Visualização de poliedros com Realidade Aumentada (RA) e Realidade Virtual (RV) em A-frame
autor: Paulo Henrique Siqueira - Universidade Federal do Paraná
contato: paulohscwb@gmail.com
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Sólidos de Johnson - parte 1: J1 - J32
Um sólido de Johnson é um poliedro de face regular estritamente convexo que não é uniforme. Eles receberam o nome de Norman Woodason Johnson, que em 1966 listou pela primeira vez todos os 92 poliedros. Nesta primeira parte, temos os primeiros 32 sólidos de Johnson.
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Realidade Aumentada
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Modelos 3D
1. Pirâmide quadrada
J1 A pirâmide quadrada é uma pirâmide com uma base quadrada e 4 triângulos como lados. A versão com triângulos equiláteros como lados é o primeiro dos 92 sólidos de Johnson. Duas pirâmides quadradas podem ser unidas em sua base quadrada para formar um octaedro regular.
Faces: 4 triângulos (faces laterais) e 1 quadrado (base) | Arestas: 8 | Vértices: 5 | Ângulos diédricos: 109.47° e 54.74°. Mais sobre…
2. Pirâmide pentagonal
J2 A pirâmide pentagonal é uma pirâmide com uma base pentagonal e 5 triângulos como lados. A versão com triângulos equiláteros como lados é o segundo dos 92 sólidos de Johnson. É a tampa do primeiro vértice do icosaedro. Um icosaedro regular pode ser construído anexando duas pirâmides pentagonais às bases de um antiprisma pentagonal.
Faces: 5 triângulos (faces laterais) e 1 pentágono (base) | Arestas: 10 | Vértices: 6 | Ângulos diédricos: 138.19° e 37.38°. Mais sobre…
3. Cúpula triangular
J3 A cúpula triangular é um dos 92 sólidos de Johnson. É uma cúpula baseada no triângulo equilátero e é uma das três cúpulas de Johnson, sendo as outras duas a cúpula quadrada e a cúpula pentagonal.
Faces: 4 triângulos, 3 quadrados e 1 hexágono | Arestas: 15 | Vértices: 9 | Ângulos diédricos: 125.26°, 70.53° e 54.74°. Mais sobre…
4. Cúpula quadrada
J4 A cúpula quadrada é um dos sólidos de Johnson. É uma cúpula baseada no quadrado e é uma das três cúpulas de Johnson. Pode ser obtida como um segmento do pequeno rombicuboctaedro, quando considerado como uma ortobicúpula quadrada alongada.
Faces: 4 triângulos, 5 quadrados e 1 octógono | Arestas: 20 | Vértices: 12 | Ângulos diédricos: 144.74°, 135°, 45° e 54.74°. Mais sobre…
5. Cúpula pentagonal
J5 A cúpula pentagonal é um dos sólidos de Johnson. É uma cúpula baseada no pentágono e é uma das três cúpulas de Johnson. Pode ser obtida como um segmento do pequeno rombicosidodecaedro.
Faces: 5 triângulos, 5 quadrados, 1 pentágono e 1 decágono | Arestas: 25 | Vértices: 15 | Ângulos diédricos: 159.09°, 148.28°, 37.38° e 31.72°. Mais sobre…
6. Rotunda pentagonal
J6 A rotunda pentagonal é um dos sólidos de Johnson. É uma rotunda baseada em um pentágono e a única rotunda que resulta em um sólido de Johnson. Pode ser construída cortando um icosidodecaedro ao meio ao longo de um de seus círculos das arestas dos decágonos.
Faces: 10 triângulos, 6 pentágonos e 1 decágono | Arestas: 35 | Vértices: 20 | Ângulos diédricos: 142.62°, 79.19° e 63.43°. Mais sobre…
7. Pirâmide triangular alongada
J7 A pirâmide triangular alongada é um dos sólidos de Johnson. Pode ser construída anexando um prisma triangular a uma das faces do tetraedro, visto como uma pirâmide triangular. Se um segundo tetraedro estiver ligado à outra base triangular do prisma, o resultado é a bipirâmide triangular alongada.
Faces: 4 triângulos e 3 quadrados | Arestas: 12 | Vértices: 7 | Ângulos diédricos: 160.53°, 90°, 60° e 70.53°. Mais sobre…
8. Pirâmide quadrada alongada
J8 A pirâmide quadrada alongada é um dos sólidos de Johnson. Pode ser construída anexando um cubo, visto como um prisma quadrado, à base da pirâmide quadrada. Se uma segunda pirâmide for anexada à face oposta do cubo, o resultado é a bipirâmide quadrada alongada.
Faces: 4 triângulos e 5 quadrados | Arestas: 16 | Vértices: 9 | Ângulos diédricos: 144.74°, 90° e 109.47°. Mais sobre…
9. Pirâmide pentagonal alongada
J9 A pirâmide pentagonal alongada é um dos sólidos de Johnson. Pode ser construída anexando um prisma pentagonal à base da pirâmide pentagonal. Se uma segunda pirâmide estiver ligada à outra base do prisma pentagonal, o resultado é a bipirâmide pentagonal alongada.
Faces: 5 triângulos, 5 quadrados e 1 pentágono | Arestas: 20 | Vértices: 11 | Ângulos diédricos: 138.19°, 90°, 108° e 127.38°. Mais sobre…
10. Pirâmide quadrada giralongada
J10 A pirâmide quadrada giralongada é um dos sólidos de Johnson. Pode ser construída anexando um antiprisma quadrado à base da pirâmide quadrada. Se uma segunda pirâmide estiver ligada à outra base do antiprisma quadrado, o resultado é a bipirâmide quadrada giralongada.
Faces: 12 triângulos e 1 quadrado | Arestas: 20 | Vértices: 9 | Ângulos diédricos: 158.57°, 127.55°, 109.47° e 103.84°. Mais sobre…
11. Pirâmide pentagonal giralongada
J11 A pirâmide pentagonal giralongada é um dos sólidos de Johnson. Pode ser construída anexando um antiprisma pentagonal à base da pirâmide pentagonal. Alternativamente, pode ser construída diminuindo um vértice do icosaedro regular, razão pela qual esse poliedro também pode ser chamado de icosaedro diminuído.
Faces: 15 triângulos e 1 pentágono | Arestas: 25 | Vértices: 11 | Ângulos diédricos: 138.19° e 100.81°. Mais sobre…
12. Dipirâmide triangular
J12 A dipirâmide triangular, também chamada de tegum triangular ou bipirâmide triangular, é um dos sólidos de Johnson. Pode ser construída unindo dois tetraedros regulares em uma de suas faces. É uma das três dipirâmides (tegums) poligonais regulares; as outras são o octaedro regular (tegum quadrado) e o tegum pentagonal.
Faces: 6 triângulos | Arestas: 9 | Vértices: 5 | Ângulos diédricos: 141.06° e 70.53°. Mais sobre…
13. Dipirâmide pentagonal
J13 A dipirâmide pentagonal, também chamada de bipirâmide pentagonal ou tegum pentagonal, é um dos sólidos de Johnson. Pode ser construída unindo duas pirâmides pentagonais em suas bases. É uma das três dipirâmides poligonais regulares (tegums).
Faces: 10 triângulos | Arestas: 15 | Vértices: 7 | Ângulos diédricos: 138.19° e 74.75°. Mais sobre…
14. Dipirâmide triangular alongada
J14 A dipirâmide triangular alongada, também chamada de bipirâmide triangular alongada, é um dos sólidos de Johnson. Pode ser construída inserindo um prisma triangular entre as metades da dipirâmide triangular.
Faces: 6 triângulos e 3 quadrados | Arestas: 15 | Vértices: 8 | Ângulos diédricos: 160.53°, 60° e 70.53°. Mais sobre…
15. Dipirâmide quadrada alongada
J15 A dipirâmide quadrada alongada, também chamada de bipirâmide quadrada alongada, é um dos sólidos de Johnson. Pode ser construída inserindo um cubo, visto como um prisma quadrado, entre as metades piramidais do octaedro regular, visto como uma dipirâmide quadrada.
Faces: 8 triângulos e 4 quadrados | Arestas: 20 | Vértices: 10 | Ângulos diédricos: 144.74°, 90° e 109.47°. Mais sobre…
16. Dipirâmide pentagonal alongada
J16 A dipirâmide pentagonal alongada, também chamada de bipirâmide pentagonal alongada, é um dos sólidos de Johnson. Pode ser construída inserindo um prisma pentagonal entre as metades da dipirâmide pentagonal.
Faces: 10 triângulos e 5 quadrados | Arestas: 25 | Vértices: 12 | Ângulos diédricos: 138.19°, 108° e 127.38°. Mais sobre…
17. Dipirâmide quadrada giralongada
J17 A dipirâmide quadrada giralongada, também chamada de bipirâmide quadrada giralongada, é um dos sólidos de Johnson. Pode ser construída inserindo um antiprisma quadrado entre as metades piramidais do octaedro regular, visto como uma dipirâmide quadrada.
Faces: 16 triângulos | Arestas: 24 | Vértices: 10 | Ângulos diédricos: 158.57°, 127.55° e 109.47°. Mais sobre…
18. Cúpula triangular alongada
J18 A cúpula triangular alongada é um dos sólidos de Johnson. Pode ser construída anexando um prisma hexagonal à base hexagonal da cúpula triangular. Se uma segunda cúpula for anexada à outra base hexagonal do prisma na mesma orientação, o resultado é a ortobicúpula triangular alongada.
Faces: 4 triângulos, 9 quadrados e 1 hexágono | Arestas: 27 | Vértices: 15 | Ângulos diédricos: 160.53°, 144.74°, 120°, 60° e 125.26°. Mais sobre…
19. Cúpula quadrada alongada
J19 A cúpula quadrada alongada é um dos sólidos de Johnson. Pode ser construída anexando um prisma octogonal à base octogonal da cúpula quadrada. Também pode ser vista como um pequeno rombicuboctaedro diminuído, formado cortando um de seus segmentos quadrados de cúpula.
Faces: 4 triângulos, 13 quadrados e 1 octógono | Arestas: 36 | Vértices: 20 | Ângulos diédricos: 144.74°, 135° e 90°. Mais sobre…
20. Cúpula pentagonal alongada
J20 A cúpula pentagonal alongada é um dos sólidos de Johnson. Pode ser construída anexando um prisma decagonal à base decagonal da cúpula pentagonal. Se uma segunda cúpula for anexada à outra base decagonal do prisma na mesma orientação, o resultado é a ortobicúpula pentagonal alongada.
Faces: 5 triângulos, 15 quadrados, 1 pentágono e 1 decágono | Arestas: 45 | Vértices: 25 | Ângulos diédricos: 159.09°, 148.28°, 144°, 127.38°, 121.72° e 90°. Mais sobre…
21. Rotunda pentagonal alongada
J21 A rotunda pentagonal alongada é um dos sólidos de Johnson. Pode ser construída anexando um prisma decagonal à base decagonal da rotunda pentagonal. Se uma segunda rotunda for anexada à outra base decagonal do prisma na mesma orientação, o resultado é a ortobirotunda pentagonal alongada.
Faces: 10 triângulos, 10 quadrados, 6 pentágonos e 1 decágono | Arestas: 55 | Vértices: 30 | Ângulos diédricos: 169.19°, 153.43°, 144°, 142.62° e 90°. Mais sobre…
22. Cúpula triangular giralongada
J22 A cúpula triangular giralongada é um dos sólidos de Johnson. Pode ser construída anexando um antiprisma hexagonal à base hexagonal da cúpula triangular. Se uma segunda cúpula for anexada à outra base hexagonal do antiprisma, o resultado é a bicúpula triangular giralongada.
Faces: 16 triângulos, 3 quadrados e 1 hexágono | Arestas: 33 | Vértices: 15 | Ângulos diédricos: 169.43°, 153.64°, 145.22°, 125.26° e 98.9°. Mais sobre…
23. Cúpula quadrada giralongada
J23 A cúpula quadrada giralongada é um dos sólidos de Johnson. Pode ser construída anexando um antiprisma octogonal à base octogonal da cúpula quadrada. Se uma segunda cúpula for anexada à outra base octogonal do antiprisma, o resultado é a bicúpula quadrada giralongada.
Faces: 20 triângulos, 5 quadrados e 1 octógono | Arestas: 44 | Vértices: 20 | Ângulos diédricos: 153.96°, 151.33°, 144.74°, 141.59°, 135° e 96.59°. Mais sobre…
24. Cúpula pentagonal giralongada
J24 A cúpula pentagonal giralongada é um dos sólidos de Johnson. Pode ser construída anexando um antiprisma decagonal à base decagonal da cúpula pentagonal. Se uma segunda cúpula for anexada à outra base decagonal do antiprisma, o resultado é a bicúpula pentagonal giralongada.
Faces: 25 triângulos, 5 quadrados, 1 pentágono e 1 decágono | Arestas: 55 | Vértices: 25 | Ângulos diédricos: 159.19°, 159.09°, 148.28°, 132.62°, 126.96° e 95.25°. Mais sobre…
25. Rotunda pentagonal giralongada
J25 A rotunda pentagonal giralongada é um dos sólidos de Johnson. Pode ser construída anexando um antiprisma decagonal à base decagonal da rotunda pentagonal. Se uma segunda rotunda for anexada à outra base decagonal do antiprisma, o resultado é a birotunda pentagonal giralongada.
Faces: 30 triângulos, 6 pentágonos e 1 decágono | Arestas: 65 | Vértices: 30 | Ângulos diédricos: 174.43°, 159.19°, 158.68°, 142.62° e 95.25°. Mais sobre…
26. Girobiprisma
J26 O Girobiprisma é um dos sólidos de Johnson. Pode ser construído anexando dois prismas triangulares, vistos como cúpulas digonais, em uma de suas faces quadradas, de modo que suas arestas opostas sejam ortogonais. Como tal, poderia ser considerado uma girobicúpula digonal.
Faces: 4 triângulos e 4 quadrados | Arestas: 14 | Vértices: 8 | Ângulos diédricos: 150°, 90° e 60°. Mais sobre…
27. Ortobicúpula triangular
J27 A ortobicúpula triangular é um dos sólidos de Johnson. Pode ser construída anexando duas cúpulas triangulares em suas bases hexagonais, de modo que as duas bases triangulares estejam na mesma orientação. Se as cúpulas forem unidas de modo que as bases sejam giradas 60°, o resultado é a girobicúpula triangular, mais conhecida como cuboctaedro uniforme.
Faces: 8 triângulos e 6 quadrados | Arestas: 24 | Vértices: 12 | Ângulos diédricos: 141.06°, 125.26° e 109.47°. Mais sobre…
28. Ortobicúpula quadrada
J28 A ortobicúpula quadrada é um dos sólidos de Johnson. Pode ser construída anexando duas cúpulas quadradas em suas bases octogonais, de modo que as duas bases quadradas estejam na mesma orientação. Se as cúpulas forem unidas de modo que as bases sejam giradas 45°, o resultado é a girobicúpula quadrada.
Faces: 8 triângulos e 10 quadrados | Arestas: 32 | Vértices: 16 | Ângulos diédricos: 144.74°, 135°, 90° e 109.47°. Mais sobre…
29. Girobicúpula quadrada
J29 A girobicúpula quadrada é um dos sólidos de Johnson. Pode ser construída anexando duas cúpulas quadradas em suas bases octogonais, de modo que as duas bases quadradas sejam giradas 45° uma da outra. É topologicamente equivalente ao antiprisma quadrado retificado.
Faces: 8 triângulos e 10 quadrados | Arestas: 32 | Vértices: 16 | Ângulos diédricos: 144.74°, 135° e 99.74°. Mais sobre…
30. Ortobicúpula pentagonal
J30 A ortobicúpula pentagonal é um dos sólidos de Johnson. Pode ser construída anexando duas cúpulas pentagonais em suas bases decagonais, de modo que as duas bases pentagonais estejam na mesma orientação. Se as cúpulas forem unidas de modo que as bases sejam giradas 36°, o resultado é a girobicúpula pentagonal.
Faces: 10 triângulos, 10 quadrados e 2 pentágonos | Arestas: 40 | Vértices: 20 | Ângulos diédricos: 159.09°, 148.28°, 74.75° e 63.43°. Mais sobre…
31. Girobicúpula pentagonal
J31 A girobicúpula pentagonal é um dos sólidos de Johnson. Pode ser construída anexando duas cúpulas pentagonais em suas bases decagonais, de modo que as duas bases pentagonais sejam giradas 36° uma em relação à outra. É topologicamente equivalente ao antiprisma pentagonal retificado.
Faces: 10 triângulos, 10 quadrados e 2 pentágonos | Arestas: 40 | Vértices: 20 | Ângulos diédricos: 159.09°, 148.28° e 69.09°. Mais sobre…
32. Ortocúpula rotunda pentagonal
J32 A ortocúpula rotunda pentagonal é um dos sólidos de Johnson. Pode ser construída anexando uma cúpula pentagonal e uma rotunda pentagonal em suas bases decagonais, de modo que as duas bases pentagonais estejam na mesma orientação. Se a cúpula e a rotunda forem unidas de modo que as bases sejam giradas 36°, o resultado é a girocúpula rotunda pentagonal.
Faces: 15 triângulos, 5 quadrados e 7 pentágonos | Arestas: 50 | Vértices: 25 | Ângulos diédricos: 159.09°, 148.28°, 142.62°, 110.95° e 100.81°. Mais sobre…
Johnson solids part 1 (J1 - J32): Visualization of polyhedra with Augmented Reality and Virtual Reality de Paulo Henrique Siqueira está licenciado com uma Licença Creative Commons Atribuição-NãoComercial-SemDerivações 4.0 Internacional.
Como citar este trabalho:
Siqueira, P.H., "Johnson solids part 1 (J1 - J32): Visualization of polyhedra with Augmented Reality and Virtual Reality". Disponível em: <https://paulohscwb.github.io/polyhedra/johnson1/>, Julho de 2023.
Referências:
Weisstein, Eric W. “Johnson Solid” From MathWorld-A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/JohnsonSolid.html
Polytope Miraheze https://polytope.miraheze.org/wiki/Johnson_solid
Wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Johnson_solid
McCooey, David I. “Visual Polyhedra”. http://dmccooey.com/polyhedra/