Visualização de poliedros com Realidade Aumentada (RA) e Realidade Virtual (RV) em A-frame
autor: Paulo Henrique Siqueira - Universidade Federal do Paraná
contato: paulohscwb@gmail.com
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Pirâmides, tetraedros, prismas e antiprismas
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Modelos 3D
1. Prisma
U76 Um prisma geral é um poliedro que possui duas faces poligonais congruentes e com todas as faces restantes paralelogramos. Um prisma reto é um prisma no qual os polígonos superior e inferior ficam um sobre o outro, de modo que os polígonos verticais que conectam seus lados não são apenas paralelogramos, mas retângulos. Os prismas regulares retos têm redes particularmente simples, dadas por duas bases n-gonais de orientação oposta conectadas por um conjunto de n quadrados. O exemplo mostrado nesta página é de um prisma reto regular heptagonal.
Faces: 2 polígonos de n lados (bases) e n quadrados, retângulos ou paralelogramos (faces laterais) | Arestas: 3n | Vértices: 2n. Mais sobre…
2. Prisma estrelado
U78 Um prisma estrelado ou poligrâmico é formado por dois polígonos estrelados (poligramas) regulares deslocados ao longo de seu eixo de simetria e com arestas correspondentes conectadas por faces laterais (quadrados, retângulos ou paralelogramos). O exemplo mostrado nesta página é de um prisma reto estrelado octogonal (prisma octagrâmico).
Faces: 2 polígonos estrelados de n lados (bases) e n quadrados, retângulos ou paralelogramos (faces laterais) | Arestas: 3n | Vértices: 2n. Mais sobre…
3. Antiprisma
U77 Um antiprisma de n lados geral é um poliedro que consiste em faces com n lados idênticas, superior e inferior, cuja periferia é limitada por um conjunto de 2n triângulos com orientações alternadas de cima para baixo. Se as faces superior e inferior são polígonos regulares deslocados um em relação ao outro na direção perpendicular ao plano dos polígonos e girados um em relação ao outro por um ângulo de 180°/n, então o antiprisma é conhecido como um antiprisma regular e suas faces são triângulos equiláteros. O exemplo mostrado nesta página é de um antiprisma regular hexagonal.
Faces: 2 polígonos de n lados (bases) e 2n triângulos (faces laterais) | Arestas: 4n | Vértices: 2n. Mais sobre…
4. Antiprisma estrelado
U79 Um antiprisma estrelado ou poligrâmico é formado por dois polígonos estrelados (poligramas) regulares superior e inferior, cuja periferia é limitada por um conjunto de 2n triângulos com orientações alternadas de cima para baixo. O exemplo mostrado nesta página é de um antiprisma reto estrelado pentagonal (antiprisma pentagrâmico).
Faces: 2 polígonos estrelados de n lados (bases) e 2n triângulos (faces laterais) | Arestas: 4n | Vértices: 2n. Mais sobre…
5. Antiprisma cruzado estrelado
U80 Um antiprisma cruzado estrelado ou poligrâmico é formado por dois polígonos estrelados (poligramas) regulares superior e inferior, cuja periferia é limitada por um conjunto de 2n triângulos com orientações alternadas de cima para baixo conectados com vértices opostos das bases. O exemplo mostrado nesta página é de um antiprisma reto cruzado estrelado heptagonal (antiprisma heptagrâmico cruzado).
Faces: 2 polígonos estrelados de n lados (bases) e 2n triângulos (faces laterais) | Arestas: 4n | Vértices: 2n. Mais sobre…
6. Pirâmide
Uma pirâmide é um poliedro com uma face poligonal (conhecida como base) e todas as outras faces triangulares que se encontram em um vértice comum (conhecido como “ápice”). Uma pirâmide reta é uma pirâmide para a qual a linha que une o centróide da base e o ápice é perpendicular à base. Uma pirâmide regular é uma pirâmide reta cuja base é um polígono regular. O exemplo mostrado nesta página é de uma pirâmide reta regular heptagonal.
Faces: 1 polígono de n lados (base) e n triângulos (faces laterais) | Arestas: 2n | Vértices: n + 1. Mais sobre…
7. Pirâmide estrelada
Uma pirâmide estrelada ou poligrâmica é formada por um polígono estrelado (poligrama) regular com arestas correspondentes conectadas por faces laterais triangulares que se encontram em um vértice comum (conhecido como “ápice”). O exemplo mostrado nesta página é de uma pirâmide estrelada octogonal (pirâmide octagrâmica).
Faces: 1 polígono estrelado de n lados (base) e n triângulos (faces laterais) | Arestas: 2n | Vértices: n + 1. Mais sobre…
8. Dipirâmide
Uma dipirâmide, também chamada de bipirâmide ou pirâmide dupla, consiste em duas pirâmides colocadas simetricamente de base a base. As dipirâmides são duais dos prismas regulares. Seus esqueletos são os gráficos dipiramidais. O exemplo mostrado nesta página é de uma dipirâmide regular pentagonal.
Faces: 2n triângulos | Arestas: 3n | Vértices: n + 2. Mais sobre…
9. Dipirâmide estrelada
Uma dipirâmide estrelada, também chamada de bipirâmide estrelada ou pirâmide dupla estrelada, consiste em duas pirâmides estreladas colocadas simetricamente de base a base. As dipirâmides estreladas são duais dos prismas estrelados. O exemplo mostrado nesta página é de uma dipirâmide regular estrelada pentagonal ou dipirâmide pentagrâmica.
Faces: 2n triângulos | Arestas: 3n | Vértices: n + 2. Mais sobre…
10. Trapezoedro
Um trapezoedro de n vértices, também chamado de antidipirâmide, antibipirâmide ou deltoedro é um sólido composto de “pipas” quadrilaterais simétricas intercaladas, metade das quais se encontram em um vértice superior e metade em um vértice inferior. Um trapezoedro regular pode ser construído a partir de dois conjuntos de pontos colocados em torno de dois polígonos regulares de n lados deslocados um em relação ao outro na direção perpendicular ao plano dos polígonos e girados um em relação ao outro por um ângulo de 180°/n. Este poliedro é o dual do antiprisma. O exemplo mostrado nesta página é de um trapezoedro regular hexagonal.
Faces: 2n “pipas” | Arestas: 4n | Vértices: 2n + 2. Mais sobre…
11. Trapezoedro estrelado
Um trapezoedro estrelado de n vértices, também chamado de antidipirâmide estrelada, deltoedro estrelado ou antibipirâmide estrelada é um sólido composto de “pipas” quadrilaterais intercaladas, metade das quais se encontram em um vértice superior e metade em um vértice inferior. Este poliedro é o dual do antiprisma estrelado. O exemplo mostrado nesta página é de um trapezoedro regular estrelado heptagonal (trapezoedro heptagrâmico).
Faces: 2n “pipas” | Arestas: 4n | Vértices: 2n + 2. Mais sobre…
12. Trapezoedro estrelado côncavo
Um trapezoedro estrelado côncavo de n vértices, também chamado de antidipirâmide estrelada côncava, deltoedro estrelado côncavo ou antibipirâmide estrelada côncava é um sólido composto de “dardos” quadrilaterais intercalados, metade das quais se encontram em um vértice superior e metade em um vértice inferior. Este poliedro é o dual do antiprisma cruzado estrelado. O exemplo mostrado nesta página é de um trapezoedro regular estrelado côncavo octogonal (trapezoedro octagrâmico côncavo).
Faces: 2n “dardos” | Arestas: 4n | Vértices: 2n + 2. Mais sobre…
13. Tetraedro isósceles
Um tetraedro isósceles é não regular e os pares de arestas opostas do poliedro são iguais, de modo que todas as faces triangulares são congruentes. Tetraedros isósceles são, portanto, isoedros. A única maneira de todas as faces de um tetraedro geral terem o mesmo perímetro ou a mesma área é serem totalmente congruentes, caso em que o tetraedro é isósceles. Um tetraedro é isósceles se a soma dos ângulos da face em cada vértice do poliedro é de 180° e se sua esfera e circunsfera são concêntricas.
Faces: 4 triângulos escalenos | Arestas: 6 | Vértices: 4. Mais sobre…
14. Dodecaedro Trapezo-Rômbico
O dodecaedro trapezo-rômbico, também chamado de dodecaedro rombo-trapezoidal, é um dodecaedro geral que consiste em seis losangos idênticos e seis trapézios isósceles idênticos. O dodecaedro trapezo-rômbico pode ser obtido a partir do dodecaedro rômbico cortando-o ao meio e girando as duas metades 60° uma em relação à outra. Os comprimentos das arestas curta e longa do dodecaedro girado têm comprimentos 2/3 e 4/3 vezes o comprimento das faces rômbicas.
Faces: 6 losangos e 6 trapézios isósceles | Arestas: 24 | Vértices: 14. Mais sobre…
15. Dodecaedro pentagonal octaédrico
O dodecaedro pentagonal octaédrico, também chamado de piritoedro, é feito de 12 pentágonos irregulares com 4 lados iguais e simetria bilateral. O dodecaedro regular é um caso especial deste poliedro.
Faces: 12 pentágonos irregulares | Arestas: 30 | Vértices: 20. Mais sobre…
16. Dodecaedro dyakis côncavo
O dodecaedro dyakis côncavo, também chamado de didodecaedro côncavo ou diplóide côncavo, é feito de 24 quadriláteros com apenas dois lados iguais e adjacentes, com alguns ângulos diédricos maiores do que 180°. O hexaedro Möbius octakis é um caso especial deste poliedro.
Faces: 24 quadriláteros | Arestas: 48 | Vértices: 26. Mais sobre…
17. Dodecaedro dyakis
O dodecaedro dyakis, também chamado de didodecaedro ou diplóide, é feito de 24 quadriláteros com apenas dois lados iguais e adjacentes, com todos os ângulos diédricos menores do que 180°. O hexaedro Möbius octakis é um caso especial deste poliedro.
Faces: 24 quadriláteros | Arestas: 48 | Vértices: 26. Mais sobre…
18. Dodecaedro pentagonal tetragonal
Um dodecaedro pentagonal tetragonal (também chamado de tetartóide, pentágono tritetraedro ou dodecaedro pentágono tetraédrico) é um dodecaedro com simetria tetraédrica quiral. Como o dodecaedro regular, ele tem doze faces pentagonais idênticas, com três se encontrando em cada um dos 20 vértices. No entanto, os pentágonos não são regulares e a figura não tem eixos de simetria quíntupla (cada face tem dois pares de lados adjacentes iguais). Embora os dodecaedros regulares não existam nos cristais, a forma tetartoide existe.
Faces: 12 pentágonos irregulares | Arestas: 30 | Vértices: 20. Mais sobre…
19. Tetraedro hexakis
Um tetraedro hexakis (também chamado de hextetraedro) é feito alterando o comprimento dos eixos das faces e os eixos dos pontos médios das arestas de um tetraedro. O tetraedro hexakis equilátero é um deltaedro de Möbius.
Faces: 24 triângulos | Arestas: 36 | Vértices: 14. Mais sobre…
20. Tristetraedro trapezoédrico
O tristetraedro trapezoédrico é o poliedro formado por 12 quadriláteros em forma de “pipa”. Pode ser construído por meio de simetrias a partir de um tetraedro regular.
Faces: 12 “pipas” | Arestas: 24 | Vértices: 14. Mais sobre…
21. Toróide de íris
Um poliedro é chamado de toróide quando possui gênero g ≥ 1 (ou seja, aquele que possui um ou mais orifícios). Um toróide é dito não regular se nem todas as suas faces tiverem o mesmo número de vértices, ou nem todos os seus vértices unirem o mesmo número de faces. O exemplo mostrado é uma base heptagonal regular, com faces laterais quadradas.
Faces: n quadrados e 2n triângulos obtusângulos | Arestas: 5n | Vértices: 2n. Mais sobre…
22. Antitoróide de íris
Quando considerarmos as faces laterais triangulares em um toróide, teremos um poliedro chamado antitoróide. O exemplo mostrado é uma base heptagonal regular, com triângulos equiláteros nas faces laterais.
Faces: 2n triângulos equiláteros e 2n triângulos obtusângulos | Arestas: 6n | Vértices: 2n. Mais sobre…
23. Eneacontaedro rômbico
O eneacontaedro rômbico é um poliedro composto de 90 faces rômbicas com três, cinco ou seis losangos em cada vértice. Tem 60 losangos largos e 30 estreitos e é um zonoedro construído a partir dos 10 diâmetros do dodecaedro com uma semelhança superficial com o triacontaedro rômbico.
Faces: 90 losangos | Arestas: 180 | Vértices: 92. Mais sobre…
24. Eneaedro de Goddard-Henning
O eneaedro de Goddard-Henning é o poliedro canônico obtido do grafo de Goddard-Henning. É um poliedro autodual com a face inferior quadrada. As quatro faces que compartilham uma aresta com a parte inferior são triângulos isósceles, e as quatro faces restantes que se encontram no ápice são “pipas”.
Faces: 4 “pipas”, 1 quadrado e 4 triângulos isósceles | Arestas: 16 | Vértices: 9 | Ângulos diédricos: 101.53°, 120° e 104.51°. Mais sobre…
25. Eneaedro de Herschel
O eneaedro de Herschel é o poliedro canônico cujo esqueleto é o grafo de Herschel. O poliedro dual é um prisma triangular retificado, que pode ser formado como a casca convexa dos pontos médios das arestas de um prisma triangular.
Faces: 6 “pipas” e 3 losangos | Arestas: 18 | Vértices: 9 | Ângulos diédricos: 107.01° e 119.11°. Mais sobre…
26. Paralelepípedo
O paralelepípedo é um prisma cujas faces são todos paralelogramos. O termo rombóide também é usado às vezes com o significado de paralelepípedo. O paralelepípedo retangular (seis faces retangulares), o cubo (seis faces quadradas) e o romboedro (seis losangos) são casos especiais de paralelepípedos.
Faces: 6 paralelogramos, losangos, quadrados ou retângulos | Arestas: 12 | Vértices: 8. Mais sobre…
Pyramids, tetrahedrons, prisms and antiprisms - Visualization of polyhedra with Augmented Reality and Virtual Reality de Paulo Henrique Siqueira está licenciado com uma Licença Creative Commons Atribuição-NãoComercial-SemDerivações 4.0 Internacional.
Como citar este trabalho:
Siqueira, P.H., "Pyramids, tetrahedrons, prisms and antiprisms - Visualization of polyhedra with Augmented Reality and Virtual Reality". Disponível em: <https://paulohscwb.github.io/polyhedra/polyhedron/>, Março de 2023.
Referências:
Weisstein, Eric W. “Miscellaneous Polyhedra” From MathWorld-A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/topics/MiscellaneousPolyhedra.html
Weisstein, Eric W. “Uniform Polyhedron.” From MathWorld–A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/UniformPolyhedron.html
Wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_uniform_polyhedra
McCooey, David I. “Visual Polyhedra”. http://dmccooey.com/polyhedra/