Visualização de poliedros com Realidade Aumentada (RA) e Realidade Virtual (RV) em A-frame
autor: Paulo Henrique Siqueira - Universidade Federal do Paraná
contato: paulohscwb@gmail.com
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Poliedros de Arquimedes
Um poliedro de Arquimedes é um dos 13 sólidos enumerados pela primeira vez por Arquimedes. Eles são os poliedros convexos semi-regulares compostos de polígonos regulares reunidos em vértices idênticos, excluindo os 5 sólidos platônicos, os prismas e antiprismas.
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Modelos 3D
1. Octaedro truncado
U8 O octaedro truncado é construído a partir de um octaedro regular com comprimento de lado 3a pela remoção de seis pirâmides retas de bases quadradas, uma de cada ponto. Estas pirâmides têm tanto o comprimento do lado da base como o lado do lado lateral e de a, para formar triângulos equiláteros. O octaedro truncado pode ser dissecado em um octaedro central, circundado por 8 cúpulas triangulares em cada face e 6 pirâmides quadradas acima dos vértices. O octaedro truncado existe na estrutura dos cristais de faujasite.
Faces: 14 | Polígonos: 6 quadrados e 8 hexágonos | Arestas: 36 | Vértices: 24 | Esfericidade: 0.905 | Ângulos diédricos: 125.26° (4-6) e 109.47° (6-6). Mais sobre…
2. Icosaedro truncado
U25 A geometria do icosaedro truncado está associada a bolas de futebol, tipicamente padronizadas com hexágonos brancos e pentágonos pretos. Este poliedro pode ser construído a partir de um icosaedro com os 12 vértices truncados, de modo que um terço de cada canto é cortado em cada uma das duas extremidades. Criam-se então 12 novas faces pentagonais, transformando-se as 20 faces triangulares originais em hexágonos regulares. Assim, o comprimento das arestas é um terço do das arestas originais.
Faces: 32 | Polígonos: 12 pentágonos e 20 hexágonos | Arestas: 90 | Vértices: 60 | Esfericidade: 0.967 | Ângulos diédricos: 138.19° (6-6) e 142.62° (5-6). Mais sobre…
3. Icosidodecaedro truncado
U28 O icosidodecaedro truncado também é conhecido como o grande rombicosidodecaedro, e se todos os 13 sólidos arquimedianos fossem construídos com todos os comprimentos de arestas iguais, o icosidodecaedro truncado seria o maior. Tem mais vértices e arestas do que qualquer outro poliedro uniforme não-prismático convexo.
Faces: 62 | Polígonos: 30 quadrados, 20 hexágonos e 12 decágonos | Arestas: 180 | Vértices: 120 | Esfericidade: 0.97 | Ângulos diédricos: 142.62° (6-10), 148.28° (4-10) e 159.1° (4-6). Mais sobre…
4. Rombicosidodecaedro
U27 O rombicosidodecaedro também é conhecido como o pequeno rombicosidodecaedro ou pequeno dodeicosidodecaedro. Se você expandir um icosaedro movendo as faces para longe da origem na quantidade certa, sem alterar a orientação ou tamanho das faces, e fazer o mesmo com um dodecaedro duplo, e corrigir os espaços com quadrados, você obtém um rombicosidodecaedro. Também pode ser chamado de dodecaedro ou icosaedro expandido a partir de operações de truncamento em poliedros regulares.
Faces: 62 | Polígonos: 30 quadrados, 20 triângulos e 12 pentágonos | Arestas: 120 | Vértices: 60 | Esfericidade: 0.979 | Ângulos diédricos: 159.09° (3-4) e 148.28° (4-5). Mais sobre…
5. Dodecaedro snub
U29 O dodecaedro snub tem a mais alta esfericidade de todos os sólidos de Arquimedes. Tem duas formas distintas, que são imagens espelhadas umas da outra. A união de ambas as formas é um composto de dois dodecaedros snub. O dodecaedro snub pode ser gerado tomando-se as doze faces pentagonais do dodecaedro e deslocando-as para fora, para não se interceptarem. A uma distância adequada, esta tranformação pode criar o rombicosidodecaedro preenchendo as faces quadradas entre as arestas divididas e as faces triangulares entre os vértices divididos.
Faces: 92 | Polígonos: 80 triângulos e 12 pentágonos | Arestas: 150 | Vértices: 60 | Esfericidade: 0.982 | Ângulos diédricos: 164.18° (3-3) e 152.93° (3-5). Mais sobre…
6. Dodecaedro truncado
U26 O dodecaedro truncado é usado na tesselação de preenchimento de espaço hiperbólico celular-transitivo, o favo de mel icosaédrico bitruncado. Esse poliedro pode ser formado a partir de um dodecaedro, truncando os cantos para que as faces dos pentágonos se tornem decágonos e os cantos se tornem triângulos. Faz parte de um processo de truncamento entre um dodecaedro e um icosaedro.
Faces: 32 | Polígonos: 20 triângulos e 12 decágonos | Arestas: 150 | Vértices: 60 | Esfericidade: 0.926 | Ângulos diédricos: 116.57° (10-10) e 142.62° (3-10). Mais sobre…
7. Icosidodecaedro
U24 O icosidodecaedro contém 12 pentágonos do dodecaedro e 20 triângulos do icosaedro. O cubo truncado pode ser transformado em um icosidodecaedro, dividindo-se os octógonos em dois pentágonos e dois triângulos. O icosidodecaedro possui seis decágonos centrais.
Faces: 32 | Polígonos: 20 triângulos e 12 pentágonos | Arestas: 60 | Vértices: 30 | Esfericidade: 0.951 | Ângulo diédrico: 142.62° (5-3). Mais sobre…
8. Cubo snub
U12 O cubo snub também é conhecido como cuboctaedro snub e tem duas formas distintas, que são imagens espelhadas uma da outra. O cubo snub pode ser gerado tomando-se as seis faces do cubo, puxando-as para fora de modo que elas não se interceptem, dando a cada uma delas uma pequena rotação em seus centros (todas no mesmo sentido: horário ou anti-horário) até que os espaços possam ser preenchidos com triângulos equiláteros.
Faces: 38 | Polígonos: 32 triângulos e 6 quadrados | Arestas: 60 | Vértices: 24 | Esfericidade: 0.965 | Ângulos diédricos: 153.23° (3-3) e 142.98° (3-4). Mais sobre…
9. Cuboctaedro truncado
U11 O cuboctaedro truncado também é conhecido como grande rombicuboctaedro. O cuboctaedro truncado é o casco convexo de um rombicuboctaedro com cubos acima de seus 12 quadrados em eixos de simetria dupla. O resto de seu espaço pode ser dissecado em seis cúpulas quadradas abaixo dos octógonos e oito cúpulas triangulares abaixo dos hexágonos.
Faces: 26 | Polígonos: 12 quadrados, 8 hexágonos e 6 octógonos | Arestas: 72 | Vértices: 48 | Esfericidade: 0.943 | Ângulos diédricos: 144.74° (4-6), 135° (4-8) e 125.26° (6-8). Mais sobre…
10. Rombicuboctaedro
U10 O rombicuboctaedro é também conhecido como pequeno rombicuboctaedro. Este sólido também pode ser chamado de cubo ou octaedro expandido e pode ser dissecado em duas cúpulas quadradas e um prisma octogonal central. Existem três pares de planos paralelos que interceptam o rombicuboctaedro em um octógono regular.
Faces: 26 | Polígonos: 18 quadrados e 8 triângulos | Arestas: 48 | Vértices: 24 | Esfericidade: 0.954 | Ângulos diédricos: 144.74° (4-3) e 135° (4-4). Mais sobre…
11. Cubo truncado
U9 O cubo truncado pertence a uma família de poliedros uniformes relacionados ao cubo e octaedro regular. Esse sólido pode ser dissecado em um cubo central, com seis cúpulas quadradas ao redor de cada uma das faces do cubo e oito tetraédricas regulares nos cantos. Essa dissecação também pode ser vista dentro do favo de mel cúbico, com células cubo, tetraedro e rombicuboctaedro.
Faces: 14 | Polígonos: 8 triângulos e 6 octógonos | Arestas: 36 | Vértices: 24 | Esfericidade: 0.849 | Ângulos diédricos: 125.26° (8-3) e 90° (8-8). Mais sobre…
12. Cuboctaedro
U7 O cuboctaedro é o único poliedro convexo no qual o maior raio (do centro ao vértice) tem o mesmo comprimento que sua aresta. Um hexágono pode ser obtido tomando-se uma seção transversal equatorial de um cuboctaedro. Este sólido pode ser dissecado em duas cúpulas triangulares por um hexágono passando pelo centro do cuboctaedro.
Faces: 14 | Polígonos: 8 triângulos e 6 quadrados | Arestas: 24 | Vértices: 12 | Esfericidade: 0.905 | Ângulo diédrico: 125.26° (4-3). Mais sobre…
13. Tetraedro truncado
U2 O tetraedro truncado pode ser construído truncando todos os 4 vértices de um tetraedro regular com um terço do comprimento original da aresta. Um truncamento mais profundo, removendo um tetraedro de metade do comprimento original da aresta de cada vértice, é chamado de retificação. A retificação de um tetraedro produz um octaedro.
Faces: 8 | Polígonos: 4 triângulos e 4 hexágonos | Arestas: 18 | Vértices: 12 | Esfericidade: 0.775 | Ângulos diédricos: 109.47° (6-3) e 70.53° (6-6). Mais sobre…
14. Poliedros de Arquimedes e seus duais de Catalan
Representação com cada poliedro de Arquimedes e seu respectivo dual de Catalan. Neste projeto, temos os poliedros simulando uma fita de DNA com as respectivas ligações entre os poliedros duais de Arquimedes e de Catalan.
Archimedean polyhedra - Visualization of polyhedra with Augmented Reality and Virtual Reality de Paulo Henrique Siqueira está licenciado com uma Licença Creative Commons Atribuição-NãoComercial-SemDerivações 4.0 Internacional.
Como citar este trabalho:
Siqueira, P.H., "Archimedean polyhedra - Visualization of polyhedra with Augmented Reality and Virtual Reality". Disponível em: <https://paulohscwb.github.io/polyhedra/archimedes/>, Setembro de 2019.
Referências:
Weisstein, Eric W. “Archimedean Solid” From MathWorld-A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/ArchimedeanSolid.html
Weisstein, Eric W. “Archimedean Dual” From MathWorld-A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/ArchimedeanDual.html
Weisstein, Eric W. “Uniform Polyhedron.” From MathWorld–A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/UniformPolyhedron.html
Wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Archimedean_solid
McCooey, David I. “Visual Polyhedra”. http://dmccooey.com/polyhedra/