Polyhedra 2

Visualização de poliedros com Realidade Aumentada (RA) e Realidade Virtual (RV) em A-frame

autor: Paulo Henrique Siqueira - Universidade Federal do Paraná
contato: paulohscwb@gmail.com
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Fractais dos poliedros não convexos

Utilizando o mesmo princípio da construção do triângulo de Sierpinski ou da curva de Koch, podemos construir fractais de outros polígonos regulares. Quando estes polígonos formam um poliedro, temos a construção de um poliedro fractal.

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Realidade Aumentada

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$Realidade Aumentada para fractais de poliedros$

Modelos 3D

1. Fractal do sólido de Escher

Aplicando-se o princípio de construção do triângulo de Sierpinski nas 48 faces do sólido de Escher, obtemos um fractal do sólido de Escher. Na primeira ordem de construção do fractal, construímos um novo sólido em 12 vértices do poliedro original. Neste exemplo, temos as representações do sólido nas ordens 0, 1, 2 e 3.

ordem	poliedros	faces	arestas	vértices
0	1	48	72	26
1	12	576	864	312
2	144	6912	10368	3744
3	1728	82944	124416	44928

2. Fractal do pequeno dodecaedro estrelado

Aplicando-se o princípio de construção da curva de Koch nas 12 faces do pequeno dodecaedro estrelado, obtemos um fractal do pequeno dodecaedro estrelado. Na primeira ordem de construção do fractal, construímos um novo sólido em cada vértice do poliedro original. Neste exemplo, temos as representações do sólido nas ordens 0, 1, 2 e 3.

ordem	poliedros	faces	arestas	vértices
0	1	12	30	12
1	12	144	360	144
2	144	1728	4320	1728
3	1728	20736	51840	20736

3. Fractal do grande dodecaedro estrelado

Aplicando-se o princípio de construção da curva de Koch nas 12 faces do grande dodecaedro estrelado, obtemos um fractal do grande dodecaedro estrelado. Na primeira ordem de construção do fractal, construímos um novo sólido em cada vértice do poliedro original. Neste exemplo, temos as representações do sólido nas ordens 0, 1, 2 e 3.

ordem	poliedros	faces	arestas	vértices
0	1	12	30	20
1	21	252	630	420
2	441	5292	13230	8820
3	9261	111132	277830	185220

4. Fractal do grande icosaedro

Aplicando-se o princípio de construção da curva de Koch nas 20 faces do grande icosaedro, obtemos um fractal do grande icosaedro. Na primeira ordem de construção do fractal, construímos um novo sólido em cada vértice do poliedro original. Neste exemplo, temos as representações do sólido nas ordens 0, 1, 2 e 3.

ordem	poliedros	faces	arestas	vértices
0	1	20	30	12
1	12	240	360	144
2	144	2880	4320	1728
3	1728	34560	51840	20736

5. Fractal do grande dodecaedro

Aplicando-se o princípio de construção da curva de Koch nas 12 faces do grande dodecaedro, obtemos um fractal do grande dodecaedro. Na primeira ordem de construção do fractal, construímos um novo sólido em cada vértice do poliedro original. Neste exemplo, temos as representações do sólido nas ordens 0, 1, 2 e 3.

ordem	poliedros	faces	arestas	vértices
0	1	12	30	12
1	12	144	360	144
2	144	1728	4320	1728
3	1728	20736	51840	20736

6. Fractal do grande dodecaedro stellapentakis

Aplicando-se o princípio de construção da curva de Koch em 20 faces do grande dodecaedro stellapentakis, obtemos um fractal do grande dodecaedro stellapentakis. Na primeira ordem de construção do fractal, construímos um novo sólido em 20 vértices do poliedro original. Neste exemplo, temos as representações do sólido nas ordens 0, 1, 2 e 3.

ordem	poliedros	faces	arestas	vértices
0	1	60	90	32
1	21	1260	1890	672
2	441	26460	39690	14112
3	9261	555660	833490	296352

7. Fractal da dipirâmide pentagrâmica

Aplicando-se o princípio de construção da curva de Koch nas arestas que formam o pentagrama da dipirâmide pentagrâmica, obtemos um fractal da dipirâmide pentagrâmica. Na primeira ordem de construção do fractal, construímos um novo sólido em 5 vértices do poliedro original. Neste exemplo, temos as representações do sólido nas ordens 0, 1, 2, 3 e 4.

ordem	poliedros	faces	arestas	vértices
0	1	10	15	7
1	6	60	90	42
2	36	360	540	252
3	216	2160	3240	1512
4	1296	12960	19440	9072

8. Fractal do icosaedro triâmbico medial

Aplicando-se o princípio de construção da curva de Koch nas faces do icosaedro triâmbico medial, obtemos um fractal do icosaedro triâmbico medial. Na primeira ordem de construção do fractal, construímos um novo sólido em 12 vértices do poliedro original. Neste exemplo, temos as representações do sólido nas ordens 0, 1, 2 e 3.

ordem	poliedros	faces	arestas	vértices
0	1	20	60	24
1	13	260	780	312
2	169	3380	10140	4056
3	2197	43940	131820	52728

9. Fractal do grande triacontaedro rômbico

Aplicando-se o princípio de construção da curva de Koch em 20 faces do grande triacontaedro rômbico, obtemos um fractal do grande triacontaedro rômbico. Na primeira ordem de construção do fractal, construímos um novo sólido em 20 vértices do poliedro original. Neste exemplo, temos as representações do sólido nas ordens 0, 1, 2 e 3.

ordem	poliedros	faces	arestas	vértices
0	1	30	60	32
1	21	630	1260	672
2	441	13230	26460	14112
3	9261	277830	555660	296352

10. Fractal do triacontaedro rômbico medial

Aplicando-se o princípio de construção da curva de Koch em 12 faces do triacontaedro rômbico medial, obtemos um fractal do triacontaedro rômbico medial. Na primeira ordem de construção do fractal, construímos um novo sólido em 12 vértices do poliedro original. Neste exemplo, temos as representações do sólido nas ordens 0, 1, 2 e 3.

ordem	poliedros	faces	arestas	vértices
0	1	30	60	24
1	13	390	780	312
2	169	5070	10140	4056
3	2197	65910	131820	52728

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11. Fractal do pequeno hexecontaedro ditrigonal dodecacrônico

Aplicando-se o princípio de construção da curva de Koch em 12 faces do pequeno hexecontaedro ditrigonal dodecacrônico, obtemos um fractal do pequeno hexecontaedro ditrigonal dodecacrônico. Na primeira ordem de construção do fractal, construímos um novo sólido em 12 vértices do poliedro original. Neste exemplo, temos as representações do sólido nas ordens 0, 1, 2 e 3.

ordem	poliedros	faces	arestas	vértices
0	1	60	120	44
1	13	780	1560	572
2	169	10140	20280	7436
3	2197	131820	263640	96668

12. Fractal do rombicosacro

Aplicando-se o princípio de construção da curva de Koch em 20 faces do rombicosacro, obtemos um fractal do rombicosacro. Na primeira ordem de construção do fractal, construímos um novo sólido em 20 vértices do poliedro original. Neste exemplo, temos as representações do sólido nas ordens 0, 1, 2 e 3.

ordem	poliedros	faces	arestas	vértices
0	1	60	120	50
1	21	1260	2520	1050
2	441	26460	52920	22050
3	9261	555660	1111320	463050

13. Fractal do pequeno icositetraedro hexacrônico

Aplicando-se o princípio de construção da curva de Koch em 6 faces do pequeno icositetraedro hexacrônico, obtemos um fractal do pequeno icositetraedro hexacrônico. Na primeira ordem de construção do fractal, construímos um novo sólido em 6 vértices do poliedro original. Neste exemplo, temos as representações do sólido nas ordens 0, 1, 2 e 3.

ordem	poliedros	faces	arestas	vértices
0	1	24	48	20
1	7	168	336	140
2	49	1176	2352	980
3	343	8232	16464	6860

14. Fractal do grande octaedro triakis

Aplicando-se o princípio de construção da curva de Koch em 8 faces do grande octaedro triakis, obtemos um fractal do grande octaedro triakis. Na primeira ordem de construção do fractal, construímos um novo sólido em 8 vértices do poliedro original. Neste exemplo, temos as representações do sólido nas ordens 0, 1, 2 e 3.

ordem	poliedros	faces	arestas	vértices
0	1	24	36	14
1	9	216	324	126
2	81	1944	2916	1134
3	729	17496	26244	10216

15. Fractal do grande dodecaedro disdyakis

Aplicando-se o princípio de construção da curva de Koch em 8 faces do grande dodecaedro disdyakis, obtemos um fractal do grande dodecaedro disdyakis. Na primeira ordem de construção do fractal, construímos um novo sólido em 8 vértices do poliedro original. Neste exemplo, temos as representações do sólido nas ordens 0, 1, 2 e 3.

ordem	poliedros	faces	arestas	vértices
0	1	48	72	20
1	9	432	648	180
2	81	3888	5832	1620
3	729	34992	52488	14580

16. Fractal do pequeno rombidodecácrono

Aplicando-se o princípio de construção da curva de Koch em 12 faces do pequeno rombidodecácrono, obtemos um fractal do pequeno rombidodecácrono. Na primeira ordem de construção do fractal, construímos um novo sólido em 12 vértices do poliedro original. Neste exemplo, temos as representações do sólido nas ordens 0, 1, 2 e 3.

ordem	poliedros	faces	arestas	vértices
0	1	60	120	42
1	13	780	1560	546
2	169	10140	20280	7098
3	2197	131820	263640	92274

17. Fractal do grande icosaedro triakis

Aplicando-se o princípio de construção da curva de Koch em 12 faces do grande icosaedro triakis, obtemos um fractal do grande icosaedro triakis. Na primeira ordem de construção do fractal, construímos um novo sólido em 12 vértices do poliedro original. Neste exemplo, temos as representações do sólido nas ordens 0, 1, 2 e 3.

ordem	poliedros	faces	arestas	vértices
0	1	60	90	32
1	13	780	1170	416
2	169	10140	15210	5408
3	2197	131820	197730	70304

18. Fractal do grande icosaedro truncado

Aplicando-se o princípio de construção da curva de Koch em 12 faces do grande icosaedro truncado, obtemos um fractal do grande icosaedro truncado. Na primeira ordem de construção do fractal, construímos um novo sólido em 12 faces do poliedro original. Neste exemplo, temos as representações do sólido nas ordens 0, 1, 2 e 3.

ordem	poliedros	faces	arestas	vértices
0	1	32	90	60
1	13	416	1170	780
2	169	5408	15210	10140
3	2197	70304	197730	131820

19. Fractal da dipirâmide pentagrâmica

Aplicando-se o princípio de repetição de sólidos nos vértices da dipirâmide pentagrâmica, obtemos um fractal da dipirâmide pentagrâmica. Na primeira ordem de construção do fractal, construímos um novo sólido correspondente a cada vértice do poliedro original. Neste exemplo, temos as representações do sólido nas ordens 0, 1, 2, 3, 4 e 5.

ordem	poliedros	faces	arestas	vértices
0	1	10	15	7
1	6	60	90	42
2	11	110	165	77
3	21	210	315	147
4	41	410	615	287
5	81	810	1215	567

20. Fractal da dipirâmide heptagrâmica

Aplicando-se o princípio de repetição de sólidos nos vértices da dipirâmide heptagrâmica, obtemos um fractal da dipirâmide heptagrâmica. Na primeira ordem de construção do fractal, construímos um novo sólido correspondente a cada vértice do poliedro original. Neste exemplo, temos as representações do sólido nas ordens 0, 1, 2, 3, 4 e 5.

ordem	poliedros	faces	arestas	vértices
0	1	14	21	9
1	8	112	168	72
2	15	210	315	135
3	29	406	609	261
4	57	798	1197	513
5	113	1582	2373	1017

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21. Fractal do grande dodecaedro pentakis

Aplicando-se o princípio de construção da curva de Koch em 12 vértices do grande dodecaedro pentakis, obtemos um fractal do grande dodecaedro pentakis. Na primeira ordem de construção do fractal, construímos um novo sólido em 12 vértices do poliedro original. Neste exemplo, temos as representações do sólido nas ordens 0, 1, 2 e 3.

ordem	poliedros	faces	arestas	vértices
0	1	60	90	24
1	13	780	1170	312
2	169	10140	15210	4056
3	2197	131820	197730	52728

22. Fractal do icosidodecadodecaedro

Aplicando-se o princípio de construção da curva de Koch em 12 faces do icosidodecadodecaedro, obtemos um fractal do icosidodecadodecaedro. Na primeira ordem de construção do fractal, construímos um novo sólido em 12 faces do poliedro original. Neste exemplo, temos as representações do sólido nas ordens 0, 1, 2 e 3.

ordem	poliedros	faces	arestas	vértices
0	1	44	120	60
1	13	572	1560	780
2	169	7436	20280	10140
3	2197	96668	263640	131820

23. Fractal do Rombicosaedro

Aplicando-se o princípio de construção da curva de Koch em 12 faces do rombicosaedro, obtemos um fractal do rombicosaedro. Na primeira ordem de construção do fractal, construímos um novo sólido em 12 faces do poliedro original. Neste exemplo, temos as representações do sólido nas ordens 0, 1, 2 e 3.

ordem	poliedros	faces	arestas	vértices
0	1	50	120	60
1	13	650	1560	780
2	169	8450	20280	10140
3	2197	109850	263640	131820

24. Fractal do hexecontaedro pentagonal invertido medial

Aplicando-se o princípio de construção da curva de Koch em 12 vértices do hexecontaedro pentagonal invertido medial, obtemos um fractal do hexecontaedro pentagonal invertido medial. Na primeira ordem de construção do fractal, construímos um novo sólido em 12 vértices do poliedro original. Neste exemplo, temos as representações do sólido nas ordens 0, 1, 2 e 3.

ordem	poliedros	faces	arestas	vértices
0	1	60	150	84
1	13	780	1950	1092
2	169	10140	25350	14196
3	2197	131820	329550	184548

25. Fractal da dipirâmide heptagrâmica

Aplicando-se o princípio de construção da curva de Koch nos vértices da dipirâmide heptagrâmica, obtemos um fractal da dipirâmide heptagrâmica. Na primeira ordem de construção do fractal, construímos um novo sólido nos vértices do poliedro original. Neste exemplo, temos as representações do sólido nas ordens 0, 1, 2, 3 e 4.

ordem	poliedros	faces	arestas	vértices
0	1	14	21	9
1	8	112	168	72
2	64	896	1344	576
3	512	7168	10752	4608
4	4096	57344	86016	36864

26. Fractal do toróide hexagonal trapezoedro-antiprisma

Aplicando-se o princípio de construção do colar de Antoine em um toróide hexagonal trapezoedro-antiprisma, obtemos um fractal do toróide hexagonal trapezoedro-antiprisma. Neste exemplo, temos as representações do sólido nas ordens 0, 1, 2 e 3.

ordem	poliedros	faces	arestas	vértices
0	1	24	48	24
1	16	384	768	384
2	256	6144	12288	6144
3	4096	98304	196608	98304

27. Fractal do toróide tetragonal

Aplicando-se o princípio de construção do colar de Antoine em um toróide tetragonal, obtemos um fractal do toróide tetragonal. Neste exemplo, temos as representações do sólido nas ordens 0, 1, 2 e 3.

ordem	poliedros	faces	arestas	vértices
0	1	18	36	18
1	16	288	576	288
2	256	4608	9216	4608
3	4096	73728	147456	73728

28. Fractal do toróide trapezoedro hexagonal

Aplicando-se o princípio de construção do colar de Antoine em um toróide trapezoedro hexagonal, obtemos um fractal do toróide trapezoedro hexagonal. Neste exemplo, temos as representações do sólido nas ordens 0, 1, 2 e 3.

ordem	poliedros	faces	arestas	vértices
0	1	24	60	36
1	16	384	960	576
2	256	6144	15360	9216
3	4096	98304	245760	147456

29. Fractal do toróide antiprisma-trapezoedro hexagonal

Aplicando-se o princípio de construção do colar de Antoine em um toróide antiprisma-trapezoedro hexagonal, obtemos um fractal do toróide antiprisma-trapezoedro hexagonal. Neste exemplo, temos as representações do sólido nas ordens 0, 1, 2 e 3.

ordem	poliedros	faces	arestas	vértices
0	1	24	48	24
1	16	384	768	384
2	256	6144	12288	6144
3	4096	98304	196608	98304

30. Fractal do toróide de íris anti-octogonal

Aplicando-se o princípio de construção do colar de Antoine em um toróide de íris anti-octogonal, obtemos um fractal do toróide de íris anti-octogonal. Neste exemplo, temos as representações do sólido nas ordens 0, 1, 2 e 3.

ordem	poliedros	faces	arestas	vértices
0	1	32	48	16
1	16	512	768	256
2	256	8192	12288	4096
3	4096	131072	196608	65536

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31. Árvore geométrica de Natal v1

Construção de uma árvore de Natal usando os seguintes sólidos: tronco de cone circular reto, troncos de pirâmide, uma dipirâmide pentagrâmica e uma hélice cônica com dodecaedros.

32. Árvore geométrica de Natal v2

Construção de uma árvore de Natal usando os seguintes sólidos: tronco de cone circular reto, troncos de pirâmide, uma dipirâmide pentagrâmica e uma hélice cônica com pequenos dodecaedros estrelados.

33. Árvore geométrica de Natal v3

Construção de uma árvore de Natal usando os seguintes sólidos: tronco de cone circular reto, troncos de pirâmide, uma dipirâmide heptagrâmica e uma hélice cônica com grandes dodecaedros stellapentakis.

34. Árvore geométrica de Natal v4

Construção de uma árvore de Natal usando os seguintes sólidos: tronco de cone circular reto, troncos de pirâmide estrelada, uma dipirâmide heptagrâmica e uma hélice cônica com icosaedros.

35. Árvore geométrica de Natal v5

Construção de uma árvore de Natal usando os seguintes sólidos: tronco de cone circular reto, troncos de pirâmide estrelada, uma dipirâmide heptagrâmica e uma hélice cônica com icosidodecadodecaedros.

36. Árvore geométrica de Natal v6

Construção de uma árvore de Natal usando os seguintes sólidos: tronco de cone circular reto, troncos de pirâmide estrelada, uma dipirâmide heptagrâmica e uma hélice cônica com grandes icosaedros truncados.

37. Árvore geométrica de Natal v7

Construção de uma árvore de Natal usando os seguintes sólidos: tronco de cone circular reto, troncos de pirâmide estrelada, uma dipirâmide pentagrâmica e uma hélice cônica com pequenos rombidodecacrons.

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Non convex polyhedra fractals - Visualization of polyhedra with Augmented Reality and Virtual Reality de Paulo Henrique Siqueira está licenciado com uma Licença Creative Commons Atribuição-NãoComercial-SemDerivações 4.0 Internacional.

Como citar este trabalho:

Siqueira, P.H., "Non convex polyhedra fractals - Visualization of polyhedra with Augmented Reality and Virtual Reality". Disponível em: <https://paulohscwb.github.io/polyhedra2/fractalnonconvex/pt-br/>, Outubro de 2023.

Referências:
Weisstein, Eric W. “Fractal” From MathWorld-A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/Fractal.html
Weisstein, Eric W. “Uniform Polyhedron.” From MathWorld–A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/UniformPolyhedron.html
Wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_uniform_polyhedra
McCooey, David I. “Visual Polyhedra”. http://dmccooey.com/polyhedra/