Torus and Toroids

Toros e toroides: visualização dos sólidos com Realidade Aumentada (RA) e Realidade Virtual (RV) em A-frame

autor: Paulo Henrique Siqueira - Universidade Federal do Paraná
contato: paulohscwb@gmail.com
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Toroides de Möbius, Vélez-Jahn e Cairo

O azulejo do Cairo recebeu esse nome em homenagem ao padrão de reboco de algumas ruas do Cairo.
Os sólidos com características semelhantes às folhas de Möbius foram descobertos por Gonzalo Vélez-Jahn em 1968. Estes sólidos foram descritos por Martin Gardner como poliedros toroidais, que são transformações de anéis prismáticos.
Este trabalho mostra toroides de Möbius, Vélez-Jahn e Cairo modelados em 3D, com as visualizações que podem ser acessadas com recursos em salas de Realidade Virtual imersivas.

Modelos 3D | Página Inicial

VR immersive Cairo VR immersive Mobius

Modelos 3D

1. Toroide de azulejo de Cairo

faces: 8 pentágonos simétricos | vértices: 12 | arestas: 20

2. Toroide de azulejo de Cairo v2

faces: 16 pentágonos simétricos | vértices: 24 | arestas: 40

3. Toroide de azulejo de Cairo v3

faces: 16 pentágonos irregulares | vértices: 24 | arestas: 40

4. Toroide de azulejo de Cairo bumerangue

faces: 16 pentágonos irregulares | vértices: 24 | arestas: 40

5. Toroide de azulejo de Cairo bumerangue v2

faces: 16 pentágonos irregulares | vértices: 24 | arestas: 40

6. Tetraedro Chanfrado

Toroide de Möbius e Vélez-Jahn modelado com 10 Tetraedros Chanfrados

7. Cubo

Toroide de Möbius e Vélez-Jahn modelado com 10 Cubos

8. Cubo com pipas

Toroide de Möbius e Vélez-Jahn modelado com 10 Cubos com pipas

9. Cuboctaedro Cubitruncado

Toroide de Möbius e Vélez-Jahn modelado com 10 Cuboctaedros Cubitruncados

10. Cuboctaedro

Toroide de Möbius e Vélez-Jahn modelado com 10 Cuboctaedros

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11. Cuboctaedro com pipas

Toroide de Möbius e Vélez-Jahn modelado com 10 Cuboctaedros com pipas

12. Cubohemioctaedro

Toroide de Möbius e Vélez-Jahn modelado com 10 Cubohemioctaedros

13. Sólido de Escher

Toroide de Möbius e Vélez-Jahn modelado com 10 sólidos de Escher

14. Grande Cubicuboctaedro

Toroide de Möbius e Vélez-Jahn modelado com 10 Grandes Cubicuboctaedros

15. Grande Rombihexaedro

Toroide de Möbius e Vélez-Jahn modelado com 10 Grandes Rombihexaedros

16. Grande Cuboctaedro Truncado

Toroide de Möbius e Vélez-Jahn modelado com 10 Grandes Cuboctaedros Truncados

17. Octahemioctacron

Toroide de Möbius e Vélez-Jahn modelado com 10 Octahemioctacrons

18. Octahemioctaedro

Toroide de Möbius e Vélez-Jahn modelado com 10 Octahemioctaedros

19. Rombicuboctaedro

Toroide de Möbius e Vélez-Jahn modelado com 10 Rombicuboctaedros

20. Rombicuboctaedro com pipas

Toroide de Möbius e Vélez-Jahn modelado com 10 Rombicuboctaedros com pipas

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21. Pequeno Cuboctaedro

Toroide de Möbius e Vélez-Jahn modelado com 10 Pequenos Cuboctaedros

22. Pequeno Rombihexaedro

Toroide de Möbius e Vélez-Jahn modelado com 10 Pequenos Rombihexaedros

23. Cubo Truncado

Toroide de Möbius e Vélez-Jahn modelado com 10 Cubos Truncados

24. Cubo Truncado com pipas

Toroide de Möbius e Vélez-Jahn modelado com 10 Cubos Truncados com pipas

25. Cuboctaedro Truncado

Toroide de Möbius e Vélez-Jahn modelado com 10 Cuboctaedros Truncados

26. Cuboctaedro Truncado com pipas

Toroide de Möbius e Vélez-Jahn modelado com 10 Cuboctaedros Truncados com pipas

27. Octaedro Truncado

Toroide de Möbius e Vélez-Jahn modelado com 10 Octaedros Truncados

28. Octaedro Truncado com pipas

Toroide de Möbius e Vélez-Jahn modelado com 10 Octaedros Truncados com pipas

29. Dodecaedro Côncavo

Toroide de Möbius e Vélez-Jahn modelado com 10 Codecaedros Côncavos

30. Dodecadodecaedro Ditrigonal

Toroide de Möbius e Vélez-Jahn modelado com 10 Dodecadodecaedros Ditrigonais

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31. Dodecadodecaedro

Toroide de Möbius e Vélez-Jahn modelado com 10 Dodecadodecaedros

32. Dodecaedro

Toroide de Möbius e Vélez-Jahn modelado com 10 Dodecaedros

33. Grande Dodecicosidodecaedro Ditrigonal

Toroide de Möbius e Vélez-Jahn modelado com 10 Grandes Dodecicosidodecaedros Ditrigonais

34. Grande Icosidodecaedro Ditrigonal

Toroide de Möbius e Vélez-Jahn modelado com 10 Grandes Icosidodecaedros Ditrigonais

35. Grande Hexecontaedro Dodecacrônico

Toroide de Möbius e Vélez-Jahn modelado com 10 grandes hexecontaedros dodecacrônicos

36. Grande Dodecaedro

Toroide de Möbius e Vélez-Jahn modelado com 10 Grandes Dodecaedros

37. Grande Dodecahemicosaedro

Toroide de Möbius e Vélez-Jahn modelado com 10 Grandes Dodecahemicosaedros

38. Grande Dodecahemidodecaedro

Toroide de Möbius e Vélez-Jahn modelado com 10 Grandes Dodecahemidodecaedros

39. Grande Dodecicosaedro

Toroide de Möbius e Vélez-Jahn modelado com 10 Grandes Dodecicosaedros

40. Grande Dodecicosidodecaedro

Toroide de Möbius e Vélez-Jahn modelado com 10 Grandes Dodecicosidodecaedros

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41. Grande Icosaedro

Toroide de Möbius e Vélez-Jahn modelado com 10 Grandes Icosaedros

42. Grande Icosicosidodecaedro

Toroide de Möbius e Vélez-Jahn modelado com 10 Grandes Icosicosidodecaedros

43. Grande Icosidodecaedro

Toroide de Möbius e Vélez-Jahn modelado com 10 Grandes icosidodecaedros

44. Grande Icosihemidodecaedro

Toroide de Möbius e Vélez-Jahn modelado com 10 Grandes icosihemidodecaedros

45. Grande Rombidodecaedro

Toroide de Möbius e Vélez-Jahn modelado com 10 Grandes Rombidodecaedros

46. Grande Dodecaedro Estrelado Truncado

Toroide de Möbius e Vélez-Jahn modelado com 10 Grandes Dodecaedros Estrelados Truncados

47. Grande Icosidodecaedro Truncado

Toroide de Möbius e Vélez-Jahn modelado com 10 Grandes Icosidodecaedros Truncados

48. Icosaedro

Toroide de Möbius e Vélez-Jahn modelado com 10 Icosaedros

49. Icosidodecadodecaedro

Toroide de Möbius e Vélez-Jahn modelado com 10 Icosidodecadodecaedros

50. Dodecadodecaedro Icositruncado

Toroide de Möbius e Vélez-Jahn modelado com 10 Dodecadodecaedros icositruncados

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51. Dodecaedro Pentakis

Toroide de Möbius e Vélez-Jahn modelado com 10 Dodecaedros Pentakis

52. Rombicosaedro

Toroide de Möbius e Vélez-Jahn modelado com 10 Rombicosaedros

53. Rombicosidodecaedro

Toroide de Möbius e Vélez-Jahn modelado com 10 Rombicosidodecaedros

54. Rombidodecadodecaedro

Toroide de Möbius e Vélez-Jahn modelado com 10 Rombidodecadodecaedros

55. Pequeno Dodecicosidodecaedro Ditrigonal

Toroide de Möbius e Vélez-Jahn modelado com 10 Pequenos Dodecicosidodecaedros Ditrigonais

56. Pequeno Icosidodecaedro Ditrigonal

Toroide de Möbius e Vélez-Jahn modelado com 10 Pequenos Icosidodecaedros Ditrigonais

57. Pequeno Dodecahemicosaedro

Toroide de Möbius e Vélez-Jahn modelado com 10 Pequenos Dodecahemicosaedros

58. Pequeno Dodecicosaedro

Toroide de Möbius e Vélez-Jahn modelado com 10 Pequenos Dodecicosaedros

59. Pequeno Dodecicosidodecaedro

Toroide de Möbius e Vélez-Jahn modelado com 10 Pequenos Dodecicosidodecaedros

60. Pequeno Hexecontaedro Hexagonal

Toroide de Möbius e Vélez-Jahn modelado com 10 Pequenos Hexecontaedros Hexagonais

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61. Pequeno Icosicosidodecaedro

Toroide de Möbius e Vélez-Jahn modelado com 10 Pequenos Icosicosidodecaedros

62. Pequeno Rombidodecaedro

Toroide de Möbius e Vélez-Jahn modelado com 10 Pequenos Rombidodecaedros

63. Pequeno Icosicosidodecaedro Snub

Toroide de Möbius e Vélez-Jahn modelado com 10 Pequenos Icosicosidodecaedros Snub

64. Pequeno Dodecaedro Estrelado Truncado

Toroide de Möbius e Vélez-Jahn modelado com 10 Pequenos Dodecaedros Estrelados Truncados

65. Pequeno Icosaedro Triâmbico

Toroide de Möbius e Vélez-Jahn modelado com 10 Pequenos Icosaedros Triâmbicos

66. Hexaedro Truncado Estrelado

Toroide de Möbius e Vélez-Jahn modelado com 10 Hexaedros Truncados Estrelados

67. Icosaedro Triakis

Toroide de Möbius e Vélez-Jahn modelado com 10 Icosaedros Triakis

68. Dodecadodecaedro Truncado

Toroide de Möbius e Vélez-Jahn modelado com 10 Dodecadodecaedros Truncados

69. Dodecaedro Truncado

Toroide de Möbius e Vélez-Jahn modelado com 10 Dodecaedros Truncados

70. Grande Dodecaedro Truncado

Toroide de Möbius e Vélez-Jahn modelado com 10 Grandes Dodecaedros Truncados

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71. Grande Icosaedro Truncado

Toroide de Möbius e Vélez-Jahn modelado com 10 Grandes Icosaedros Truncados

72. Icosaedro Truncado

Toroide de Möbius e Vélez-Jahn modelado com 10 Icosaedros Truncados

73. Icosidodecaedro Truncado

Toroide de Möbius e Vélez-Jahn modelado com 10 Icosidodecaedros Truncados

74. Grande Rombicosidodecaedro Uniforme

Toroide de Möbius e Vélez-Jahn modelado com 10 Grandes Rombicosidodecaedros Uniformes

75. Grande Rombicuboctaedro Uniforme

Toroide de Möbius e Vélez-Jahn modelado com 10 Grandes Rombicuboctaedros Uniformes

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Möbius, Vélez-Jahn and Cairo toroids: visualization of solids with Virtual Reality de Paulo Henrique Siqueira está licenciado com uma Licença Creative Commons Atribuição-NãoComercial-SemDerivações 4.0 Internacional.

Como citar este trabalho:

Siqueira, P.H., "Möbius, Vélez-Jahn and Cairo toroids: visualization of solids with Virtual Reality". Disponível em: <https://paulohscwb.github.io/torus-toroids/mobiuscairo/pt-br/>, Julho de 2025.

Referências:
Weisstein, Eric W. “Torus” From MathWorld-A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/Torus.html
Weisstein, Eric W. “Toroid” From MathWorld-A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/Toroid.html
McCooey, D. I. “Visual Polyhedra”. http://dmccooey.com/polyhedra/