Visualização de poliedros com Realidade Aumentada (RA) e Realidade Virtual (RV) em A-frame
autor: Paulo Henrique Siqueira - Universidade Federal do Paraná
contato: paulohscwb@gmail.com
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Sólidos de Johnson - parte 3: J63 - J92
Um sólido de Johnson é um poliedro de face regular estritamente convexo que não é uniforme. Eles receberam o nome de Norman Woodason Johnson, que em 1966 listou pela primeira vez todos os 92 poliedros. Na terceira parte, temos mais 30 sólidos de Johnson.
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Realidade Aumentada
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Modelos 3D
1. Icosaedro tridiminuído
J63 O icosaedro tridiminuído é um dos 92 sólidos de Johnson. Pode ser construído removendo 3 vértices mutuamente não adjacentes de um icosaedro regular. O nome refere-se a uma maneira de construí-lo, removendo três pirâmides pentagonais J2 de um icosaedro regular, que substitui três conjuntos de cinco faces triangulares do icosaedro por três faces pentagonais mutuamente adjacentes.
Faces: 5 triângulos e 3 pentágonos | Arestas: 15 | Vértices: 9 | Ângulos diédricos: 138.19°, 100.81° e 63.43°. Mais sobre…
2. Icosaedro tridiminuído aumentado
J64 O icosaedro tridiminuído aumentado é um dos sólidos de Johnson. Pode ser construído anexando um tetraedro, visto como uma pirâmide triangular, à face triangular do icosaedro tridiminuído que está conectada apenas aos pentágonos. É o único sólido de Johnson que é construído usando diminuição e aumento, assumindo que nenhuma diminuição e aumento se anulam.
Faces: 7 triângulos e 3 pentágonos | Arestas: 18 | Vértices: 10 | Ângulos diédricos: 171.34°, 138.19°, 100.81°, 70.53° e 63.43°. Mais sobre…
3. Tetraedro truncado aumentado
J65 O tetraedro truncado aumentado é um dos sólidos de Johnson. Pode ser construído anexando uma cúpula triangular J3 a uma das faces hexagonais do tetraedro truncado.
Faces: 8 triângulos, 3 quadrados e 3 hexágonos | Arestas: 27 | Vértices: 15 | Ângulos diédricos: 164.21°, 141.06°, 125.26°, 109.47° e 70.53°. Mais sobre…
4. Cubo truncado aumentado
J66 O cubo truncado aumentado é um dos sólidos de Johnson. Pode ser construído anexando uma cúpula quadrada J4 a uma das faces octogonais do cubo truncado.
Faces: 12 triângulos, 5 quadrados e 5 octógonos | Arestas: 48 | Vértices: 28 | Ângulos diédricos: 170.26°, 144.74°, 135°, 125.26° e 90°. Mais sobre…
5. Cubo truncado biaumentado
J67 O cubo truncado biaumentado é um dos sólidos de Johnson. Pode ser construído anexando cúpulas quadradas J4 a duas faces octogonais opostas do cubo truncado.
Faces: 16 triângulos, 10 quadrados e 4 octógonos | Arestas: 60 | Vértices: 32 | Ângulos diédricos: 170.26°, 144.74°, 135°, 125.26° e 90°. Mais sobre…
6. Dodecaedro truncado aumentado
J68 O dodecaedro truncado aumentado é um dos sólidos de Johnson. Pode ser construído anexando uma cúpula pentagonal J5 a uma das faces decagonais do dodecaedro truncado.
Faces: 25 triângulos, 5 quadrados, 1 pentágono e 11 decágonos | Arestas: 105 | Vértices: 65 | Ângulos diédricos: 174.34°, 159.09°, 153.94°, 148.28°, 142.62° e 116.57°. Mais sobre…
7. Dodecaedro truncado parabiaumentado
J69 O dodecaedro truncado parabiaumentado é um dos sólidos de Johnson. Pode ser construído anexando duas cúpulas pentagonais J5 a duas faces decagonais opostas do dodecaedro truncado.
Faces: 30 triângulos, 10 quadrados, 2 pentágonos e 10 decágonos | Arestas: 120 | Vértices: 70 | Ângulos diédricos: 174.34°, 159.09°, 153.94°, 148.28°, 142.62° e 116.57°. Mais sobre…
8. Dodecaedro truncado metabiaumentado
J70 O dodecaedro truncado metabiaumentado é um dos sólidos de Johnson. Pode ser construído anexando duas cúpulas pentagonais J5 a duas faces decagonais não opostas e não adjacentes do dodecaedro truncado.
Faces: 30 triângulos, 10 quadrados, 2 pentágonos e 10 decágonos | Arestas: 120 | Vértices: 70 | Ângulos diédricos: 174.34°, 159.09°, 153.94°, 148.28°, 142.62° e 116.57°. Mais sobre…
9. Dodecaedro truncado triaumentado
J71 O dodecaedro truncado triaumentado é um dos sólidos de Johnson. Pode ser construído anexando cúpulas pentagonais J5 a três faces decagonais mutuamente não adjacentes do dodecaedro truncado.
Faces: 35 triângulos, 15 quadrados, 3 pentágonos e 9 decágonos | Arestas: 135 | Vértices: 75 | Ângulos diédricos: 174.34°, 159.09°, 153.94°, 148.28°, 142.62° e 116.57°. Mais sobre…
10. Rombicosidodecaedro girado
J72 O rombicosidodecaedro girado é um dos sólidos de Johnson. Pode ser construído girando uma das cúpulas pentagonais do pequeno rombicosidodecaedro com ângulo de medida igual a 36°.
Faces: 20 triângulos, 30 quadrados e 12 pentágonos | Arestas: 120 | Vértices: 60 | Ângulos diédricos: 159.09°, 153.94°, 153.43° e 148.28°. Mais sobre…
11. Rombicosidodecaedro parabigirado
J73 O rombicosidodecaedro parabigirado é um dos sólidos de Johnson. Pode ser construído girando duas cúpulas pentagonais opostas do pequeno rombicosidodecaedro com ângulos de medidas iguais a 36°.
Faces: 20 triângulos, 30 quadrados e 12 pentágonos | Arestas: 120 | Vértices: 60 | Ângulos diédricos: 159.09°, 153.94°, 153.43° e 148.28°. Mais sobre…
12. Rombicosidodecaedro metabigirado
J74 O rombicosidodecaedro metabigirado é um dos sólidos de Johnson. Pode ser construído girando duas cúpulas pentagonais não opostas do pequeno rombicosidodecaedro com ângulos de medidas iguais a 36°.
Faces: 20 triângulos, 30 quadrados e 12 pentágonos | Arestas: 120 | Vértices: 60 | Ângulos diédricos: 159.09°, 153.94°, 153.43° e 148.28°. Mais sobre…
13. Rombicosidodecaedro trigirado
J75 O rombicosidodecaedro trigirado é um dos sólidos de Johnson. Pode ser construído girando três cúpulas pentagonais mutuamente não adjacentes do pequeno rombicosidodecaedro com ângulos de medidas iguais a 36°.
Faces: 20 triângulos, 30 quadrados e 12 pentágonos | Arestas: 120 | Vértices: 60 | Ângulos diédricos: 159.09°, 153.94°, 153.43° e 148.28°. Mais sobre…
14. Rombicosidodecaedro diminuído
J76 O rombicosidodecaedro diminuído é um dos sólidos de Johnson. Pode ser construído removendo uma das cúpulas pentagonais do pequeno rombicosidodecaedro.
Faces: 15 triângulos, 25 quadrados, 11 pentágonos e 1 decágono | Arestas: 105 | Vértices: 55 | Ângulos diédricos: 159.09°, 121.72°, 116.57° e 148.28°. Mais sobre…
15. Rombicosidodecaedro diminuído paragirado
J77 O rombicosidodecaedro diminuído paragirado é um dos sólidos de Johnson. Pode ser construído removendo uma das cúpulas pentagonais do pequeno rombicosidodecaedro e girando a cúpula oposta com ângulo de medida igual a 36°.
Faces: 15 triângulos, 25 quadrados, 11 pentágonos e 1 decágono | Arestas: 105 | Vértices: 55 | Ângulos diédricos: 159.09°, 121.72°, 153.43°, 153.94°, 116.57° e 148.28°. Mais sobre…
16. Rombicosidodecaedro diminuído metagirado
J78 O rombicosidodecaedro diminuído metagirado é um dos sólidos de Johnson. Pode ser construído removendo uma das cúpulas pentagonais do pequeno rombicosidodecaedro e girando outra cúpula não oposta com ângulo de medida igual a 36°.
Faces: 15 triângulos, 25 quadrados, 11 pentágonos e 1 decágono | Arestas: 105 | Vértices: 55 | Ângulos diédricos: 159.09°, 121.72°, 153.43°, 153.94°, 116.57° e 148.28°. Mais sobre…
17. Rombicosidodecaedro diminuído bigirado
J79 O rombicosidodecaedro diminuído bigirado é um dos sólidos de Johnson. Pode ser construído removendo uma das cúpulas pentagonais do pequeno rombicosidodecaedro e girando mais duas cúpulas não opostas com ângulos de medidas iguais a 36°.
Faces: 15 triângulos, 25 quadrados, 11 pentágonos e 1 decágono | Arestas: 105 | Vértices: 55 | Ângulos diédricos: 159.09°, 121.72°, 153.43°, 153.94°, 116.57° e 148.28°. Mais sobre…
18. Rombicosidodecaedro parabidiminuído
J80 O rombicosidodecaedro parabidiminuído é um dos sólidos de Johnson. Pode ser construído removendo-se duas cúpulas pentagonais opostas do pequeno rombicosidodecaedro.
Faces: 10 triângulos, 20 quadrados, 10 pentágonos e 2 decágonos | Arestas: 90 | Vértices: 50 | Ângulos diédricos: 159.09°, 121.72°, 116.57° e 148.28°. Mais sobre…
19. Rombicosidodecaedro metabidiminuído
J81 O rombicosidodecaedro metabidiminuído é um dos sólidos de Johnson. Pode ser construído removendo-se duas cúpulas pentagonais não opostas do pequeno rombicosidodecaedro.
Faces: 10 triângulos, 20 quadrados, 10 pentágonos e 2 decágonos | Arestas: 90 | Vértices: 50 | Ângulos diédricos: 159.09°, 121.72°, 116.57° e 148.28°. Mais sobre…
20. Rombicosidodecaedro bidiminuído girado
J82 O rombicosidodecaedro bidiminuído girado é um dos sólidos de Johnson. Pode ser construído removendo-se duas cúpulas pentagonais não opostas do pequeno rombicosidodecaedro e girando uma terceira cúpula com ângulo de medida igual a 36°.
Faces: 10 triângulos, 20 quadrados, 10 pentágonos e 2 decágonos | Arestas: 90 | Vértices: 50 | Ângulos diédricos: 159.09°, 121.72°, 153.43°, 153.94°, 116.57° e 148.28°. Mais sobre…
21. Rombicosidodecaedro tridiminuído
J83 O rombicosidodecaedro tridiminuído é um dos sólidos de Johnson. Pode ser construído removendo três cúpulas pentagonais do pequeno rombicosidodecaedro.
Faces: 5 triângulos, 15 quadrados, 9 pentágonos e 3 decágonos | Arestas: 75 | Vértices: 45 | Ângulos diédricos: 159.09°, 121.72°, 116.57° e 148.28°. Mais sobre…
22. Disfenóide snub
J84 O disfenóide snub é um dos sólidos de Johnson. Pode ser construído a partir de um tetraedro, visto como um antiprisma digonal ou disfenóide, expandindo as metades para fora e inserindo um conjunto de 8 triângulos entre as metades.
Faces: 12 triângulos | Arestas: 18 | Vértices: 8 | Ângulos diédricos: 96.2°, 121.74° e 166.44°. Mais sobre…
23. Antiprisma quadrado snub
J85 O antiprisma quadrado snub é um dos sólidos de Johnson. Pode ser construído a partir de um antiprisma quadrado expandindo as metades para fora e inserindo um conjunto de 16 triângulos entre as metades.
Faces: 24 triângulos e 2 quadrados | Arestas: 40 | Vértices: 16 | Ângulos diédricos: 144.14°, 119.11°, 164.26°, 145.44° e 114.65°. Mais sobre…
24. Esfenocorona
J86 A esfenocorona é um dos sólidos de Johnson. É um dos vários poliedros próximos ao final da lista de sólidos de Johnson sem alguma relação óbvia com um dos poliedros uniformes. O nome é derivado de “spheno” (que significa um arranjo em forma de cunha de duas “luas”, onde cada lua consiste em um quadrado ligado a dois triângulos) e “corona” denotando uma estrutura em forma de coroa composta por 8 triângulos.
Faces: 12 triângulos e 2 quadrados | Arestas: 22 | Vértices: 10 | Ângulos diédricos: 143.48°, 135.99°, 114.74°, 159.89°, 118.89°, 131.44°, 97.46°, 109.52° e 117.02°. Mais sobre…
25. Esfenocorona aumentada
J87 A esfenocorona aumentada é um dos sólidos de Johnson. Pode ser construída anexando uma pirâmide quadrada a uma das faces quadradas da esfenocorona J86.
Faces: 16 triângulos e 1 quadrado | Arestas: 26 | Vértices: 11 | Ângulos diédricos: 143.48°, 135.99°, 114.74°, 159.89°, 118.89°, 131.44°, 97.46°, 109.52°, 164.26°, 171.75° e 152.19°. Mais sobre…
26. Esfenomegacorona
J88 A esfenomegacorona é um dos sólidos de Johnson. O nome é derivado de “spheno”, que significa um arranjo em forma de cunha de duas “luas”, onde cada lua consiste em um quadrado ligado a dois triângulos, e “megacorona”, denotando uma grande estrutura em forma de coroa composta por 12 triângulos, oposta à menor “coroa” de 8 triângulos encontrados na esfenocorona.
Faces: 16 triângulos e 2 quadrados | Arestas: 28 | Vértices: 12 | Ângulos diédricos: 86.72°, 117.36°, 129.44°, 137.24°, 143.74°, 154.72°, 161.48° e 171.65°. Mais sobre…
27. Hebesfenomegacorona
J89 A hebesfenomegacorona é um dos sólidos de Johnson. O nome é derivado de “hebespheno” (que significa um arranjo em forma de cunha de três “luas”, onde cada lua consiste em um quadrado ligado a dois triângulos) e “megacorona” denotando uma estrutura em forma de coroa composta por 12 triângulos (em oposição à menor “coroa” de 8 triângulos encontrados na esfenocorona). Tem uma distante relação com o icosaedro: se o quadrado do meio for contraído até uma aresta de modo que os quadrados vizinhos se tornem triângulos e os triângulos vizinhos se toquem, o resultado é um icosaedro.
Faces: 18 triângulos e 3 quadrados | Arestas: 33 | Vértices: 14 | Ângulos diédricos: 157.15°, 141.34°, 128.5°, 111.73°, 149.56°, 101.29°, 152.98°, 102.52° e 133.97°. Mais sobre…
28. Disfenocingulum
J90 O disfenocingulum é um dos sólidos de Johnson. O nome é derivado de “spheno” (que significa um arranjo em forma de cunha de duas “luas”, onde cada lua consiste em um quadrado ligado a dois triângulos - “di” significa dois desses conjuntos) e “cingulum” denotando uma forma de coroa de 12 triângulos.
Faces: 20 triângulos e 4 quadrados | Arestas: 38 | Vértices: 16 | Ângulos diédricos: 124.7°, 148.43°, 133.59°, 166.81°, 154.42°, 134.34° e 100.19°. Mais sobre…
29. Birotunda bilunar
J91 A birotunda bilunar é um dos sólidos de Johnson. A “birotunda” no nome significa duas rotundas, enquanto a “bilunar” se refere às duas luas (seções com um quadrado conectando-se a dois triângulos). Se as partes “rotunda” de dois bilunabirotundae estiverem alinhadas com as partes correspondentes opostas de um icosidodecaedro, elas se tocam no centro do icosidodecaedro porque a altura de cada bilunabirotunda nessa direção é exatamente a metade da altura do icosidodecaedro.
Faces: 8 triângulos, 2 quadrados e 4 pentágonos | Arestas: 26 | Vértices: 14 | Ângulos diédricos: 159.09°, 142.62°, 110.95°, 100.81° e 63.43°. Mais sobre…
30. Hebesfenorotunda triangular
J92 A hebesfenorotunda triangular é um dos sólidos de Johnson. A hebesfenorotunda triangular também tem uma conexão com o pequeno rombicosidodecaedro. Os triângulos e quadrados que formam a porção “lunar” do sólido são congruentes com os triângulos e quadrados correspondentes do pequeno rombicosidodecaedro.
Faces: 13 triângulos, 3 quadrados, 3 pentágonos e 1 hexágono | Arestas: 36 | Vértices: 18 | Ângulos diédricos: 159.09°, 142.62°, 138.19°, 110.95° e 100.81°.. Mais sobre…
Johnson solids part 3 (J63 - J92): Visualization of polyhedra with Augmented Reality and Virtual Reality de Paulo Henrique Siqueira está licenciado com uma Licença Creative Commons Atribuição-NãoComercial-SemDerivações 4.0 Internacional.
Como citar este trabalho:
Siqueira, P.H., "Johnson solids part 3 (J63 - J92): Visualization of polyhedra with Augmented Reality and Virtual Reality". Disponível em: <https://paulohscwb.github.io/polyhedra/johnson3/>, Julho de 2023.
Referências:
Weisstein, Eric W. “Johnson Solid” From MathWorld-A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/JohnsonSolid.html
Polytope Miraheze https://polytope.miraheze.org/wiki/Johnson_solid
Wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Johnson_solid
McCooey, David I. “Visual Polyhedra”. http://dmccooey.com/polyhedra/