Toros e toroides: visualização dos sólidos com Realidade Aumentada (RA) e Realidade Virtual (RV) em A-frame
autor: Paulo Henrique Siqueira - Universidade Federal do Paraná
contato: paulohscwb@gmail.com
english version
Toros e Toroides
Um toro comum é considerado uma superfície de gênero 1. Este sólido possui um único “buraco”, e pode ser construído a partir de um retângulo colando ambos os pares de bordas opostas sem torções. O toro usual incorporado no espaço tridimensional tem o formato de uma rosquinha.
O toroide é uma superfície de revolução obtida pela rotação de uma curva plana fechada, ou um polígono, em torno de um eixo paralelo ao plano que não intercepta a curva. O toroide mais simples é o toro, e o termo toroide é usado para se referir a um poliedro toroidal.
Este trabalho mostra toros e toroides modelados em 3D, com as visualizações que podem ser acessadas com os recursos de Realidade Aumentada e também em salas imersivas de Realidade Virtual.
Realidade Aumentada | Modelos 3D | Página Inicial
Sala imersiva
Realidade Aumentada
Para visualizar os toros e toroides em RA, visite as páginas indicadas nos modelos 3D dos sólidos utilizando qualquer navegador com um dispositivo de webcam (smartphone, tablet ou notebook).
O acesso às páginas de RV é feito clicando no círculo azul que aparece em cima de cada marcador.
Modelos 3D
1. Toro
O toro é uma superfície de revolução obtida pela rotação de uma circunferência de raio r em torno de um eixo coplanar com a circunferência. A distância do centro da circunferência ao centro de rotação mede o raio do tubo R. As equações paramétricas para um toro azimutalmente simétrico em torno do eixo z são: x = (R + r·cos(v))·cos(u), y = (R + r·cos(v))·sin(u) e z = r·sin(v), onde u, v ∈ [0, 2π).
2. Toro poliédrico
Considere n troncos de cilindros iguais, equidistantes de um ponto e com eixos coplanares. O sólido gerado por estes troncos de cilindros é um toro poliédrico de n lados, e as interseções dos troncos de cilindros são circunferências com raios iguais.
3. Nó toral
Um nó toral (p, q) é obtido ao enrolar uma corda através do furo de um toro q vezes, com p revoluções antes de unir suas extremidades, onde p e q são números primos relativos. As equações paramétricas para um nó toral azimutalmente simétrico em torno do eixo z são: x = (R + r·cos(q·u))·cos(p·u), y = (R + r·cos(q·u))·sin(p·u) e z = r·sin(q·u), onde u ∈ [0, 2π).
4. Toroide poligonal
O toroide poligonal é uma superfície de revolução obtida pela rotação de um polígono em torno de um eixo coplanar com o polígono.
5. Toroide poliédrico
Considere n troncos de prismas regulares iguais, equidistantes de um ponto P e com arestas laterais ortogonais ao eixo que passam por P. O sólido gerado pela união destes troncos de prismas é um toroide poliédrico com n lados, e as interseções dos troncos de prismas são polígonos regulares congruentes.
6. Nó toroidal poliédrico
Um nó toroidal poliédrico (p, q) é obtido ao enrolar uma corrente através do furo de um toro q vezes, com p revoluções antes de unir suas extremidades, onde p e q são números primos relativos. Os elos da corrente são formados por prismas e troncos de prismas.
7. Anéis Borromeanos: nó toral
Os anéis borromeanos, também chamados de elos borromeanos, são três anéis entrelaçados mutuamente, com o nome da família renascentista italiana que os usava em seu brasão de armas. A remoção de qualquer anel deixa os outros dois desconectados. Neste exemplo, temos os anéis borromeanos feitos com nós torais com p = 1 e q = 2.
8. Anéis Borromeanos: toroide poliédrico
Os anéis borromeanos, também chamados de elos borromeanos, são três anéis entrelaçados mutuamente, com o nome da família renascentista italiana que os usava em seu brasão de armas. A remoção de qualquer anel deixa os outros dois desconectados. Neste exemplo, temos os anéis borromeanos feitos com toroides poliédricos com n = 4.
Torus and Toroids: visualization of solids with Augmented Reality and Virtual Reality de Paulo Henrique Siqueira está licenciado com uma Licença Creative Commons Atribuição-NãoComercial-SemDerivações 4.0 Internacional.
Como citar este trabalho:
Siqueira, P.H., "Torus and Toroids: visualization of solids with Augmented Reality and Virtual Reality". Disponível em: <https://paulohscwb.github.io/torus-toroids/basic/pt-br/>, Fevereiro de 2025.
Referências:
Weisstein, Eric W. “Torus” From MathWorld-A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/Torus.html
Weisstein, Eric W. “Toroid” From MathWorld-A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/Toroid.html
McCooey, D. I. “Visual Polyhedra”. http://dmccooey.com/polyhedra/