Visualização de Tesselações em Poliedros com Realidade Virtual (RV) em A-frame
autor: Paulo Henrique Siqueira - Universidade Federal do Paraná
contato: paulohscwb@gmail.com
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Obras de Escher
As figuras ou obras que são escolhidas como tesselas cobrem ou pavimentam o plano ou uma superfície. O resultado é chamado de tesselação, ladrilho, pavimentação ou mosaico. As tesselações são usadas desde a antiguidade em pisos, paredes tapetes e outros objetos.
Este trabalho mostra as tesselações feitas em todas ou algumas faces de poliedros, aproveitando simetrias triangulares, quadradas, pentagonais ou hexagonais das faces destes sólidos.
Nesta página, temos algumas obras de tesselações de Maurits Cornelis Escher (1898-1972) inseridas nas faces de poliedros comuns, como os platônicos tetraedro, cubo ou icosaedro, além de poliedros mais raros, como os sólidos de Johnson.
Modelos 3D
1. Tesselação de Alhambra
descrição: pintura de Escher de 1922, de azulejos de mosaico islâmico em Alhambra
tipo de tesselação: quadrilateral
poliedros: hexecontaedro deltoidal, triacontaedro rômbico, cubo, dodecaedro rômbico, hexecontaedro rômbico, icositetraedro deltoidal
2. Tesselação de Alhambra
descrição: imagem vetorial baseada na obra de Escher de Alhambra
tipo de tesselação: quadrilateral
poliedros: hexecontaedro deltoidal, triacontaedro rômbico, cubo, dodecaedro rômbico, hexecontaedro rômbico, icositetraedro deltoidal
3. Tesselação de Alhambra
descrição: imagem vetorial baseada na obra de Escher de Alhambra
tipo de tesselação: quadrilateral
poliedros: triacontaedro rômbico medial, pequeno hexecontaedro dodecacrônico, grande hexecontaedro dodecacrônico ditrigonal, hexecontaedro deltoidal medial, pequeno hexecontaedro icosacrônico, grande triacontaedro rômbico
4. Tesselação de Alhambra
descrição: imagem vetorial baseada na obra de Escher de Alhambra
tipo de tesselação: triangular
poliedros: octaedro hexakis de Möbius, octaedro estrelado, sólido de Escher, tetraedro hexakis, octaedro, hexaedro octakis de Möbius, dipirâmide pentagonal
5. Tesselação de Alhambra
descrição: imagem vetorial baseada na obra de Escher de Alhambra
tipo de tesselação: triangular
poliedros: tetraedro, dodecaedro 10-akis de Möbius, icosaedro, icosaedro hexakis de Möbius, deltaedro de Möbius, hexaedro tetrakis, disfenóide snub
6. Tesselação com 4 transformações
descrição: apresenta borboletas, pássaros e mariposas; obra de 1950
tipo de tesselação: quadrilateral e triangular
poliedros: icosaedro, dipirâmide pentagonal, sólido de Escher, tetraedro hexakis, icosaedro hexakis de Möbius, cubo, hexecontaedro deltoidal, icositetraedro deltoidal, dodecaedro rômbico, hexecontaedro rômbico, dodecaedro pentakis
7. Tesselação com 4 transformações
descrição: apresenta borboletas, pássaros e mariposas; obra de 1950
tipo de tesselação: quadrilateral
poliedros: cubo, hexecontaedro deltoidal, icositetraedro deltoidal, dodecaedro rômbico, triacontaedro rômbico, hexecontaedro rômbico
8. Tesselação com 4 transformações
descrição: apresenta borboletas, pássaros e mariposas; obra de 1950
tipo de tesselação: quadrilateral e triangular
poliedros: hexaedro octakis de Möbius, hexecontaedro deltoidal, icositetraedro deltoidal, dodecaedro rômbico, triacontaedro rômbico, octaedro hexakis de Möbius, dodecaedro 10-akis de Möbius, octaedro, hexaedro tetrakis
9. Tesselação com 4 transformações
descrição: apresenta borboletas, pássaros e mariposas; obra de 1950
tipo de tesselação: quadrilateral e triangular
poliedros: deltaedro de Möbius, octaedro estrelado, tetraedro, dodecaedro rômbico, triacontaedro rômbico, cubo, hexecontaedro rômbico, tetraedro triakis, octaedro triakis, icosaedro triakis
10. Limite do círculo I
descrição: baseada no modelo de disco de Poincaré da geometria hiperbólica; obra de 1958
tipo de tesselação: triangular
poliedros: icosaedro, grande icosaedro, sólido de Escher, tetraedro hexakis, disfenóide snub, deltaedro de Möbius, octaedro, octaedro hexakis de Möbius, dodecaedro pentakis
11. Limite do círculo I
descrição: baseada no modelo de disco de Poincaré da geometria hiperbólica; obra de 1958
tipo de tesselação: triangular
poliedros: icosaedro hexakis de Möbius, dipirâmide pentagonal, hexaedro octakis de Möbius, dodecaedro 10-akis de Möbius, octaedro estrelado, tetraedro, hexaedro tetrakis
12. Desenvolvimento III
descrição: arte abstrata com design em espiral; obra de 1939
tipo de tesselação: quadrilateral
poliedros: hexecontaedro deltoidal, triacontaedro rômbico, cubo, dodecaedro rômbico, hexecontaedro rômbico, icositetraedro deltoidal
13. Terra
descrição: cartão de felicitações de ano novo (formigas); obra de 1952
tipo de tesselação: quadrilateral e triangular
poliedros: hexecontaedro deltoidal, triacontaedro rômbico, cubo, dodecaedro rômbico, hexecontaedro rômbico, icositetraedro deltoidal, hexaedro tetrakis
14. Aquarela simétrica: peixes
descrição: obra de 1942
tipo de tesselação: triangular
poliedros: octaedro estrelado, tetraedro
15. Peixe, pato, tartaruga
descrição: obra de 1948
tipo de tesselação: quadrilateral e triangular
poliedros: octaedro hexakis de Möbius, hexecontaedro deltoidal, sólido de Escher, tetraedro hexakis, octaedro, hexaedro octakis de Möbius
16. Peixe, pato, tartaruga
descrição: obra de 1948
tipo de tesselação: quadrilateral e triangular
poliedros: dodecaedro rômbico, dodecaedro 10-akis de Möbius, hexecontaedro rômbico, icosaedro hexakis de Möbius, deltaedro de Möbius, hexaedro tetrakis
17. Peixe, pato, tartaruga
descrição: adaptação de Pol de Miguel da obra de Escher; obra de 2019
tipo de tesselação: quadrilateral e triangular
poliedros: octaedro hexakis de Möbius, dodecaedro 10-akis de Möbius, sólido de Escher, tetraedro hexakis, icosaedro hexakis de Möbius, octaedro, deltaedro de Möbius, hexaedro octakis de Möbius, hexaedro tetrakis
18. Céu e inferno
descrição: obra de 1962
tipo de tesselação: triangular
poliedros: octaedro hexakis de Möbius, dodecaedro 10-akis de Möbius, sólido de Escher, tetraedro hexakis, icosaedro hexakis de Möbius, octaedro, deltaedro de Möbius, hexaedro octakis de Möbius, hexaedro tetrakis
19. Lagarto, peixe, morcego
descrição: obra de 1952
tipo de tesselação: quadrilateral and triangular
poliedros: octaedro hexakis de Möbius, hexecontaedro deltoidal, sólido de Escher, tetraedro hexakis, octaedro, hexaedro octakis de Möbius
20. Lagarto, peixe, morcego
descrição: obra de 1952
tipo de tesselação: quadrilateral and triangular
poliedros: dodecaedro rômbico, dodecaedro 10-akis de Möbius, hexecontaedro rômbico, icosaedro hexakis de Möbius, deltaedro de Möbius, hexaedro tetrakis
21. Caminho da vida II
descrição: obra de 1958
tipo de tesselação: quadrilateral
poliedros: hexecontaedro deltoidal, triacontaedro rômbico, cubo, dodecaedro rômbico, hexecontaedro rômbico, icositetraedro deltoidal
22. Conchas e estrelas do mar
descrição: obra de 1963
tipo de tesselação: triangular
poliedros: octaedro hexakis de Möbius, octaedro estrelado, sólido de Escher, tetraedro hexakis, octaedro, hexaedro octakis de Möbius, dipirâmide pentagonal, dodecaedro pentakis
23. Conchas e estrelas do mar
descrição: obra de 1963
tipo de tesselação: triangular e quadrilateral
poliedros: tetraedro, dodecaedro 10-akis de Möbius, icosaedro, icosaedro hexakis de Möbius, deltaedro de Möbius, hexaedro tetrakis, disfenóide snub
24. Conchas e estrelas do mar
descrição: obra de 1963
tipo de tesselação: triangular e pentagonal
poliedros: icositetraedro pentagonal, tetartoide, hexecontaedro pentagonal, dodecaedro, dodecaedro aumentado, dodecaedro metabiaumentado, dodecaedro parabiaumentado, dodecaedro triaumentado
25. Simetria (lagartos)
descrição: obra de 1965
tipo de tesselação: triangular e quadrilateral
poliedros: hexecontaedro rômbico, sólido de Escher, hexecontaedro deltoidal, tetraedro hexakis, dodecaedro rômbico, deltaedro de Möbius
26. Simetria (lagartos)
descrição: obra de 1965
tipo de tesselação: triangular e quadrilateral
poliedros: Octaedro hexakis de Möbius, dodecaedro 10-akis de Möbius, icosaedro hexakis de Möbius, octaedro, hexaedro octakis de Möbius, hexaedro tetrakis
27. Serpentes
descrição: última impressão de Escher; obra de 1969
tipo de tesselação: hexagonal
poliedros: cuboctaedro cubitruncado, grande dodecahemicoaedro, grande dodecicosaedro, grande cuboctaedro truncado, grande icosidodecaedro truncado, dodecadodecaedro icositruncado, octahemioctaedro
28. Serpentes
descrição: última impressão de Escher; obra de 1969
tipo de tesselação: hexagonal
poliedros: rombicosaedro, pequeno dodecicosaedro, pequeno hexecontaedro hexagonal, pequeno icosaedro triâmbico, grande icosaedro truncado, icosaedro truncado, tetraedro truncado, octaedro truncado
29. Limite do quadrado
descrição: obra de 1964
tipo de tesselação: quadrilateral
poliedros: hexecontaedro deltoidal, triacontaedro rômbico, cubo, dodecaedro rômbico, hexecontaedro rômbico, icositetraedro deltoidal
30. Sol e lua
descrição: obra de 1948
tipo de tesselação: quadrilateral
poliedros: hexecontaedro deltoidal, triacontaedro rômbico, cubo, dodecaedro rômbico, hexecontaedro rômbico, icositetraedro deltoidal
31. Simetria e Tesselação: peixes
descrição: obra de 1955
tipo de tesselação: triangular e quadrilateral
poliedros: octaedro hexakis de Möbius, dodecaedro 10-akis de Möbius, hexecontaedro deltoidal, tetraedro hexakis, dodecaedro rômbico, deltaedro de Möbius, hexaedro octakis de Möbius
32. Simetria e Tesselação: peixes
descrição: obra de 1955
tipo de tesselação: triangular e quadrilateral
poliedros: hexecontaedro rômbico, triacontaedro rômbico, sólido de Escher, icosaedro hexakis de Möbius, octaedro, icositetraedro deltoidal, hexaedro tetrakis
33. Tesselação
descrição: obra de 1959
tipo de tesselação: triangular
poliedros: octaedro hexakis de Möbius, dodecaedro 10-akis de Möbius, sólido de Escher, tetraedro hexakis, icosaedro hexakis de Möbius, octaedro, deltaedro de Möbius, hexaedro octakis de Möbius, hexaedro tetrakis
34. Desenhos de simetria
descrição: obra de 1955
tipo de tesselação: triangular
poliedros: octaedro hexakis de Möbius, dodecaedro 10-akis de Möbius, sólido de Escher, tetraedro hexakis, icosaedro hexakis de Möbius, octaedro, deltaedro de Möbius, hexaedro octakis de Möbius, hexaedro tetrakis
35. Borboleta
descrição: obra de 1932
tipo de tesselação: triangular e quadrilateral
poliedros: octaedro hexakis de Möbius, dodecaedro 10-akis de Möbius, sólido de Escher, tetraedro hexakis, icosaedro hexakis de Möbius, octaedro, deltaedro de Möbius, hexaedro octakis de Möbius, hexaedro tetrakis, tetraedro
36. Limite do círculo II
descrição: obra de 1959, adaptada para o quadrado por Chamberlain (2016)
tipo de tesselação: triangular e quadrilateral
poliedros: octaedro hexakis de Möbius, sólido de Escher, tetraedro hexakis, deltaedro de Möbius, hexaedro octakis de Möbius, hexecontaedro deltoidal, icositetraedro deltoidal, cubo, grande hexecontaedro dodecacrônico ditrigonal, dodecadodecaedro truncado, grande icosidodecaedro truncado
37. Limite do círculo II
descrição: obra de 1959, adaptada para o quadrado por Chamberlain (2016)
tipo de tesselação: triangular e quadrilateral
poliedros: dodecaedro rômbico, dodecaedro 10-akis de Möbius, hexecontaedro rômbico, icosaedro hexakis de Möbius, octaedro, hexaedro tetrakis, triacontaedro rômbico, dipirâmide pentagonal, hexecontaedro deltoidal medial
38. Limite do círculo II
descrição: obra de 1959, adaptada para o quadrado por Chamberlain (2016)
tipo de tesselação: triangular e quadrilateral
poliedros: grande dirombicosidodecaedro, triacontaedro rômbico medial, pequeno hexecontaedro dodecacrônico, grande icositetraedro hexacrônico, hexecontaedro icosacrônico medial, rombidodecadodecaedro, octaedro estrelado, pequeno hexecontaedro icosacrônico, grande triacontaedro rômbico, grande rombihexaedro, grande rombidodecaedro
39. Caminho da vida I
descrição: obra de 1958
tipo de tesselação: triangular e quadrilateral
poliedros: octaedro hexakis de Möbius, sólido de Escher, tetraedro hexakis, deltaedro de Möbius, hexaedro octakis de Möbius, hexecontaedro deltoidal, icositetraedro deltoidal, cubo, grande hexecontaedro dodecacrônico ditrigonal, dodecadodecaedro truncado, grande icosidodecaedro truncado
40. Caminho da vida I
descrição: obra de 1958
tipo de tesselação: triangular e quadrilateral
poliedros: dodecaedro rômbico, dodecaedro 10-akis de Möbius, hexecontaedro rômbico, icosaedro hexakis de Möbius, octaedro, hexaedro tetrakis, triacontaedro rômbico, dipirâmide pentagonal, hexecontaedro deltoidal medial
41. Caminho da vida I
descrição: obra de 1958
tipo de tesselação: triangular e quadrilateral
poliedros: grande dirombicosidodecaedro, triacontaedro rômbico medial, pequeno hexecontaedro dodecacrônico, grande icositetraedro hexacrônico, hexecontaedro icosacrônico medial, rombidodecadodecaedro, octaedro estrelado, pequeno hexecontaedro icosacrônico, grande triacontaedro rômbico, grande rombihexaedro, grande rombidodecaedro
42. Caminho da vida III
descrição: obra de 1966
tipo de tesselação: hexagonal
poliedros: cuboctaedro cubitruncado, grande dodecahemicoaedro, grande dodecicosaedro, grande cuboctaedro truncado, grande icosidodecaedro truncado, dodecadodecaedro icositruncado, octahemioctaedro
43. Caminho da vida III
descrição: obra de 1966
tipo de tesselação: hexagonal
poliedros: rombicosaedro, pequeno dodecicosaedro, pequeno hexecontaedro hexagonal, pequeno icosaedro triâmbico, grande icosaedro truncado, icosaedro truncado, tetraedro truncado, octaedro truncado
44. Tesselação de flores
descrição: livro de colorir publicado em 2021, baseado em tesselações de Escher
tipo de tesselação: triangular
poliedros: octaedro hexakis de Möbius, dodecaedro 10-akis de Möbius, sólido de Escher, tetraedro hexakis, icosaedro hexakis de Möbius, octaedro, deltaedro de Möbius, hexaedro octakis de Möbius, hexaedro tetrakis
45. Tesselação de folhas
descrição: obra de Regolo Bizzi, baseada em tesselações de Escher
tipo de tesselação: triangular
poliedros: octaedro hexakis de Möbius, dodecaedro 10-akis de Möbius, sólido de Escher, tetraedro hexakis, icosaedro hexakis de Möbius, octaedro, deltaedro de Möbius, hexaedro octakis de Möbius, hexaedro tetrakis
46. Tesselação de folhas
descrição: obra de Regolo Bizzi, baseada em tesselações de Escher
tipo de tesselação: triangular
poliedros: octaedro hexakis de Möbius, dodecaedro 10-akis de Möbius, sólido de Escher, tetraedro hexakis, icosaedro hexakis de Möbius, octaedro, deltaedro de Möbius, hexaedro octakis de Möbius, hexaedro tetrakis
Escher’s works: polyhedra tessellation and visualization with Virtual Reality de Paulo Henrique Siqueira está licenciado com uma Licença Creative Commons Atribuição-NãoComercial-SemDerivações 4.0 Internacional.
Como citar este trabalho:
Siqueira, P.H., "Escher's works: polyhedra tessellation and visualization with Virtual Reality". Disponível em: <https://paulohscwb.github.io/tessellation/escher/pt-br/>, Fevereiro de 2025.
Referências:
Weisstein, Eric W. “Tessellation.” From MathWorld–A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/Tessellation.html
Mohr, R. “Tiled Art” https://tiled.art/en/home
McCooey, D. I. “Visual Polyhedra”. http://dmccooey.com/polyhedra/