Visualização de poliedros com Realidade Aumentada (RA) e Realidade Virtual (RV) em A-frame
autor: Paulo Henrique Siqueira - Universidade Federal do Paraná
contato: paulohscwb@gmail.com
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Fractais dos poliedros de Platão
Utilizando o mesmo princípio da construção do triângulo de Sierpinski ou da curva de Koch, podemos construir fractais de outros polígonos regulares. Quando estes polígonos formam um poliedro, temos a construção de um poliedro fractal.
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Realidade Aumentada
Para visualizar os fractais de poliedros em RA, visite as páginas indicadas nos modelos 3D dos sólidos utilizando qualquer navegador com um dispositivo de webcam (smartphone, tablet ou notebook).
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Modelos 3D
1. Tetraedro fractal
Aplicando-se o princípio de construção do triângulo de Sierpinski nas 4 faces do tetraedro regular, obtemos um tetraedro regular fractal. Na primeira ordem de construção do fractal, construímos um novo sólido em cada vértice do poliedro original. Neste exemplo, temos as representações do sólido nas ordens 0, 1, 2, 3 e 4.
| ordem | poliedros | faces | arestas | vértices |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 4 | 6 | 4 |
| 1 | 4 | 16 | 24 | 16 |
| 2 | 16 | 64 | 96 | 64 |
| 3 | 64 | 256 | 384 | 256 |
| 4 | 256 | 1024 | 1536 | 1024 |
2. Octaedro fractal
Aplicando-se o princípio de construção do triângulo de Sierpinski nas 8 faces do octaedro regular, obtemos um octaedro regular fractal. Na primeira ordem de construção do fractal, construímos um novo sólido em cada vértice do poliedro original. Neste exemplo, temos as representações do sólido nas ordens 0, 1, 2, 3 e 4.
| ordem | poliedros | faces | arestas | vértices |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 8 | 12 | 6 |
| 1 | 6 | 48 | 72 | 36 |
| 2 | 36 | 288 | 432 | 216 |
| 3 | 216 | 1728 | 2592 | 1296 |
| 4 | 1296 | 10368 | 15552 | 7776 |
3. Cubo fractal
Aplicando-se o princípio de construção do tapete de Sierpinski nas 6 faces do cubo, obtemos um cubo fractal. Na primeira ordem de construção do fractal, construímos 8 novos sólidos em cada face do poliedro original, todas com ⅓ da medida da aresta do cubo. Neste exemplo, temos as representações do sólido nas ordens 0, 1, 2 e 3.
| ordem | poliedros | faces | arestas | vértices |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 6 | 12 | 8 |
| 1 | 20 | 120 | 240 | 160 |
| 2 | 400 | 2400 | 4800 | 3200 |
| 3 | 8000 | 48000 | 96000 | 64000 |
4. Icosaedro fractal
Aplicando-se o princípio de construção da curva de Koch nas 20 faces do icosaedro regular, obtemos um icosaedro regular fractal. Na primeira ordem de construção do fractal, construímos um novo sólido em cada vértice do poliedro original. Neste exemplo, temos as representações do sólido nas ordens 0, 1, 2 e 3.
| ordem | poliedros | faces | arestas | vértices |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 20 | 30 | 12 |
| 1 | 12 | 240 | 360 | 144 |
| 2 | 144 | 2880 | 4320 | 1728 |
| 3 | 1728 | 34560 | 51840 | 20736 |
5. Dodecaedro fractal
Aplicando-se o princípio de construção do triângulo de Sierpinski nas 12 faces do dodecaedro regular, obtemos um dodecaedro regular fractal. Na primeira ordem de construção do fractal, construímos um novo sólido em cada vértice do poliedro original. Neste exemplo, temos as representações do sólido nas ordens 0, 1, 2 e 3.
| ordem | poliedros | faces | arestas | vértices |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 12 | 30 | 20 |
| 1 | 20 | 240 | 600 | 400 |
| 2 | 400 | 4800 | 12000 | 8000 |
| 3 | 8000 | 96000 | 240000 | 160000 |
6. Fractal dragão de tetraedro
Aplicando-se o princípio de construção da curva do Dragão com um tetraedro regular, obtemos um fractal dragão de tetraedro. Na primeira ordem de construção do fractal, construímos dois novos tetraedros correspondentes a um poliedro original. Neste exemplo, temos as representações do sólido nas ordens de 0 até 10.
7. Árvore fractal
Aplicando-se o princípio de repetições com troncos de cones, obtemos uma árvore fractal. Na primeira ordem de construção do fractal, construímos três novos troncos de cone conectados com uma face do tronco de cone original. Neste exemplo, temos as representações do sólido nas ordens de 0 até 7.
8. Árvore fractal com dodecaedros
Aplicando-se o princípio de repetições com troncos de cones, obtemos uma árvore fractal. Neste exemplo, adicionamos dodecaedros como “frutos” ou “flores” da árvore. Na primeira ordem de construção do fractal, construímos três novos troncos de cone conectados com uma face do tronco de cone original. Neste exemplo, temos as representações do sólido nas ordens de 0 até 7.
9. Cruz de Menger - Jerusalém: Cubo v1
Considere um cubo fractal. Podemos aumentar os tamanhos das arestas dos cubos dos cantos e diminuir os tamanhos das arestas dos cubos intermediários para revelar uma cruz. Nesta versão, temos 8 cubos homotéticos com proporção de ⅖ e 12 cubos homotéticos com proporção de ⅕.
10. Cruz de Menger - Jerusalém: Cubo v2
Considere um cubo fractal. Podemos aumentar os tamanhos das arestas dos cubos dos cantos e diminuir os tamanhos das arestas dos cubos intermediários para revelar uma cruz. Nesta versão, temos 8 cubos homotéticos com proporção de √2 - 1 e 12 cubos homotéticos com proporção de (√2 - 1)².
11. Floco de neve Mosely: Cubo
O floco de neve Mosely é um tipo de fractal Sierpinski-Menger obtido em duas variantes pela operação usada na criação do floco de neve Sierpinski-Menger. Neste caso, removemos oito cubos dos cantos e o cubo central de cada iteração anterior.
12. Árvore fractal com icosaedros
Aplicando-se o princípio de repetições com troncos de cones, obtemos uma árvore fractal. Neste exemplo, adicionamos icosaedros como “frutos” ou “flores” da árvore. Na primeira ordem de construção do fractal, construímos três novos troncos de cone conectados com uma face do tronco de cone original. Neste exemplo, temos as representações do sólido nas ordens de 0 até 7.
13. Fractal dragão de tetraedro (3 rotações)
Aplicando-se o princípio de construção da curva do Dragão com um tetraedro regular e 3 rotações, obtemos um fractal dragão de tetraedro. Na primeira ordem de construção do fractal, construímos três novos tetraedros correspondentes a um poliedro original. Neste exemplo, temos as representações do sólido nas ordens de 0 até 10.
14. Fractal dragão de cubo
Aplicando-se o princípio de construção da curva do Dragão com um cubo e 3 rotações, obtemos um fractal dragão de cubo. Na primeira ordem de construção do fractal, construímos três novos cubos correspondentes a um poliedro original. Neste exemplo, temos as representações do sólido nas ordens de 0 até 10.
15. Fractal dragão de octaedro
Aplicando-se o princípio de construção da curva do Dragão com um octaedro regular e 3 rotações, obtemos um fractal dragão de octaedro. Na primeira ordem de construção do fractal, construímos três novos octaedros correspondentes a um poliedro original. Neste exemplo, temos as representações do sólido nas ordens de 0 até 10.
16. Fractal dragão de icosaedro
Aplicando-se o princípio de construção da curva do Dragão com um icosaedro regular e 3 rotações, obtemos um fractal dragão de icosaedro. Na primeira ordem de construção do fractal, construímos três novos icosaedros correspondentes a um poliedro original. Neste exemplo, temos as representações do sólido nas ordens de 0 até 10.
17. Fractal dragão de dodecaedro
Aplicando-se o princípio de construção da curva do Dragão com um dodecaedro regular e 3 rotações, obtemos um fractal dragão de dodecaedro. Na primeira ordem de construção do fractal, construímos três novos dodecaedros correspondentes a um poliedro original. Neste exemplo, temos as representações do sólido nas ordens de 0 até 10.
Fractal polyhedra - Visualization of polyhedra with Augmented Reality and Virtual Reality de Paulo Henrique Siqueira está licenciado com uma Licença Creative Commons Atribuição-NãoComercial-SemDerivações 4.0 Internacional.
Como citar este trabalho:
Siqueira, P.H., "Platonic polyhedra fractals - Visualization of polyhedra with Augmented Reality and Virtual Reality". Disponível em: <https://paulohscwb.github.io/polyhedra2/fractalplatonic/pt-br/>, Outubro de 2023.
Referências:
Weisstein, Eric W. “Fractal” From MathWorld-A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/Fractal.html
Weisstein, Eric W. “Platonic Solid” From MathWorld-A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/PlatonicSolid.html
Wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Platonic_solid
McCooey, David I. “Visual Polyhedra”. http://dmccooey.com/polyhedra/