Visualização de Poliedros com Realidade Virtual (RV) em A-frame

autor: Paulo Henrique Siqueira - Universidade Federal do Paraná
contato: paulohscwb@gmail.com
english version

Mais sólidos: Gemas de Catalan Fractais do dragão de Arquimedes e Catalan Estrelas com pipas Araucárias com poliedros Fractais de dragão de poliedros não convexos Fractais de Catalan

Fractais de Catalan

Utilizando o mesmo princípio da construção do triângulo de Sierpinski ou da curva de Koch, podemos construir fractais de outros polígonos regulares. Quando estes polígonos formam um poliedro, temos a construção de um poliedro fractal.
Este trabalho mostra fractais de poliedros de Catalan e de alguns Arquimedeanos, modelados para visualização em Realidade Virtual.

Modelos 3D  |  Página Inicial

---

---

Modelos 3D

1. Hexecontaedro deltoidal

Aplicando-se o princípio de construção da curva de Koch nas faces do hexecontaedro deltoidal, obtemos um fractal do hexecontaedro deltoidal. Na primeira ordem de construção do fractal, construímos um novo sólido em 20 vértices do poliedro original. Neste exemplo, temos as representações do sólido nas ordens 0, 1, 2 e 3.

ordem	poliedros	faces	arestas	vértices
0	1	60	120	62
1	21	1260	2520	1302
2	441	26460	52920	27342
3	9261	555660	1111320	574182

---

2. Icositetraedro deltoidal

Aplicando-se o princípio de construção de Sierpinski nas faces do icositetraedro deltoidal, obtemos um fractal do icositetraedro deltoidal. Na primeira ordem de construção do fractal, construímos um novo sólido em 6 vértices do poliedro original. Neste exemplo, temos as representações do sólido nas ordens 0, 1, 2, 3 e 4.

ordem	poliedros	faces	arestas	vértices
0	1	24	48	26
1	6	144	288	156
2	36	864	1728	936
3	216	5184	10368	5616
4	1296	31104	62208	33696

---

3. Dodecaedro disdiakis

Aplicando-se o princípio de construção de Sierpinski nas faces do dodecaedro disdiakis, obtemos um fractal do dodecaedro disdiakis. Na primeira ordem de construção do fractal, construímos um novo sólido em 6 vértices do poliedro original. Neste exemplo, temos as representações do sólido nas ordens 0, 1, 2, 3 e 4.

ordem	poliedros	faces	arestas	vértices
0	1	48	72	26
1	6	288	432	156
2	36	1728	2592	936
3	216	10368	15552	5616
4	1296	62208	93312	33696

---

4. Triacontaedro disdiakis

Aplicando-se o princípio de construção da curva de Koch nas faces do triacontaedro disdiakis, obtemos um fractal do triacontaedro disdiakis. Na primeira ordem de construção do fractal, construímos um novo sólido em 20 vértices do poliedro original. Neste exemplo, temos as representações do sólido nas ordens 0, 1, 2 e 3.

ordem	poliedros	faces	arestas	vértices
0	1	120	180	62
1	21	2520	3780	1302
2	441	52920	79380	27342
3	9261	1111320	1666980	574182

---

5. Hexecontaedro pentagonal

Aplicando-se o princípio de construção da curva de Koch nas faces do hexecontaedro pentagonal, obtemos um fractal do hexecontaedro pentagonal. Na primeira ordem de construção do fractal, construímos um novo sólido em 20 vértices do poliedro original. Neste exemplo, temos as representações do sólido nas ordens 0, 1, 2 e 3.

ordem	poliedros	faces	arestas	vértices
0	1	60	150	92
1	21	1260	3150	1932
2	441	26460	66150	40572
3	9261	555660	1389150	852012

---

6. Icositetraedro pentagonal

Aplicando-se o princípio de construção da curva de Koch nas faces do icositetraedro pentagonal, obtemos um fractal do icositetraedro pentagonal. Na primeira ordem de construção do fractal, construímos um novo sólido em 8 vértices do poliedro original. Neste exemplo, temos as representações do sólido nas ordens 0, 1, 2 e 3.

ordem	poliedros	faces	arestas	vértices
0	1	24	60	38
1	8	192	480	304
2	64	1536	3840	2432
3	512	12288	30720	19456

---

7. Dodecaedro pentakis

Aplicando-se o princípio de construção da curva de Koch nas faces do dodecaedro pentakis, obtemos um fractal do dodecaedro pentakis. Na primeira ordem de construção do fractal, construímos um novo sólido em 20 vértices do poliedro original. Neste exemplo, temos as representações do sólido nas ordens 0, 1, 2 e 3.

ordem	poliedros	faces	arestas	vértices
0	1	60	90	32
1	21	1260	1890	672
2	441	26460	39690	14112
3	9261	555660	833490	296352

---

8. Dodecaedro rômbico

Aplicando-se o princípio de construção de Sierpinski nas faces do dodecaedro rômbico, obtemos um fractal do dodecaedro rômbico. Na primeira ordem de construção do fractal, construímos um novo sólido em 6 vértices do poliedro original. Neste exemplo, temos as representações do sólido nas ordens 0, 1, 2, 3 e 4.

ordem	poliedros	faces	arestas	vértices
0	1	12	24	14
1	6	72	144	84
2	36	432	864	504
3	216	2592	5184	3024
4	1296	15552	31104	18144

---

9. Rombicosidodecaedro de Arquimedes

Aplicando-se o princípio de construção da curva de Koch nas faces do rombicosidodecaedro, obtemos um fractal do rombicosidodecaedro. Na primeira ordem de construção do fractal, construímos um novo sólido em 20 vértices do poliedro original. Neste exemplo, temos as representações do sólido nas ordens 0, 1, 2 e 3.

ordem	poliedros	faces	arestas	vértices
0	1	62	120	60
1	21	1302	2520	1260
2	441	27342	52920	26460
3	9261	574182	1111320	555660

---

10. Triacontaedro rômbico

Aplicando-se o princípio de construção da curva de Koch nas faces do triacontaedro rômbico, obtemos um fractal do triacontaedro rômbico. Na primeira ordem de construção do fractal, construímos um novo sólido em 20 vértices do poliedro original. Neste exemplo, temos as representações do sólido nas ordens 0, 1, 2 e 3.

ordem	poliedros	faces	arestas	vértices
0	1	30	60	32
1	21	630	1260	672
2	441	13230	26460	14112
3	9261	277830	555660	296352

---

voltar ao topo

11. Dodecaedro snub de Arquimedes

Aplicando-se o princípio de construção da curva de Koch nas faces do dodecaedro snub, obtemos um fractal do dodecaedro snub. Na primeira ordem de construção do fractal, construímos um novo sólido em 20 vértices do poliedro original. Neste exemplo, temos as representações do sólido nas ordens 0, 1, 2 e 3.

ordem	poliedros	faces	arestas	vértices
0	1	92	150	60
1	21	1932	3150	1260
2	441	40572	66150	26460
3	9261	852012	1389150	555660

---

12. Hexaedro tetrakis - esponja de Menger

Aplicando-se o princípio de construção do tapete de Sierpinski nas faces do hexaedro tetrakis, obtemos um hexaedro tetrakis fractal. Na primeira ordem de construção do fractal, construímos 8 novos sólidos nas faces do poliedro original, todas com ⅓ da medida da aresta do hexaedro tetrakis. Neste exemplo, temos as representações do sólido nas ordens 0, 1, 2 e 3.

---

13. Hexaedro tetrakis - cruz de Menger Jerusalém

Considere um hexaedro tetrakis. Podemos aumentar os tamanhos das arestas dos hexaedros tetrakis dos cantos e diminuir os tamanhos das arestas dos hexaedros tetrakis intermediários para revelar uma cruz. Nesta versão, temos 8 hexaedros tetrakis homotéticos com proporção de ⅖ e 12 hexaedros tetrakis homotéticos com proporção de ⅕.

---

14. Hexaedro tetrakis - cruz de Menger Jerusalém v2

Considere um hexaedro tetrakis. Podemos aumentar os tamanhos das arestas dos hexaedros tetrakis dos cantos e diminuir os tamanhos das arestas dos hexaedros tetrakis intermediários para revelar uma cruz. Nesta versão, temos 8 hexaedros tetrakis homotéticos com proporção de √2 - 1 e 12 hexaedros tetrakis homotéticos com proporção de (√2 - 1)².

---

15. Hexaedro tetrakis - floco de neve de Mosely

O floco de neve Mosely é um tipo de fractal Sierpinski-Menger obtido em duas variantes pela operação usada na criação do floco de neve Sierpinski-Menger. Neste caso, removemos oito hexaedros tetrakis dos cantos e o hexaedro tetrakis central em cada iteração.

---

16. Árvore fractal triangular com dodecaedros pentakis

Aplicando-se o princípio de repetições com troncos de cones, obtemos uma árvore fractal. Neste exemplo, adicionamos dodecaedros pentakis como “frutos” ou “flores” da árvore. Na primeira ordem de construção do fractal, construímos três novos troncos de cone conectados com uma face do tronco de cone original. Neste exemplo, temos as representações do sólido nas ordens de 0 até 6.

---

17. Árvore fractal pentagonal com dodecaedros pentakis

Aplicando-se o princípio de repetições com troncos de cones, obtemos uma árvore fractal. Neste exemplo, adicionamos dodecaedros pentakis como “frutos” ou “flores” da árvore. Na primeira ordem de construção do fractal, construímos três novos troncos de cone conectados com uma face do tronco de cone original. Neste exemplo, temos as representações do sólido nas ordens de 0 até 5.

---

18. Árvore fractal triangular com triacontaedros rômbicos

Aplicando-se o princípio de repetições com troncos de cones, obtemos uma árvore fractal. Neste exemplo, adicionamos triacontaedros rômbicos como “frutos” ou “flores” da árvore. Na primeira ordem de construção do fractal, construímos três novos troncos de cone conectados com uma face do tronco de cone original. Neste exemplo, temos as representações do sólido nas ordens de 0 até 6.

---

19. Árvore fractal pentagonal com triacontaedros rômbicos

Aplicando-se o princípio de repetições com troncos de cones, obtemos uma árvore fractal. Neste exemplo, adicionamos triacontaedros rômbicos como “frutos” ou “flores” da árvore. Na primeira ordem de construção do fractal, construímos três novos troncos de cone conectados com uma face do tronco de cone original. Neste exemplo, temos as representações do sólido nas ordens de 0 até 5.

---

20. Árvore fractal triangular com icosaedros triakis

Aplicando-se o princípio de repetições com troncos de cones, obtemos uma árvore fractal. Neste exemplo, adicionamos icosaedros triakis como “frutos” ou “flores” da árvore. Na primeira ordem de construção do fractal, construímos três novos troncos de cone conectados com uma face do tronco de cone original. Neste exemplo, temos as representações do sólido nas ordens de 0 até 6.

---

voltar ao topo

21. Árvore fractal pentagonal com icosaedros triakis

Aplicando-se o princípio de repetições com troncos de cones, obtemos uma árvore fractal. Neste exemplo, adicionamos icosaedros triakis como “frutos” ou “flores” da árvore. Na primeira ordem de construção do fractal, construímos três novos troncos de cone conectados com uma face do tronco de cone original. Neste exemplo, temos as representações do sólido nas ordens de 0 até 5.

---

22. Árvore fractal triangular com hexecontaedros pentagonais

Aplicando-se o princípio de repetições com troncos de cones, obtemos uma árvore fractal. Neste exemplo, adicionamos hexecontaedros pentagonais como “frutos” ou “flores” da árvore. Na primeira ordem de construção do fractal, construímos três novos troncos de cone conectados com uma face do tronco de cone original. Neste exemplo, temos as representações do sólido nas ordens de 0 até 6.

---

voltar ao topo

23. Árvore fractal pentagonal com hexecontaedros pentagonais

Aplicando-se o princípio de repetições com troncos de cones, obtemos uma árvore fractal. Neste exemplo, adicionamos hexecontaedros pentagonais como “frutos” ou “flores” da árvore. Na primeira ordem de construção do fractal, construímos três novos troncos de cone conectados com uma face do tronco de cone original. Neste exemplo, temos as representações do sólido nas ordens de 0 até 5.

---

24. Árvore fractal triangular com icositetraedros pentagonais

Aplicando-se o princípio de repetições com troncos de cones, obtemos uma árvore fractal. Neste exemplo, adicionamos icositetraedros pentagonais como “frutos” ou “flores” da árvore. Na primeira ordem de construção do fractal, construímos três novos troncos de cone conectados com uma face do tronco de cone original. Neste exemplo, temos as representações do sólido nas ordens de 0 até 6.

---

voltar ao topo

25. Árvore fractal pentagonal com icositetraedros pentagonais

Aplicando-se o princípio de repetições com troncos de cones, obtemos uma árvore fractal. Neste exemplo, adicionamos icositetraedros pentagonais como “frutos” ou “flores” da árvore. Na primeira ordem de construção do fractal, construímos três novos troncos de cone conectados com uma face do tronco de cone original. Neste exemplo, temos as representações do sólido nas ordens de 0 até 5.

---

26. Icosaedro triakis

Aplicando-se o princípio de construção da curva de Koch nas faces do icosaedro triakis, obtemos um fractal do icosaedro triakis. Na primeira ordem de construção do fractal, construímos um novo sólido em 20 vértices do poliedro original. Neste exemplo, temos as representações do sólido nas ordens 0, 1, 2 e 3.

ordem	poliedros	faces	arestas	vértices
0	1	60	90	32
1	21	1260	1890	672
2	441	26460	39690	14112
3	9261	555660	833490	296352

---

27. Octaedro triakis

Aplicando-se o princípio de construção de Sierpinski nas faces do octaedro triakis, obtemos um fractal do octaedro triakis. Na primeira ordem de construção do fractal, construímos um novo sólido em 6 vértices do poliedro original. Neste exemplo, temos as representações do sólido nas ordens 0, 1, 2, 3 e 4.

ordem	poliedros	faces	arestas	vértices
0	1	24	36	14
1	6	144	216	84
2	36	864	1296	504
3	216	5184	7776	3024
4	1296	31104	46656	18144

---

28. Tetraedro triakis

Aplicando-se o princípio de construção de Sierpinski nas faces do tetraedro triakis, obtemos um fractal do tetraedro triakis. Na primeira ordem de construção do fractal, construímos um novo sólido em 4 vértices do poliedro original. Neste exemplo, temos as representações do sólido nas ordens 0, 1, 2, 3 e 4.

ordem	poliedros	faces	arestas	vértices
0	1	12	18	8
1	4	48	72	32
2	16	192	288	128
3	64	768	1152	512
4	256	3072	4608	2048

---

29. Icosaedro truncado de Arquimedes

Aplicando-se o princípio de construção da curva de Koch nas faces do icosaedro truncado, obtemos um fractal do icosaedro truncado. Na primeira ordem de construção do fractal, construímos um novo sólido em 20 vértices do poliedro original. Neste exemplo, temos as representações do sólido nas ordens 0, 1, 2 e 3.

ordem	poliedros	faces	arestas	vértices
0	1	32	90	60
1	21	672	1890	1260
2	441	14112	39690	26460
3	9261	296352	833490	555660

---

30. Icosidodecaedro truncado de Arquimedes

Aplicando-se o princípio de construção da curva de Koch nas faces do icosidodecaedro truncado, obtemos um fractal do icosidodecaedro truncado. Na primeira ordem de construção do fractal, construímos um novo sólido em 20 vértices do poliedro original. Neste exemplo, temos as representações do sólido nas ordens 0, 1, 2 e 3.

ordem	poliedros	faces	arestas	vértices
0	1	62	180	120
1	21	1302	3780	2520
2	441	27342	79380	52920
3	9261	574182	1666980	1111320

---

voltar ao topo

Catalan fractals: visualization with Virtual Reality de Paulo Henrique Siqueira está licenciado com uma Licença Creative Commons Atribuição-NãoComercial-SemDerivações 4.0 Internacional.

Como citar este trabalho:

Siqueira, P.H., "Catalan fractals: visualization with Virtual Reality". Disponível em: <https://paulohscwb.github.io/polyhedra3/fractal-catalan/pt-br/>, Fevereiro de 2026.

Referências:
Weisstein, Eric W. “Archimedean Solid” From MathWorld-A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/ArchimedeanSolid.html
Weisstein, Eric W. “Catalan Solid” From MathWorld-A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/CatalanSolid.html
McCooey, D. I. “Visual Polyhedra”. http://dmccooey.com/polyhedra/