Visualização de Poliedros com Realidade Virtual (RV) em A-frame
autor: Paulo Henrique Siqueira - Universidade Federal do Paraná
contato: paulohscwb@gmail.com
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Embalagens tetraédricas
A embalagem tetraédrica é um problema de organizar tetraedros idênticos no espaço tridimensional, com o objetivo de preencher a maior parte possível do espaço. Os arranjos destas embalagens incluem os formatos esférico, plano, prismático, antiprismático e cúbico.
A estrutura de embalagem mais densa conhecida de tetraedros regulares é formada por um conjunto de bipirâmides triangulares, que preenche 85,63% do espaço em um formato esférico.
Este trabalho mostra os compostos de tetraedros, modelados para visualização em Realidade Virtual.
Modelos 3D
1. Tetraedro de Baumgartner
O tetraedro de Baumgartner (descoberto em 1968) pode ser usado para composição de embalagem em formato prismático.
medidas das arestas: $\mathsf{ \sqrt{11} \over{2} }$, $\mathsf{ \sqrt{3} }$, $\mathsf{ \sqrt{3} \over{2} }$, $\mathsf{ 2 }$.
ângulos diédricos: 106.74°, 30°, 60°, 73.26°, 90°.
2. Tetraedro alto irlandês
O tetraedro alto irlandês (descoberto em 1994 por Denis Weaire e Robert Phelan) pode ser usado para composição de embalagem em formato plano.
medidas das arestas: $\mathsf{ {1} \over{2} }$, $\mathsf{ \sqrt{6} \over{4} }$.
ângulos diédricos: 53.13°, 78.46°.
3. Tetraedro medial irlandês
O tetraedro medial irlandês (descoberto em 1994 por Denis Weaire e Robert Phelan) pode ser usado para composição de embalagem em formato plano.
medidas das arestas: $\mathsf{ \sqrt{5} \over{4} }$, $\mathsf{ \sqrt{6} \over{4} }$.
ângulos diédricos: 73.4°, 67.79°.
4. Tetraedro baixo irlandês
O tetraedro baixo irlandês (descoberto em 1994 por Denis Weaire e Robert Phelan) pode ser usado para composição de embalagem em formato plano.
medidas das arestas: $\mathsf{ \sqrt{5} \over{4} }$, $\mathsf{ {1} \over{2} }$, $\mathsf{ \sqrt{6} \over{4} }$.
ângulos diédricos: 77.4°, 58.41°, 63.43°, 73°.
5. Tetraedro escocês
O tetraedro escocês (descoberto em 1887 por Lord Kelvin) pode ser usado para composição de embalagem em formato antiprismático.
medidas das arestas: $\mathsf{ \sqrt{3} \over{2} }$, $\mathsf{ {1} }$.
ângulos diédricos: 60°, 90°.
6. Tetraedro escocês v2
O tetraedro escocês (descoberto em 1887 por Lord Kelvin) pode ser usado para composição de embalagem em formato plano.
medidas das arestas: $\mathsf{ \sqrt{3} \over{2} }$, $\mathsf{ {1} }$.
ângulos diédricos: 60°, 90°.
7. Tetraedro de Sommerville 1
O tetraedro de Sommerville (descoberto em 1923 por Duncan Sommerville) pode ser usado para composição de embalagem em formato prismático.
medidas das arestas: $\mathsf{ {2} }$, $\mathsf{ \sqrt{3} }$.
ângulos diédricos: 90°, 60°.
8. Tetraedro de Sommerville 1 v2
O tetraedro de Sommerville (descoberto em 1923 por Duncan Sommerville) pode ser usado para composição de embalagem em formato plano.
medidas das arestas: $\mathsf{ {2} }$, $\mathsf{ \sqrt{3} }$.
ângulos diédricos: 90°, 60°.
9. Tetraedro de Sommerville 1 v3
O tetraedro de Sommerville (descoberto em 1923 por Duncan Sommerville) pode ser usado para composição de embalagem em formato prismático.
medidas das arestas: $\mathsf{ {2} }$, $\mathsf{ \sqrt{3} }$.
ângulos diédricos: 90°, 60°.
10. Tetraedro de Sommerville 2
O tetraedro de Sommerville (descoberto em 1923 por Duncan Sommerville) pode ser usado para composição de embalagem em formato prismático.
medidas das arestas: $\mathsf{ {2} }$, $\mathsf{ \sqrt{2} }$, $\mathsf{ \sqrt{3} }$, $\mathsf{ 1 }$.
ângulos diédricos: 45°, 90°, 60°.
11. Tetraedro de Sommerville 3
O tetraedro de Sommerville (descoberto em 1923 por Duncan Sommerville) pode ser usado para composição de embalagem em formato cúbico.
medidas das arestas: $\mathsf{ \sqrt{3} }$, $\mathsf{ {2} }$, $\mathsf{ 2 \sqrt{2} }$.
ângulos diédricos: 120°, 60°, 45°, 90°.
12. Tetraedro de Sommerville 3 v2
O tetraedro de Sommerville (descoberto em 1923 por Duncan Sommerville) pode ser usado para composição de embalagem em formato plano.
medidas das arestas: $\mathsf{ \sqrt{3} }$, $\mathsf{ {2} }$, $\mathsf{ 2 \sqrt{2} }$.
ângulos diédricos: 120°, 60°, 45°, 90°.
13. Tetraedro de Sommerville 4
O tetraedro de Sommerville (descoberto em 1923 por Duncan Sommerville) pode ser usado para composição de embalagem em formato prismático.
medidas das arestas: $\mathsf{ \sqrt{5} \over{2} }$, $\mathsf{ \sqrt{3} }$, $\mathsf{ {2} }$.
ângulos diédricos: 131.8°, 114.1°, 30°, 45°.
14. Tetraedro de Sommerville 4 v2
O tetraedro de Sommerville (descoberto em 1923 por Duncan Sommerville) pode ser usado para composição de embalagem em formato plano.
medidas das arestas: $\mathsf{ \sqrt{5} \over{2} }$, $\mathsf{ \sqrt{3} }$, $\mathsf{ {2} }$.
ângulos diédricos: 131.8°, 114.1°, 30°, 45°.
15. Tetraedro alto galês
O tetraedro alto galês tem uma combinação de propriedades dos tetraedros irlandês e escocês e pode ser usado para composição de embalagem em formato plano. Este é o tetraedro regular de Platão.
medida das arestas: $\mathsf{ \sqrt{2} \over{2} }$.
ângulo diédrico: 70.53°.
16. Tetraedro medial galês
O tetraedro medial galês tem uma combinação de propriedades dos tetraedros irlandês e escocês e pode ser usado para composição de embalagem em formato plano.
medidas das arestas: $\mathsf{ \sqrt{11} \over{4} }$, $\mathsf{ \sqrt{2} \over{2} }$.
ângulos diédricos: 67.12°, 74.2°.
17. Tetraedro baixo galês
O tetraedro baixo galês tem uma combinação de propriedades dos tetraedros irlandês e escocês e pode ser usado para composição de embalagem em formato plano.
medidas das arestas: $\mathsf{ \sqrt{3} \over{2} }$, $\mathsf{ \sqrt{11} \over{4} }$, $\mathsf{ \sqrt{3} \over{4} }$.
ângulos diédricos: 90°, 73.22°, 33.57°, 60°.
Polyhedral Compound - Tetrahedra packings: visualization with Virtual Reality de Paulo Henrique Siqueira está licenciado com uma Licença Creative Commons Atribuição-NãoComercial-SemDerivações 4.0 Internacional.
Como citar este trabalho:
Siqueira, P.H., "Polyhedral Compound - Tetrahedra packings: visualization with Virtual Reality". Disponível em: <https://paulohscwb.github.io/polycompound/tetrahedra/pt-br/>, Agosto de 2025.
Referências:
Weisstein, Eric W. “Polyhedron Compound” From MathWorld-A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/PolyhedronCompound.html
Conway, J. H., Torquato, S. “Packing, tiling, and covering with tetrahedra” https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.0601389103
McCooey, David I. “Visual Polyhedra”. http://dmccooey.com/polyhedra/