Visualização de poliedros com Realidade Aumentada (RA) e Realidade Virtual (RV) em A-frame
autor: Paulo Henrique Siqueira - Universidade Federal do Paraná
contato: paulohscwb@gmail.com
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Poliedros de auto-interseção
Os poliedros de auto-interseção podem ter faces auto-interseccionadas ou figuras de vértices auto-interseccionados.
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Realidade Aumentada
Para visualizar os poliedros de auto-interseção em RA, visite a página:
https://paulohscwb.github.io/polyhedra/selfintersect/ra.html
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Modelos 3D
1. Dodecaedro ditrigonal
U41 O dodecaedro ditrigonal (ou dodecadodecaedro ditrigonário) é um poliedro uniforme não convexo cujo dual é o icosaedro triâmbico medial. É uma versão facetada do pequeno icosidodecaedro ditrigonal.
Faces: 12 pentágonos regulares e 12 pentagramas regulares | Arestas: 60 | Vértices: 20 | Ângulo diédrico: 63.43°. Mais sobre…
2. Icosaedro triâmbico medial
O icosaedro triâmbico medial é o poliedro dual do dodecadodecaedro ditrigonal cuja aparência externa é a mesma do grande icosaedro triâmbico (o dual do grande icosidodecaedro ditrigonal), pois os vértices internos estão ocultos. O icosaedro triâmbico medial tem faces pentagramas ocultas, enquanto o grande icosaedro triâmbico tem faces triangulares ocultas.
Faces: 20 triambis | Arestas: 60 | Vértices: 24 | Ângulo diédrico: 109.47°. Mais sobre…
3. Pequeno icosidodecaedro ditrigonal
U30 O pequeno icosidodecaedro ditrigonal é um poliedro uniforme não convexo cujo poliedro dual é o pequeno icosaedro triâmbico. Uma versão facetada é o dodecadodecaedro ditrigonal. O casco convexo do pequeno icosidodecaedro ditrigonal é um dodecaedro regular, cujo dual é o icosaedro, então o dual do grande dodecicosidodecaedro ditrigonal (o pequeno icosaedro triâmbico) é uma das estrelas do icosaedro.
Faces: 20 triângulos equiláteros e 12 pentagramas regulares | Arestas: 60 | Vértices: 20 | Ângulo diédrico: 142.62°. Mais sobre…
4. Pequeno icosaedro triâmbico
O pequeno icosaedro triâmbico é o poliedro dual do pequeno icosidodecaedro ditrigonal. Ele pode ser construído pelo aumento de um icosaedro de comprimento unitário de aresta por pirâmides. O casco convexo do pequeno icosidodecaedro ditrigonal é um dodecaedro regular cujo dual é o icosaedro, então o dual do pequeno icosidodecaedro ditrigonal (ou seja, o pequeno icosaedro triâmbico) é uma das estrelas do icosaedro.
Faces: 20 pentágonos | Arestas: 60 | Vértices: 32 | Ângulo diédrico: 109.47°. Mais sobre…
5. Grande icosidodecaedro ditrigonal
U47 O grande icosidodecaedro ditrigonal é o poliedro uniforme cujo dual é o grande icosaedro triâmbico. O casco convexo do grande icosaedro triâmbico é um dodecaedro regular, cujo dual é o icosaedro, de modo que o dual do grande icosidodecaedro ditrigonal (o grande icosaedro triâmbico) é uma das estrelas do icosaedro.
Faces: 20 triângulos equiláteros e 12 pentágonos regulares | Arestas: 60 | Vértices: 20 | Ângulo diédrico: 79.19°. Mais sobre…
6. Grande icosaedro triâmbico
O grande icosaedro triâmbico é o dual do grande icosidodecaedro ditrigonal cuja aparência é a mesma do icosaedro triâmbico medial (o dual do dodecadodecaedro ditrigonal), pois os vértices internos estão ocultos. O icosaedro triâmbico medial tem faces pentagramas ocultas, enquanto o grande icosaedro triâmbico tem faces triangulares ocultas.
Faces: 20 triambis | Arestas: 60 | Vértices: 32 | Ângulo diédrico: 109.47°. Mais sobre…
7. Dodecadodecaedro
U36 O dodecadodecaedro é o poliedro uniforme cujo poliedro dual é o triacontaedro rômbico medial. Seu poliedro dual também é chamado de pequeno triacontaedro estrelado. Pode ser obtido truncando um grande dodecaedro ou facetando um icosidodecaedro com pentágonos e cobrindo os espaços abertos restantes com pentagramas.
Faces: 12 pentágonos regulares e 12 pentagramas regulares | Arestas: 60 | Vértices: 30 | Ângulo diédrico: 116.57°. Mais sobre…
8. Triacontaedro rômbico medial
O triacontaedro rômbico medial é um zonoedro que é o dual do dodecadodecaedro. O triacontaedro rômbico medial contém vértices pentagramas interiores que, no entanto, estão ocultos. O sólido também é chamado de pequeno triacontaedro estrelado.
Faces: 30 losangos | Arestas: 60 | Vértices: 24 | Ângulo diédrico: 120°. Mais sobre…
9. Grande icosidodecaedro
U54 O grande icosidodecaedro é o poliedro uniforme cujo dual é o grande triacontaedro rômbico. É um sólido de Arquimedes estrelado. Seu raio circunscrito para o comprimento unitário da aresta mede R=φ-1, onde φ é a proporção áurea.
Faces: 20 triângulos equiláteros e 12 pentagramas regulares | Arestas: 60 | Vértices: 30 | Ângulo diédrico: 100.81°. Mais sobre…
10. Grande triacontaedro rômbico
O grande triacontaedro rômbico, também chamado de grande triacontaedro estrelado, é um zonoedro que é o dual do grande icosidodecaedro. É uma das estrelas rômbicas de triacontaedro. Aparece junto com uma projeção isométrica do 5-hipercubo na capa do conhecido livro de Coxeter sobre politopos.
Faces: 30 losangos | Arestas: 60 | Vértices: 32 | Ângulo diédrico: 72°. Mais sobre…
11. Pequeno cubicuboctaedro
U13 O pequeno cubicuboctaedro é o poliedro uniforme cujo poliedro dual é o pequeno icositetraedro hexacrônico. Versões facetadas incluem o grande rombicuboctaedro uniforme e o pequeno rhombihexaedro. O casco convexo do pequeno cubicuboctaedro é o pequeno rombicuboctaedro de Arquimedes.
Faces: 8 triângulos equiláteros, 6 quadrados e 6 octógonos regulares | Arestas: 48 | Vértices: 24 | Ângulos diédricos: 90° e 300.26°. Mais sobre…
12. Pequeno icositetraedro hexacrônico
O pequeno icositetraedro hexacrônico é dual do poliedro uniforme pequeno cubicuboctaedro. Parece o mesmo que o pequeno rhombihexacron. Uma parte de cada dardo fica dentro do sólido, portanto, é invisível em modelos sólidos.
Faces: 24 dardos | Arestas: 48 | Vértices: 20 | Ângulo diédrico: 138.12°. Mais sobre…
13. Grande cubicuboctaedro
U14 O grande cubicuboctaedro é o poliedro uniforme cujo poliedro dual é o grande icositetraedro hexacrônico. É uma versão facetada do cubo. O casco convexo do grande cubicuboctaedro é o cubo truncado de Arquimedes.
Faces: 8 triângulos equiláteros, 6 quadrados e 6 octagramas regulares | Arestas: 48 | Vértices: 24 | Ângulos diédricos: 90° e 125.26°. Mais sobre…
14. Grande icositetraedro hexacrônico
O grande icositetraedro hexacrônico é o dual do grande cubicuboctaedro. Suas faces são “pipas”, e parte de cada “pipa” fica dentro do sólido, portanto é invisível em modelos sólidos.
Faces: 24 “pipas” | Arestas: 48 | Vértices: 20 | Ângulo diédrico: 94.53°. Mais sobre…
15. Grande rombicuboctaedro uniforme
U17 O grande rombicuboctaedro uniforme é o poliedro uniforme, também conhecido como quase-rhombicuboctaedro, cujo dual é o grande icositetraedro deltoidal. Este modelo compartilha o nome com o grande rombicuboctaedro convexo, também chamado de cuboctaedro truncado.
Faces: 8 triângulos equiláteros e 18 quadrados | Arestas: 48 | Vértices: 24 | Ângulos diédricos: 45° e 324.74°. Mais sobre…
16. Grande icositetraedro deltoide
O grande icositetraedro deltoide (ou grande disdodecaedro sagital) é o dual do grande rombicuboctaedro uniforme. Suas faces são dardos, e parte de cada dardo fica dentro do sólido, portanto, é invisível em modelos sólidos. Uma de suas metades pode ser girada em 45° para formar o pseudo grande icositetraedro deltoidal, análogo ao pseudo-deltoidal icositetraedro.
Faces: 24 dardos | Arestas: 48 | Vértices: 26 | Ângulo diédrico: 94.53°. Mais sobre…
17. Pequeno dodecicosidodecaedro
U33 O pequeno dodecicosidodecaedro é o poliedro uniforme cujo poliedro dual é o pequeno hexecontaedro dodecacrônico. É uma versão facetada do pequeno rombicosidodecaedro. O pequeno dodecicosidodecaedro aparece na capa do livro “Computer Science with Mathematica” de Roman E. Maeder (1999).
Faces: 20 triângulos equiláteros, 12 pentágonos regulares e 12 decágonos regulares | Arestas: 120 | Vértices: 60 | Ângulos diédricos: 116.57° e 322.62°. Mais sobre…
18. Pequeno hexecontaedro dodecacrônico
O pequeno hexecontaedro dodecacrônico é o poliedro dual do pequeno dodecicosidodecaedro. É visualmente idêntico ao pequeno rhombidodecacron. Suas faces são dardos, e uma parte de cada dardo fica dentro do sólido, portanto, é invisível em modelos sólidos.
Faces: 60 dardos | Arestas: 120 | Vértices: 44 | Ângulo diédrico: 154.12°. Mais sobre…
19. Grande dodecicosidodecaedro
U61 O Grande dodecicosidodecaedro (ou grande dodekicosidodecaedro) é o poliedro uniforme cujo dual é o grande hexecontaedro dodecacrônico. Ele compartilha seu arranjo de vértice com o grande dodecaedro truncado e os sólidos compostos uniformes de 6 ou 12 prismas pentagonais.
Faces: 20 triângulos equiláteros, 12 pentagramas regulares e 12 decagramas regulares | Arestas: 120 | Vértices: 60 | Ângulos diédricos: 100.81° e 116.57°. Mais sobre…
20. Grande hexecontaedro dodecacrônico
O Grande hexecontaedro dodecacrônico (ou grande ditriacontaedro lanceal) é o dual do grande dodecicosidodecaedro. Suas 60 faces quadrilaterais que se cruzam são “pipas”. Parte de cada “pipa” fica dentro do sólido, portanto, é invisível em modelos sólidos.
Faces: 60 “pipas” | Arestas: 120 | Vértices: 44 | Ângulo diédrico: 91.55°. Mais sobre…
21. Pequeno dodecicosidodecaedro ditrigonal
U43 O pequeno dodecicosidodecaedro ditrigonal é o poliedro uniforme cujo dual é o icosaedro triâmbico pequeno. Uma versão facetada é o dodecadodecaedro ditrigonal. O casco convexo do pequeno icosidodecaedro ditrigonal é um dodecaedro regular, cujo dual é o icosaedro, assim o dual do grande dodecicosidodecaedro ditrigonal (o pequeno icosaedro triâmbico) é uma das estrelas do icosaedro.
Faces: 20 triângulos equiláteros, 12 pentagramas regulares e 12 decágonos regulares | Arestas: 120 | Vértices: 60 | Ângulos diédricos: 100.81° e 296.56°. Mais sobre…
22. Pequeno hexecontaedro ditrigonal dodecacrônico
O pequeno hexecontaedro ditrigonal dodecacrônico (ou estrela “gorda”) é o poliedro dual do pequeno dodecicosidodecaedro ditrigonal. É visualmente idêntico ao pequeno dodecicosacron e suas faces são dardos. Uma parte de cada dardo está dentro do sólido, portanto, invisível em modelos sólidos.
Faces: 60 dardos | Arestas: 120 | Vértices: 44 | Ângulo diédrico: 146.23°. Mais sobre…
23. Grande dodecicosidodecaedro ditrigonal
U42 O Grande dodecicosidodecaedro ditrigonal (ou grande icosidodecaedro dodekificado) é o poliedro uniforme cujo dual é o grande hexecontaedro dodecacrônico ditrigonal. O casco convexo do grande dodecicosidodecaedro ditrigonal é um dodecaedro truncado, cujo dual é o icosaedro triakis, assim o dual do grande dodecicosidodecaedro ditrigonal (o grande icosaedro triâmbico) é uma estrela do icosaedro triakis.
Faces: 20 triângulos equiláteros, 12 pentágonos regulares e 12 decagramas regulares | Arestas: 120 | Vértices: 60 | Ângulos diédricos: 116.56° e 142.62°. Mais sobre…
24. Grande hexecontaedro dodecacrônico ditrigonal
O Grande hexecontaedro dodecacrônico ditrigonal (ou grande trisicosaedro lanceal) é o dual do grande dodecicosidodecaedro ditrigonal e suas faces são “pipas”. Parte de cada “pipa” fica dentro do sólido, portanto, é invisível em modelos sólidos.
Faces: 60 “pipas” | Arestas: 120 | Vértices: 44 | Ângulo diédrico: 127.69°. Mais sobre…
25. Icosidodecadodecaedro
U44 O Icosidodecadodecaedro (ou dodecadodecaedro icosificado) é o poliedro uniforme cujo dual é o hexecontaedro icosacrônico medial. Sua figura de vértice é um quadrilátero cruzado e compartilha seu arranjo de vértice com os compostos uniformes de 10 ou 20 prismas triangulares.
Faces: 20 hexágonos regulares, 12 pentagramas regulares e 12 pentágonos regulares | Arestas: 120 | Vértices: 60 | Ângulos diédricos: 100.81° e 322.62°. Mais sobre…
26. Hexecontaedro icosacrônico medial
O hexecontaedro icosacrônico medial (ou ditriacontaedro sagital médio) é o dual do icosidodecadodecaedro. Suas faces são dardos e parte de cada dardo fica dentro do sólido, portanto é invisível em modelos sólidos.
Faces: 60 dardos | Arestas: 120 | Vértices: 44 | Ângulo diédrico: 135.58°. Mais sobre…
27. Pequeno icosicosidodecaedro
U31 O pequeno icosicosidodecaedro (ou pequeno icosidodecaedro icosificado) é o poliedro uniforme cujo dual é o pequeno hexecontaedro icosacrônico. Ele compartilha seu arranjo de vértice com o grande dodecaedro truncado estrelado.
Faces: 20 triângulos equiláteros, 12 pentagramas regulares e 12 hexágonos regulares | Arestas: 120 | Vértices: 60 | Ângulos diédricos: 138.19° e 142.62°. Mais sobre…
28. Pequeno hexecontaedro icosacrônico
O pequeno hexecontaedro icosacrônico (ou pequeno trisicosaedro lanceal) é o poliedro dual do pequeno icosicosidodecaedro. Suas faces são “pipas” e parte de cada “pipa” fica dentro do sólido, portanto é invisível em modelos sólidos.
Faces: 60 “pipas” | Arestas: 120 | Vértices: 52 | Ângulo diédrico: 146.23°. Mais sobre…
29. Grande icosicosidodecaedro
U48 O grande icosicosidodecaedro (ou grande icosidodecaedro icosificado) é o poliedro uniforme cujo dual é o grande hexecontaedro icosacrônico. Ele compartilha seu arranjo de vértice com o dodecaedro truncado e sua figura de vértice é um quadrilátero cruzado.
Faces: 20 triângulos equiláteros, 12 pentágonos regulares e 20 hexágonos regulares | Arestas: 120 | Vértices: 60 | Ângulos diédricos: 79.19° e 318.19°. Mais sobre…
30. Grande hexecontaedro icosacrônico
O Grande hexecontaedro icosacrônico (ou grande trisicosaedro sagital) é o dual do grande icosicosidodecaedro. Suas faces são dardos e uma parte de cada dardo fica dentro do sólido, portanto é invisível em modelos sólidos.
Faces: 60 dardos | Arestas: 120 | Vértices: 52 | Ângulo diédrico: 127.69°. Mais sobre…
31. Rombidodecadodecaedro
U38 O rombidodecadodecaedro (ou grande dodecaedro cantelado) é o poliedro uniforme cujo dual é o hexecontaedro deltoidal medial. Ele compartilha seu arranjo de vértice com os compostos uniformes de 10 ou 20 prismas triangulares.
Faces: 30 quadrados, 12 pentágonos regulares e 12 pentagramas regulares | Arestas: 120 | Vértices: 60 | Ângulos diédricos: 121.71° e 148.28°. Mais sobre…
32. Hexecontaedro deltoidal medial
O hexecontaedro deltoidal medial é o dual do rombidodecadodecaedro. Suas 60 faces quadrilaterais que se cruzam são “pipas” e parte de cada “pipa” fica dentro do sólido, portanto é invisível em modelos sólidos.
Faces: 60 “pipas” | Arestas: 120 | Vértices: 54 | Ângulo diédrico: 135.58°. Mais sobre…
33. Grande rombicosidodecaedro uniforme
U67 O grande rombicosidodecaedro uniforme (ou quasirrombicosidodecaedro) é o poliedro uniforme cujo dual é o grande hexecontaedro deltoidal. Sua figura de vértice é um quadrilátero cruzado e compartilha seu arranjo de vértice com o grande dodecaedro truncado e com os compostos uniformes de 6 ou 12 prismas pentagonais.
Faces: 30 quadrados, 20 triângulos equiláteros e 12 pentagramas regulares | Arestas: 120 | Vértices: 60 | Ângulos diédricos: 69.09° e 301.71°. Mais sobre…
34. Grande hexecontaedro deltoidal
O grande hexecontaedro deltoidal (ou grande ditriacontaedro sagital) é o dual do grande rombicosidodecaedro uniforme. É visualmente idêntico ao grande rombidodecacron e parte de cada dardo está dentro do sólido, portanto é invisível em modelos sólidos. Também é chamado de grande hexecontaedro estrombico.
Faces: 60 dardos | Arestas: 120 | Vértices: 62 | Ângulo diédrico: 91.55°. Mais sobre…
35. Equidnaedro
O equidnaedro é o termo usado para a quarta estrela pontiaguda do icosaedro, aparentemente usado pela primeira vez no banco de dados de poliedros Netlib. O equidnaedro é um poliedro nobre que consiste em 20 eneagramas irregulares, mas triangulares simétricos. Aparece como a célula do dual do heptacosiicosachron pentagonal-prismático.
Faces: 20 eneagramas triangulares simétricos | Arestas: 270 | Vértices: 92 . Mais sobre…
36. Poliedros de auto-interseção e seus duais
Representação com cada poliedro de auto-interseção e seu respectivo dual. Neste projeto, temos os poliedros simulando uma fita de DNA com as respectivas ligações entre os duais dos poliedros de auto-interseção.
Self-intersecting polyhedra - Visualization of polyhedra with Augmented Reality and Virtual Reality de Paulo Henrique Siqueira está licenciado com uma Licença Creative Commons Atribuição-NãoComercial-SemDerivações 4.0 Internacional.
Como citar este trabalho:
Siqueira, P.H., "Self-intersecting polyhedra - Visualization of polyhedra with Augmented Reality and Virtual Reality". Disponível em: <https://paulohscwb.github.io/polyhedra/selfintersect/>, Outubro de 2022.
Referências:
Weisstein, Eric W. “Miscellaneous Polyhedra” From MathWorld-A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/topics/MiscellaneousPolyhedra.html
Weisstein, Eric W. “Uniform Polyhedron.” From MathWorld–A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/UniformPolyhedron.html
Wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_uniform_polyhedra
McCooey, David I. “Visual Polyhedra”. http://dmccooey.com/polyhedra/