquadro de 45.
  • Segure o esquadro de 30/60 e apoie o cateto do esquadro de 45 com o ângulo de 45° voltado para a esquerda. Deslize até passar pela extremidade B’ do segmento A’B’. Desenhe a primeira bissetriz (ab). Lembre-se de não movimentar o esquadro de 30/60.
  • Deslize o esquadro de 45 até passar pelo ponto D’ da poligonal. Desenhe a segunda bissetriz (cd).
  • Reposicione o esquadro de 45 agora com o ângulo de 45° voltado para a direita. Deslize o esquadro até que passe pelo ponto A’. Desenhe a terceira bissetriz (af).
  • Deslize agora o esquadro de 45 até o ponto C’ da poligonal. Desenhe a bissetriz (bc).
  • Deslize o esquadro de 45 até o ponto F’ da poligonal. Desenhe a bissetriz (ef).
  • Finalmente, deslize o esquadro de 45 até o ponto E’ da poligonal. Desenhe a bissetriz (de).
  • Pronto! As bissetrizes dos vértices da poligonal estão prontas!
📏 📐 Resolução: 1ª parte

Vamos agora obter as demais interseções das águas da cobertura dada. Já construímos as bissetrizes de cada ângulo interno da poligonal, obtendo os segmentos (ab), (bc), (cd), (de), (ef) e (af). As bissetrizes dos ângulos internos menores que 180° serão os espigões e as outras serão os rincões. Temos que (ef) é um rincão onde representaremos posteriormente uma calha.

  • Vamos escolher o lado a da poligonal e prolongar a bissetriz (ab), note que ela encontra o prolongamento da bissetriz (af) antes de encontrar qualquer outro prolongamento de outra bissetriz. Desenhe esses segmentos e marque o ponto de interseção (abf).
  • Do ponto (abf) sairá a interseção entre as águas b e f. Como as horizontais dessas águas são paralelas, a interseção procurada será também paralela, ou seja, será uma horizontal e, portanto, uma cumeeira. Desenhe o segmento (bf) paralelo às laterais da poligonal passando pelo ponto (abf).
  • Vamos prolongar (bf) até que encontre a próxima bissetriz, que será (bc). Desenhe os prolongamentos dos segmentos e marque o ponto comum (bcf).
  • Do ponto (bcf) sairá a interseção entre as águas c e f. Note que não temos ainda esta interseção. Vamos obter mais um ponto dela bastando prolongar a lateral f da poligonal até encontrar a lateral c, obtendo assim o ponto O. Desenhe o segmento tracejado unindo (bcf) ao O obtendo a interseção (cf).
  • Note que a interseção (cf) irá interceptar (ef).Assim prolongue o segmento (cf) a partir de (bcf) até encontrar o prolongamento de (ef), obtendo o ponto (cef).
  • Do ponto (cef) sairá a interseção entre as águas c e e. Como as horizontais dessas águas são paralelas, a interseção procurada será também paralela, ou seja, será uma horizontal e, portanto, uma cumeeira. Desenhe o segmento (ce) paralelo às laterais da poligonal passando pelo ponto (cef).
  • As interseções (ce), (de) e (cd) se encontram no ponto (cde) comum a elas. Prolongue essas interseções finalizando a projeção das interseções das águas desse telhado!
  • Este telhado possui duas cumeeiras (bf) e (ce). Como todas as águas possuem a mesma inclinação basta comparar em projeção a distância das cumeeiras até a linha de beiral. Assim, a cumeeira principal será (bf). Vamos obter a cota do ponto P≡(abf). Construa a reta de declive d’f por P, marque o ponto Q(2,2) sobre a hf(2,2).
  • Obtenha graficamente o I30° na escala 1:100. Agora gradue a reta de declive da água f obtendo pontos de cotas 3,2m, 4,2m e 5,2m. Podemos estimar visualmente a cota do ponto P que será em torno de 4,8 metros.
  • Para obter a cota exata do ponto P rebata o segmento RQ sobre um plano horizontal de cota 2,2m, obtendo o segmento R’1Q’1 que nos dá a VG de RQ. Por P’ trace uma perpendicular a d’f obtendo sobre R’1Q’1 o ponto P’1. A cota do ponto P será 2,6+2,2 = 4,8m.
📏 📐 Resolução: 2ª parte
  • Vamos obter a declividade do rincão (ef). Nomeie o ponto (cef) como S. Para obter a cota de S basta traçar por S’ uma perpendicular à reta d’f, obtendo o ponto T’. O ponto rebatido T’1 nos dá a cota relativa de T. A cota de T é 3,3m que é a mesma de S. A declividade do rincão (ef)=SF é: de(ef)=de(SF) = dV / dH. Temos dV = |cota(S) – cota(F)| = 3,3 – 2,2 = 1,1m e dH = S’F’ = 2,6m. Portanto, de(ef) = de(SF) = tg(θef) = dV/dH = 1,1 / 2,6 = 0,423 = 42,3%.
  • Vamos obter também graficamente a VG do rincão (ef). Rebata os pontos S e F sobre um plano horizontal de cota 2,2m, obtendo os pontos S’2 e F’2. Esse segmento nos dá a VG do rincão (ef) = 2.8m. Nessa figura temos também o ângulo θ = 22,9° que o espigão forma com π’. Note que não é o mesmo ângulo que as águas do telhado formam com π’!
  • Agora vamos obter a área da água d. Nomeie o ponto (cde) como U. A sua cota é a mesma que a de S. Vamos rebater a figura UDE sobre um plano horizontal de cota 2,2m. Escolhemos como eixo a reta hd(2,2), assim E’≡E’3e D’≡D’3.
  • Para obter o raio do rebatimento de U construa por U’ uma perpendicular à h’d obtendo V’ sobre essa horizontal. Rebata o segmento UV obtendo sua VG em U’0V’0.
  • O ponto rebatido U’3 estará na interseção da reta perpendicular a h’d com a circunferência de centro V’ e de raio sendo a VG de UV.
  • Basta agora calcular a área da figura U’3D’3E’3 que está em VG. S(F) = 3,7 x 2,1/2 = 3,88m².
  • O único rincão do telhado é (ef) e desenhamos mais um segmento paralelo a ele para representar a calha.
  • Para indicar o sentido de escoamento das águas desenhamos setas no sentido de decrescimento da reta de declive de cada água. Lembre-se que essa direção é sempre perpendicular às horizontais do plano!
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📏 📐 Resolução: 1ª parte

Vamos determinar as interseções das águas da cobertura dada. Como todas as águas possuem a mesma inclinação utilizaremos o processo das bissetrizes.

  • Nomeie os vértices da poligonal de A a H e trace as bissetrizes dos seus ângulos internos, obtendo as projeções das interseções (ab), (bc), ..., (ah). Eles são as projeções de algumas das interseções entre as águas do telhado.
  • Vamos escolher o lado f da poligonal e prolongar a bissetriz (fg), note que ela encontra o prolongamento da bissetriz (ef) antes de encontrar qualquer outro prolongamento de outra bissetriz. Desenhe esses segmentos e marque o ponto de interseção (efg).
  • Do ponto (efg) sairá a interseção entre as águas e e g. Como as horizontais dessas águas são paralelas, a interseção procurada será também paralela, ou seja, será uma horizontal e, portanto, uma cumeeira. Desenhe o segmento (eg) paralelo às laterais da poligonal passando pelo ponto (efg).
  • Vamos prolongar (eg) até que encontre a próxima bissetriz, que neste caso será tanto a bissetriz (gh) quanto a (de). Note que a linha de beiral de h é a mesma que a de d. Logo podemos renomear a água h como d e a interseção (gh) por (gd). As três interseções (de), (eg) e (gd) nos dão o ponto (deg). Nesse ponto não teremos mais interseções.
  • Agora vamos escolher o lado a da poligonal e prolongar as bissetrizes (ab) e (ah)≡(ad) obtendo o ponto de interseção (abd).
  • Do ponto (abd) sairá a interseção entre as águas b e d≡h. Como as horizontais dessas águas são paralelas, a interseção procurada será também paralela, ou seja, será uma horizontal e, portanto, uma cumeeira. Desenhe o segmento (bd) paralelo às laterais da poligonal passando pelo ponto (abd). Note que (de), (eg) e (gh)≡(gh) se encontram antes de encontrar (bd).
  • Prolongue (bd) até encontrar os prolongamentos de (bc) e (cd) obtendo o ponto comum (bcd). Pronto! Temos a projeção das interseções das águas desse telhado!
📏 📐 Resolução: 2ª parte
  • Este telhado possui duas cumeeiras (bd) e (eg), seis espigões (ab), (bc), (cd), (ad), (fg) e (ef), e dois rincões (de) e (gd). Como todas as águas possuem a mesma inclinação basta comparar em projeção a distância das cumeeiras até a linha de beiral. Assim, a cumeeira principal será (bd). Vamos obter a cota do ponto P≡(abd). Construa a reta de declive d'a por P, marque o ponto Q(2,2) sobre a ha(2,2).
  • Vamos obter graficamente o I60% na escala 1:100. Desenhe o triângulo retângulo JKL de catetos JK=dH=5u e KL=dV=3u, fornecendo de=dV/dH=60% = 60/100=3/5. Marque sobre o cateto KL o segmento KM=1u. Por M trace uma paralela ao cateto JK obtendo o ponto N sobre a hipotenusa JL. Por N trace uma perpendicular ao cateto JK obtendo o ponto O. O segmento JO é o I60% na escala 1:100.
  • Agora gradue a reta de declive da água a obtendo pontos de cotas 3,2m, 4,2m e 5,2m. Podemos estimar visualmente a cota do ponto P que será em torno de 4,7metros.
  • Para obter a cota exata do ponto P rebata o segmento RQ sobre um plano horizontal de cota 2,2m, obtendo o segmento R’1Q’1 que nos dá a VG de RQ. Por P’ trace uma perpendicular a d’a obtendo sobre R’1Q’1 o ponto P’1. A cota do ponto P será 2,5+2,2 = 4,7m.
  • Vamos obter a declividade do espigão (bc). Renomeie o ponto (bcd) de S. Lembre-se que a cota de S é a mesma que a de P. A declividade do espigão (bc)=CS é: de(bc)=de(CS) = dV / dH. Temos dV = |cota(S) – cota(C)| = 4,7 – 2,2 = 2,5m e dH = C’S’ = 6m. Portanto, de(bc) = de(CS) = tg(θbc) = dV/dH = 2,5 / 6 = 0,416 = 41,6%. Note que esse valor é diferente da declividade da água!
  • Vamos obter também graficamente a VG do espigão (bc). Rebata os pontos C e S sobre um plano horizontal de cota 2,2m, obtendo os pontos C’2 e S’2. Esse segmento nos dá a VG do espigão (bc) = 6,5m. Nessa figura temos também o ângulo θ = 22,7° que o espigão forma com π’. Lembre-se que não é o mesmo ângulo que as águas do telhado formam com π’!
  • Agora vamos obter a área da água a rebatendo a figura ABP sobre um plano horizontal de cota 2,2m. Escolhemos como eixo a reta ha(2,2), assim A’≡A’3e B’≡B’3. O ponto rebatido P’3 estará na interseção da reta d’a com a circunferência de centro Q’ e de raio sendo a VG de PQ (que já temos).
  • Basta agora calcular a área da figura A’3B’3P’3 que está em VG. S(F) = 8,4 x 4,9 / 2 = 20,58m².
  • Temos dois rincões no telhado é que são (de) e (gh)≡(gd). Desenhamos mais um segmento paralelo a cada um deles para representar as calhas.
  • Para indicar o sentido de escoamento das águas desenhamos setas no sentido de decrescimento da reta de declive de cada água. Lembre-se que essa direção é sempre perpendicular às horizontais do plano! Na água h≡d colocamos duas setas pois a mesma é extensa.
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📏 📐 Resolução

Vamos determinar as interseções das águas da cobertura dada. Como todas as águas possuem a mesma inclinação utilizaremos o processo das bissetrizes.

  • Nomeie os vértices da poligonal de A a H e trace as bissetrizes dos seus ângulos internos, obtendo as projeções das interseções (ab), (bc), ..., (ah). Escolha um dos lados a ou f da poligonal para iniciar e obtenha as projeções das interseções das águas desse telhado.
  • Este telhado possui três cumeeiras (bh), (cg) e (eg), oito espigões e dois rincões (bc) e (de). A cumeeira principal será (cg). Nomeie o ponto (cdg) como P. Obtenha o I30° na escala 1:100 e gradue a reta de declive d’c que passa pelo ponto P. A cota de P será de 4,2m que nos dá a cota da cumeeira principal. Note que não há necessidade de rebater o ponto P para obter sua cota exata!
  • Vamos obter a declividade do rincão (bc). Renomeie o ponto (bch) de R. Obtenha sua cota utilizando a d’c. A declividade do rincão (bc)=CR é: de(bc)=de(CR) = dV / dH. Temos dV = |cota(R) – cota(C)| = 3,5 – 2,2 = 1,3m e dH = C’R’ = 3,2m. Portanto, de(bc) = de(CR) = tg(θbc) = dV/dH = 1,3 / 3,2 = 0,406 = 40,6%.
  • Vamos obter também graficamente a VG do espigão (bc). Rebata os pontos C e R sobre um plano horizontal de cota 2,2m, obtendo os pontos C’2 e R’2. Esse segmento nos dá a VG do espigão (bc) = 3,8m. Nessa figura temos também o ângulo θ = 21,8° que o espigão forma com π’. Este ângulo sempre deve ser menor que o das águas b e c!
  • Agora vamos obter a área da água g rebatendo a figura HTPUVG sobre um plano horizontal de cota 2,2m. Escolhemos como eixo a reta hg(2,2), assim H’≡H’3 e G’≡G’3. Rebata o ponto T obtendo T’3.
  • O ponto P rebatido estará sobre a reta perpendicular ao eixo hg(2,2) que passa por P’ e na paralela ao eixo traçada pelo ponto T’3.
  • O ponto U rebatido estará sobre a reta perpendicular ao eixo hg(2,2) que passa por U’ e na reta OP’3.
  • O ponto V rebatido estará sobre a reta perpendicular ao eixo hg(2,2) que passa por V’ e na paralela ao eixo traçada pelo ponto U’3.
  • Basta agora calcular a área da figura H’3T’3P’3U’3V’3G’3 que está em VG. Dividindo a figura em um trapézio e um paralelogramo temos que S(F1)= (1,8 + 8,7) x 4 / 2 = 21m² e S(F2) = 4,6 x 2,4 = 11,04 m², fornecendo a área total de 32,04m².
  • Represente as calhas nos rincões (bc) e (de) e indique o sentido de escoamento das águas.
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📏 📐 Resolução

Vamos determinar as interseções das águas da cobertura dada. Como todas as águas possuem a mesma inclinação utilizaremos o processo das bissetrizes.

  • Nomeie os vértices da poligonal de A a J e trace as bissetrizes dos seus ângulos internos, obtendo as projeções das interseções (ab), (bc), ..., (aj).
  • Esse telhado possui muitas águas. Vamos utilizar uma estratégia diferente para obter as interseções. A partir do lado a da poligonal obtenha as interseções até (bi). Vamos interromper essa sequência e escolher outro lado da poligonal.
  • Vamos escolher o lado d e obter as interseções até (be). Vamos interromper essa sequência e escolher outro lado da poligonal.
  • Escolhemos o lado f e obtemos as interseções até (eh).
  • Note que o prolongamento de (eh) encontra o prolongamento de (hi) antes das demais. O mesmo acontece com (be) e (bi).
  • Prolongue as bissetrizes e trace a interseção (ei).
  • Este telhado possui quatro cumeeiras (eg), (ei), (ce) e (bj), dez espigões e três rincões (gh), (bc) e (ij). A cumeeira principal será (ei). Obtenha o I30° na escala 1:100 e gradue a reta de declive d’e que passa pelo ponto P≡(bei). A cota de P será de 4,3m que nos dá a cota da cumeeira principal.
  • A declividade do espigão (hi) é: de(hi)=de(IS) = dV / dH. Temos dV = |cota(S) – cota(I)| = 4,3 – 2,2 = 2,1m e dH = I’S’ = 5,1m. Portanto, de(hi) = de(IS) = tg(θhi) = dV/dH = 2,1 / 5,1 = 0,411 = 41,1%.
  • Rebatendo os pontos I e S temos a VG de (hi) que é de 5,5m e também o ângulo θ(hi) = 22,5°.
  • Rebatendo a área e obtemos sua VG. Dividindo a figura em dois paralelogramos e um trapézio temos que S(F1) = 5,1 x 1,5 = 7,65m², S(F2) =(1 + 8,2) x 4,1 / 2 = 18,86m² e S(F3) = 3,1 x 2,4 = 7,44 m², fornecendo a área total de 33,95m².
  • Represente as calhas nos rincões (gh), (ij) e (bc) e indique o sentido de escoamento das águas.
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📏 📐 Resolução

Vamos determinar as interseções das águas da cobertura dada. Como todas as águas possuem a mesma inclinação utilizaremos o processo das bissetrizes.

  • Nomeie os vértices da poligonal de A a J e trace as bissetrizes dos seus ângulos internos, obtendo as projeções das interseções (ab), (bc), ..., (aj). Obtenha as demais projeções das interseções das águas desse telhado.
  • Este telhado possui quatro cumeeiras (fh), (df), (ci) e (bj), dez espigões e três rincões (hi), (cd) e (ij). A cumeeira principal será (df). Obtenha o I60% na escala 1:100 e gradue a reta de declive d’f que passa pelo ponto P≡(def). A cota de P será de 4,7m que nos dá a cota da cumeeira principal.
  • Construa a reta de declive de b pelo ponto S. Gradue a mesma obtendo os pontos T e U. Obtenha a cota do ponto S rebatendo o segmento UT. A declividade do rincão (bc) é: de(bc)=de(CS) = dV / dH. Temos dV = |cota(S) – cota(C)| = 4,1 – 2,2 = 1,9m e dH = C’S’ = 4,6m. Portanto, de(bc) = de(CS) = tg(θbc) = dV/dH = 1,9 / 4,6 = 0,413 = 41,3%.
  • Rebatendo os pontos C e S temos a VG de (bc) que é de 5m e também o ângulo θ(bc) = 22,5°.
  • Rebatendo a água h obtemos sua VG. Sua área será S(F) = 4,7 x 2,4 =11,28m².
  • Represente as calhas nos rincões (hi), (cd) e (ij), e indique o sentido de escoamento das águas.
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📏 📐 Exercício proposto 5.2
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📏 📐 Resolução

Como os planos possuem inclinações diferentes devemos obter horizontais de mesma cota de cada um deles.

  • Obtenha graficamente os intervalos de 30° e 45° na escala 1:100. Lembre-se que I45° = 1u.
  • Agora vamos obter as horizontais de α. Note que a reta r(A,B) é uma horizontal de α de cota (2). Construa uma reta de declive de α, marque sobre ela o Intervalo de 30° obtendo um ponto de cota(3) e construa a horizontal de α de cota (3).
  • Agora vamos obter as horizontais de β. Note que a reta s(C,D) é uma horizontal de β de cota (2). Construa uma reta de declive de β, marque sobre ela o Intervalo de 45° obtendo um ponto de cota (3) e construa a horizontal de β de cota (3).
  • Marque o ponto P(2) na interseção das horizontais de cota (2) e o ponto Q na interseção das horizontais de cota (3). Os pontos P e Q definem a reta de interseção αβ procurada. Repare que a reta de interseção não é a bissetriz do ângulo formado entre as horizontais!

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📏 📐 Resolução: 1ª parte

Vamos determinar as interseções das águas da cobertura dada. Como as águas possuem inclinações diferentes só poderemos utilizar o processo das bissetrizes entre as águas de mesma inclinação. Nas demais devemos achar pontos comuns das horizontais de mesma cota.

  • Nomeie os vértices da poligonal de A a F. As águas adjacentes b e c possuem a mesma inclinação assim trace a bissetriz (bc). O mesmo para e e f, obtendo (ef).
  • Obtenha graficamente os intervalos para 30° e 60°.
  • Vamos obter a interseção entre a e b. Construa uma reta de declive de a, marque sobre ela o Intervalo de 60° obtendo um ponto de cota 3,2m e construa a horizontal de a de cota 3,2m.
  • Construa uma reta de declive de b, marque sobre ela o Intervalo de 30° obtendo um ponto de cota 3,2m e construa a horizontal de b de cota 3,2m.
  • Marque o ponto de interseção entre as duas horizontais construídas obtendo um ponto comum à interseção procurada. Desenhe (ab) unindo esse ponto obtido ao vértice B.
  • Vamos obter a interseção entre a e f. Já temos uma horizontal de a de cota 3,2m. Assim, construa uma reta de declive de f, marque sobre ela o Intervalo de 30° obtendo um ponto de cota 3,2m e construa a horizontal de f de cota 3,2m.
  • Marque o ponto de interseção entre as horizontais construídas de a e f obtendo um ponto comum à interseção procurada. Desenhe (af) unindo esse ponto obtido ao vértice A.
  • Vamos obter agora a interseção entre d e c. Construa uma reta de declive de d, marque sobre ela o Intervalo de 60° obtendo um ponto de cota 3,2m e construa a horizontal de d de cota 3,2m.
  • Construa uma reta de declive de c, marque sobre ela o Intervalo de 30° obtendo um ponto de cota 3,2m e construa a horizontal de c de cota 3,2m. Marque o ponto de interseção entre as horizontais construídas de d e c obtendo um ponto comum à interseção procurada. Desenhe (cd) unindo esse ponto obtido ao vértice D.
  • Vamos obter a interseção entre d e e. Já temos uma horizontal de d de cota 3,2m. Assim, construa uma reta de declive de e, marque sobre ela o Intervalo de 30° obtendo um ponto de cota 3,2m e construa a horizontal de e de cota 3,2m. Marque o ponto de interseção entre as horizontais construídas de d e e obtendo um ponto comum à interseção procurada. Desenhe (de) unindo esse ponto obtido ao vértice E.
  • Para obter as demais interseções o processo é o mesmo que aprendemos. Obtenha agora as outras interseções prolongando os segmentos obtidos.
📏 📐 Resolução: 2ª parte
  • Este telhado possui duas cumeeiras (ce) e (bf), seis espigões e um rincão (bc). Comparando a distância de (ce) e (bf) em relação à linha de beiral das águas de mesma inclinação temos que a cumeeira principal será (ce). Continue a graduação da reta de declive de c e obtenha a cota do ponto P da cumeeira, que é de 5m.
  • Para obter a declividade do rincão (bc) obtenha a cota do ponto S≡(bcf). Sabemos que de(bc) = de(CS) = dV / dH. Assim dV = |cota(S) – cota(C)| = 3,8 – 2,2 = 1,6m e dH = C’S’ = 3,9m. Portanto, de(bc) =de(CS) = tg(θbc) = dV/dH = 1,6 / 3,9 = 0,41 = 41%.
  • Rebatendo os pontos C e S temos a VG de (bc) que é de 4,2m e também o ângulo θ(bc) = 22,4°.
  • Rebatendo a água f obtemos sua VG. Dividindo a figura em um trapézio e um triângulo temos que S(F1) =(5,5 + 7,3) x 3,1 / 2 = 19,84 m² e S(F2) = (9,7 x 5,6) / 2 = 27,16m², fornecendo a área total de 47m².
  • Represente a calha nos rincão (bc), e indique o sentido de escoamento das águas.
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📏 📐 Resolução

Vamos determinar as interseções das águas da cobertura dada. Como as águas possuem inclinações diferentes só poderemos utilizar o processo das bissetrizes entre as águas de mesma inclinação. Nas demais devemos achar pontos comuns das horizontais de mesma cota.

  • Nomeie os vértices da poligonal de A a H. Trace as bissetrizes entre as linhas da poligonal das águas que possuem a mesma inclinação.
  • Obtenha graficamente os intervalos para 60° e 45°.Lembre-se que I45° = 1u.
  • Vamos obter a interseção entre f e g. Construa uma reta de declive de f, marque sobre ela o Intervalo de 45° obtendo um ponto de cota 3,8m e construa a horizontal de f de cota 3,8m.Construa uma reta de declive de g, marque sobre ela o Intervalo de 60° obtendo um ponto de cota 3,8m e construa a horizontal de g de cota 3,8m. Marque o ponto de interseção entre as duas horizontais construídas. Desenhe (fg) unindo esse ponto obtido ao vértice G.
  • Vamos obter a interseção entre g e h. Já temos uma horizontal de g de cota 3,8m. Assim, construa uma reta de declive de h, marque sobre ela o Intervalo de 45° obtendo um ponto de cota 3,8m e construa a horizontal h de cota 3,8m. Marque o ponto de interseção entre as horizontais construídas g e h. Desenhe (gh) unindo esse ponto obtido ao vértice H.
  • Para obter as demais interseções o processo é o mesmo que aprendemos. Obtenha agora as outras interseções prolongando os segmentos obtidos.
  • Este telhado possui três cumeeiras (bh), (ce) e (eg), oito espigões e dois rincões (gh) e (bc). Comparando a distância das cumeeiras em relação à linha de beiral das águas de mesma inclinação temos que a cumeeira principal será (eg). Como a água e possui inclinação de 45° basta medirem projeção a cota da cumeeira (eg): coloque a marcação da régua de 2,8 cm na lateral e da poligonal e meça a cota da cumeeira, que é aproximadamente de 7,3m.
  • Para obter a declividade do espigão (ah) obtenha a cota do ponto S utilizando a régua, assim a cota de S é aproximadamente 5,5m. Sabemos que de(ah) = de(AS) = dV / dH. Assim dV = |cota(S) – cota(A)| = 5,5 – 2,8 = 2,7m e dH = A’S’ = 3,8m. Portanto, de(ah) = de(AS) = tg(θah) = dV/dH = 2,7 / 3,8 = 0,71 = 71%.
  • Rebatendo os pontos A e S temos a VG de(ah) que é de 4,6m e também o ângulo θ(ah) = 35,7°.
  • Represente a calha nos rincões (gh) e (bc) e indique o sentido de escoamento das águas.
  • Representa a platibanda em e de largura 0,2m e as calhas de largura 0,1m. Foi considerado que o beiral possui 0,8m de largura.
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📏 📐 Resolução: 1ª parte

Vamos determinar as interseções das águas da cobertura dada. Esse telhado possui respaldos diferentes então veja como proceder.

  • Nomeie os vértices da poligonal de A a H. Lembre-se que as linhas de beiral a, b e h têm cota 2,2m e as demais cota 2,8m..
  • Obtenha graficamente os intervalos para 60° e 45°.
  • Devemos obter horizontais de a, b e h de cota 2,8m. No triângulo do Intervalo de 45° marque dV=0,6m e obtenha dH = Ides, denominado de Intervalo de Desnível.
  • Vamos obter a horizontal de h de cota 2,8m. Construa uma reta de declive de h, marque sobre ela o Intervalo de Desnível Ides obtendo um ponto de cota 2,8m e construa a horizontal de h de cota 2,8m.
  • Obtenha uma horizontal de a e uma de b de cota 2,8m como feito no passo anterior.
  • Prolongue as linhas de beirais de c e g que são horizontais de cota 2,8m. Agora temos uma nova poligonal de mesma cota 2,8m. Vamos obter as interseções das águas do telhado a partir dela.
  • Obtenha as interseções (ah), (ab), (bc) e (ef) pelo processo das bissetrizes.
  • Como a linha de beiral d é um oitão construa a mediatriz de DE obtendo a interseção (de).
  • Obtenhas as interseções (fg) e (gh) através de horizontais de mesma cota das águas f, g e h.
  • Obtenha agora as outras interseções prolongando os segmentos obtidos.
📏 📐 Resolução: 2ª parte
  • Destaque o prolongamento de c até a interseção (bc) e o prolongamento de g até a interseção (gh).
  • Este telhado possui três cumeeiras (bh), (ce) e (eg), seis espigões e dois rincões (gh) e (bc). Comparando a distância das cumeeiras em relação à linha de beiral das águas de mesma inclinação temos que a cumeeira principal será (eg). Como a água e possui inclinação de 45° basta medir em projeção a cota da cumeeira (eg): coloque a marcação da régua de 2,8 cm na lateral e da poligonal e meça a cota da cumeeira, que é aproximadamente de 7,3m.
  • Para obter a declividade do espigão (ah) obtenha a cota do ponto S utilizando a régua, assim a cota de S é aproximadamente 4,9m. Sabemos que de(ah) = de(AS) = dV / dH. Assim dV = |cota(S) – cota(A)| = 4,9 – 2,2 = 2,7m e dH = A’S’ = 3,8m. Portanto, de(ah) = de(AS) = tg(θah) = dV/dH = 2,7 / 3,8 = 0,71 = 71%.
  • Rebatendo os pontos A e S temos a VG de (ah) que é de 4,6m e também o ângulo θ(ah) = 35,7°.
  • Represente a calha nos rincões (gh) e (bc) e indique o sentido de escoamento das águas.
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📏 📐 Exercício proposto 5.3
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6. Superfícies Topográficas

Material da página 96 até a página 114.

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Use o link abaixo para visualizar em 3D uma superfície topográfica com suas respectivas curvas de nível
Visualização em 3D

👓 Realidade Aumentada e Realidade Virtual

Você pode acessar os recursos de RA e RV das representações de superfícies topográficas usando o seguinte endereço:

https://paulohscwb.github.io/cotadas/superficies.html

As superfícies topográficas modeladas em 3D aparecem sobre as coordenadas da apostila. Você pode usá-las para conferir as construções ou apenas visualizar os modelos em 3D.

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📏 📐 Traçado de curvas de nível

Para traças as curvas de nível podemos utilizar o método da triangularização. Acompanhe o procedimento.

  • Una os pontos dados formando quadriláteros.
  • No quadrilátero da esquerda temos duas diagonais. A diferença de cotas entre as extremidades de uma delas é de 80-79=1 e da outra 81-76=5u. Desenhamos a diagonal que nos dá a maior diferença de cotas.
  • No quadrilátero da direita procedemos da mesma maneira, desenhando a diagonal com a maior diferença de cotas.
  • Vamos dividir cada segmento representado em partes iguais. Nesse caso, como as extremidades possuem uma diferença de cotas de 3u, devemos dividir graficamente o segmento em 3 partes iguais, obtendo pontos de cotas 77u e 78u.
  • Repetimos o processo para os demais segmentos obtendo pontos de cotas inteiras.
  • Iniciando no primeiro triângulo da esquerda vamos unindo os pontos de mesma cota 77, sempre cuidando para ligar aos pontos de triângulos adjacentes. Formando assim a Curva de Nível de cota 77.
  • Analogamente, obtemos as demais Curvas de Nível.

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📏 📐 Resolução

Para representar a superfície topográfica por meio de Curvas de Nível vamos obter mais pontos da mesma utilizando uma interpolação linear.

  • Já temos a triangularização pronta e vários pontos de cotas inteiras representados. Nos segmentos a e d devemos obter pontos de cotas inteiras, com equidistância de 10 metros entre eles. Já nos segmentos b e c não é preciso pois a diferença de cotas entre suas extremidades é zero.
  • Divida o segmento a em 4 partes iguais, obtendo pontos de cotas 110, 120 e 130 metros.
  • Divida o segmento d em 4 partes iguais, obtendo pontos de cota 220, 230 e 240 metros.
  • Iniciando no segundo triângulo da esquerda vamos unindo os pontos de mesma cota 240, sempre cuidando para ligar aos pontos de triângulos adjacentes. Formando assim a Curva de Nível de cota 240.
  • Prossiga unindo os pontos formando as Curvas de Nível de cotas 230, 220, 210, 200, 190 metros.
  • Continue o processo, obtendo as Curvas de Nível de cotas 180, 170, 160 e 150 metros.
  • A partir do primeiro triângulo da esquerda obtenhas as Curvas de Nível de cotas 130, 120 e 110 metros. Sempre cuidando para ligar pontos de triângulos adjacentes.
  • Nos três primeiros triângulos de baixo obtenha as Curvas de Nível de cotas 130 a 70 metros.
  • Finalmente, obtenha as demais Curvas de Nível. Use o link abaixo para visualizar esta superfície e suas curvas de nível em 3D.
Visualização em 3D

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📏 📐 Resolução

Para traçar as Curvas de Nível vamos utilizar o método da triangularização e a interpolação linear. Acompanhe o procedimento.

  • Una os pontos dados formando quadriláteros.
  • Em cada quadrilátero desenhe a diagonal com a maior diferença de cotas. Vamos agora obter pontos de cotas inteiras.
  • O segmento possui extremidades de cotas 20,5m e 23,5m. Devemos obter pontos de cotas inteiras, ou seja, 21m, 22m e 23m. Vamos dividir esse segmento em partes proporcionais a 0,5u, 1u, 1u e 0,5u aplicando o Teorema de Tales. Encaixe a régua com a marcação de 20,5 no ponto da esquerda, trace um segmento auxiliar e faça marcações no 21, 22, 23 e 23,5cm.
  • Una o último ponto marcado à extremidade da direita do segmento e pelos demais trace paralelas a esse segmento, obtendo os pontos de cotas inteiras 21m, 22m e 23m.
  • Esse segmento possui extremidades de cotas 23,8m e 26,2m. Devemos obter pontos de cotas inteiras, ou seja, 24m, 25m e 26m.Vamos dividir esse segmento em partes proporcionais a 0,2u, 1u, 1u e 0,2u aplicando o Teorema de Tales. Encaixe a régua com a marcação de 23,8 no ponto da esquerda, trace um segmento auxiliar e faça marcações no 24, 25, 26 e 26,2cm.
  • Una o último ponto marcado à extremidade da direita do segmento e pelos demais trace paralelas a esse segmento, obtendo os pontos de cotas inteiras 24m, 25m e 26m.
  • Divida os demais segmentos da triangularização obtendo pontos de cotas inteiras seguindo o procedimento anterior.
  • Inicie a construção das Curvas de Nível pela de cota 26m. Lembre-se de unir os pontos de mesma cota sempre observando os triângulos adjacentes.
  • Para a Curva de Nível de cota 21m, note que na diagonal do quadrilátero inferior da direita não temos pontos de cota 21 e portanto a Curva de Nível não corta essa linha.
  • Finalmente construa a Curva de Nível de cota 20m. Pronto! A superfície está representada pelas suas Curvas de Nível!

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📏 📐 Resolução

Para obtermos o perfil topográfico devemos encontrar os pontos comuns da superfície natural do terreno com o plano de corte vertical.

  • Marque os pontos de interseção da reta A’B’ com as curvas de nível do terreno.
  • Vamos rebater o plano vertical a partir do eixo que está na horizontal. Em cada ponto obtido no passo anterior construa perpendiculares à reta A’B’ e marque no sistema de eixos a cota correspondente.
  • Devemos agora marcar a cota do ponto C que está entre as curvas de nível de cota 70m e 80m. Esse processo pode ser por aproximação, ou seja, estimando uma cota em torno de 75m.
  • Marque no sistema de eixos a cota correspondente.
  • Analogamente marcamos a cota correspondente do ponto D, que estimando é em torno de 25m.
  • Basta agora unir os pontos obtidos que são adjacentes definindo o Perfil Topográfico.

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📏 📐 Exercício proposto 6.1
Visualização em 3D

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📏 📐 Solução

Para obtermos o perfil topográfico devemos encontrar os pontos comuns da superfície natural do terreno com o plano de corte vertical. Siga o procedimento como no exercício anterior.

Visualização em 3D

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📏 📐 Resolução

Como o intervalo do plano já está definido na sua reta de declive, basta marcar os demais pontos com a mesma cota das curvas existentes.

  • Tomar o intervalo entre os pontos de cota 60 e 70 com o compasso.
  • Marcar a próxima cota.
  • Marcar as demais cotas.
  • Traçar as retas horizontais.
  • Encontrar a interseção das horizontais com as curvas de nível, marcar os pontos de interseção.
  • Estimar o ponto de cota 70.
  • Unir os pontos de interseção.
  • Traçar as horizontais .
📏 📐 Solução

Resolução semelhante ao exercício anterior.

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📏 📐 Solução

Resolução semelhante ao exercício anterior, porém devemos pegar os pontos de interseção das horizontais com todas as curvas de mesma cota. Observe que ao lado esquerdo temos uma depressão enquanto que ao lado direito temos um morro.

📏 📐 Resolução

Resolução semelhante ao exercício anterior. Observe que as curvas de nível estão desenhadas de 20 em 20, assim devemos encontrar o intervalo de cota 20.

  • Dividir o segmento de 0 a 100 em 5 partes para obter cotas de 20 em 20. Usamos Tales.
  • Obtido o intervalo, marcamos os pontos de cotas: 120, 140, 160 e assim por diante.
  • Traçamos as retas horizontais e encontramos as respectivas interseções com as curvas de nível correspondentes.
  • E assim sucessivamente, até encontrar todas as interseções e traçar a linha de offset. Veja a superfície em 3D com o link abaixo para ajudar a visualização desta construção.
Visualização em 3D

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📏 📐 Resolução

Vamos trabalhar da mesma maneira que na seção plana, somente que aqui são duas seções planas com inclinações diferentes.

  • Traçar a reta de declive da seção para a esquerda. Como a inclinação de 45° o intervalo é 1cm.
  • Marcar os intervalos sobre a reta de declive.
  • Representar as horizontais do Plano.
  • Marcar os pontos de interseção das horizontais com as respectivas curvas de nível.
  • Estimar o ponto entre as cotas 40 e 41.
  • Desenhar as linhas de offset e as horizontais.
  • Encontrar o intervalo correspondente à inclinação de 60°.
  • Traçar a reta de declive do plano CD.
  • Tomar o intervalo de 60° com o compasso.
  • Marcar o intervalo de 60° sobre a reta de declive de CD.
  • Repetir os passos de 1 a 6.

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📏 📐 Exercício proposto 6.2
📏 📐 Solução

Repetir os passos do exercício anterior. A diferença nesse exercício é que ao invés de inclinação é dada a declividade. Lembre-se que o intervalo é o inverso da declividade, assim se a declividade é 2/3, o intervalo é 3/2, ou seja o intervalo é 1.5.

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Use o link abaixo para visualizar em 3D dos cortes de um terreno para construção de uma estrada
Visualização em 3D

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📏 📐 Resolução: 1ª parte
  • Determinar os pontos de passagem, que são os pontos da superfície natural do terreno de mesma cota que a plataforma. Neste exercício são os pontos de interseção da curva de nível de cota 3 com a plataforma.
  • Na região de cota superior a cota da plataforma teremos que realizar um corte. Temos 3 regiões de corte: corte 1, corte 2 e corte 3 e duas retas de interseção entre elas. Como as três regiões têm mesma declividade, as interseções estarão nas bissetrizes dos ângulos formados pelas horizontais, ou seja, pelas linhas definidoras da plataforma. Chamaremos esta retas de interseção de C1C2 e C2C3.
  • Encontrar uma reta de declive do corte 1. Lembrando que as retas de declive são perpendiculares às horizontais do plano e seus intervalos correspondem ao intervalo do plano. O talude do corte deve ter declividade de 1/1, logo a inclinação do talude será de 45° e seu intervalo será de 1 unidade.
    dCORTE=1/1; θCORTE=45°; ICORTE=1.
  • Representar as horizontais do talude de corte para a região do corte 1.
  • Repetir o processo para a região do corte 2, ou seja, encontrar a reta de declive e as horizontais do talude do corte 2.
  • Repetir o processo para a região do corte 3, ou seja, encontrar a reta de declive e as horizontais do talude do corte 3.
  • Encontrar os pontos de interseção das horizontais do talude de corte 1 com as horizontais do terreno natural.
  • Repetir o processo para as regiões de corte 2 e 3.
  • Encontrar pontos de interseção das retas C1C2 e C2C3 com a superfície topográfica. Este processo pode ser por aproximação.
  • Definir a poligonal que define a linha de offset do corte unindo os pontos encontrados. Obs: linhas de offset são as linhas de encontro dos taludes com o terreno natural.
📏 📐 Resolução: 2ª parte

Passaremos agora para representação da área de aterro, que será realizada para região de cota inferior à cota da plataforma.

  • Temos 2 pontos de passagem e 3 regiões de aterro que chamaremos de aterro 1, aterro 2 e aterro 3. Como as três regiões têm mesma declividade, as interseções entre elas estarão nas bissetrizes dos ângulos formados pelas horizontais, ou seja, pelas linhas definidoras da plataforma. Chamaremos esta retas de interseção de A1A2 e A2A3.
  • O próximo passo consiste em determinar as retas horizontais do talude do aterro 1. Para isso precisamos definir a reta de declive correspondente. O talude de aterro deve ter declividade de 5/6, logo a inclinação do talude será de aproximadamente 40° e seu intervalo será de 1,2.
    dATERRO=1/1; θATERRO≅40°; IATERRO=1,2.
  • Repetimos o processo para o aterro 2.
  • Repetimos o processo para o aterro 3.
  • Encontrar os pontos de interseção das horizontais dos taludes de aterro 1, 2 e 3 com as horizontais do terreno natural.
  • Encontrar pontos de interseção das retas A1A2 e A2A3 com a superfície topográfica. Este processo pode ser por aproximação.
  • Definir a poligonal que define a linha de offset do aterro unindo os pontos encontrados.
  • Pronto! Temos as linhas de offset resultantes da terraplanagem (corte e aterro).
  • Podemos agora encontrar a nova configuração das curvas de nível.
  • Deixar apenas as curvas de nível com as linhas de offset.
  • Podemos ainda suprimir a representação da superfície natural (sem terraplanagem), deixando apenas a nova configuração.

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📏 📐 Solução
  • Usando as construções que fizemos no exercício anterior, podemos encontrar as linhas que delimitam as construções para o corte e o aterro de uma superfície topográfica.
  • Nesta imagem, temos as linhas do corte e do aterro representadas sem as curvas de nível do terreno.
Use o link abaixo para visualizar em 3D da seção mista de um terreno (corte e aterro)
Visualização em 3D

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página desenvolvida por:

Paulo Henrique Siqueira

construções geométricas feitas pelos professores do Grupo de Estudos em Expressão Gráfica (GEEGRAF) da Universidade Federal do Paraná (UFPR):

Deise Maria Bertholdi Costa

Emerson Rolkouski

Luzia Vidal de Souza

Paulo Henrique Siqueira

Simone da Silva Soria Medina

Objetos 3D programados em RA e RV:

Paulo Henrique Siqueira

contato: paulohscwb@gmail.com

Para ver os objetos em Realidade Aumentada, visite a página:

https://paulohscwb.github.io/cotadas/ra.html

em qualquer navegador com um dispositivo de webcam (smartphone, tablet ou notebook).

O acesso às páginas dos modelos 3D é feito clicando no círculo azul que aparece em cima dos marcadores.

      

Licença Creative Commons
Expressão Gráfica I de Paulo Henrique Siqueira está licenciado com uma Licença Creative Commons Atribuição-NãoComercial-SemDerivações 4.0 Internacional.

Como citar este trabalho:

Siqueira, P.H., Costa, D.M.B, Rolkouski, E., Souza, L.V.S., Medina, S.S.S. "Expressão Gráfica I". Disponível em: <https://paulohscwb.github.io/cotadas/>, Setembro de 2020.


DOI

Referências:

  1. Etienne, J. AR.js - Augmented Reality for the Web - Scripts do ambiente de Realidade Aumentada: https://github.com/jeromeetienne/AR.js.
  2. Ngo, K. Orbit controls for A-Frame - Scripts de controle de órbita nas páginas programadas com Realidade Virtual: https://github.com/supermedium/superframe/tree/master/components/orbit-controls/.
  3. Plesch, A. Geometry from vertices and faces - Scripts para construções das faces de poliedros nos ambientes de Realidade Aumentada e Realidade Virtual: https://github.com/andreasplesch/aframe-faceset-component.
  4. Cavallin, J. Lições de Geometria Descritiva: representação mongeana e sistema de projeções cotadas. Curitiba: UFPR, 1968.
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