Construções Geométricas

Esta página contém definições, propriedades e procedimentos para as construções geométricas usadas na disciplina de Desenho Geométrico.

A apostila está disponível no link: apostila de Desenho Geométrico

Uso dos materiais básicos de Desenho

Veja o passo a passo das construções básicas mostradas no vídeo:

📏 📐 Resolução

Vamos utilizar a régua e o compasso para resolver este exercício. Clique nos botões do passo a passo para fazer a construção na sua apostila.

• 
  Com a ponta seca em A, desenhe um arco com raio maior do que a metade de AB.
• 
  Com a ponta seca em B, desenhe um arco com o mesmo raio usado no passo anterior.
• 
  Os pontos de interseção dos arcos são P e Q.
• 
  Desenhe a reta que passa pelos pontos de interseção dos arcos.
• 
  Pronto! A mediatriz do segmento AB está construída. Note que a figura PAQB é um losango e, portanto, suas diagonais são perpendiculares e se encontram no ponto médio das mesmas.

voltar ao topo

📏 📐 Resolução com esquadros

Podemos utilizar a régua e um dos esquadros ou a régua e o compasso para resolver este exercício. Primeiro, veja como é a construção com a régua e o esquadro de 45°.

• 
  Alinhe um dos catetos do esquadro com a reta r.
• 
  Coloque a régua como apoio na hipotenusa do esquadro. A régua ficará fixa.
• 
  Deslize o esquadro até chegar na posição do ponto P. Lembre-se de não mover a régua.
• 
  Desenhe a reta que passa pelo ponto P com o cateto do esquadro.
• 
  Pronto! A reta paralela s // r está construída.

voltar ao topo

📏 📐 Resolução com esquadros

Vamos utilizar a régua e um dos esquadros para resolver este exercício. Clique nos botões do passo a passo para fazer a construção na sua apostila.

• 
  Alinhe um dos catetos do esquadro com a reta r.
• 
  Coloque a régua como apoio na hipotenusa do esquadro. A régua ficará fixa.
• 
  Deslize o esquadro até o cateto vertical chegar na posição do ponto P. Lembre-se de não mover a régua.
• 
  Desenhe a reta que passa pelo ponto P.
• 
  Pronto! A reta perpendicular p está construída.
• 
  Alinhe um dos catetos do esquadro com a reta r.
• 
  Coloque a régua como apoio na hipotenusa do esquadro. A régua ficará fixa.
• 
  Deslize o esquadro até o cateto vertical chegar na posição do ponto P. Lembre-se de não mover a régua.
• 
  Desenhe a reta que passa pelo ponto P.
• 
  Pronto! A reta perpendicular p está construída.

voltar ao topo

📏 📐 Resolução

Vamos utilizar a régua e o compasso para resolver este exercício. Clique nos botões do passo a passo para fazer a construção na sua apostila.

• 
  Com a ponta seca no vértice O do ângulo desenhe um arco obtendo os pontos P e Q, cada um em um lado do ângulo.
• 
  Com a ponta seca no ponto P desenhe um arco.
• 
  Com a ponta seca em Q desenhe um arco com o mesmo raio do passo anterior, obtendo o ponto R.
• 
  Desenhe a reta OR que é a bissetriz do ângulo dado.
• 
  Note que construímos dois triângulos: um verde e outro laranja.
• 
  Esses triângulos são congruentes (iguais) e por isso os ângulos α e β são também congruentes.

voltar ao topo

1.1. Circunferência e Mediatriz

Material da página 1 até a página 11.

voltar ao topo

📏 📐 Construção

Utilizaremos o compasso para construir a primeira circunferência. Lembre-se sempre de deixá-lo com o grafite apontado para desenhar com maior precisão.

• 
  Considerando um ponto O e a medida r, vamos construir a circunferência de centro em O e raio r.
• 
  Usando o compasso, colocamos a ponta seca em uma extremidade e o grafite na outra extremidade de r. Desta forma, "pegamos" a medida r e...
• 
  ... com a ponta seca em O, construímos a circunferência com raio r.
• 
  Qualquer ponto P pertencente à Circunf(O,r) tem a distância fixa r até o ponto fixo O.

📏 📐 Resolução

Utilizaremos o conceito de lugar geométrico para fazer esta construção. O compasso será usado como instrumento auxiliar.

• 
  Como a distância de P até X é igual a d, vamos construir a circunferência de centro em P e raio d. Logo, podemos usar o compasso com a ponta seca em uma extremidade de d e o grafite na outra extremidade para "pegarmos" a medida d.
• 
  Com a ponta seca em P, construímos a Circunf(P,d), que é o lugar geométrico de todos os pontos com distância d até o ponto P.
• 
  Como o ponto X está na reta t, teremos duas soluções para este problema, encontradas na interseção da Circunf(P,d) com a reta t. Se a Circunf(P,d) não intercectar a reta t, não temos solução. No caso em que a Circunf(P,d) for tangente à reta t, teremos apenas 1 solução.

voltar ao topo

📏 📐 Resolução

Utilizaremos o conceito de lugar geométrico para resolver este problema. O compasso será usado como instrumento auxiliar.

• 
  Como a distância de X até A é igual a m, vamos construir a circunferência de centro em A e raio m. Logo, podemos usar o compasso com a ponta seca em uma extremidade de m e o grafite na outra extremidade para "pegarmos" a medida m.
• 
  Com a ponta seca em A, construímos a Circunf(A,m), que é o lugar geométrico de todos os pontos com distância m até o ponto A.
• 
  Usando o mesmo raciocínio, "pegamos" a distância n com o compasso...
• 
  ... e construímos a Circunf(B,n), que é o lugar geométrico dos pontos com distância n até o ponto B.
• 
  Temos duas soluções, encontradas nas interseções das circunferências construídas. Se as circunferências ficarem tangentes, teremos apenas 1 solução. E no caso em que as circunferências não se cortam, não teremos solução neste problema.

📏 📐 Resolução

Utilizaremos o conceito de lugar geométrico para fazer a construção deste triângulo. Usaremos a régua e o compasso como instrumentos auxiliares.

• 
  Vamos imaginar o triângulo ABC construído.
• 
  Por convenção, vamos nomear os lados opostos aos vértices com as mesmas letras, porém, minúsculas. Por exemplo, o lado BC, oposto ao vértice A, terá o nome a.
• 
  Vamos começar construindo uma reta qualquer r, e escolhendo um ponto B sobre esta reta.
• 
  Usando o compasso, vamos "pegar" a medida de um dos lados com extreminade B: neste caso, o lado c.
• 
  Com centro em B, desenhamos um pequeno arco que serve apenas para transferir a medida c para a reta r. Logo, encontramos o vértice A do triângulo.
• 
  Agora podemos "pegar" as outras medidas dos lados com o compasso. Primeiro, vamos "pegar" o lado a...
• 
  ... e construir a Circunf(B,a), pois a medida a está no lado oposto do vértice A.
• 
  Por último, "pegamos" com o compasso a medida do lado que falta: b.
• 
  Assim, podemos construir a Circunf(A,b).
• 
  Nas interseções das circunferências construídas, podemos escolher o vértice C e "passar a limpo" o triângulo ABC unindo as extremidades A com C e B com C. O triângulo ABC' pode ser desenhado com linha tracejada.

voltar ao topo

📏 📐 Resolução

Utilizaremos o conceito de lugar geométrico para fazer esta construção. O compasso será usado como instrumento auxiliar.

• 
  Como a circunferência procurada passa pelos pontos A e B, as distâncias entre o centro O e os pontos A e B têm medida igual ao raio r. Logo, podemos "pegar" a medida r com o compasso...
• 
  ... e construir a Circunf(A,r), que é o primeiro lugar geométrico do centro O.
• 
  Com a mesma medida de raio, construímos a Circunf(B,r), que é o segundo lugar geométrico de O. Teremos duas soluções: O e O'. Se as circunferências ficarem tangentes, temos apenas 1 solução; e no caso em que as circunferências não se intercectam, não temos solução.
• 
  Com a ponta seca em O, construímos a Circunf(O,r), que passa por A e B.
• 
  E com a ponta seca em O', desenhamos a Circunf(O',r), que passa por A e B.
• 
  Escolhemos uma solução para ficar com linha contínua e a outra com linha tracejada.

📏 📐 Solução

Usando o conceito do lugar geométrico circunferência, você consegue resolver este exercício proposto.

Encontramos duas soluções para este problema.

📏 📐 Solução

Use o conceito do lugar geométrico circunferência para resolver este exercício.

Encontramos duas soluções para este problema: os triângulos ABC e A'BC.

voltar ao topo

📏 📐 Solução

Usando o conceito do lugar geométrico circunferência, você consegue resolver este exercício.

Como as laterais do triângulo isósceles medem d, usamos uma circunferência para encontrar os vértices B e C.

📏 📐 Exercício proposto 1.1

📏 📐 Solução

Usando o conceito do lugar geométrico circunferência, você consegue resolver este exercício.

Como a circunferência passa por P, construímos a circunferência de centro em P e raio r para encontrar o centro da solução.

voltar ao topo

📏 📐 Resolução

Utilizaremos o conceito de lugar geométrico para fazer esta construção. A régua e o compasso serão usados como instrumentos auxiliares.

• 
  Lembrando da propriedade: se duas circunferências são tangentes em um ponto T, elas admitem a reta tangente t comum; como a reta tangente forma 90° com o raio em T, os raios OT e AT formam 180°, ou seja, O, T e A serão colineares.
• 
  Usando a régua ou um dos esquadros, podemos prolongar o segmento OT e usar o compasso para "pegar" a medida r.
• 
  Com o centro em T, construímos um arco para marcar o centro A na reta OT.
• 
  Teremos uma solução interna à circunferência λ; logo, podemos marcar também o ponto A' sobre o raio OT.
• 
  Com centro em A, construímos a Circunf(A,r), que é a primeira solução.
• 
  E com centro em A', construímos a Circunf(A',r), que é a segunda solução.
• 
  Estas são as duas soluções do problema proposto.

📑 Propriedades

Neste segundo lugar geométrico, usamos a régua e o compasso como instrumentos auxiliares para sua construção.

• 
  Para encontrar a mediatriz de AB, construímos os arcos de circunferência de centros A e B, com raios de mesma medida. Esta medida precisa ser maior do que a metade de AB. As interseções destes arcos definem a reta XX' que é a mediatriz de AB. Usamos a notação med_AB.
• 
  Como os raios são iguais a uma medida d, temos o △AXB isósceles de base AB.
• 
  Obtemos assim o ponto médio M de AB, e os △AMX e △BMX congruentes.
• 
  Logo, temos que ∢AMX = 90°. Portanto, a mediatriz passa pelo ponto médio e forma 90° com este segmento.

voltar ao topo

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua e o compasso como instrumentos auxiliares para sua construção da mediatriz.

• 
  Vamos construir um arco de circunferência com centro em A e a medida do raio maior do que a metade de AB.
• 
  Com a mesma medida do raio do arco anterior, construímos o arco com centro em B.
• 
  Usando a régua ou um dos esquadros, construímos a reta que passa pelos pontos de interseção dos arcos construídos P e P'. Esta é a mediatriz de AB, denotada por med_AB
• 
  Quando o segmento AB estiver próximo da margem da folha, podemos construir um dos arcos, com centro em A e raio maior do que a metade de AB.
• 
  Com a mesma medida do raio usado em A, construímos o arco com centro em B. O ponto de interseção Q pertence à mediatriz procurada. Porém, precisamos de mais um ponto para determinar a mediatriz.
• 
  Logo, podemos construir dois outros arcos, usando uma outra medida.
• 
  Usando a mesma medida, construímos o arco com centro em B.
• 
  A mediatriz pode ser construída com a régua ou um esquadro, unindo os pontos de interseção do arcos Q e Q'.
• 
  A mediatriz de AB está construída com o segmento próximo da margem da folha.

📏 📐 Solução

Constuindo a mediatriz de AB, determinamos o ponto médio deste segmento.

Utilize os mesmos passos usados na construção anterior.

📏 📐 Resolução

Usaremos a régua e o compasso como instrumentos auxiliares nesta construção.

• 
  Como o triângulo é isósceles de base BC, o vértice A é equidistante dos vértices B e C: logo, A pertence à mediatriz de BC. Com uma medida maior do que a metade de BC, construímos um arco com centro em C...
• 
  ... e outro raio de mesma medida e centro em B. As interseções definem os pontos P e P'.
• 
  Usando a régua ou um dos esquadros, construa a mediatriz de BC unindo os pontos P e P'.
• 
  Como o vértice A pertence à circunferência λ, as interseções de λ com a med_BC definem os vértices do triângulo isósceles. Teremos 2 soluções para este problema, pois a mediatriz intercecta a circunferência em 2 pontos.
• 
  Escolha uma solução para construir o triângulo com linha contínua e o outro com linha tracejada.

voltar ao topo

📏 📐 Resolução

Vamos usar a régua e o compasso como instrumentos auxiliares para resolver este problema.

• 
  Temos os três pontos pertencentes à circunferência de centro O.
• 
  As distâncias entre os pontos dados e o centro é a mesma: o raio r da circunferência. Logo, podemos construir duas mediatrizes para encontrar o centro.
• 
  Com o centro em A, construímos um arco com medida maior do que AC para encontrar a med_AC.
• 
  Com o centro em C, construímos um arco com raio de mesma medida do primeiro, encontrando as interseções P e P'.
• 
  Usando a régua ou um dos esquadros, construímos a mediatriz de AC, que é o primeiro lugar geométrico do centro O.
• 
  Usando a construção similar, construímos a med_AB, que é o segundo lugar geométrico de O.
• 
  Na interseção das duas mediatrizes, temos o centro da circunferência que passa pelos 3 pontos. Não precisamos construir a mediatriz do terceiro segmento, BC, pois basta a interseção de duas retas para determinar o ponto O. Com centro em O, podemos abrir o compasso até qualquer um dos três pontos...
• 
  ... e construir a circunferência que passa pelos 3 pontos.
• 
  Esta é a única solução deste problema.

📏 📐 Resolução

Vamos usar a régua, o compasso e os esquadros como instrumentos auxiliares para resolver este problema. Vamos começar usando a régua e o compasso.

• 
  Vamos usar o fato do que a mediatriz de um segmento é perpendicular ao segmento. Construa então um arco de circunferência de centro P e raio de medida qualquer, determinando o ponto A sobre a reta r, no lado direito.
• 
  Com a mesma medida do raio do arco usado para encontrar A, encontre do lado esquerdo do ponto P o ponto B.
• 
  É como se P fosse o ponto médio de AB. Então vamos encontrar a med_AB: com centro em A, construa um arco com raio de medida maior do que AP e...
• 
  ... com centro em B, construa um arco com raio de mesma medida. A interseção destes arcos é o ponto C, que pertence à med_AB.
• 
  Logo, podemos construir com a régua ou um dos esquadros a reta PC.
• 
  Esta reta é perpendicular à reta r, pois é a med_AB. Agora determine um ponto P' sobre a reta r para construirmos a perpendicular a esta reta que passa por P' com os esquadros.
• 
  Neste exemplo, vamos usar o esquadro de 45 alinhando um cateto com a reta. Coloque na hipotenusa deste esquadro o outro esquadro ou a régua como apoio.
• 
  Deixando fixo o esquadro de 60, deslize o esquadro de 45 até chegar em P'. Use o outro cateto do esquadro de 45 para construir a reta perpendicular.
• 
  Esta é a solução do problema com o uso de esquadros. Você pode usar o esquadro de 60 alinhado e o outro fixo. O importante é lembrar de apoiar sempre a hipotenusa deste esquadro que irá deslizar com o outro esquadro.

📏 📐 Resolução

Vamos usar a régua, o compasso e os esquadros como instrumentos auxiliares para resolver este problema. Vamos começar usando a régua e o compasso.

• 
  Neste item, vamos novamente usar o fato do que a mediatriz de um segmento é perpendicular ao segmento. Construa então um arco de circunferência com raio de medida qualquer, que intercecte a reta r nos pontos A e B.
• 
  É como se P fosse um ponto qualquer da med_AB. Então vamos encontrar a med_AB: com centro em B, construa um arco com raio de medida maior do que a metade de AB e...
• 
  ... com centro em A, construa um arco com raio de mesma medida. A interseção destes arcos é o ponto C, que pertence à med_AB.
• 
  Logo, podemos construir com a régua ou um dos esquadros a reta PC.
• 
  Esta reta é perpendicular à reta r, pois é a med_AB. Agora determine um ponto P' não pertencente à reta r para construirmos a perpendicular a esta reta que passa por P' com os esquadros.
• 
  Neste exemplo, vamos usar o esquadro de 60 alinhando o cateto maior com a reta. Coloque na hipotenusa deste esquadro o outro esquadro ou a régua como apoio.
• 
  Deixando fixo o esquadro de 45, deslize o esquadro de 60 até chegar em P'. Use o outro cateto do esquadro de 60 para construir a reta perpendicular.
• 
  Esta é a solução do problema com o uso de esquadros. Você pode usar o esquadro de 45 alinhado e o outro fixo. O importante é lembrar de apoiar sempre a hipotenusa deste esquadro que irá deslizar com o outro esquadro.

voltar ao topo

📏 📐 Solução

Constuindo a mediatriz de AB, determinamos o ponto médio M deste segmento.

Usando as mediatrizes das metades do segmento AB, dividimos este segmento em 4 partes iguais.

📏 📐 Solução

Como P é esquidistante de B e de C, pertence à med_BC.

📏 📐 Solução

Como X é esquidistante de A e de C, pertence à med_AC.

Como a distância de X até B é igual a r, pertence à Circunf(B,r).

voltar ao topo

📏 📐 Solução

Como X é esquidistante de A e de B, pertence à med_AB.

Como X é esquidistante de C e de D, pertence à med_CD.

📏 📐 Solução

Neste caso, o centro será o ponto médio do diâmetro AB.

📏 📐 Solução

Como a circunferência procurada passa por P e Q, seu centro pertence à med_PQ.

Depois de achar o centro O, o raio será OP = OQ.

voltar ao topo

📏 📐 Resolução

Vamos usar a régua e o compasso como instrumentos auxiliares para resolver este problema.

• 
  Podemos definir dois pontos sobre a circunferência. Se construirmos a mediatriz deste segmento, o centro estará contido nesta reta. Logo, defina o arco com centro em A e um raio com medida maior do que a metade de AB.
• 
  Com centro em B, construa o arco com mesma medida do raio usado em A. As interseções definem a med_AB, que contém o centro da circunferência.
• 
  Podemos escolher outro ponto da circunferência: C.
• 
  Construindo a med_BC, temos que a interseção da med_AB com a med_BC será o ponto equidistante de A, B e C. Logo, este ponto é o centro da circunferência.

📏 📐 Exercício proposto 1.2

📏 📐 Solução

Problema similar ao anterior. Você pode construir a reta t perpendicular ao segmento OT usando régua e compasso, ou o par de esquadros.

voltar ao topo

1.2. Retas paralelas e bissetriz

Material da página 12 até a página 20.

📑 Propriedades

Agora vamos estudar o terceiro lugar geométrico: retas paralelas. Vamos ver algumas propriedades.

• 
  Fixando a reta r, as retas paralelas s₁ e s₂ formam o conjunto de pontos com distância d até a reta r.
• 
  Para medir a distância de um ponto P qualquer, pertencente a s₁, até a reta r basta construir a reta perpendicular a r que passa por P.

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua e o compasso para resolver os dois primeiros casos nesta construção.

• 
  Vamos usar a ideia de mediatriz para a primeira construção. Primeiro, vamos construir a reta perpendicular a t que passa por P. Com centro em P, construa o arco que intercecta t nos pontos A e B.
• 
  Com centro em B, construa um arco com medida do raio maior do que a metade de AB.
• 
  Com centro em A, construa o arco com mesmo raio usado em B. A interseção é o ponto C que define a reta PC ⊥ r.
• 
  Agora vamos construir a reta perpendicular à reta PC que passa por P. Com centro em P, defina um arco qualquer que intercecte PC em D.
• 
  Encontre o ponto E, tal que PE = PD.
• 
  Agora vamos construir a mediatriz de ED. Com centro em D, construa um arco com raio maior do que PD...
• 
  ... e use o raio com mesma medida para construir o arco com centro em E. Desta forma, encontramos o ponto F.
• 
  A reta PF ⊥ PD é paralela à reta t, pois os ângulos alternos internos são iguais a 90°.
• 
  Agora vamos construir a reta paralela a t que passa por P usando outro raciocínio. Construa um arco de circunferência de raio qualquer PQ, onde Q ∈ t.
• 
  Com a mesma medida do raio, encontre o ponto R ∈ t, ou seja, QR = PQ.
• 
  Com centro em R, determine o arco com mesmo raio que usamos para achar Q e R.
• 
  Na interseção do terceiro arco que construímos com o arco de centro P, encontramos o ponto S, tal que PS // t.
• 
  De fato, PS // t pois construímos um losango PQRS, e os lados opostos de um losango são paralelos.

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua e o compasso para resolver o terceiro caso desta construção, e o par de esquadros no quarto caso.

• 
  Vamos usar outro raciocínio para construir a reta paralela a t que passa por P. Determine um ponto A sobre a reta, de tal forma que A não esteja na direção da reta perpendicular a t que passa por P.
• 
  Com centro em A, construa um arco com medida do raio igual a AP.
• 
  Este arco deve formar uma semi-circunferência, intercectando t em B e C.
• 
  Com o compasso, "pegue" a medida BP e...
• 
  ... construa o arco com raio BP e centro em C, determinando D na semi-circunferência.
• 
  A reta PD será paralela a t.
• 
  De fato, esta construção dá certo pois construímos um trapézio iscósceles; as retas PD e t formam as bases do trapézio, que são paralelas.
• 
  Agora, com o uso dos esquadros, podemos alinhar com a reta t a hipotenusa de um dos esquadros: neste exemplo, alinhamos a hipotenusa do esquadro de 45. Coloque o outro esquadro ou a régua como apoio em um dos catetos do esquadro de 45.
• 
  Deixando fixo o esquadro de 60, deslize o esquadro de 45 até chegar no ponto P.
• 
  Desta forma temos a reta p // t construída com esquadros.

📏 📐 Resolução

Podemos utilizar a régua e o compasso ou o par de esquadros para resolver este exercício. Vamos usar os esquadros para construção e a régua para marcamos a medida de 2cm.

• 
  Defina um ponto A ∈ t. Para definir o LG de todos os pontos com distância 2cm até a reta t, vamos construir uma reta perpendicular a t passando por A. Alinhando um cateto do esquadro de 45 e apoiando a hipotenusa com o outro esquadro...
• 
  ... deixamos fixo o esquadro de 60 e deslizamos o esquadro de 45 até chegar em A. Desta forma, temos a reta a ⊥ t.
• 
  Podemos usar a régua para medir a distância de 2cm nos dois semi-planos definidos pela reta t, definindo os pontos B e C pertencentes à reta a.
• 
  Agora podemos construir as retas paralelas à reta t que passam por B e C. Alinhando a hipotenusa de um dos esquadros com a reta t, e deixando o outro esquadro como apoio...
• 
  ... deslizamos o esquadro de 60 até chegam em C, deixando fixo o esquadro de 45.
• 
  Aproveitando o alinhamento, podemos deslizar o esquadro de 60 até chegar em B. Logo, construímos as retas p₁...
• 
  ... e p₂, que definem o lugar geométrico dos pontos com distância 2cm à reta t.

voltar ao topo

📏 📐 Resolução

Utilizaremos os esquadros e o compasso para resolver este exercício. Lembrando que para construir uma circunferência tangente a uma reta, o raio deve ser perpendicular à reta no ponto de tangência.

• 
  Primeiro vamos construir a reta paralela ao segmento AB, com distância r. Podemos construir a reta perpendicular a AB que passa pelo ponto A com os esquadros. Alinhando um cateto do esquadro de 45, e apoiando a hipotenusa no outro esquadro...
• 
  ... deslizamos o esquadro de 45 até chegar no ponto A, deixando fixo o outro esquadro.
• 
  Usando o compasso, "pegamos" a medida do raio r...
• 
  ... e marcamos a partir do ponto A na reta perpendicular que construímos: logo, temos que AD ⊥ AB.
• 
  Podemos alinhar a hipotenusa do esquadro de 45 com AB, deixando o outro esquadro apoiado em um cateto do esquadro de 45.
• 
  Deslizando o esquadro de 45 até chegar em D, deixando fixo o outro esquadro, construímos a reta s // AB com distância r.
• 
  Agora podemos construir a reta perpendicular ao segmento BC que passa pelo ponto C. Podemos alinhar um cateto do esquadro de 60 com BC, deixando o outro esquadro apoiado na hipotenusa do esquadro de 60.
• 
  Deixando fixo o esquadro de 45, deslizamos o esquadro de 60 até chegar em C.
• 
  Com o compasso, "pegamos" a distância r...
• 
  ... e marcamos esta distância a partir de C, encontrando CE ⊥ BC.
• 
  Agora podemos alinhar a hipotenusa do esquadro de 45 com BC, deixando um cateto apoiado com o outro esquadro...
• 
  ... e deixamos fixo o esquadro de 60 para deslizar o esquadro de 45 até chegar em E. Logo, temos a reta t // BC com distância r.
• 
  A interseção entre s e t é o centro da circunferência tangente aos segmentos AB e BC com raio r.

📏 📐 Resolução

No exercício anterior, construímos as retas perpendiculares e paralelas com os esquadros. Neste exercício, vamos utilizar a régua e o compasso.

• 
  Como vamos construir uma circunferência tangente à reta t, dado o raio r, construiremos a reta perpendicular a t por um ponto qualquer B ∈ t. Com centro em B, defina um raio qualquer para marcar o ponto C ∈ t.
• 
  Usando o mesmo raio BC, encontre o ponto D ∈ t.
• 
  Construindo a mediatriz de CD, teremos a reta perpendicular a t que passa por B. Com centro em D, defina um arco com raio maior do que BC...
• 
  ... e com centro em C e raio com mesma medida, encontramos o ponto E tal que BE ⊥ BC.
• 
  Com o compasso, "pegue" a medida r...
• 
  ... e marque esta distância r a partir de B na reta s. Assim, encontramos o ponto F. Neste ponto, podemos construir a reta paralela a t com distância r. Já vimos 3 construções diferentes para usar de retas paralelas. Neste exemplo, vamos fazer esta reta paralela usando a construção do losango.
• 
  Com centro em F, construímos um arco de medida qualquer que intercecte t em G.
• 
  Com a mesma medida FG, encontramos H ∈ t e GH = FG.
• 
  Com a mesma medida, construímos o arco com centro em H, intercectando o primeiro arco que construímos com centro em F no ponto I. A reta FI é paralela à reta t
• 
  Agora podemos "pegar" a medida do raio r para definir a distância do centro da circunferência procurada com o ponto A.
• 
  Este é o segundo lugar geométrico do centro da circunferência tangente: uma circunferência com centro em A e raio r. Esta circunferência intercecta a reta u // t nos pontos O e O'.
• 
  construímos uma solução com linha contínua e outra com linha tracejada.
• 
  Neste exemplo, temos 2 soluções. Caso a Circunf(A,r) não intercecte a reta u // t, não temos solução. E caso a Circunf(A,r) seja tangente à reta u // t, temos apenas 1 solução.

📏 📐 Resolução

Neste exercício, vamos utilizar o par de esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares.

• 
  Vamos construir uma reta perpendicular a um dos segmentos, escolhendo um ponto A pertencente ao primeiro segmento. Com um cateto alinhado com o segmento e o esquadro de 60 apoiado na hipotenusa...
• 
  ... deslizamos o esquadro de 45 até chegar em A, deixando o esquadro de 60 fixo. Logo, temos a perpendicular ao segmento que passa por A.
• 
  Agora "pegamos" a medida do raio d com o compasso...
• 
  ... e com centro em A, construímos o arco com raio d, definindo o segmento AB.
• 
  Agora podemos construir a reta paralela ao segmento que passa por B. Alinhando a hipotenusa do esquadro de 60 no segmento, e deixando um cateto apoiado com o outro esquadro...
• 
  ... deslizamos o esquadro de 60 até chegar em B com o esquadro de 45 fixo.
• 
  Podemos fazer a mesma construção no outro segmento, com um ponto C em qualquer posição deste segundo segmento.
• 
  Alinhando um cateto do esquadro de 45 e deslizando até chegar em C, temos a reta perpendicular construída.
• 
  Podemos "pegar" a medida do raio d com o compasso...
• 
  ... e marcá-la na perpendicular a partir do ponto C, encontrando o ponto D.
• 
  Alinhamos a hipotenusa do esquadro de 60 com o segmento...
• 
  ... e deslizamos este esquadro até chegar em D, deixando o outro esquadro fixo.
• 
  A interseção das retas paralelas aos segmentos é o centro O da circunferência de raio r.

voltar ao topo

📏 📐 Solução

Você pode fazer a construção da reta paralela com régua e compasso ou com esquadros.

Como a circunferência deve passar por A e B, o centro estará na mediatriz de AB.

📏 📐 Solução

Você pode fazer a construção da reta paralela com régua e compasso ou com esquadros.

Antes de construir a circunferência, lembre-se de determinar o raio OT por meio de uma perpendicular à reta t.

📏 📐 Solução

Você pode fazer as construções com régua e compasso ou com esquadros e o compasso.

Para construir a reta paralela s, lembre-se de construir o segmento BC ⊥ r para marcar o segmento n.

voltar ao topo

📏 📐 Exercício proposto 1.3

📏 📐 Resolução

Neste exercício, você pode usar a régua e o compasso para construir as retas perpendiculares e paralelas ou o par de esquadros com o compasso. Vamos ver como fica a construção com os esquadros e o compasso.

• 
  Podemos escolher um ponto qualquer A ∈ b para construir a reta perpendicular à reta b. Alinhando um cateto do esquadro de 45 com a reta b...
• 
  ... deixando o outro esquadro fixo, deslizamos o esquadro de 45 até chegar em A.
• 
  Podemos usar o compasso para "pegar" a media r...
• 
  ... e marcá-la na reta perpendicular à reta b a partir do ponto A, definindo o segmento AB ⊥ b.
• 
  No prolongamento de AB, marcamos o raio r para encontrar a outra reta paralela à reta b, definindo BC ⊥ b
• 
  Alinhando a hipotenusa do esquadro de 45 com a reta b, deixando o esquadro de 60 como apoio fixo...
• 
  ... deslizamos o esquadro de 45 até chegar em B, definindo a primeira paralela, e...
• 
  ... deslizamos este esquadro até chegar em C, definindo a segunda paralela à reta b.
• 
  Como o centro da solução pertence à reta a, teremos 2 soluções: O ≡ s ∩ a e O' ≡ t ∩ a. Construímos estas circunferências com raios de medida igual a r.

📑 Propriedades

Vamos ver algumas propriedades deste lugar geométrico.

• 
  Considere as bissetrizes b₁ e b₂ dos ângulos formados entre as retas r e s, com vértice O. Escolha um ponto Q ∈ b₂. O ponto P ∈ b₁ é equidistante das retas r e s, ou seja, PP' = PP''.
• 
  Se construirmos o segmento QQ'' ⊥ s...
• 
  ... e QQ' ⊥ r, teremos a mesma medida QQ' = QQ''. Esta é uma das propriedades da bissetriz: lugar geométrico dos pontos equidistantes de duas retas.
• 
  Temos o caso de congruência LLAr (lado, lado, ângulo reto): △OPP' = △OPP'', pois OP é lado comum, PP' = PP'' e ∢P' = ∢P'' = 90°. Logo, os ângulos ∢POP' e ∢POP'' são iguais. O mesmo vale para a congruência de △OQQ' = △OQQ''.
• 
  Portanto, temos os ângulos α e β que definem outra propriedade da bissetriz: ela divide os ângulos formados entre r e s ao meio.
• 
  O ângulo formado entre as bissetrizes b₁ e b₂ mede α + β. Como α + α + β + β = 180°, temos que α + β = 90°, ou seja, as bissetrizes dos ângulos suplementares são perpendiculares.

voltar ao topo

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua e o compasso para construir a bissetriz.

• 
  Com centro no vértice A, construímos um arco de circunferência de raio qualquer que intercecte os lados do ângulo nos pontos D e E.
• 
  Com centro em D, construímos um arco com raio de medida qualquer que seja maior do que a metade de DE (é a construção de um ponto da mediatriz de DE).
• 
  Com centro em E, construímos um arco com a medida do raio igual à medida do raio que fizemos no ponto D, encontrando o ponto F.
• 
  Usando a régua ou um dos esquadros, construímos a semi-reta AF.
• 
  Esta semi-reta é a bissetriz do ângulo ∢A.

📏 📐 Resolução

Vamos utilizar a régua, os esquadros e o compasso neste exercício. A ideia é não usar a interseção das retas para construir a bissetriz.

• 
  Vamos nomear as retas r e s. Neste primeiro exemplo, vamos usar a ideia de definir uma terceira reta t, concorrente com r e s nos pontos A e B.
• 
  No vértice A, podemos construir a bissetriz do ∢DAE: com centro em A e um arco com raio qualquer, encontre os pontos D e E sobre t e r.
• 
  Com centro em D, construa um arco com raio maior do que a metade de DE...
• 
  ... e construa um arco com a mesma medida do raio com centro em E, encontrando o ponto F. A semi-reta AF é a bissetriz do ∢DAE. Podemos construir a bissetriz do suplementar deste ângulo, ou podemos usar a propriedade de que as bissetrizes de ângulos suplementares são perpendiculares.
• 
  Usando a propriedade, podemos alinhar um cateto do esquadro de 45 com a bissetriz, deixando o outro esquadro como apoio fixo...
• 
  ... e deslizamos o esquadro de 45 até chegar em A. Logo, temos a bissetriz do ângulo suplementar do ∢DAE.
• 
  No vértice B, podemos fazer a mesma construção: bissetriz do ∢GBH e a perpendicular à bissetriz. Todos os pontos das bissetrizes biss(A) são esquidistantes de r e t.
• 
  Todos os pontos das bissetrizes biss(B) são esquidistantes de s e t. Logo, nas interseções de biss(A) e biss(B), temos os pontos equidistantes de r e s, ou seja, J e K definem a biss(r,s). Agora vamos usar outro raciocínio: escolha um ponto A ∈ r.
• 
  Neste ponto A, construa a reta t // s. Use os esquadros ou a régua e compasso para fazer esta construção.
• 
  Agora vamos construir o triângulo isósceles de base BC e vértice A: com centro em A, construa um arco com raio qualquer que intercecte as retas r e t.
• 
  Prolongando-se o segmento BC, encontramos o ponto D. Se imaginarmos que o vértice do encontro de r e s é um ponto V, temos que os triângulos △ABC e △VDB serão semelhantes, pois a reta r é comum e as retas t e s são paralelas.
• 
  Logo, a mediatriz da base BD do △VDB será a bissetriz do ângulo formado entre r e s. Esta mediatriz será paralela à bissetriz do ∢BAC.

📏 📐 Resolução

Vamos usar a régua e o compasso neste exercício.

• 
  Considere uma reta r e um ponto qualquer A ∈ r.
• 
  Se construirmos o arco com centro em A e um raio qualquer, que intercecte r nos pontos B e C, estamos considerando o ∢BAC = 180°.
• 
  Logo, podemos construir sua bissetriz (do mesmo jeito que fizemos com mediatriz): com centro em B e raio com medida maior do que AB, construímos um arco...
• 
  ... e com centro em C, construímos um arco com raio de mesma medida, determinando o ponto D.
• 
  A semi-reta AD será a bissetriz de 180°.

voltar ao topo

📏 📐 Resolução

Neste exercício, vamos utilizar a régua e o compasso. Vamos determinar o centro da circunferência inscrita, que fica tangente aos 3 lados do triângulo.

• 
  O incentro do triângulo está no encontro das 3 bissetrizes dos ângulos internos do triângulo. Como precisamos da interseção de 2 retas para determinar o ponto, vamos construir apenas 2 bissetrizes. Com centro em A, determine um arco com raio qualquer que intercecte os lados AC e AB.
• 
  Com centro em D e em E, construímos os arcos com mesma medida de raio, que seja maior do que a metade de DE.
• 
  A semi-reta AF é a bissetriz do ∢A, relativa ao lado a, que podemos nomear como b_a.
• 
  Com centro em B, definimos um arco com raio de medida qualquer que intercecte os lados AB e BC do triângulo.
• 
  Com centros em G e em H e raios iguais a uma medida maior do que a metade de GH, definimos os arcos que se cortam em J.
• 
  A semi-reta BJ é a bissetriz do ∢B, relativa ao lado b, que podemos nomear como b_b. A interseção das bissetrizes construídas é o incentro I do triângulo. Não é necessária a construção da bissetriz do ∢C.
• 
  Para determinarmos o raio da circunferência inscrita, podemos usar os esquadros, ou o compasso. Se construirmos um arco com centro em I, que intercecte um dos lados do triângulo nos pontos K e L...
• 
  ... construímos a mediatriz de KL com arcos centrados em K e L, com mesmo raio, de medida maior do que a metade de KL.
• 
  Definimos então o segmento IM ⊥ BC. A distância IT_a é o raio da circunferência inscrita.
• 
  Esta é a solução do problema. Se você quiser, pode construir a reta perpendicular IM com os esquadros. Note que fizemos esta perpendicular ao lado BC, mas ela pode ser feita em qualquer um dos lados do triângulo.

📏 📐 Resolução

Vamos utilizar a régua, os esquadros e o compasso neste exercício. As retas perpendiculares podem ser construídas com os esquadros ou com a régua e o compasso.

• 
  O centro de uma circunferência ex-inscrita é determinado pelo encontro de duas bissetrizes dos ângulos externos do triângulo com a bissetriz de um ângulo interno. Vamos começar definindo as bissetrizes dos ângulos externos relativos aos lados AB e BC. Prolongue estes lados.
• 
  Construa a bissetriz do ∢DAE.
• 
  Vamos chamar esta bissetriz de biss₁.
• 
  Agora vamos construir a bissetriz do ∢GCH.
• 
  A semi-reta CJ define esta bissetriz.
• 
  Vamos nomear esta semi-reta de biss₂. O encontro destas bissetrizes é o primeiro ex-incentro, relativo ao lado AC = b, que nomeamos como I_b. Se construirmos a bissetriz do ∢B, ela passa pelo ex-incentro I_b
• 
  Agora vamos encontrar o raio desta circunferência. No exercício anterior, vimos como encontrar o raio da circunferência inscrita com o compasso. Com os esquadros, temos que alinhar o cateto de um esquadro com um lado (por exemplo, AB), deixando o outro apoiado na hipotenusa e fixo...
• 
  E deslizamos o esquadro alinhado até chegar em I_b.
• 
  O raio da circunferência ex-inscrita mede I_bT₁.
• 
  Agora vamos prolongar os lados AC e BC para encontrar a outra circunferência ex-inscrita. Uma das bissetrizes não precisa ser construída (biss₃), pois os ângulos com vértice em A têm mesma medida: são opostos pelo vértice. Logo, podemos apenas prolongar a biss₁.
• 
  Construa a bissetriz do ∢KBL, que define a biss₄. Logo, temos que I_c ≡ biss₃ ∩ biss₄. Defina o raio I_cT₂ ⊥ AC.
• 
  A última circunferência ex-inscrita é a mais fácil de fazer, pois as bissetrizes biss₅ e biss₆ são os prolongamentos de biss₄ e de biss₂. Logo, temos o ex-incentro I_a e podemos construir a terceira circunferência ex-inscrita.
• 
  Construa I_aT₃ ⊥ AB e construa a circunferência ex-inscrita relativa ao lado a.

📏 📐 Solução

Você pode fazer as construções com régua e compasso ou com esquadros e o compasso.

Lembre-se de construir o segmento r perpendicular a um dos lados do triângulo.

📏 📐 Solução

Você pode fazer as construções com régua e compasso ou com esquadros e o compasso.

Lembre-se de construir o segmento r perpendicular a um dos lados do triângulo. Este segmento tem medida aproximada de 1,4cm.

voltar ao topo

📏 📐 Solução

Neste exercício, você pode usar a régua e o compasso como instrumentos auxiliares.

Este exercício admite 4 soluções.

📏 📐 Exercício proposto 1.4

📏 📐 Resolução

Você pode usar a régua e o compasso ou os esquadros e o compasso para resolver este exercício.

• 
  Considere os segmentos s e t. Vamos encontrar a bissetriz do ângulo formado entre s e t sem usar o vértice.
• 
  Construa a reta u // s que passa por A.
• 
  Defina o arco com centro em A, que intercecta u e t em C e D.
• 
  Prolongando o segmento CD, encontramos E ∈ s.
• 
  A bissetriz do ângulo formado entre s e t é a mediatriz de DE.
• 
  Com a circunferência de centro em A e raio d, encontramos o ponto B ∈ biss(s,t). Note que usamos apenas uma das interseções: a que está proxima da reta u.
• 
  Agora você pode construir a circunferência com centro em B e raio r.

voltar ao topo

📏 📐 Resolução

Neste exercício, vamos utilizar a régua e o compasso.

• 
  Para transportar o ângulo α, podemos construir um arco com centro no vértice do ângulo, com raio qualquer e que intercecte os lados nos pontos B e C.
• 
  Com a mesma medida, definimos o arco com centro no vértice onde queremos transportar o ângulo: O.
• 
  Com o compasso, "pegamos" a medida da abertura do ângulo BC...
• 
  ... e construímos o arco com centro em D e raio BC. A semi-reta OE forma ângulo α com OA.
• 
  Note que esta construção funciona, pois construímos dois triângulos congruentes.

📏 📐 Resolução

Vamos utilizar a régua, os esquadros e o compasso neste exercício. Vamos começar com a régua e o compasso.

• 
  Construa uma reta qualquer e defina um ponto A nesta reta. Relembrando a construção de perpendicular, construímos um arco com centro A e raio AB qualquer...
• 
  ... definindo o ponto C sobre a reta, com raio de mesma medida.
• 
  Agora é só construir a mediatriz de BC, com centro em C e um raio maior do que AB...
• 
  ... e centro em B com raio de mesma medida.
• 
  A semi-reta AD forma 90° com a reta. A construção com os esquadros já foi feita anteriormente, e você pode fazê-la como exercício. Agora vamos escolher um ponto E sobre a reta.
• 
  Com centro em E, defina um arco de circunferência com raio EF qualquer...
• 
  ... e com centro em F, construa o arco com raio FG = EF, encontrando a interseção G. Unindo E com G, temos a semi-reta que forma 60° com a reta.
• 
  Esta construção funciona, pois construímos um triângulo equilátero de lado EF. Agora vamos ver como construir o ângulo de 60° com os esquadros.
• 
  Escolha um ponto H sobre a reta, e alinhe a hipotenusa do esquadro de 60 com a reta, apoiando o cateto do ângulo de 30° com o outro esquadro fixo, ou seja, deixaremos livre o lado do esquadro de 60° para transferí-lo na reta.
• 
  Deslizando o esquadro de 60 até chegar em H, você consegue construir o ângulo de 60° com vértice H. Este ângulo ficou virado para a direita da folha.
• 
  Se você quiser o ângulo de 60° virado para a esquerda, basta mudar o lado de alinhamento do esquadro de 60. O importante é lembrar sempre de deisar o ângulo de 60° livre, sem apoio.
• 
  Deslizando o esquadro do outro lado, você consegue construir o ângulo de 60° do outro lado.
• 
  Assim ficam definidas as duas opções de construção de 60°: com o compasso e com os esquadros.

📏 📐 Resolução: 1ª parte

Vamos utilizar a régua, os esquadros e o compasso neste exercício. Vamos começar com a régua e o compasso.

• 
  Começamos construindo o ângulo de 90°, como fizemos no exercício anterior. Podemos prolongar o arco com centro em C para fazer a bissetriz de 90°.
• 
  Com centro em C, construa o arco com raio maior do que a metade de EC...
• 
  ... e use este mesmo raio para construir o arco com centro em E, encontrando o ponto F na interseção dos arcos.
• 
  A semi-reta AF forma 45° com a reta.
• 
  Ao construir a bissetriz dos 45°, temos o ângulo de 22,5° = 22°30'.
• 
  E a bissetriz de 22,5° fornece o ângulo de 11,15°. Para construir o ângulo de 45° com os esquadros, alinhamos a hipotenusa do esquadro de 45 com a reta, e apoiamos um cateto com o outro esquadro que ficará fixo.
• 
  Ao deslizar o esquadro de 45 até chegar no ponto K pertencente à reta, construímos o ângulo de 45 virado à direita da folha.
• 
  Note que encontramos o ângulo de 135°, que é o suplementar de 45°. Se você quiser o ângulo de 45° virado à esquerda, basta mudar o lado do apoio do esquadro de 60...
• 
  ... e deslizar o esquadro de 45 até chegar no ponto K.
• 
  Vamos desenhar outra reta no espaço abaixo para construir os outros ângulos.

📏 📐 Resolução: 2ª parte

Vamos utilizar a régua, os esquadros e o compasso neste exercício. Vamos começar com a régua e o compasso.

• 
  Escolha um ponto L da reta, e construa um arco com raio qualquer, intercectando a reta em M.
• 
  Com mesmo raio, construa o arco com centro em M, definindo a semi-reta LN que forma 60° com a reta.
• 
  Construindo a bissetriz dos 60°, temos o ângulo de 30° com o uso da régua e do compasso.
• 
  Com a bissetriz de 30°, temos o ângulo de 15°.
• 
  Quando construímos o ângulo de 60°, definimos o suplementar com medidual igual a 120°.
• 
  Também temos o ângulo de 150°, que é o suplementar de 30°.
• 
  Se construirmos a bissetriz do ângulo de 150°, temos o ângulo de 75° com régua e compasso.
• 
  Agora vamos construir alguns ângulos com os esquadros. Escolha um ponto R sobre a reta e alinhe o cateto de 30° com a reta. Coloque o cateto de 60° com o apoio fixo do esquadro de 45...
• 
  ... e deslize o esquadro de 60 até chegar no ponto R. Assim, temos os ângulos de 30° e 150° construídos com os esquadros. Se você quiser o ângulo de 30° virado para o outro lado, basta inverter as posições dos esquadros, como fizemos anteriormente com os ângulos de 45° e 60°.
• 
  Escolha um ponto S sobre a reta, e apoie os esquadros assim: o de 45 com o cateto alinhado na reta, e o de 60 com o vértice de 30° junto com o vértice de 45°. Somando os ângulos, temos 75°, então deixaremos fixo o esquadro de 45°, deslizando o esquadro de 60...
• 
  ... até chegar em S.
• 
  Desta maneira, temos a construção do ângulo de 75° com os esquadros. Conseguimos também o suplementar de 105° com esta construção. Então, ficam as opções para você construir nos próximos exercícios: com os esquadros ou com régua e compasso.

voltar ao topo

📏 📐 Resolução

Neste exercício, vamos utilizar a régua e o compasso.

• 
  Como a semi-reta OC é bissetriz do ∢AOB, vamos transportar a medida do ∢AOC para o outro semi-plano definido por OC: construa um arco com raio qualquer, centrado em O.
• 
  Com o compasso, "pegue" a medida da abertura do ângulo DE...
• 
  ... e construa o arco com centro em E e raio BE = DE. Assim, encontramos o ponto B que define o ângulo procurado.
• 
  A semi-reta OB define o ∢AOB, com bissetriz OC.

📏 📐 Exercício proposto 1.5

📏 📐 Solução

Neste exercício, você pode usar a régua e o compasso como instrumentos auxiliares.

Lembre-se da construção que fizemos para transportar ângulos.

📏 📐 Solução

Neste exercício, você pode usar a régua e o compasso como instrumentos auxiliares.

Lembre-se da construção que fizemos para transportar ângulos.

voltar ao topo

2.1. Arco capaz

Material da página 21 até a página 29.

📑 Propriedades

Vamos definir alguns elementos para o próximo Lugar Geométrico.

• 
  Unindo dois pontos quaisquer A e B de uma circunferência, definimos uma corda.
• 
  Quando a corda contém o centro da circunferência, temos um diâmetro.

voltar ao topo

📑 Demonstração

Vamos demonstrar a Propriedade 1. Vamos considerar os 3 casos possíveis: quando um lado do ângulo inscrito define um diâmetro; quando o centro está no interior do ângulo inscrito; e quando o centro está na região externa definida pelo ângulo inscrito.

• 
  Vamos considerar o vértice P e os lados PA e PB. No primeiro caso, o lado PB define um diâmetro da circunferência.
• 
  Temos que OP = OA = r, onde r é o raio da circunferência. Logo, o ∢OAP = α, pois o △AOP é isósceles de base AP.
• 
  O ∢AOB = β é o ângulo central correspondente de α. Temos que β e δ são suplementares, ou seja, β + δ = 180°. Temos também que 2α + δ = 180°, pois são ângulos internos do △AOP.
• 
  Logo, temos que 2α + δ = β + δ, ou seja, 2α = β. Portanto, $\alpha = {\beta \over 2}$.
• 
  No segundo caso, considere o diâmetro PC, que divide o ângulo α em α₁ e α₂.
• 
  Unindo os pontos A e B com o centro da circunferência, determinamos o ângulo central β = ∢ AOB.
• 
  O ângulo central está dividido nos ângulos centrais correspondentes de α₁ e α₂, que são β₁ e β₂.
• 
  De acordo com o caso anterior, temos que $\mathsf{\alpha_1 = {\beta_1 \over 2}}$ e $\mathsf{\alpha_2 = {\beta_2 \over 2}}$. Logo, $\mathsf{\alpha = \alpha_1 + \alpha_2 = {\beta_1 \over 2} + {\beta_2 \over 2} = { {\beta_1 + \beta_2} \over 2} = {\beta \over 2}}$.
• 
  No terceiro caso, considere o diâmetro PC, que define o ângulo α como α₁ − α₂.
• 
  Unindo os pontos A e B com o centro da circunferência, determinamos o ângulo central β = ∢ AOB.
• 
  O ângulo central tem a seguinte relação com os ângulos centrais correspondentes de α₁ e α₂: β = β₁ − β₂.
• 
  De acordo com o primeiro caso provado, temos que $\mathsf{\alpha_1 = {\beta_1 \over 2}}$ e $\mathsf{\alpha_2 = {\beta_2 \over 2}}$. Logo, $\mathsf{\alpha = \alpha_1 - \alpha_2 = {\beta_1 \over 2} - {\beta_2 \over 2} = { {\beta_1 - \beta_2} \over 2} = {\beta \over 2}}$. Portanto, a propriedade vale em todos os casos, ou seja, o ângulo inscrito sempre vale a metade da medida do ângulo central correspondente.

📑 Propriedades

Vamos definir alguns do ângulo de segmento.

• 
  Considere as extremidades A e B da corda e a reta tangente t que passa por A.
• 
  Quando unimos A e B com o centro da circunferência, temos o ângulo central correspondente β do ângulo de segmento.

📑 Demonstração

Vamos demonstrar a Propriedade 2, que relaciona o ângulo de segmento com o ângulo central correspondente.

• 
  Considere a reta tangente à circunferência t no ponto A e o raio com medida r. Logo, temos o △AOB isósceles de base AB.
• 
  Logo, temos os ângulos da base iguais a δ. Temos também que θ + δ = 90°, pois a reta t é tangente e 2δ + β = 180° pois são ângulos internos do △AOB.
• 
  Da relação de δ e θ, podemos concluir que 2δ + 2θ = 180°. Temos que 2δ + 2θ = 2δ + β, ou seja 2θ = β. Portanto, $\mathsf{\theta = {\beta \over 2} }$, que é a mesma relação que provamos entre o ângulo inscrito e o central correspondente.

voltar ao topo

📏 📐 Resolução

Vamos usar os conceitos dos ângulos de segmento e inscrito para encontrar o centro da circunferência. Utilizaremos os esquadros e o compasso neste exercício.

• 
  Determine os vértices de um △PAB inscrito na circunferência.
• 
  Neste caso, AB será a corda do ângulo inscrito ∢APB. Vamos transportá-lo na extermidade A da corda. Com centro em P e um raio PC qualquer, determine o arco que intercecta PB em D.
• 
  Com centro em A, determine o arco com mesma medida do raio PC, encontrando E ∈ AB.
• 
  Com o compasso, "pegue" a medida CD e...
• 
  ... com centro em E, determine o arco com a medida do raio CD para encontrar F na interseção com o outro arco que construímos centrado em A.
• 
  Desta forma, conseguimos construir o ângulo de segmento com mesma medida do ângulo inscrito correspondente α. Portanto, a reta t ≡ AF é tangente à circunferência no ponto A.
• 
  Vamos construir uma reta perpendicular a t passando por A, pois a reta tangente é perpendicular ao raio da circunferência em A. Alinhando um cateto do esquadro de 45 com t...
• 
  ... deixamos fixo o esquadro de 60 e deslizamos o esquadro de 45 até chegar em A.
• 
  Desta forma, temos definido o diâmetro AG da circunferência.
• 
  Construindo a mediatriz de AG, temos o centro da circunferência O.

📏 📐 Solução

Utilizando as definições dos ângulos inscrito, central e de segmento, conseguimos deduzir os valores do ângulo x indicados.

No item a, o ângulo x é inscrito. Logo, x mede a metade do central correspondente, indicado por 90°. Determine as justificativas das medidas dos outros itens.

📏 📐 Solução

Utilizando as definições dos ângulos inscrito, central e de segmento, conseguimos deduzir os valores do ângulo x indicados.

No item d, o ângulo x é inscrito, e "enxerga" a mesma corda que o ângulo de 45° indicado. Logo, x = 45°. Determine as justificativas das medidas dos outros itens.

📏 📐 Solução

Utilizando as definições dos ângulos inscrito, central e de segmento, conseguimos deduzir os valores do ângulo x indicados.

No item g, o ângulo x é de segmento, correspondente ao ângulo central indicado de 120°. Logo, x = 60°, metade da medida do ângulo central correspondente. Determine as justificativas das medidas dos outros itens.

voltar ao topo

📑 Propriedades

Vamos ver algumas propriedades deste lugar geométrico.

• 
  Ao determinar um ponto P no arco capaz, unindo este ponto à extremidades da corda AB, temos sempre a mesma medida α do ângulo inscrito (que mede a metade da medida do ângulo central correspondente).
• 
  A mesma propriedade vale se escolhermos um ponto Q do arco simétrico em relação à corda AB.
• 
  Considere o ponto Q' no prolongamento de BQ, fora do arco capaz, que forma ∢ AQ'B = α'. De acordo com o Teorema do Ângulo Externo, temos que α > α', ou seja, Q' não possui a propriedade de "enxergar" o segmento AB segundo ângulo α.
• 
  Agora considere o ponto Q'' ∈ BQ, dentro da região formada pelo arco capaz, formando ∢ AQ''B = α''. De acordo com o Teorema do Ângulo Externo, temos que α'' > α, ou seja, Q'' não possui a propriedade de "enxergar" o segmento AB segundo ângulo α.

📏 📐 Resolução

Utilizaremos as propriedades dos ângulos inscrito, central e de segmento para construir o arco capaz.

• 
  Vamos transportar o ângulo α no segmento AB, com vértice A.
• 
  Desta forma, temos o ângulo de segmento α, que determina a reta tangente t.
• 
  Construa com régua e compasso ou com os esquadros a reta perpendicular a t que passa por A.
• 
  Construa a mediatriz de AB. A interseção da med_AB com a reta perpendicular é o centro O de um dos arcos.
• 
  Com o centro em O e raio OA = OB, construa o arco capaz de α.
• 
  O arco simétrico pode ser construído com centro em A ou B, e raio OA. Temos que O' ∈ med_AB.
• 
  Com centro em O' e raio O'A = O'B, construa o arco simétrico.
• 
  Esta é a construção do arco capaz de um ângulo α segundo segmento AB.

voltar ao topo

📏 📐 Resolução

Neste exercício, vamos construir os arcos capazes dos ângulos conhecendo os valores de suas medidas.

• 
  Vamos começar construindo o ângulo de segmento de 60° com vértice em A. Com centro em A, construa um arco que intercecte AB em C.
• 
  Com a mesma medida de raio, construa o arco com centro em C, encontrando o ponto D no arco que construímos no passo anterior. Assim, temos a reta tangente ao arco: t.
• 
  Com os esquadros ou a régua e o compasso, construa a reta perpendicular a t que passa por A.
• 
  O centro do arco capaz de 60° está na interseção da reta perpendicular a t com a mediatriz de AB.
• 
  Com centro em O e raio OA = OB, construa o arco capaz de 60°.
• 
  Com centro em A ou B, construa o arco com raio de medida OA. A interseção deste arco com a med_AB é o centro do arco simétrico.
• 
  Pronto! Temos os 2 arcos que definem o arco capaz de 60° segundo o segmento AB.
• 
  Para construir o arco capaz de 120°, podemos construir o suplementar de 60° no prolongamento de AB.
• 
  Logo, temos que o ∢FAB = 120°. Podemos construir a reta perpendicular a t que passa por A.
• 
  O encontro da mediatriz de AB com a reta perpendicular que construímos é o centro do arco capaz.
• 
  Com o centro em O e raio de medida OA = OB, construa o primeiro arco.
• 
  Construindo o arco com centro em A e raio de medida OA = OB, econtramos o centro O' do segundo arco. Note que O' pertence ao arco capaz que acabamos de construir.
• 
  Com centro em O', construímos o arco simétrico do primeiro. Os centros pertencem aos arcos simétricos, pois ∢AOB = ∢AO'B = 120°, que é a medida do ângulo inscrito que define este arco capaz.

📏 📐 Resolução

De forma genérica, vamos encontrar a relação existente entre os ângulos opostos α e β que formam um quadrilátro inscrito em uma circunferência.

• 
  Considerando o ângulo inscrito α, o central correspondente será o ângulo δ. Sabemos que $\mathsf{\alpha = {\delta \over 2} }$.
• 
  O ângulo central correspondente de β é o ângulo θ. Temos a relação $\mathsf{\beta = {\theta \over 2} }$. Como δ + θ = 360°, temos que $\mathsf{\alpha + \beta = {\delta \over 2} + {\theta \over 2} = { {\delta + \theta} \over 2} = 180^o }$. Logo, α e β são suplementares.

📏 📐 Solução

Vamos encontrar a medida de um ângulo insrito em uma semi-circunferência. Note que o ângulo central correspondente vale 180°

Como o ângulo central θ mede 180°, o ângulo inscrito correspondente vale a metade, ou seja, γ = 90°. Logo, a construção de um arco capaz de 90° é mais simples: o centro será o ponto médio do segmento.

voltar ao topo

📏 📐 Resolução

Utilizaremos o conceito da construção de um arco capaz de 90° para resolver este exercício.

• 
  Escolha um ponto O ∉ r, que não esteja próximo da região onde construiremos a reta perpendicular à reta r.
• 
  Com centro em O, construa a circunferência com raio de medida OP, encontrando o ponto Q ≡ r ∩ Circunf(O,OP).
• 
  Construa o diâmetro QR. Como uma semi-circunferência é o arco capaz de 90°...
• 
  ... então a reta PR formará 90° com a reta r.

📏 📐 Resolução

Utilizaremos o conceito da construção de um arco capaz de 90° para resolver este exercício. O ponto de tangência "enxerga" o segmento OP segundo 90°.

• 
  Vamos construir o arco capaz de 90° segundo segmento OP. Construa a mediatriz de PO, encontrando o ponto M médio deste segmento.
• 
  Com centro em M, construa o par de arcos capazes de 90° com raio de medida MP = MO.
• 
  As interseções destes arcos capazes com a circunferência λ definem os pontos de tangência T e T'.
• 
  As retas t ≡ PT e t' ≡ PT' são as retas tangentes à circunferência λ.
• 
  Se unirmos os pontos de tangência com o centro O, podemos verificar que ∢PTO = ∢PT'O = 90°.

📏 📐 Resolução

Utilizaremos o conceito entre o ângulo central de 90°, e o inscrito correspondente que mede 45°.

• 
  Como o ponto B "enxerga" o segmento AC segundo 45°, vamos construir o arco capaz para resolver este exercício. Podemos construir o arco capaz de 45° de uma forma mais simples: primeiro construímos o arco capaz de 90°, cujo centro é o ponto médio de AC.
• 
  Com centro em M, construa o arco capaz de 90° com raio MA = MC. Não precisamos construir o arco da esquerda, pois não será usado no desenho da peça.
• 
  A interseção da mediatriz de AC com o arco capaz de 90° é o centro do arco capaz de 45°, pois o ângulo inscrito mede a metade do central correspondente.
• 
  O ponto B pode ser encontrado na interseção da Circunf(A,AB) com o arco capaz de 45°.
• 
  Para finalizar, construímos as retas perpendiculares a AB que passam por A e B.

voltar ao topo

📏 📐 Solução

Exercício simples, de aplicação dos conceitos que envolvem arco capaz.

📏 📐 Solução

Construindo os arcos capazes de 30° e de 45°, encontramos os arcos capazes dos ângulos suplementares.

O mesmo vale se você construir os arcos capazes de 150° e de 135°.

voltar ao topo

📏 📐 Solução

O vértice C, oposto de AB, enxerga o segmento segundo ângulo de 60°.

A construção envolve o arco capaz de 60° em AB.

📏 📐 Exercício proposto 2.1

📏 📐 Solução

O vértice C, oposto de AB, enxerga o segmento segundo ângulo de 60°.

A construção envolve o arco capaz de 60° em BC.

voltar ao topo

📏 📐 Exercício proposto 2.2

📏 📐 Solução

Como o ponto P tem distância d até o ponto A, temos que P ∈ Circunf(A,d).

A construção envolve o arco capaz de 60°.

voltar ao topo

2.2. Operações com segmentos

Material da página 30 até a página 48.

📑 Propriedades

Vamos ver as propriedades do Teorema de Tales.

• 
  Considere as retas paralelas a, b e c que intercectam a reta r nos pontos A, B e C, respectivamente.
• 
  Considere a reta s, que intercecta o feixe de paralelas a, b e c nos pontos A', B' e C', respectivamente.
• 
  A razão entre os segmentos AB e BC da reta r e a razão entre os segmentos correspondentes A'B' e B'C' da reta s têm mesmo valor: $\mathsf{ {AB \over BC} = {A'B' \over B'C'} }$.
• 
  Utilizando a correspondência de outra maneira, temos a relação entre as razões entre os segmentos AB e AC e seus correspondentes: $\mathsf{ {AB \over AC} = {A'B' \over A'C'} }$.

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, o compasso e os esquadros para resolver este exercício.

• 
  Podemos construir o segmento AB com a medida de 11cm diretamente com a régua. Na extremidade A, podemos construir uma reta com inclinação qualquer. A reta suporte de AB e a reta qualquer formam o feixe de retas concorrentes.
• 
  Podemos construir um segmento com medida qualquer A1 com o compasso, e repetí-la consecutivamente...
• 
  ... encontrando os segmentos com mesma medida: 12 = 23 = ... = 67 = A1. Outra maneira de encontrar estes pontos é marcando diretamente com a régua uma medida qualquer (por exemplo, 1cm) e repetindo-a até chegar na 7ª unidade.
• 
  Unindo as extremidades B e 7, podemos alinhar um dos esquadros para definir o feixe das 6 retas que dividem AB em 7 partes iguais.
• 
  Deslizamos o esquadro até chegar no ponto 6, paralelamente ao segmento B7; depois podemos fazer a mesma construção até chegar no ponto 5...
• 
  ... e até chegar no ponto 1.
• 
  Logo, temos os segmentos AA₁ = A₁A₂ = ... = A₆B.
• 
  De acordo com o Teorema de Tales, temos que $\mathsf{ {AA_1 \over A1} = {AB \over A7} }$.
• 
  Ou seja, temos que $\mathsf{ {A1 \over A7} = {1 \over 7} = {AA_1 \over AB} }$.

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, o compasso e os esquadros para resolver este exercício.

• 
  Podemos construir o segmento AB com a medida de 12cm diretamente com a régua. Na extremidade A, podemos construir uma reta com inclinação qualquer. A reta suporte de AB e a reta qualquer formam o feixe de retas concorrentes.
• 
  Com o compasso, "pegue" a medida do segmento m...
• 
  ... e marque esta medida a partir do ponto A na reta qualquer, encontrando o ponto M.
• 
  Faça o mesmo com o segmento n, marcando esta medida a partir da extremidade de m, ou seja, MN = n.
• 
  Na sequência, marque a medida do último segmento, p, obtendo-se NP = p.
• 
  Agora podemos unir a extremidade P com B e construir as paralelas a BP...
• 
  ... deslizando um esquadro até o ponto N, obtendo-se N' ∈ AB...
• 
  ... e até o ponto M, definindo M' ∈ AB.
• 
  De acordo com o Teorema de Tales, os segmentos m', n' e p' são proporcionais aos segmentos m, n e p, respectivamente.

voltar ao topo

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua e os esquadros para resolver este exercício.

• 
  Podemos construir o segmento AB com a medida de 13cm diretamente com a régua. Na extremidade A, podemos construir uma reta com inclinação qualquer. A reta suporte de AB e a reta qualquer formam o feixe de retas concorrentes.
• 
  Podemos construir o segmento m com o compasso, ou diretamente com a régua, marcando m = 2cm a partir de A na reta qualquer.
• 
  Na sequência, a partir de C marcamos n = 4,2cm.
• 
  E a partir de D, marcamos p = 5,3cm. Conseguimos marcar com a régua, pois conhecemos os valores das medidas. No exercício anterior, só tínhamos os segmentos: ao medir os segmentos do exercício anterior com a régua, podemos cometer erros de arredondamento.
• 
  Agora basta construir as retas paralelas a EB com os esquadros...
• 
  ... obtendo-se os pontos D' ∈ AB...
• 
  ... e C' ∈ AB. De acordo com o Teorema de Tales, o segmento AB está dividido em partes proporcionais aos números m, n e p.

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, o compasso e os esquadros para resolver este exercício.

• 
  Podemos construir o segmento AB com a medida de 15cm diretamente com a régua. Na extremidade A, podemos construir uma reta com inclinação qualquer. Vamos dividir o perímetro em partes proporcionais aos segmentos q, r e s, encontrando os lados a, b e c.
• 
  Podemos marcar com a régua, na reta qualquer e partir de A o segmento q = 5cm.
• 
  Na sequência, marcamos r = 3,5cm...
• 
  ... e s = 4cm.
• 
  Agora podemos construir as retas paralelas ao segmento que une a extremidade de s com Q.
• 
  Deslizamos um dos esquadros até chegar na extremidade de r...
• 
  ... e depois na extremidade de q. Desta forma, temos os lados a, b e c sobre o perímetro que marcamos PQ = 15cm.
• 
  Podemos manter um dos lados e usar circunferências para encontrar o terceiro vértice do triângulo. Se mantivermos o lado b = AC, temos as relações dos segmentos: AQ = c = AB e PC = a = BC.
• 
  Construindo a Circunf(C,a), temos o primeiro lugar geométrico do ponto B.
• 
  O segundo lugar geométrico de B é a Circunf(A,c).
• 
  Logo, temos as duas soluções deste exercício: △ABC e △AB'C.

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, o compasso e os esquadros para resolver este exercício.

• 
  Vamos construir a divisão dos segmentos de uma só vez. Para funcionar esta "tática", construa uma reta qualquer, e determine um ponto A que tenha a distância até a reta um pouco menor do que o menor dos segmentos que queremos dividir: ou seja, a distância de A até a reta será um pouco menor do que 3cm.
• 
  Agora construa a reta paralela à reta qualquer que construímos que passa por A.
• 
  Logo, temos 2 retas paralelas com distância menor do que 3cm.
• 
  Agora "pegue" a medida 3cm na régua, usando o compasso...
• 
  ... e construa a Circunf(A,a), encontrando o ponto B na primeira reta construída.
• 
  Podemos dividir este segmento AB = a usando como reta suporte uma das retas paralelas. Marque 5 unidades a partir de A ou de B...
• 
  ... e construa as retas paralelas a A5 ou B5, dividindo AB em 5 partes iguais.
• 
  Em cada ponto da divisão de AB, construa as retas paralelas às retas iniciais que construímos. Elas funcionam como um feixe para dividirmos os outros segmentos.
• 
  Agora basta escolher um ponto C em uma das retas paralelas iniciais que construímos, e construir a Circunf(C,b). Na outra paralela, temos o ponto D e o segmento já aparece dividido em 5 partes iguais.
• 
  Fazemos o mesmo com o ponto E, construindo a Circunf(E,c).
• 
  Fazemos o mesmo para dividir o segmento d, construindo a Circunf(G,d).
• 
  Fazemos o mesmo com o ponto I, construindo a Circunf(I,e).
• 
  E finalmente temos a Circunf(K,f), que divide o segmento f em 5 partes iguais. Esta construção é bem menos trabalhosa do que fazer a divisão separada de cada segmento em 5 partes iguais.

📏 📐 Exercício proposto 2.3

voltar ao topo

📏 📐 Solução

Neste exercício proposto, podemos aplicar do Teorema de Tales para encontrar o segmento x.

📑 Propriedade

Vamos ver o conceito e as propriedades da Divisão Harmônica.

• 
  Considere o segmento AB. Vamos encontrar o 3º e o 4º harmônicos, ou simplesmente os conjugados harmônicos de AB.
• 
  O ponto interno M, tal que $\mathsf{ {AM \over BM} = -{p \over q} }$ é chamado de 3º conjugado harmônico. O sinal negativo apenas indica a direção oposta, considerando que os segmentos começam pelas extremidades de AB.
• 
  O ponto externo N, tal que $\mathsf{ {AN \over BN} = +{p \over q} }$ é chamado de 4º conjugado harmônico. O sinal positivo apenas indica a mesma direção, considerando que os segmentos começam pelas extremidades de AB.
• 
  Desta forma, temos os pontos M e N dividem harmonicamente o segmento AB. Vamos ver a seguir como é a construção da Divisão Harmônica de um segmento.

📏 📐 Resolução

Vamos utilizar a régua e os esquadros para fazer esta construção.

• 
  Construa o segmento AB = 7cm.
• 
  Com a extremidade em A, construa uma reta com inclinação qualquer e marque com a régua A7 = 7cm, correspondente ao numerador da razão k.
• 
  Usando os esquadros, construa a reta paralela a A7 que passa por B.
• 
  Construa os segmentos B2 e B2' com medidas iguais a 2cm, correspondentes ao denominador da razão k.
• 
  Unindo os pontos 2 e 7, encontramos o 3º conjugado harmônico de AB na razão k. Temos que $\mathsf{ {AM \over BM} = -{7 \over 2} }$ por causa da semelhança dos triângulos △AM7 e △BM2.
• 
  Unindo os pontos 2' e 7, encontramos o 4º conjugado harmônico de AB na razão k. Temos que $\mathsf{ {AN \over BN} = +{7 \over 2} }$ por causa da semelhança dos triângulos △AN7 e △BN2'.

📏 📐 Resolução

Vamos utilizar a régua e os esquadros para fazer esta construção.

• 
  Construa o segmento AB = 7cm.
• 
  Com a extremidade em A, construa uma reta com inclinação qualquer e marque com a régua A2 = 2cm, correspondente ao numerador da razão k.
• 
  Usando os esquadros, construa a reta paralela a A2 que passa por B.
• 
  Construa os segmentos B5 e B5' com medidas iguais a 5cm, correspondentes ao denominador da razão k.
• 
  Unindo os pontos 2 e 5, encontramos o 3º conjugado harmônico de AB na razão k. Temos que $\mathsf{ {AM \over BM} = -{2 \over 5} }$ por causa da semelhança dos triângulos △AM2 e △BM5.
• 
  Unindo os pontos 2 e 5', encontramos o 4º conjugado harmônico de AB na razão k. Temos que $\mathsf{ {AN \over BN} = +{2 \over 5} }$ por causa da semelhança dos triângulos △AN2 e △BN5'.

voltar ao topo

📏 📐 Resolução

Vamos utilizar a régua e os esquadros para fazer esta construção.

• 
  Construa o segmento AB = 7cm. Como os números 3 e 5 são "próximos", o ponto externo da razão harmônica ficará mais distante de AB. Por isso, construa o segmento AB próximo da margem esquerda ou direita da folha.
• 
  Com a extremidade em A, construa uma reta com inclinação qualquer e marque com a régua A3 = A3' = 3cm, correspondentes ao numerador da razão k.
• 
  Usando os esquadros, construa a reta paralela a A3 que passa por B.
• 
  Construa o segmento B5 com medida igual a 5cm, correspondente ao denominador da razão k.
• 
  Unindo os pontos 3 e 5, encontramos o 3º conjugado harmônico de AB na razão k.
• 
  Unindo os pontos 3' e 5, encontramos o 4º conjugado harmônico de AB na razão k.

📏 📐 Resolução

Vamos utilizar o compasso e os esquadros para fazer esta construção.

• 
  Construa o segmento AP com uma medida qualquer p. A inclinação pode ser qualquer, pois vamos usar semelhança de triângulos. Encontraremos o segmento correspondente q que "gerou" o 3º harmônico M.
• 
  Construa com os esquadros a reta paralela a AP que passa por B.
• 
  Se unirmos P e M, encontramos o ponto Q na reta paralela que construímos. Este é o segmento correspondente q.
• 
  Usando o compasso, "pegue" a medida BQ...
• 
  E construa o segmento BR = BQ.
• 
  Unindo os pontos P e R, encontramos o 4º conjugado harmônico de AB na razão $\mathsf{ k = +{AP \over BQ} }$.

📑 Propriedade

Vamos ver qual é a propriedade deste lugar geométrico. Neste exemplo, a razão considerada é $\mathsf{ k = {5 \over 3} }$

• 
  Se considerarmos o ponto P pertencente à Circunferência de Apolônio construída, a razão entre as medidas dos segmentos AP e BP será igual à razão da Divisão Harmônica $\mathsf{ k = {5 \over 3} }$.
• 
  O centro desta circunferência é encontrado com a mediatriz de MN.

voltar ao topo

📏 📐 Resolução

Vamos utilizar a régua, o compasso e os esquadros para fazer esta construção.

• 
  Vamos encontrar os conjugados harmônicos de AB na razão $\mathsf{ 5 \over 2 }$. Na extremidade A, construa o segmento A5 = 5cm com inclinação qualquer.
• 
  Usando os esquadros, construa a reta paralela a A5 que passa por B.
• 
  Construa os segmentos B2 e B2' com medidas iguais a 2cm, correspondentes ao denominador da razão.
• 
  Unindo os pontos 2 e 5, encontramos o 3º conjugado harmônico de AB.
• 
  Unindo os pontos 2' e 5, encontramos o 4º conjugado harmônico de AB.
• 
  Agora podemos construir a mediatriz de MN.
• 
  Com centro no ponto médio de MN, construa a circunferência de raio OM = ON.
• 
  A construção é similar para a razão $\mathsf{ 1 \over 4 }$.
• 
  Com centro no ponto médio de MN, construa a circunferência de raio OM = ON.

📏 📐 Resolução

Vamos utilizar a régua, o compasso e os esquadros para fazer esta construção. Como temos a medida do lado a e a razão dos outros lados, precisamos utilizar a Circunferência de Apolônio de a com a razão $\mathsf{ b \over c }$

• 
  Na extremidade B, construa o segmento B5 = 5cm com inclinação qualquer, correspondente ao lado c.
• 
  Usando os esquadros, construa a reta paralela a B5 que passa por C.
• 
  Construa os segmentos C3 e C3' com medidas iguais a 3cm, correspondentes ao lado b.
• 
  Unindo os pontos 3 e 5, encontramos o 3º conjugado harmônico de BC.
• 
  Unindo os pontos 3' e 5, encontramos o 4º conjugado harmônico de BC.
• 
  Agora podemos construir a mediatriz de MN.
• 
  Com centro no ponto médio de MN, construa a circunferência de raio OM = ON. A Circunferência de Apolônio é o primeiro lugar geométrico do vértice A.
• 
  Como temos a medida da altura h_a, devemos construir a reta paralela a BC com distância h_a = 4cm. Podemos usar a mediatriz para marcar esta distância, pois ela é perpendicular a BC: logo, encontramos os pontos P e Q.
• 
  Usando os esquadros, construa as retas paralelas a BC que passam por P e Q. Temos 4 soluções para este exercício.
• 
  Escolha uma das interseções para formar o △ABC.

📏 📐 Resolução

Vamos utilizar a régua, o compasso e os esquadros para fazer esta construção.

• 
  Construa o segmento AB = 3,5cm, e na extremidade A, construa o segmento A5 = 5cm com inclinação qualquer, correspondente ao denominador da razão λ.
• 
  Usando os esquadros, construa a reta paralela a A5 que passa por B.
• 
  Construa os segmentos B2 e B2' com medidas iguais a 2cm, correspondentes ao numerador da razão λ.
• 
  Unindo os pontos 2 e 5, encontramos o 3º conjugado harmônico de AB.
• 
  Unindo os pontos 2' e 5, encontramos o 4º conjugado harmônico de AB.
• 
  Agora podemos construir a mediatriz de MN.
• 
  Com centro no ponto médio de MN, construa a circunferência de raio OM = ON. A Circunferência de Apolônio é o primeiro lugar geométrico do ponto procurado S.
• 
  Como o ponto "enxerga" AB segundo ângulo de 45°, vamos construir o arco capaz deste ângulo. Podemos construí-lo de maneira mais simples construindo primeiro o arco capaz de 90°...
• 
  ... e o centro do arco capaz de 45° será a interseção do arco capaz de 90° com a mediatriz de AB. O ponto S estará na interseção do arco capaz de 45° com a Circunferência de Apolônio.

voltar ao topo

📏 📐 Solução

Neste exercício proposto, utilizamos a Circunferência de Apolônio com a razão $\mathsf{ 2 \over 3 }$.

📏 📐 Solução

Neste exercício proposto, utilizamos a Circunferência de Apolônio com a razão $\mathsf{ 7 \over 4 }$.

📏 📐 Exercício proposto 2.4

voltar ao topo

Podemos escrever a relação de quarta proporcional de outras maneiras:
$\mathsf{ {a \cdot x} = {b \cdot c} }$ ou $\mathsf{ {a \over c} = {b \over x} }$.

📏 📐 Resolução

Vamos utilizar a régua e os esquadros para fazer esta construção. Aplicaremos o teorema de Tales para encontrar o segmento x.

• 
  Vamos encontrar o segmento x tal que $\mathsf{ {a \over b} = {c \over x} }$. Podemos construir os segmentos a e b, que são o numerador e o denominador da primeira fração, em uma mesma reta.
• 
  Construindo uma reta com inclinação qualquer, que passa pela extremidade A, podemos construir o segmento correspondente ao numerador da outra fração: c. Usando os esquadros, determine a reta paralela a BD que passa pelo ponto C.
• 
  De acordo com o Teorema de Tales, os segmentos correspondentes são proporcionais, ou seja, $\mathsf{ {a \over b} = {c \over x} }$.

📏 📐 Solução

Neste exercício proposto, utilizamos o Teorema de Tales com as razões nas ordens especificadas em cada item.

voltar ao topo

Podemos escrever a relação de terceira proporcional de outras maneiras:
$\mathsf{ {a \cdot x} = b^2 }$ ou $\mathsf{ b = \sqrt{a \cdot x} }$.

📏 📐 Resolução

Vamos utilizar a régua e os esquadros para fazer esta construção. Aplicaremos o teorema de Tales para encontrar o segmento x.

• 
  Vamos encontrar o segmento x tal que $\mathsf{ {a \over b} = {b \over x} }$. Podemos construir os segmentos a e b, que são o numerador e o denominador da primeira fração, em uma mesma reta.
• 
  Construindo uma reta com inclinação qualquer, que passa pela extremidade A, podemos construir o segmento correspondente ao numerador da outra fração: b. Usando os esquadros, determine a reta paralela a BD que passa pelo ponto C.
• 
  De acordo com o Teorema de Tales, os segmentos correspondentes são proporcionais, ou seja, $\mathsf{ {a \over b} = {b \over x} }$.

📏 📐 Solução

Neste exercício proposto, utilizamos o Teorema de Tales com as razões nas ordens especificadas em cada item.

voltar ao topo

📏 📐 Resolução

Vamos utilizar a régua, o compasso e os esquadros para fazer esta construção.

• 
  Vamos encontrar o inverso de a, que será o segmento x tal que $\mathsf{ x = {1 \over a} }$ ou $\mathsf{ {x \over 1} = {1 \over a} }$.
• 
  Usando a terceira proporcional, com segmento de 1cm, encontramos o inverso x de a.
• 
  Usando a terceira proporcional, com segmento de 1cm, encontramos o inverso y de b.
• 
  Agora podemos dividir o segmento AB em partes proporcionais aos inversos. Construa o segmento AB e uma reta com inclinação qualquer que passa por A.
• 
  Construa nesta reta qualquer os segmentos x e y usando o compasso.
• 
  Com os esquadros, construa a reta paralela que define AP ∈ AB.

📏 📐 Solução

Neste exercício proposto, podemos reescrever as relações que definem os segmentos a e b.

Estas relações são de uma quarta proporcional e uma terceira proporcional.

voltar ao topo

📏 📐 Resolução

Vamos utilizar a régua, o compasso e os esquadros para fazer esta construção.

• 
  Vamos construir as projeções dos catetos sobre a hipotenusa. Começando com a projeção do cateto c, construímos o segmento BH_a = n.
• 
  No prolongamento de BH_a, construímos o segmento H_aC = m, que é a projeção do cateto b sobre a hipotenusa.
• 
  Como o vértice A "enxerga" a hipotenusa segundo 90°, vamos construir o arco capaz de 90°. Construa a mediatriz de BC.
• 
  Com centro no ponto médio M e raio MB = MC, construa o arco capaz de 90°.
• 
  Usando os esquadros, construa a reta perpendicular a BC que passa pelo ponto H_a.
• 
  A interseção da reta perpendicular a BC com o arco capaz é o vértice A.

📏 📐 Resolução

Vamos utilizar a régua, o compasso e os esquadros para fazer esta construção.

• 
  Vamos construir a hipotenusa BC.
• 
  A projeção do cateto b sobre a hipotenusa é o segmento CH_a = m.
• 
  Como o vértice A "enxerga" a hipotenusa segundo 90°, vamos construir o arco capaz de 90°. Construa a mediatriz de BC.
• 
  Com centro no ponto médio M e raio MB = MC, construa o arco capaz de 90°.
• 
  Usando os esquadros, construa a reta perpendicular a BC que passa pelo ponto H_a.
• 
  A interseção da reta perpendicular a BC com o arco capaz é o vértice A.

📑 Propriedade

Vamos mostrar as relações entre as medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa e a altura de um triângulo retângulo △ABC.

• 
  Vamos considerar a hipotenusa BC = a e o ∢CH_aA = 90°.
• 
  Considere o ângulo ∢C = γ. Temos que os triângulos △H_aAC e △ABC são semelhantes (ângulos correspondentes iguais). Logo, os lados correspondentes são proporcionais na mesma razão, ou seja, $\mathsf{ {h \over c} = {b \over a} = {m \over b} }$. Da última igualdade, podemos concluir que $\mathsf{ b^2 = {a \cdot m} }$. Esta é a relação entre o cateto b e sua projeção sobre a hipotenusa m.
• 
  Considere o ângulo ∢B = β. Temos que os triângulos △H_aBA e △ABC são semelhantes (ângulos correspondentes iguais). Logo, os lados correspondentes são proporcionais na mesma razão, ou seja, $\mathsf{ {h \over b} = {c \over a} = {n \over c} }$. Da última igualdade, podemos concluir que $\mathsf{ c^2 = {a \cdot n} }$. Esta é a relação entre o cateto c e sua projeção sobre a hipotenusa n.
• 
  Por transitividade, temos que os triângulos △H_aBA e △H_aAC são semelhantes. Logo, ∢H_aAC = β e ∢H_aAB = γ. Temos que os lados correspondentes são proporcionais na mesma razão, ou seja, $\mathsf{ {h \over n} = {m \over h} = {b \over c} }$. Da primeira igualdade, podemos concluir que $\mathsf{ h^2 = {m \cdot n} }$. Esta é a relação entre a altura h e as projeções dos catetos sobre a hipotenusa m e n.

voltar ao topo

📏 📐 Resolução

Vamos utilizar a régua, o compasso e os esquadros para fazer esta construção.

• 
  No item 1.1, vamos usar o fato de que a altura é média geométrica entre as projeções dos catetos sobre a hipotenusa. Logo, os segmentos p e q são marcados como sendo as projeções dos catetos sobre a hipotenusa.
• 
  O segmento AB será a hipotenusa do triângulo retângulo que vamos construir. Construa a mediatriz de AB...
• 
  ... e o arco capaz de 90° segundo AB. No ponto C, construímos a reta perpendicular a AB com os esquadros.
• 
  O segmento CD será a média geométrica entre p e q, segundo a propriedade que provamos na página anterior. Logo, $\mathsf{ x = \sqrt{p \cdot q} }$.
• 
  Como os segmentos do item 1.2 são maiores, podemos usar a relação de que um cateto é média geométrica entre a hipotenusa e sua projeção sobre a hipotenusa. Desta forma, construímos o segmento menor "por dentro" do segmento maior.
• 
  O segmento p será hipotenusa, e o segmento q será a projeção do cateto sobre a hipotenusa. Construa a mediatriz de AB.
• 
  Construa o arco capaz de 90° e a reta perpendicular a AB que passa por C.
• 
  De acordo com a propriedade que provamos na página anterior, o cateto BD é a média geométrica entre p e q, ou seja, $\mathsf{ x = \sqrt{p \cdot q} }$.

📏 📐 Resolução

Vamos utilizar a régua, o compasso e os esquadros para fazer esta construção.

• 
  No item 2.1, vamos usar o fato de que a altura é média geométrica entre as projeções dos catetos sobre a hipotenusa. Logo, os segmentos 2p e p são marcados como sendo as projeções dos catetos sobre a hipotenusa.
• 
  O segmento 2p + p será a hipotenusa do triângulo retângulo que vamos construir. Construa a mediatriz deste segmento...
• 
  ... e o arco capaz de 90°. Construa a reta perpendicular ao segmento que passa pela extremidade que divide 2p e p. A altura do triângulo retângulo é a média geométrica $\mathsf{ x = \sqrt{2p \cdot p} = p \sqrt{2} }$.
• 
  No item 2.2, podemos usar a relação entre o cateto e sua projeção sobre a hipotenusa. Logo, construímos o segmento 3p...
• 
  ... e o segmento p "por dentro" de 3p.
• 
  Construindo o arco capaz de 90° e a reta perpendicular à hipotenusa que passa pela extremidade de p, temos que o cateto y será a média geométrica $\mathsf{ y = \sqrt{3p \cdot p} = p \sqrt{3} }$.
• 
  No item 2.3, usamos a relação entre o cateto e sua projeção sobre a hipotenusa.
• 
  Logo, construímos o segmento p "por dentro" do segmento 5p.
• 
  Construindo o arco capaz de 90° e a reta perpendicular à hipotenusa que passa pela extremidade de p, encontramos o cateto z que será a média geométrica $\mathsf{ z = \sqrt{5p \cdot p} = p \sqrt{5} }$.
• 
  Se construirmos outro segmento p "por dentro" de 5p, podemos encontrar a média geométrica entre 2p e 5p, que será o cateto $\mathsf{ t = \sqrt{2p \cdot 5p} = p \sqrt{10} }$.

📏 📐 Resolução

Vamos utilizar a régua, o compasso e os esquadros para fazer esta construção.

• 
  Construa o segmento p e uma reta com qualquer inclinação que passa por A. Vamos dividir este segmento em 5 partes iguais usando o Teorema de Tales.
• 
  Construímos na reta qualquer 5 segmentos consecutivos, com distâncias iguais entre si, começando pelo ponto A. Unimos o ponto 5 com o ponto B.
• 
  Usando os esquadros, construa as retas paralelas a 5B que passam pelos pontos 4, 3, 2 e 1.
• 
  Vamos construir a média geométrica entre o segmento com $\mathsf{ 4 \over 5 }$ de AB e o próprio AB. Construa o arco capaz de 90° em relação a AB.
• 
  No ponto A₄, construa a reta perpendicular a AB.
• 
  A relação entre o segmento z e p é $\mathsf{ \frac{z}{\sqrt{4}}=\frac{p}{\sqrt{5}} }$ ou de outra forma, $\mathsf{z=\frac{p\sqrt{4}}{\sqrt{5}} }$, ou seja, $\mathsf{z=p\sqrt{\frac{4}{5}} }$. O cateto AC₄ é a média geométrica $\mathsf{z=\sqrt{\frac{4}{5}p.p} }$.
• 
  Analogamente, temos que o cateto AC₃ é a média geométrica $\mathsf{y=\sqrt{\frac{3}{5}p.p} }$.
• 
  Outro segmento que temos desta construção é o cateto BC₃ que é a média geométrica $\mathsf{x=\sqrt{\frac{2}{5}p.p} }$.
• 
  E o último segmento que temos desta construção é o cateto BC₄ que é a média geométrica $\mathsf{t=\sqrt{\frac{1}{5}p.p} }$.

voltar ao topo

📏 📐 Solução

Neste exercício proposto, temos a aplicação do conceito de média geométrica.

A construção pode ser feita marcando os segmentos como projeções dos catetos sobre a hipotenusa, conforme mostrado, ou então o segmento menor "por dentro" do maior.

📏 📐 Solução

Neste exercício proposto, temos a aplicação do conceito de média geométrica.

A construção pode ser feita marcando os segmentos como projeções dos catetos sobre a hipotenusa, conforme mostrado, ou então o segmento c "por dentro" do segmento a + b.

📏 📐 Exercício proposto 2.5

📏 📐 Solução

Neste exercício proposto, temos a aplicação do conceito de média geométrica além do Teorema de Tales.

Este exercício é similar ao exercício mostrado na página anterior.

voltar ao topo

De acordo com a propriedade provada na página 39, temos as relações b² = a · m e c² = a · n .
Logo, b² + c² = a · m + a · n = a · (m + n) = a².

📏 📐 Resolução

Vamos utilizar a régua, o compasso e os esquadros para fazer esta construção.

• 
  Construa o segmento p. Vamos utilizar o teorema de Pitágoras para encontrar o segmento x.
• 
  Alinhando os esquadros com o segmento p, podemos construir a reta perpendicular a p que passa por uma extremidade deste segmento.
• 
  Na reta perpendicular, podemos construir o segmento q.
• 
  De acordo com o teorema de Pitágoras, temos que $\mathsf{ x^2 = p^2 + q^2 }$, onde x é a hipotenusa do triângulo retângulo de catetos p e q.
• 
  No ponto item 2, podemos reescrever a equação como $\mathsf{ x^2 + q^2 = p^2 }$. Neste caso, a hipotenusa será o segmento p.
• 
  O vértice com ângulo reto do triângulo retângulo que vamos construir "enxerga" a hipotenusa segundo ângulo de 90°. Logo, vamos construir o arco capaz de 90°.
• 
  Com o centro no ponto médio de p, construa a semi-circunferência.
• 
  Como temos a medida do cateto q, podemos construir o arco de circunferência com centro em uma extremidade de p, com raio q.
• 
  Logo, o cateto com a medida x está construído.

📏 📐 Resolução

Vamos utilizar a régua, o compasso e os esquadros para fazer esta construção.

• 
  Podemos reescrever a equação como $\mathsf{ x^2 = (p^2 + q^2) - r^2 }$, onde $\mathsf{ y^2 = p^2 + q^2 }$. Logo, vamos construir o segmento y, que terá dois "papéis".
• 
  O segmento y será a hipotenusa do triângulo retângulo de catetos p e q, além de ser a hipotenusa do triângulo retângulo de catetos x e r.
• 
  Logo, vamos construir o arco capaz de 90° segundo segmento y.
• 
  Com centro em uma das extremidades de y, construímos o arco de circunferência de raio r.
• 
  Logo, temos o cateto com medida x com uma das extremidades no arco capaz.
• 
  No item 4, podemos reescrever a equação como $\mathsf{ x^2 = (p^2 + q^2) + r^2 }$, onde $\mathsf{ y^2 = p^2 + q^2 }$. Logo, vamos construir o segmento y, que terá dois "papéis": será hipotenusa do triângulo retângulo de catetos p e q...
• 
  ... e será um cateto do triângulo retângulo de cateto r e hipotenusa x.

voltar ao topo

📏 📐 Solução

Neste exercício proposto, temos a aplicação direta do Teorema de Pitágoras.

📏 📐 Solução

Neste exercício proposto, temos aplicações do teorema de Pitágoras. São segmentos que podemos construir também com o conceito de média geométrica

Nestes exercícios propostos, note que devemos reescrever as equações até determinar quais são os catetos e qual será a hipotenusa. Por exemplo, no item 2.4, procuramos o quadrado perfeito mais próximo do número 15 para reescrever a expressão $\mathsf{ x^2 = 15p^2 }$ como $\mathsf{ x^2 = (4p)^2 - p^2 }$, onde 4p será hipotenusa e p um dos catetos.

📏 📐 Solução

Nestes exercícios propostos, temos aplicações do teorema de Pitágoras. São segmentos que podemos construir também com o conceito de média geométrica

No exercício 3, a espiral pitagórica é feita com triângulos retângulos que têm um dos catetos com medida igual a um segmento inicial p, obtendo-se na sequência: $\mathsf{ p \sqrt {2} }$, $\mathsf{ p \sqrt {3} }$, e a assim sucessivamente.

voltar ao topo

📏 📐 Resolução

Vamos utilizar a régua, o compasso e os esquadros para fazer esta construção. Vamos encontrar os segmentos $\mathsf{ a \over 2 }$ e $\mathsf{ \frac{a \sqrt {5}}{2} }$.

• 
  Vamos encontrar o segmento $\mathsf{ a \over 2 }$ construindo a mediatriz de AB.
• 
  Vamos construir o triângulo retângulo de catetos a = AB e BC = BM = AM. Construa a reta perpendicular a AB que passa por B.
• 
  Com o compasso, "pegue" a medida BM...
• 
  ... e marque esta medida na reta perpendicular. Logo, $\mathsf{ BC = \frac{a}{2} }$. Usando o teorema de Pitágoras, temos que $\mathsf{ AC^2 = AB^2 + BC^2 }$, ou seja, $\mathsf{ AC^2 = a^2 + {(\frac{a}{2})^2} }$. Logo, temos que $\mathsf{ AC^2 = a^2 + \frac{a^2}{4} = \frac{5a^2}{4} }$. Portanto, $\mathsf{ AC = \frac{ a\sqrt{5} }{2} }$.
• 
  Com o compasso centrado em C, construa o arco com raio AC até intercectar o prolongamento de BC.
• 
  De acordo com a demonstração feita nesta página, o segmento BD é áureo de AB, pois $\mathsf{ BD = AC - BC = \frac{a\sqrt{5} }{2} - \frac{a}{2} }$.

voltar ao topo

📏 📐 Resolução

Vamos utilizar a régua, o compasso e os esquadros para fazer esta construção. Vamos encontrar os segmentos $\mathsf{ a \over 2 }$ e $\mathsf{ \frac{a \sqrt {5}}{2} }$.

• 
  Vamos encontrar o segmento $\mathsf{ a \over 2 }$ construindo a mediatriz de AP.
• 
  Vamos construir o triângulo retângulo de catetos a = AP e PC = PM = AM. Construa a reta perpendicular a AP que passa por P.
• 
  Com o compasso, "pegue" a medida PM...
• 
  ... e marque esta medida na reta perpendicular. Logo, $\mathsf{ PC = \frac{a}{2} }$. Usando o teorema de Pitágoras, como fizemos na construção da página anterior, temos que $\mathsf{ AC = \frac{ a\sqrt{5} }{2} }$.
• 
  Com o compasso centrado em C, construa o arco com raio PC no prolongamento de AC.
• 
  De acordo com a demonstração feita nesta página, o segmento AP é áureo de AD, pois $\mathsf{ AD = AC + PC = \frac{a\sqrt{5} }{2} + \frac{a}{2} }$.
• 
  Podemos construir o arco com raio AD no prolongamento de AP, para encontrar o segmento AB.
• 
  Logo, temos o segmento AB, sabendo-se que AP é áureo de AB.

voltar ao topo

📏 📐 Solução

Neste exercício proposto, temos a construção do segmento áureo de AB.

📏 📐 Resolução

Vamos utilizar a régua, o compasso e os esquadros para fazer esta construção.

• 
  Vamos construir o segmento áureo de AB. Construa a mediatriz de AB.
• 
  Na reta perpendicular a AB que passa por B, encontre o ponto N tal que BN = BM = AM.
• 
  Construa o arco com centro em N e raio AN. O segmento BC é áureo de AB. Já temos 2 lados do retângulo áureo: AB e BC.
• 
  Usando os esquadros, construa os lados AD // BC e CD // AB. Logo, temos o retângulo áureo ABCD: um lado é segmento áureo do outro.
• 
  Agora vamos construir a espiral áurea. Começando pelo vértice B, vamos construir um quadrado com lado BE = BC usando o compasso.
• 
  Com os esquadros, construa o segmento EF // BC.
• 
  Com centro em E, construa o arco que começa em B e vai até o ponto F. Este é o primeiro arco da espiral.
• 
  Para dar continuidade nos arcos, a próxima extremidade será com vértice em D. Vamos construir o quadrado com lado DG = DF.
• 
  Com os esquadros, construa o segmento HG // DF.
• 
  Para dar continuidade na espiral o arco que construiremos terá centro em H, raio HF, começando em F e terminando em G. O próximo quadrado terá vertice em A e lado AG.
• 
  Analogamente ao que fizemos nos outros 2 arcos, construa o quadrado AGJI, com arco de centro em J, começando em G e terminando em I. O próximo quadrado terá lado EI.
• 
  Construa o quadrado EIKL, com arco de centro em K, começando em I e terminando em L. O próximo quadrado terá lado HL.
• 
  Construa o quadrado HLPO, com arco de centro em P, começando em L e terminando em O. O próximo quadrado terá lado OJ, e assim sucessivamente.

📏 📐 Solução

Neste exercício proposto, temos construções de segmentos áureos "em cascata".

Na verdade, note que depois de construir o primeiro segmento áureo, AP, podemos "transportá-lo" para o segmento AB, encontrando o ponto P. Se construirmos o áureo de AP, temos a formação de triângulos semelhantes. O mesmo acontece com o áureo do áureo de AP. Construa as circunferências áureas com os raios encontrados em uma outra folha.

voltar ao topo

📑 Demonstração

Vamos demonstrar esta propriedade com os 3 casos possíveis.

• 
  No primeiro caso, quando P é externo à circunferência, vamos determinar os segmentos BC, AD e AC. Como os pontos B e D "enxergam" o segmento AC no mesmo arco...
• 
  ... temos que ∢B = ∢ D, pois são ângulos inscritos relativos à mesma corda. Logo, temos que os triângulos △PAD e △PCB são semelhantes. Por isso, temos que $\mathsf{ \frac{PA}{PC}=\frac{PD}{PB} }$, ou seja, $\mathsf{ PA \cdot PB = PC \cdot PD }$.
• 
  No segundo caso, quando P é interno à circunferência, vamos determinar os segmentos BC, AD e AC. Como os pontos B e D "enxergam" o segmento AC no mesmo arco...
• 
  ... temos também a propriedade do arco capaz: ∢B = ∢ D. Logo, temos que os triângulos △PAD e △PCB são semelhantes. Por isso, temos que $\mathsf{ \frac{PA}{PC}=\frac{PD}{PB} }$, ou seja, $\mathsf{ PA \cdot PB = PC \cdot PD }$.

📑 Demonstração

Agora vamos ver como fica a demonstração do terceiro caso possível: quando um dos segmentos é tangente à circunferência.

• 
  Vamos determinar os segmentos AT e BT. Neste caso, o ∢B é inscrito e o ∢PTA é de segmento, ambos da mesma corda AT.
• 
  Conforme já provamos, estes ângulos são iguais. Logo, os triângulos △PTA e △PBT são semelhantes. Por isso, temos que $\mathsf{ \frac{PA}{PT}=\frac{PT}{PB} }$, ou seja, $\mathsf{ PT^2 = PA \cdot PB }$.

voltar ao topo

📏 📐 Resolução

Vamos utilizar os casos que demonstramos na página anterior.

• 
  Usando o segundo caso da propriedade de potência de ponto, temos que $\mathsf{ PA \cdot PC = PB \cdot PD }$, ou seja, $\mathsf{ x \cdot 2 = 5 \cdot 1 }$. Logo, $\mathsf{ x = \frac{5}{2} = 2,5 }$.
• 
  Usando o primeiro caso da propriedade de potência de ponto, temos que $\mathsf{ PA \cdot PB = x \cdot PC }$, ou seja, $\mathsf{ x \cdot 8 = 3 \cdot 6 }$. Logo, $\mathsf{ x = \frac{18}{8} = 2,25 }$.
• 
  Usando o terceiro caso da propriedade de potência de ponto, temos que $\mathsf{ x^2 = PA \cdot PB }$, ou seja, $\mathsf{ x^2 = 3 \cdot 8 }$. Logo, $\mathsf{ x = \sqrt{24} = 4,89 }$.

📏 📐 Resolução

Vamos utilizar o terceiro caso da propriedade de potência de ponto.

• 
  Ao determinar uma reta secante qualquer que passa pelo ponto P, temos a propriedade válida: $\mathsf{ PT^2 = PA \cdot PB }$, ou seja, $\mathsf{ PT = \sqrt{PA \cdot PB} }$. Logo, PT será a média geométrica entre PA e PB.
• 
  Construa a mediatriz de PB.
• 
  Construa também o segmento AC ⊥ PA e o arco capaz de 90°. O segmento PC será a média geométrica entre PA (projeção do cateto PC) e PB (hipotenusa).
• 
  Podemos "transferir" esta distância construindo o arco de circunferência com centro em P e raio PC = PT.
• 
  Nas interseções do arco com a circunferência dada, encontramos T e T', que definem as tangentes PT e PT'.

voltar ao topo

3. Triângulos e quadriláteros

Material da página 49 até a página 64.

📏 📐 Construção

Vamos construir as principais cevianas nos triângulos desta página. Para facilitar as construções, podemos utilizar os esquadros nas construções de retas perpendiculares.

• 
  Vamos nomear o triângulo como △ABC. Os nomes dos lados serão a = BC, b = AC e c = AB.
• 
  Construa as mediatrizes de dois lados. A mediatriz do terceiro lado passa pelo mesmo ponto de interseção O, chamado de circuncentro. O raio da circunferência circunscrita é a distância OA = R do centro O até um dos vértices.
• 
  Com centro em O e raio R, construa a circunferência circunscrita do triângulo.
• 
  Unindo os pontos médios dos lados com os vértices opostos, temos as medianas do triângulo. Note que são bem diferentes de mediatrizes: as medianas são segmentos que unem um vértice ao ponto médio do lado oposto; já as mediatrizes são as retas que dividem o segmento ao meio.
• 
  Os nomes das medianas são relativos aos lados opostos. Por exemplo, BM_b = m_b é a mediana relativa ao lado b. O encontro das medianas é o baricentro, representado por G. Se construirmos a reta paralela à mediana m_b que passa por M_b, encontramos o ponto M ∈ BC.
• 
  De acordo com o teorema de Tales, temos que AM_b = M_bC implica que M_aM = MC. Como BM_a = M_aC, temos a seguinte relação: $\mathsf{ \frac{BM_a}{MM_a} = \frac{BG}{GM_b} = \frac{2}{1} }$. Ou seja, o baricentro divide a mediana na razão BG = $\mathsf{ \frac{2}{3} m_b }$ e GM_b = $\mathsf{ \frac{1}{3} m_b }$.
• 
  O mesmo vale para as outras medianas: AG = $\mathsf{ \frac{2}{3} m_a }$; GM_a = $\mathsf{ \frac{1}{3} m_a }$; CG = $\mathsf{ \frac{2}{3} m_c }$; GM_c = $\mathsf{ \frac{1}{3} m_c }$.

📏 📐 Construção

Vamos construir outras duas cevianas nos triângulos desta página.

• 
  Construa as bissetrizes dos ângulos internos de dois vértices do triângulo. A terceira bissetriz passa pelo ponto de interseção I, chamado de incentro do triângulo.
• 
  Construa o segmento perpendicular a um dos lados do triângulo passando pelo incentro. Assim, encontramos o raio da circunferência inscrita r = IT_b.
• 
  Com centro em I e raio r, construa a circunferência inscrita do triângulo.
• 
  Os nomes das bissetrizes são relativos aos lados opostos. Por exemplo, AB_a = b_a é a bissetriz relativa ao lado a.
• 
  Construa as alturas relativas a dois lados do terceiro triângulo desta página. A terceira altura passa pelo mesmo ponto de interseção das outras. Este ponto é chamado de ortocentro do triângulo.
• 
  Se unirmos os pés das alturas, temos o △H_aH_bH_c, chamado de triângulo órtico.
• 
  Os nomes das alturas são relativos aos lados opostos. Por exemplo, CH_c = h_c é a altura relativa ao lado c.

voltar ao topo

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua e o compasso como instrumentos auxiliares nestes primeiros exercícios.

• 
  Podemos começar com qualquer lado. Neste exemplo, começamos pelo lado a = BC.
• 
  Como temos a medida do lado c, construímos a Circunf(B,c), que é o primeiro lugar geométrico do vértice A.
• 
  Construindo a Circunf(C,b), temos o segundo lugar geométrico de A, e finalizamos o △ABC.
• 
  No exercício 2, podemos começar com o lado a ou com o lado b. Considerando o lado a construído...
• 
  ... podemos construir o ângulo B = 30°. Com centro em B, podemos construir um arco com raio qualquer.
• 
  Com o mesmo raio, construímos outro arco de circunferência. Logo, temos o ângulo de 60° com vértice em B.
• 
  Agora podemos construir a bissetriz deste ângulo. Com centro em uma das interseções, construímos um arco...
• 
  ... e com centro na outra interseção, construímos o arco com mesmo raio. Logo, temos o ângulo B = 30°.
• 
  Agora podemos construir a Circunf(C,b), que será o segundo lugar geométrico de A. Escolha uma das interseções para construir o triângulo.
• 
  Pronto! O △ABC está construído. Podemos usar os esquadros para construir o ângulo de 30° ao invés do compasso.

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares nestes exercícios.

• 
  Devemos sempre começar com uma medida linear. Neste caso, temos apenas o lado a = BC. Vamos usar os esquadros para construir o ângulo de 30° em B.
• 
  Deslizando o esquadro com o vértice de 30° alinhado com BC, temos o ângulo B = 30°.
• 
  Alinhando o esquadro de 45 com o vértice de 30 do outro esquadro, temos um ângulo de 75°.
• 
  Deslizando o esquadro de 30 até chegar em C, temos C = 75°.
• 
  Pronto! Temos o △ABC construído. Você pode utilizar a régua e o compasso para construir estes ângulos.
• 
  No exercício 4, vamos construir o segmento BC = a. Como temos o ângulo oposto, vamos construir o arco capaz de 45°.
• 
  Construa a mediatriz de BC.
• 
  Com centro em M_a e raio BM_a, temos o arco capaz de 90°. O centro do arco capaz de 45° está na interseção da mediatriz com o arco capaz de 90°.
• 
  Construa o arco capaz de 45°, com centro em O e raio OB = OC. Temos que o ∢OBC = 45°.
• 
  Construindo a bissetriz do ∢OBC, temos o ângulo B construído e o segundo lugar geométrico de A. Na interseção da reta que forma 22,5° com BC com o arco capaz de 45°, temos o vértice A do △ABC.

voltar ao topo

📏 📐 Solução

Este exercício é similar aos anteriores.

Você pode começar com a construção do lado a ou do lado b.

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares nestes exercícios.

• 
  Começamos com o cateto b = AC. Com os esquadros ou régua e compasso, construa a reta perpendicular a AC que passa por A.
• 
  Vamos construir o arco capaz de 30° em AC. Construa a mediatriz de AC.
• 
  Construa o ângulo de 30° com vértice em A ou em C. Esta é a reta tangente ao arco capaz.
• 
  Construa a reta perpendicular à reta tangente pelo ponto A. O centro do arco capaz é a interseção da mediatriz com a reta perpendicular.
• 
  Com centro em O e raio OA = OC, construa o arco capaz de 30°. A interseção deste arco com a reta perpendicular a AC que passa por A é o vértice B.
• 
  No exercício 7, construímos o arco capaz de 90° em BC e a reta que forma 60° com BC.

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares nestes exercícios.

• 
  Começamos com o cateto c = AB.
• 
  Com os esquadros ou régua e compasso, construa a reta perpendicular a AB que passa por A.
• 
  Podemos construir a Circunf(B,a), que é o segundo lugar geométrico do ponto C.
• 
  No exercício 9, começamos com o cateto b = AC.
• 
  Com os esquadros ou régua e compasso, construa a reta perpendicular a AC que passa por A.
• 
  Construa a Circunf(A,c), que é o segundo lugar geométrico do ponto B.

voltar ao topo

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares nestes exercícios.

• 
  Podemos construir as projeções dos catetos m e n sobre a hipotenusa.
• 
  Como o vértice A tem ângulo reto, vamos construir o arco capaz de 90°.
• 
  Construa a perpendicular a BC que passa por H_a.
• 
  Na interseção do arco capaz de 90° com a perpendicular, temos o vértice A.
• 
  No exercício 11, podemos começar construindo a projeção do cateto c sobre a hipotenusa.
• 
  Construa a perpendicular a BH_a pelo ponto H_a.
• 
  Construa a Circunf(B,c) para encontrar o vértice A.
• 
  Construa a perpendicular a AB que passa por A. No prolongamento de BH_a, encontramos o vértice C.

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares nestes exercícios.

• 
  Vamos encontrar a projeção do cateto c sobre a hipotenusa. Construa a circunferência com diâmetro m.
• 
  No ponto T, construa a reta perpendicular ao raio OT. Esta é uma reta tangente à circunferência.
• 
  Com o compasso, construa o segmento PT = c.
• 
  Construa a reta que passa por P e O, intercectando a circunferência em Q e R. De acordo com a propriedade de potência de ponto, temos que $\mathsf{ PT^2 = PQ \cdot PR }$, ou seja, $\mathsf{ c^2 = PT^2 = PQ \cdot (PQ + m) }$.
• 
  Das relações de média geométrica, temos que $\mathsf{ c^2 = n \cdot a }$, ou seja, $\mathsf{ c^2 = n \cdot (n + m) }$. Esta é a mesma relação encontrada por meio de potência de ponto. Logo, temos que PQ = n.
• 
  Podemos então construir a reta perpendicular a PQ que passa por Q, que será o pé da altura do triângulo retângulo.
• 
  Construa a Circunf(P,c), que intercecta a reta perpendicular em A.
• 
  Unindo o vértice A com R, temos o △ABC construído. Os vértices B e C coincidem com P e R.

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares nestes exercícios. Vamos utilizar a técnica de HOMOTETIA para resolver estes exercícios.

• 
  Nestes exercícios, não temos a medida de um dos lados. Então, vamos começar com um lado B'C' de medida qualquer.
• 
  Construa os ângulos de 60° e 45° nos vértices B' e C'.
• 
  Construa a altura do △A'B'C' relativa ao lado a'.
• 
  Se a medida A'H'_a for igual à medida pedida de 5cm, o △ABC coincide com o △A'B'C'. Neste caso, a altura ficou menor: então, a partir de A' podemos marcar a medida A'H_a = h_a.
• 
  Temos que △ABC ~ △A'B'C'. Logo, podemos construir a reta paralela a B'C' que passa por H_a.
• 
  As interseções da reta paralela com os prolongamentos dos lados A'B' e A'C' são os vértices B e C.
• 
  No exercício 14, vamos usar a mesma ideia. Primeiro, construímos o △A'B'C' com a medida B'C' qualquer e com as medidas indicadas dos ângulos.
• 
  Construa a mediatriz de B'C' e a mediana m'_a. Neste exemplo, a mediana tem medida maior do que 4,5cm.
• 
  Logo, a partir de A' ou de M'_a, construa o segmento AM_a = m_a.
• 
  Neste caso, encontramos a nova posição do vértice A. Construa as retas paralelas a A'C' e B'A' que passam por A, encontrando os vértices B e C.

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares nestes exercícios. Vamos utilizar a técnica de HOMOTETIA para resolver estes exercícios.

• 
  O exercício 15 é similar aos anteriores. Neste caso, o △A'B'C' ficou menor do que o △ABC.
• 
  No exercício 16, construa o triângulo auxiliar △A'B'C'.
• 
  Vamos encontrar o circuncentro deste triângulo. Construa a mediatriz de um dos lados.
• 
  A interseção de duas mediatrizes determina o circuncentro O' e o raio O'B'.
• 
  Considerando que o centro do △ABC coincide com O', construa a Circunf(O,R).
• 
  Se prolongarmos os raios OA', OB' e OC', encontramos os vértices A, B e C.
• 
  Logo, temos o △ABC ~△A'B'C'.

voltar ao topo

📏 📐 Solução

Este exercício é similar aos anteriores, com a construção feita por HOMOTETIA.

Você pode começar com a construção do △A'B'C'. Encontre o incentro e a circunferência inscrita para ampliar ou reduzir o triângulo até encontrar o △ABC.

📏 📐 Resolução

Podemos usar a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.

• 
  Usando a fórmula da área de um triângulo, temos a relação mostrada entre lados e alturas correspondentes: são relações de inversos proporcionais.
• 
  Logo, podemos construir o inverso do segmento h_a, como fizemos anteriormente usando Tales.
• 
  Fazemos o mesmo com os segmentos h_b e h_c. Estes segmentos inversos são proporcionais aos lados do △ABC.
• 
  Logo, podemos construir o △A'B'C' com lados iguais aos inversos correspondentes: a' tem lado inverso de h_a, b' tem lado inverso de h_b e c' tem lado inverso de h_c.
• 
  Como fizemos no exercício 13, consideramos os vértices coincidentes A' ≡ A e prolongamos o segmento AH'_a até que AH'_a = h_a. Construindo a reta paralela a B'C', encontramos os vértices B e C.

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares nestes exercícios.

• 
  Construa o lado a e a reta perpendicular a este lado por um ponto qualquer: pode ser pelo vértice B.
• 
  Construa a reta paralela a BC com distância igual à altura h_a.
• 
  Construa a Circunf(B,c). O vértice A está na interseção desta circunferência com a reta paralela.
• 
  Escolha uma das soluções.
• 
  O exercício 20 é similar ao exercício 19. O ângulo de 30° pode ser construído com esquadros ou com régua e compasso.

voltar ao topo

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares nestes exercícios.

• 
  No exercício 21, utilizamos os seguintes lugares geométricos: a reta que forma 45° com BC e a Circunf(M_a,m_a).
• 
  No exercício 22, começamos construindo o lado AB = c. O lugar geométrico para encontrarmos o pé da altura H_a é o arco capaz de 90°.
• 
  Com o centro no ponto médio M_c, construa o arco capaz de 90°.
• 
  Construa a Circunf(A,h_a). A reta BH_a é o primeiro lugar geométrico do vértice C.
• 
  Construa a Circunf(A,b). Na interseção desta circunferência com a reta BH_a, temos o ponto C. Escolha uma das soluções.

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares nestes exercícios.

• 
  Como temos um lado e o ângulo oposto, podemos construir o arco capaz deste ângulo relativo a este lado.
• 
  Com o centro no ponto M_a, construa o arco capaz de 90°. O centro do arco capaz de 45° está na interseção da mediatriz de BC com o arco capaz.
• 
  Com o centro em O, construa o arco capaz de 45°.
• 
  Podemos aproveitar a mediatriz para construir o segmento para marcar a distância h_a a partir de M_a.
• 
  Construa a reta paralela ao lado BC com a distância h_a. Na interseção desta paralela com o arco capaz de 45°, temos o vértice A.
• 
  O exercício 24 é parecido com o 23, mas temos que encontrar o ponto H_b usando o arco capaz de 90°.

📏 📐 Solução

Os exercícios 25 e 26 são parecidos com os anteriores. Note que no 25, usamos o arco capaz para encontrar tanto H_b quanto H_c.

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares nestes exercícios.

• 
  No exercício 27, encontramos o pé da altura H_b com o arco capaz de 90° e usamos a Circunf(M_a,m_a) para encontrar o vértice A.
• 
  No exercício 28, vamos imaginar a solução. Se unirmos os pontos médios dos lados, pelo teorema de Tales, estes segmentos terão medidas iguais à metade das medidas dos lados opostos correspondentes. Além disso, estes segmentos são paralelos aos lados correspontentes: M_bM_c // BC e M_bM_a // AB.
• 
  Começando pelo lado BC, vamos encontrar o ponto M_b. Encontre o ponto médio M_a.
• 
  Como vimos anteriormente, temos que $\mathsf{ M_bM_a = \frac{c}{2} }$ e $\mathsf{ BM_b = m_b }$. Construa as Circunf(B,m_b) e Circunf(M_a,M_aM_b).
• 
  Construa a Circunf(M_b,CM_b) para finalizar o △ABC.

voltar ao topo

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício. Temos apenas as medidas das 3 medianas, então vamos construir um triângulo auxiliar.

• 
  Vamos construir o triângulo auxiliar com as medidas G'M_a = GM_a. Logo, temos um paralelogramo BGCG', pois as diagonais intercectam-se em seus pontos médios. Portanto, $\mathsf{ GG' = \frac{2}{3} m_a }$, $\mathsf{ BG = \frac{2}{3} m_b }$ e $\mathsf{ BG' = \frac{2}{3} m_c }$.
• 
  Vamos dividir as medianas em 3 partes iguais. Podemos fazer a construção parecida com a que fizemos anteriormente para dividir segmentos em 5 partes iguais. Construa duas retas paralelas, e a partir de um ponto P, construa com o compasso PP' = m_a.
• 
  Usando o teorema de Tales, divida m_a em 3 partes iguais.
• 
  Nos pontos de divisão, construa as retas paralelas às duas retas iniciais que construímos. A partir de um ponto Q da mesma reta que colocamos o ponto P, construa o segmento QQ' = m_b.
• 
  Faça o mesmo com a terceira mediana: RR' = m_c. Assim, temos as 3 medianas divididas em 3 partes iguais.
• 
  Com o compasso, construa o segmento $\mathsf{ GG' = \frac{2}{3} m_a }$.
• 
  Construa as $\mathsf{ Circunf(G, \frac{2}{3} m_b) }$ e $\mathsf{ Circunf(G', \frac{2}{3} m_c) }$. Na interseção destas circunferências, encontramos o vértice B.
• 
  Construa no prolongamento de GG' a $\mathsf{ Circunf(G, \frac{2}{3} m_a) }$, encontrando o vértice A.
• 
  No prolongamento de BG, construa a $\mathsf{ Circunf(G, \frac{1}{3} m_b) }$, encontrando o ponto M_b.
• 
  Para finalizar, construa a Circunf(M_b ,AM_b), encontrando o vértice C.

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.

• 
  Vamos construir a mediana que o vértice A "enxerga" segundo ângulo dado de 60°.
• 
  Construa o ângulo de segmento de 60° em M_c, obtendo-se a reta tangente ao arco capaz.
• 
  Construa a reta perpendicular à reta tangente que passa por M_c. Na interseção desta reta com a mediatriz de CM_c, encontramos o centro do arco capaz de 60°.
• 
  Construa o arco capaz.
• 
  Vamos encontrar o baricentro. Como as medianas têm mesmas medidas do exercício anterior, podemos usar a divisão que fizemos para construir a $\mathsf{ Circunf(M_c, \frac{1}{3} m_c) }$.
• 
  A distância do baricentro ao vértice A é de $\mathsf{ \frac{2}{3} m_a }$. Logo, construa a $\mathsf{ Circunf(G, \frac{2}{3} m_a) }$. Onde esta circunferência intercectar o arco capaz, temos o vértice A.
• 
  No prolongamento de AM_c, construa a $\mathsf{ Circunf(M_c, AM_c) }$, encontrando o vértice B.
• 
  Finalizamos a construção do △ABC.
• 
  No exercício 31, podemos construir uma reta qualquer e a altura perpendicular a esta reta, determinando o segmento AH_a.
• 
  Construa a Circunf(A,m_a). Logo, temos a reta suporte do lado BC determinada.
• 
  Como a mediatriz é perpendicular ao lado e passa pelo ponto médio, construa a reta perpendicular a H_aM_a pelo ponto M_a.
• 
  Como a circunferência circunscrita tem o centro na interseção das mediatrizes, construa a Circunf(A,R): na interseção desta circunferência com a mediatriz, encontramos o circuncentro.
• 
  Construa a Circunf(O,R), determinando os vértices B e C na reta suporte construída.

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.

• 
  Começamos com o lado b e a reta perpendicular a b que passa pelo ponto A.
• 
  Construa a Circunf(A,r) e a reta paralela a AC. Este é o primeiro lugar geométrico do incentro do triângulo.
• 
  Construa a bissetriz do ângulo Â. Na interseção com a reta paralela, temos o incentro I.
• 
  Construa a circunferência inscrita. Para construir o lado BC, vamos encontrar o ponto de tangência usando o arco capaz de 90° em IC.
• 
  Com centro no ponto médio de IC, construa o arco capaz de 90°: na interseção com a circunferência inscrita, temos o ponto T.
• 
  Unindo os pontos C e T, encontramos o vértice B na reta perpendicular a AC que passa por A.
• 
  No exercício 33, podemos usar a propriedade que usamos em exercícios anteriores: os segmentos que unem os pontos médios de dois lados são paralelos ao terceiro lado e têm a metade da medida do terceiro lado. Construa a reta paralela a M_bM_c que passa por M_a.
• 
  construímos a Circunf(M_a,M_bM_c), determinando os vértices B e C.
• 
  Determine os segmentos BM_c e CM_b, encontrando o vértice A nos prolongamentos dos segmentos.

voltar ao topo

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.

• 
  Vamos imaginar o triângulo construído. Como temos a altura H_b, vamos imaginar que a soma dos lados b + c está construída a partir de C. Logo, teremos o △ABD isósceles de base BD, pois BA = AD. Para encontrar o vértice A, vamos construir a mediatriz de BD.
• 
  Vamos começar pelo lado a = BC e o arco capaz de 90° para fixar o pé da altura H_b.
• 
  Construa a Circunf(B,h_b), determinando o ponto H_b na interseção com o arco capaz de 90°.
• 
  Unindo os pontos H_b e C, podemos construir a Circunf(C,b + c), encontrando o ponto D.
• 
  Agora podemos construir a mediatriz de BD.
• 
  Na interseção da mediatriz de BD com a reta CD, temos o vértice A.

📏 📐 Solução

Este exercício é parecido com o anterior.

Note que a soma a + b foi construída na reta suporte do ângulo dado de 60°.

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.

• 
  Vamos imaginar o triângulo construído. Como temos o ângulo  = 75°, vamos imaginar que a diferença dos lados a − c está construída a partir de A. Logo, teremos o △BCD isósceles de base CD, pois BC = BD. Para encontrar o vértice B, vamos construir a mediatriz de CD.
• 
  Construa o segmento AC = b. Com os esquadros ou régua e compasso, faça a construção do ângulo de 75°.
• 
  Na reta suporte do lado AB, construa a Circunf(A,a − c), encontrando o ponto D.
• 
  Construa a mediatriz de CD.
• 
  O vértice B está na interseção da mediatriz com a reta AD.

voltar ao topo

📏 📐 Solução

Este exercício é parecido com o anterior.

Note que diferença b − c foi construída na reta suporte do ângulo dado de 45°.

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.

• 
  Vamos imaginar o triângulo construído. Se marcarmos as medidas dos lados AB e AC nos prolongamentos de BC, temos os △ABD e △ECA que são isósceles de bases AD e AE.
• 
  De acordo com o teorema do ângulo externo, temos que $\mathsf{ \alpha = \frac{B}{2} }$ e $\mathsf{ \beta = \frac{C}{2} }$. Portanto, podemos construir o △ADE.
• 
  Construa o segmento DE = 2p.
• 
  No vértice D, construa o ângulo de 75°...
• 
  ... e no vértice E, construa o ângulo de 45°.
• 
  Construa a bissetriz do ângulo de 75°...
• 
  ... e a bissetriz do ângulo de 45°, determinando o vértice A.
• 
  Agora basta construir a paralela a s que passa por A, encontrando B...
• 
  ... e a paralela a r que passa por A, encontrando o vértice C.

📑 Propriedades

Vamos ver algumas definições e propriedades sobre os quadriláteros.

• 
  Construindo uma diagonal de um quadrilátero, temos 2 triângulos. Logo, a soma dos ângulos internos do quadrilátero será 360°.
• 
  Quando os 4 vértices pertencem a uma circunferência, o quadrilátero é chamado de inscritível.
• 
  Provamos esta propriedades no conteúdo de arco capaz. Usamos os ângulos inscritos e centrais correspondentes, chegando à relação de que α + β = 180° e γ + δ = 180°.
• 
  Quando os lados do quadrilátero são tangentes a uma circunferência, ele é chamado de circunscritível.
• 
  De acordo com a propriedade de potência de ponto, temos que AT₁ = AT₄, BT₁ = BT₂, CT₂ = CT₃ e DT₃ = DT₄. Substituindo estas medidas na soma de dois lados opostos, temos a relação de que as somas dos lados opostos de quadriláteros circunscritíveis são iguais.

voltar ao topo

📑 Propriedades

Vamos ver algumas definições e propriedades sobre os quadriláteros notáveis. Começando pelos trapézios

• 
  As bases do trapézio são os segmentos AB e CD, e as laterais são BC e AD.
• 
  Somente no trapézio isósceles teremos os ângulos das bases iguais e as diagonais iguais. Neste trapézio, temos também uma circunferência circunscrita.

📑 Propriedades

Agora vamos ver as propriedades dos paralelogramos.

• 
  Em um paralelogramo, os ângulos opostos são iguais. Logo, não teremos a circunferência circunscrita. Como os lados opostos são iguais, também não conseguimos construir uma circunferência inscrita neste quadrilátero.
• 
  Todas as recíprocas das propriedades mostradas dos paralelogramos são verdadeiras.

voltar ao topo

📑 Propriedades

Agora vamos ver as propriedades dos paralelogramos especiais: retângulo, losango e quadrado.

• 
  Vamos usar estas propriedades nas construções propostas a seguir.
• 
  Nos casos de retângulos e quadrados, a circunferência circunscrita tem centro na interseção das diagonais. O losango não tem esta circunferência. No caso do quadrado, podemos construir a circunferência inscrita, que terá o raio igual à metade da medida do lado.

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares nestes exercícios.

• 
  Vamos construir o segmento AB e a reta perpendicular a este segmento que passa por B.
• 
  Construa a Circunf(B,AB), determinando o vértice C na reta perpendicular a AB.
• 
  Construa as retas: paralela a AB que passa por C e a paralela a BC que passa por A, encontrando o vértice D.
• 
  No exercício 2, construa a diagonal BD.
• 
  Construa o arco capaz de 90° em BD, pois os vértices A e D "enxergam" BD segundo 90°.
• 
  Na interseção da mediatriz de BD com o arco capaz, temos os vértices A e C.

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares nestes exercícios.

• 
  Construa a Circunf(M,r) e um diâmetro T₁T₂.
• 
  Construa o diâmetro T₃T₄ ⊥ T₁T₂.
• 
  Construa as retas AT₁ // T₃T₄ e AT₃ // T₁T₂.
• 
  Construa a reta BT₄ // T₁T₂.
• 
  E para finalizar o quadrado, construa a reta DT₂ // T₃T₄.
• 
  No exercício 4, o diâmetro da circunferência circunscrita tem a medida das diagonais do quadrado. Basta construir os diâmetros perpendiculares para encontrar os vértices do quadrado.

voltar ao topo

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.

• 
  Vamos construir o lado AB, conhecendo-se o segmento áureo de AB. Construa o segmento PQ = x e sua mediatriz.
• 
  Construa a reta perpendicular a PQ em Q e a circunferência com raio igual à metade de x.
• 
  No prolongamento de PR, construa o segmento RS com a metade da medida de x. O segmento PS tem a medida do lado AB procurado.
• 
  Você pode construir o quadrado usando a posição de PS, ou transportar a medida AB = PS ao lado, usando o compasso.
• 
  Construa a reta perpendicular ao lado AB que passa por A e marque nesta perpendicular o segmento AD = AB.
• 
  Construa a reta CD // AB e a reta BC // AD.

📏 📐 Solução

Estes exercícios são parecidos com os anteriores.

Note que no exercício 7, temos a diagonal construída com a Circunf(A,d).

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares nestes exercícios.

• 
  Vamos construir a diagonal AC = d e sua mediatriz, encontrando o ponto M.
• 
  Construa a reta que forma 60° com AC e passa por M.
• 
  Construa a Circunf(M,MC) para encontrar os vértices B e C.
• 
  Pronto! O retângulo está construído.
• 
  Vamos imaginar o retângulo do exercício 9 construído. Se marcarmos o lado CD no prolongamento de AD, temos que o segmento CE formará 45° com AE = p.
• 
  Construa o segmento AE = p.
• 
  Construa a reta que forma 45° com AE a partir de E.
• 
  Construa a Circunf(A,d), encontrando o vértice C na reta que forma 45° com AE.
• 
  Escolha uma das interseções e construa a reta perpendicular a AD que passa por C, encontrando o vértice D.
• 
  Construa as retas BC // AD e AB // CD, fechando o retângulo.

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares nestes exercícios.

• 
  O exercício 10 é parecido com o anterior. Note que neste caso a solução será um quadrado, caso particular de um retângulo.
• 
  No exercício 11, construa o semi-perímetro AE = p.
• 
  Vamos usar a construção de média geométrica. Como temos a medida m, construa a reta perpendicular a AE que passa por A e faça AP = m.
• 
  Construa o arco capaz de 90° em AE.
• 
  Construa a reta PQ // AE.
• 
  Escolha uma das interseções, e faça QD ⊥ AE. Esta é a construção que vimos de média geométrica. Logo, o ponto D será vertice do retângulo, determinando os lados AD e DE.
• 
  Construa a Circunf(D,DE) para determinar o vértice C ∈ QD.
• 
  Agora basta construir a reta BC // AD para finalizar o retângulo.

voltar ao topo

📏 📐 Solução

Estes exercícios são parecidos com os anteriores.

Agora temos os exercícios de losango. Note que precisamos construir os 4 lados com mesma medida. As diagonais do losango são perpendiculares.

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares nestes exercícios.

• 
  O exercício 14 é parecido com os anteriores.
• 
  Imagine que o losango do exercício 15 está resolvido. Se construirmos a metade da soma das diagonais, teremos ME = BM no prolongamento de AM. Como as diagonais são perpendiculares, temos que o ∢MEB = 45°. Logo, podemos construir o △AEB.
• 
  Construa o segmento AE com medida igual à metade da soma das diagonais e a reta que forma 45° com AE a partir de E.
• 
  Construa a Circunf(A,AB) para determinar o vertice B na reta BE.
• 
  Construa a reta BD ⊥ AE. Como os lados do losango são iguais, a perpendicular intercecta a Circunf(A,AB) no vértice D.
• 
  Construa a Circunf(B,AB) para encontrar o vértice C no prolongamento de AE.
• 
  Pronto! O losango está construído.

📏 📐 Solução

Estes exercícios são parecidos com os anteriores.

Agora temos os exercícios de paralelogramos. Note que precisamos construir os lados opostos iguais.

📏 📐 Solução

Estes exercícios são parecidos com os anteriores.

Podemos usar a propriedade de que as diagonais dos paralelogramos intercectam-se em seus respectivos pontos médios.

voltar ao topo

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares nestes exercícios.

• 
  Imaginando o paralelogramo pronto, temos que o segmento BE = p e pelo teorema do ângulo externo temos que o ∢CED = 30°.
• 
  Construa o segmento BE = p e a reta que forma 30° com BE e que passa por E.
• 
  Construa a Circunf(B,BD) para encontrar na interseção com a reta DE o vértice D.
• 
  Escolha uma das interseções e construa a reta que forma 60° com BE e passa por D ou que forma 30° com DE e passa por D.
• 
  Construa as retas AD // BC e AB // CD para encontrar o vértice A.
• 
  O exercício 21 é parecido com os anteriores.

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares nestes exercícios.

• 
  Imaginando o trapézio construído, podemos construir um paralelogramo auxiliar da seguinte forma: como temos as medidas das bases, podemos construir a base menor por dentro da maior a partir de um dos vértices, ou seja, AE = CD. Logo, teremos que CE = AD e conseguiremos construir o △BCE.
• 
  Construa a base maior AB e o segmento AE = CD.
• 
  Construa a Circunf(B,BC) e a Circunf(E,AD). A interseção destas circunferências será o vértice C.
• 
  Agora basta construir CD // AB e AD // CE.
• 
  Imaginando que o trapézio do exercício 23 esteja construído, podemos usar a mesma ideia do exercício 22. Porém, como não temos as laterais, podemos construir a base menor no prolongamento da maior: BE = CD. Logo, podemos construir o △AEC.
• 
  Construa a base maior AB e o segmento BE = CD.
• 
  Construa a Circunf(A,AC) e a Circunf(E,BD). A interseção destas circunferências será o vértice C.
• 
  Construa a reta paralela a CE que passa por B e a reta paralela a AB que passa por C.
• 
  A interseção das paralelas determina o vértice D.

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares nestes exercícios.

• 
  O exercício 24 é parecido com os anteriores, porém, sem a necessidade de construir uma base sobre a outra.
• 
  Vamos imaginar o exercício 25 resolvido. Como temos a diagonal AC e o ângulo formado entre as diagonais, podemos construir o segmento BE = CD no prolongamento de AB. Logo, o vértice C "enxerga" AE segundo ângulo de 120° e podemos construir o △ACE.
• 
  Construa a base maior AB e o segmento BE = CD.
• 
  Construa o ângulo de segmento de 120° com vértice A.
• 
  A interseção da mediatriz de AE com a reta perpendicular à reta tangente do ângulo de 120° é o centro do arco capaz.
• 
  Construa o arco capaz de 120°.
• 
  Construa a Circunf(A,AC), encontrando o vértice C na interseção desta circunferência com o arco capaz.
• 
  Construa a reta paralela a CE que passa por B e a reta paralela a AB que passa por C.
• 
  A interseção das paralelas determina o vértice D.

voltar ao topo

📏 📐 Solução

Use as propriedades de trapézio isósceles para resolver estes exercícios.

A mediatriz das bases funciona como eixo de simetria nestes trapézios.

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.

• 
  Construa a circunferência circunscrita e escolha uma posição para o vértice A nesta circunferência.
• 
  Construa a Circunf(A,AB), determinando o vértice B.
• 
  Construa a reta OM ⊥ AB, que é a mediatriz das bases.
• 
  Construa a Circunf(M,CD/2), determinando os vértices auxiliares C' e D'.
• 
  Construa as retas DD' // OM e CC' // OM, encontrando os vértices C e D na circunferência circunscrita.
• 
  Escolha uma das soluções.

📏 📐 Solução

Use as propriedades de trapézio retângulo para resolver estes exercícios.

Nestes exercícios, as construções começaram com a base maior.

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.

• 
  Construa a base AB e a reta perpendicular a AB que passa por A.
• 
  Construa o segmento AD = h.
• 
  Construa o segmento DE = s = BC + AD.
• 
  Como vimos anteriormente nos triângulos, quando marcamos a soma de segmentos, temos um triângulo isósceles △CBE determinado. Logo, podemos construir a mediatriz de BE para encontrar o vértice C
• 
  Pronto! O trapézio retângulo está construído.

voltar ao topo

📏 📐 Exercício proposto 3

voltar ao topo

4. Tangência e concordância

Material da página 65 até a página 78.

voltar ao topo

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.

• 
  Utilizando o centro, podemos construir o raio CT, e a reta tangente será t ⊥ CT que passa pelo ponto T.
• 
  Sem utilizar o centro, podemos construir um segmento AB, tal que TA = TB.
• 
  Temos então o △TAB isósceles de base AB.
• 
  A reta AB será paralela à reta tangente. Construa a reta t // AB com os esquadros ou com régua e compasso.

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.

• 
  Utilizando o centro, podemos construir a reta r ⊥ s que passa pelo ponto C.
• 
  Os pontos de tangência T e T' são determinados pela interseção da reta r com a circunferência. Construa as retas t e t' paralelas à reta s que passam pelos pontos T e T'.
• 
  Sem utilizar o centro, podemos construir uma reta paralela à reta s, que determina os pontos A e B.
• 
  Construa a mediatriz de AB.
• 
  Os pontos de tangência T e T' estão na interseção da mediatriz de AB com a circunferência. Construa as retas t e t' paralelas à reta s que passam por T e T'.

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.

• 
  Vamos começar transportando o ângulo α. Construa um arco com centro no vértice do ângulo...
• 
  Escolha um ponto A ∈ s e faça a construção do ângulo α com vértice A. Podemos escolher uma das retas r ou r' para construir as retas tangentes.
• 
  Construa a reta perpendicular a r que passa por C.
• 
  Na interseção da reta perpendicular com a circunferência, encontramos os pontos de tangência T e T'. Construa as retas paralelas a r que passam por T e T'.

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.

• 
  Vamos construir o arco capaz de 90° em PC, pois o ponto de tangência "enxerga" PC segundo ângulo reto.
• 
  Com centro no ponto médio M, construa a circunferência com raio MC = MP.
• 
  Na interseção do arco capaz de 90° com a circunferência, temos os pontos de tangência. Determine as retas PT e PT'.

voltar ao topo

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.

• 
  Vamos imaginar uma reta tangente exterior às circunferências α e β. Se reduzirmos os raios das circunferências até β tornar-se um ponto, a circunferência α será contraída, ou seja, torna-se uma circunferência com raio a − b.
• 
  Logo, podemos construir a reta t₁ tangente a α' que passa por B; depois, basta construir a reta t paralela a t₁.
• 
  Vamos começar "pegando" com o compasso a medida b...
• 
  ... e construindo o segmento com medida b a partir da extremidade de um raio da circunferência α. Logo, podemos construir α'(A,a − b).
• 
  Construa a mediatriz de AB.
• 
  O arco capaz de 90° determina os pontos T₁ e T'₁ e as retas tangentes a α' que passam por B.
• 
  Para encontrar os pontos de tangência T e T', basta prolongar os segmentos AT₁ e AT'₁.
• 
  Construa as retas t // t₁ e t' // t'₁ que passam pelos pontos T e T'.

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.

• 
  Vamos imaginar uma reta tangente interior às circunferências α e β. Se aumentarmos o raio da circunferência α e diminuirmos o raio de β até tornar-se um ponto, a circunferência α será dilatada, ou seja, torna-se uma circunferência com raio a + b.
• 
  Logo, podemos construir a reta t₁ tangente a α' que passa por B; depois, basta construir a reta t paralela a t₁.
• 
  Vamos começar "pegando" com o compasso a medida b...
• 
  ... e construindo o segmento com medida b a partir da extremidade de um raio da circunferência α. Logo, podemos construir α'(A,a + b).
• 
  Construa a mediatriz de AB.
• 
  O arco capaz de 90° determina os pontos T₁ e T'₁ e as retas tangentes a α' que passam por B.
• 
  Para encontrar os pontos de tangência T e T', basta determinar os segmentos AT₁ e AT'₁.
• 
  Construa as retas t // t₁ e t' // t'₁ que passam pelos pontos T e T'.

📏 📐 Solução

Para construir as tangentes exteriores, basta determinar as retas paralelas a AB com distância igual ao raio a = b.

As tangentes interiores passam pelo ponto médio de AB. Os pontos T e T' são encontrados com o arco capaz de 90° em AM.

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.

• 
  Vamos imaginar uma reta tangente exterior às circunferências α e β. Os raios AT₁ e AT₂ são paralelos e determinam os △AT₁H ~ △BT₂H. O ponto H é chamado de centro de semelhança ou de homotetia.
• 
  Vamos encontrar o centro de homotetia. Prolongue o segmento AB.
• 
  Determine os raios paralelos a e b, ambos no mesmo semi-plano definido pela reta AB.
• 
  Unindo as extremidades dos raios paralelos, encontramos o centro de homotetia H.
• 
  Agora basta construir o arco capaz de 90° em AH ou BH.
• 
  Unindo os pontos de tangência T e T' com o centro de homotetia H, encontramos as retas tangentes às circunferências α e β.

voltar ao topo

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.

• 
  Vamos imaginar uma reta tangente interior às circunferências α e β. Os raios AT₁ e AT₂ são paralelos e determinam os △AT₁I ~ △BT₂I. O ponto I é chamado de centro de semelhança ou de homotetia.
• 
  Vamos encontrar o centro de homotetia. Construa o segmento AB.
• 
  Determine os raios paralelos a e b, um em cada semi-plano definido pela reta AB.
• 
  Unindo as extremidades dos raios paralelos, encontramos o centro de homotetia I.
• 
  Agora basta construir o arco capaz de 90° em AI ou BI.
• 
  Unindo os pontos de tangência T e T' com o centro de homotetia I, encontramos as retas tangentes às circunferências α e β.

📏 📐 Solução

Neste exercício, temos a aplicação da propriedade que o raio é perpendicular à reta tangente no ponto de tangência.

📏 📐 Solução

Neste exercício, temos a aplicação da propriedade que os centros e o ponto de tangência de duas circunferências tangentes estão alinhados.

📏 📐 Solução

Lembre-se de construir a reta perpendicular a t que passa pelo ponto T neste exercício.

voltar ao topo

📏 📐 Solução

Neste exercício, prolongue o segmento CT para encontrar o centro da solução externa.

O centro da solução interna pertence ao segmento CT

📏 📐 Solução

Começamos pelo segmento de 3,4cm. Temos a aplicação do Exercício 4 na reta tangente à circunferência.

Temos também a construção do trapézio isósceles na finalização do desenho. Esta construção pode ser feita com retas paralelas ao segmento de 4,8cm.

voltar ao topo

📏 📐 Exercício proposto 4.1

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.

• 
  Vamos prolongar o segmento CT, pois o centro da circunferência tangente está alinhado com C e T.
• 
  Como a circunferência passa pelo ponto P, o centro pertence à mediatriz de TP.
• 
  Com centro em O e raio OT = OP, construa a circunferência tangente à Circunf(C,m).

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.

• 
  Construa a reta perpendicular a t pelo ponto T.
• 
  Como a circunferência passa pelo ponto P, o centro pertence à mediatriz de TP.
• 
  Com centro em O e raio OT = OP, construa a circunferência tangente à reta t.

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.

• 
  Construa a reta perpendicular a s pelo ponto T, encontrando o ponto P ∈ r.
• 
  Como r // s, P também será ponto de tangência. Logo, o centro da circunferência pertence à mediatriz de TP.
• 
  Construa a Circunf(O,OT).
• 
  No item 14.2, construa a reta perpendicular a s que passa pelo ponto T.
• 
  Como a circunferência é tangente a r e s, seu centro pertence à bissetriz do ângulo formado entre estas retas. Escolha um dos ângulos para construir a bissetriz.
• 
  Construa a perpendicular à bissetriz construída que passa pelo ponto V.
• 
  As interseções das bissetrizes com a reta perpendicular a s determinam os centros O e O'. Construa as circunferências com raios OT e O'T.

voltar ao topo

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.

• 
  Escolha um ponto A qualquer da circunferência, e "pegue" com o compasso a medida do raio r.
• 
  No prolongamento de CA, construa o segmento AB = r.
• 
  Como a circunferência é tangente à Circunf(C,m), o centro da circunferência tangente pertence à Circunf(C,m + r).
• 
  Como a circunferência tangente passa pelo ponto P, o seu centro pertence à Circunf(P,r).
• 
  Construa as circunferências com centros O e O' e raios iguais a r.

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.

• 
  Escolha um ponto A qualquer da reta s, e construa a reta perpendicular a s. "Pegue" com o compasso a medida do raio r.
• 
  Na reta perpendicular a s, construa o segmento AB = r.
• 
  Construa a reta paralela a s que passa por B, lugar geométrico do centro da circunferência tangente a s.
• 
  Como a circunferência tangente passa pelo ponto P, o seu centro pertence à Circunf(P,r).
• 
  Construa as circunferências com centros O e O' e raios iguais a r.

📏 📐 Solução

Este exercício é parecido com os anteriores.

Construa as retas s₁ // s e s₂ // s com distância r. Os centros das circunferências tangentes pertencem às bissetrizes dos ângulos formados entre s e t.

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.

• 
  Escolha um ponto A qualquer da reta t, e construa a reta perpendicular a t. "Pegue" com o compasso a medida do raio r.
• 
  Na reta perpendicular a t, construa o segmento AB = r.
• 
  Construa a reta s // t que passa por B, lugar geométrico do centro da circunferência tangente a t.
• 
  Como a circunferência é tangente à Circunf(C,m), o seu centro pertence à Circunf(C,m + r). Construa um raio CD qualquer.
• 
  No prolongamento de CD, construa o segmento DE = r.
• 
  Construa a Circunf(C,m + r).
• 
  Construa as circunferências com centros em O e O' e raios iguais a r.

voltar ao topo

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.

• 
  Escolha um ponto A qualquer da Circunf(A,m), e construa o segmento AB = r no prolongamento de CA.
• 
  Escolha um ponto E qualquer da Circunf(D,n), e construa o segmento EF = r no prolongamento de DE.
• 
  Como a circunferência é tangente à Circunf(C,m), o seu centro pertence à Circunf(C,m + r).
• 
  Como a circunferência é tangente à Circunf(D,n), o seu centro pertence à Circunf(D,n + r).
• 
  Os centros estão nas interseções da Circunf(C,m + r) com a Circunf(D,n + r). Construa as circunferências com centros O e O' e raios iguais a r.

📏 📐 Solução

Começamos pelo segmento CA. Temos a aplicação do Exercício 4 nas retas tangentes à circunferência de centro A.

Temos a aplicação do exercício 19 para encontrar os centros das circunferências tangentes às circunferências de centros A e B.

📏 📐 Exercício proposto 4.2

voltar ao topo

📏 📐 Solução

Começamos pelo segmento de 2cm com extremidade T. Temos a aplicação do Exercício 1 nas circunferências tangentes ao segmento PR.

Temos a aplicação do exercício 19 para encontrar os centros S e S'.

📏 📐 Resolução 20.5: 1ª parte

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.

• 
  Começamos construindo o segmento AB e as Circunf(A,2) e Circunf(B,2).
• 
  Aplicando o exercício 19, construímos as Circunf(A,5) e Circunf(B,5) para encontrar o centro da circunferência tangente com raio de 3cm.
• 
  Construa a circunferência com raio de 3cm.
• 
  Construa o raio que forma 75° com o raio indicado. No prolongamento deste raio, construa o segmento AC com medida de 6,4cm.
• 
  Construa o arco tangente à Circunf(A,2) e o segmento CT // AB.
• 
  Para encontrar o ponto D, construa a mediatriz de CT.
• 
  Construa o ∢TDT' = 75°, determinando mais um arco do contorno da maçã.
• 
  Para encontrar o ponto E, construa a mediatriz de DT'.
• 
  Para encontrar o ponto G, construa as Circunf(D,4.6) e Circunf(E,5.3).

📏 📐 Resolução 20.5: 2ª parte

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.

• 
  Vamos aplicar o exercício 19 para encontrar o ponto F. Determine um ponto E' ∈ Circunf(E,ED), e marque no prolongamento do raio EE' o segmento E'F' com medida 2,4cm.
• 
  Construa as Circunf(G,6) e Circunf(E,EF'), determinando o ponto F.
• 
  Logo, determinamos os pontos de tangência nas Circunf(E,ED) e Circunf(G,GL). Construa os arcos do contorno da maçã de centros E e F.
• 
  Construa o segmento CH = AB e a Circunf(H,3), determinando mais um arco do contorno da maçã, com centro em G.
• 
  No prolongamento do segmento DB, encontramos um ponto de tangência na Circunf(B,2), determinando mais um arco do contorno da maçã.
• 
  O arco com centro em D e raio até o ponto de tangência da Circunf(B,2) determina mais uma parte do contorno, que vai até a Circunf(H,3).
• 
  Construa o arco do contorno com centro em H e a reta que forma 45° com CH e passa por H. O ponto de interseção desta reta com a Circunf(H,3) é o ponto P.
• 
  Construa a Circunf(N,3), sabendo-se que o ponto N pertence à reta que acabamos de construir.
• 
  Construa MN = 4cm e a Circunf(M,3).
• 
  Para finalizar, determine os arcos de centros em M e N para fazer a folha da maçã.

📏 📐 Exercício proposto 4.3

voltar ao topo

📏 📐 Solução

Neste exercício usamos as bissetrizes dos ângulos formados entre as retas.

Você pode construir apenas uma bissetriz b₁: a bissetriz b₂ ⊥ b₁. Como as retas r e s são paralelas, temos que b₃// b₁ e b₄ // b₂.

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.

• 
  Como a circunferência é tangente à reta t em T, construa a reta perpendicular à reta t que passa pelo ponto T.
• 
  Construa a reta AB ⊥ t que passa pelo centro C.
• 
  No prolongamento do segmento TA, encontramos o ponto de tangência T₁ da circunferência.
• 
  Unindo os pontos C e T₁, encontramos o centro O₁ na reta perpendicular que construímos. Esta construção usa o fato de que △O₁TT₁ ~ △CAT₁.
• 
  Usando o mesmo raciocínio, unimos os pontos B e T, determinando o ponto de tangência T₂ na circunferência.
• 
  Unindo os pontos C e T₂, encontramos o centro O₂ na reta perpendicular que construímos. Esta construção usa a propriedade que △O₂TT₂ ~ △CBT₂.

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.

• 
  Vamos usar propriedades parecidas com as que usamos no exercício anterior. Construa a reta AB ⊥ t que passa pelo centro C.
• 
  No prolongamento do segmento TA, encontramos o ponto de tangência T₁ ∈ t. Construa a reta perpendicular a t que passa por T₁.
• 
  Unindo os pontos C e T, encontramos o centro O₁ na reta perpendicular que construímos. Esta construção usa o fato de que △O₁TT₁ ~ △CTA
• 
  Usando o mesmo raciocínio, unimos os pontos B e T, determinando o ponto de tangência T₂ ∈ t.
• 
  Construa a reta perpendicular a t que passa por T₂.
• 
  Unindo os pontos C e T, encontramos o centro O₂ na reta perpendicular que construímos. Esta construção usa a propriedade que △O₂TT₂ ~ △CTB.

voltar ao topo

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.

• 
  Vamos usar propriedades parecidas com as que usamos nos exercícios anteriores. Construa a reta t ⊥ CT. Logo, podemos construir a circunferência tangente à Circunf(D,n) e tangente à reta t em T.
• 
  Construa a reta AB ⊥ t.
• 
  No prolongamento de TA, encontramos o ponto de tangência T₁ da Circunf(D,n).
• 
  Unindo os pontos D e T₁, encontramos o centro O₁ na reta CT.
• 
  Unindo os pontos B e T₂, encontramos o ponto de tangência T₂ da Circunf(D,n).
• 
  Unindo os pontos D e T₂, encontramos o centro O₂ na reta CT.

📏 📐 Solução

Neste exercício usamos as propriedades dos exercícios 1 e 2.

Começamos construindo um dos segmentos com 5cm. Note que os centros dos arcos devem estar na reta perpendicular aos segmentos de 5cm.

📏 📐 Solução

Neste exercício usamos as propriedades dos exercícios 1, 2 e 22.

De acordo com a propriedade usada no exercício 22, o ponto de tangência T está na interseção dos segmentos PQ e OT.

voltar ao topo

📏 📐 Solução

Neste exercício usamos as propriedades dos exercícios 1, 2 e 22.

De acordo com a propriedade usada no exercício 22, o ponto de tangência T está na interseção do segmento PQ e do prolongamento do segmento AT.

📏 📐 Solução

Neste exercício usamos as propriedades dos exercícios 1, 2 e 22.

De acordo com a propriedade usada no exercício 22, o ponto de tangência T está na interseção da reta BP com a Circunf(A,3.5).

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.

• 
  A circunferência tangente à reta t passa pelos pontos A e B. Logo, o centro pertence à mediatriz de AB.
• 
  No prolongamento do segmento AB, determine o ponto de interseção P ∈ t.
• 
  De acordo com as propriedades de potência de ponto, a distância PT será a média geométrica entre PA e PB, ou seja, $\mathsf{ PT = \sqrt{PA \cdot PB} }$. Logo, construa a mediatriz de PB.
• 
  Construa o arco capaz de 90° em PB.
• 
  Construa o segmento AA' ⊥ PB: a média geométrica será o cateto PA'.
• 
  Construa a Circunf(P,PT) para encontrar os pontos T e T' na reta t.
• 
  Construa as perpendiculares a t que passam por T e T'. Os centros O e O' pertencem à mediatriz de AB.
• 
  As soluções são as circunferências de centros O e O' e raios OT e OT'.

voltar ao topo

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.

• 
  A circunferência tangente à Circunf(C,m) passa pelos pontos A e B. Logo, o centro pertence à mediatriz de AB.
• 
  Construa a circunferência com centro em um ponto Q ∈ med_AB que passa pelos pontos A e B e que seja secante à Circunf(C,m).
• 
  A reta DE é chamada de eixo radical, que mantém mesma potência de ponto em relação à Circunf(C,m) e à Circunf(Q,QA). Na interseção de DE com AB, encontramos o ponto C_R, chamado de centro radical.
• 
  Neste ponto, temos mesma potência de ponto em relação à solução e às outras duas circunferências, ou seja, $\mathsf{ C_RT = \sqrt{C_RA \cdot C_RB} = \sqrt{C_RE \cdot C_RD} }$. Logo, podemos construir o arco capaz de 90° em CC_R.
• 
  Com centro em M, determine o arco capaz de 90° em CC_R: os pontos de tangência T e T' estão na interseção do arco capaz construído com a Circunf(C,m).
• 
  Construa a reta CT: na interseção desta reta com a mediatriz de AB, encontramos o centro da primeira solução O.
• 
  Construa a Circunf(O,OT).
• 
  Construa a reta CT': na interseção desta reta com a mediatriz de AB, encontramos o centro da segunda solução O'.
• 
  Construa a Circunf(O',O'T').

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.

• 
  Vamos imaginar uma solução tangente interior às 3 circunferências. Se reduzirmos os raios das 3 circunferências até tornarem-se pontos, a solução passará pelos 3 centros. Logo, vamos fazer a contração das 3 circunferências.
• 
  Vamos determinar o centro da circunferência que passa pelos pontos A, B e C. Começamos pela mediatriz de BC.
• 
  Depois podemos construir a mediatriz de AC. O centro O está no encontro das duas mediatrizes.
• 
  Na reta OA, encontramos os pontos de tangência das soluções T_A e T'_A.
• 
  Podemos fazer o mesmo com os raios OB e OC.
• 
  A tangente interior tem centro em O ≡ O' e raio OT_A e a tangente exterior tem centro em O' ≡ O e raio O'T'_A.

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.

• 
  Vamos imaginar uma solução tangente interior à circunferência α e exterior às circunferências β e γ. Se reduzirmos os raios das circunferências β e γ, a solução passará pelos centros B e C e será tangente à circunferência α', que terá o raio dobrado. Esta resolução foi feita no exercício 27.
• 
  Construa a circunferência α' com o dobro do raio de α. A circunferência tangente à α' passa pelos pontos B e C. Logo, o centro pertence à mediatriz de BC.
• 
  Construa a circunferência com centro em um ponto Q ∈ med_BC que passa pelos pontos B e C e que seja secante a α'.
• 
  A reta DE é chamada de eixo radical, que mantém mesma potência de ponto em relação a α' e à Circunf(Q,QB). Na interseção de DE com BC, encontramos o ponto C_R, chamado de centro radical.
• 
  Neste ponto, temos mesma potência de ponto em relação à solução e às outras duas circunferências, ou seja, $\mathsf{ C_RT = \sqrt{C_RB \cdot C_RC} = \sqrt{C_RE \cdot C_RD} }$. Logo, podemos construir o arco capaz de 90° em AC_R.
• 
  Com centro em M, determine o arco capaz de 90° em AC_R: os pontos de tangência T₁ e T'₁ estão na interseção do arco capaz construído com α'.
• 
  Construa a reta AT₁: na interseção desta reta com a mediatriz de BC, encontramos o centro da primeira solução O.
• 
  Construa a Circunf(O,OT₁).
• 
  Construa a reta AT'₁: na interseção desta reta com a mediatriz de BC, encontramos o centro da segunda solução O'.
• 
  Construa a Circunf(O',O'T'₁).
• 
  Um dos pontos de tangência de α está na interseção de OT₁ com α. Construa a solução tangente às três circunferências com centro O.
• 
  O outro ponto de tangência de α está na interseção de O'T'₁ com α. Construa a solução tangente às três circunferências com centro O'.
• 
  Se contrairmos α e γ e dilatarmos β, teremos mais 2 soluções. Outras duas soluções podem ser encontradas se contrairmos α e β e dilatarmos γ. Este é o problema de Apolônio, que admite 8 soluções.

voltar ao topo

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.

• 
  Construa a bissetriz do ∢AVB. O ponto de tangência T do arco está na bissetriz construída.
• 
  Construa a reta B'A' ⊥ VT que passa por T.
• 
  Construa a bissetriz do ∢VA'B'. O centro da circunferência inscrita está na interseção das bissetrizes.
• 
  Construa a circunferência inscrita, que tem raio OT.

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.

• 
  Podemos dividir o ângulo central em 3 partes iguais: logo, o ângulo central ∢AOB terá medida de 120°.
• 
  Construa o ângulo ∢BOC com medida de 120°.
• 
  O prolongamento de CO é a bissetriz do ∢AOB. Logo, temos o primeiro ponto de tangência T₁. Construa a reta perpendicular a CT₁.
• 
  Construa a bissetriz do ∢A'.
• 
  O centro O₁ está na interseção de OT₁ com a bissetriz do ∢A'. Contrua a primeira circunferência tangente.
• 
  Vamos determinar as outras circunferências de maneira mais simples: construa a reta O₁T' ⊥ OB.
• 
  O centro O₂ está no prolongamento de OA com o prolongamento de O₁T'. Construa a segunda circunferência tangente.
• 
  Construa a reta O₁T'' ⊥ OA.
• 
  O centro O₃ está no prolongamento de OB com o prolongamento de O₁T''.
• 
  Construa a terceira circunferência tangente.

📏 📐 Solução

Neste exercício usamos as propriedades de incentro. Se construirmos os pontos de tangência T₁, T₂ e T₃, temos as distância iguais AT₂ = AT₃ e BT₂ = BT₁ e CT₁ = CT₃.

Construa o incentro do triângulo e encontre os pontos de tangência da circunferência inscrita nos lados do △ABC.

voltar ao topo

5. Polígonos regulares

Material da página 79 até a página 89.

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício. Para construir um polígono de n lados, vamos usar o conceito de dividir a medida do ângulo central em n partes iguais.

• 
  Construindo um diâmetro, dividimos o ângulo central em dois ângulos de 180°. Logo, temos 2 arcos capazes de 90°.
• 
  Construa o diâmetro perpendicular ao diâmetro construído no passo anterior. Logo, temos ângulos centrais de 90°, e podemos construir o quadrado inscrito na circunferência.
• 
  A medida do lado do quadrado é $\mathsf{ l_4 = r \sqrt{2} }$ .
• 
  Construa as bissetrizes dos ângulos centrais retos, ou construa com os esquadros ângulos de 45° com os diâmetros construídos.
• 
  Neste caso, conseguimos a divisão da circunferência em 8 partes iguais.
• 
  Construa o octógono regular inscrito na circunferência.
• 
  Utilizando a lei dos cossenos em um dos triângulos, por exemplo, no △OA₆A₅, encontramos a medida do lado $\mathsf{ l_8 = r \sqrt{2 - \sqrt{2} } }$. Os outros polígonos com 16, 32, 64,... lados são construídos mediante sucessivas bissetrizes dos ângulos centrais.

voltar ao topo

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício. Para construir um polígono de n lados, vamos usar o conceito de dividir a medida do ângulo central em n partes iguais.

• 
  Construindo um raio da circunferência OA₁ = r, podemos "pegar" a medida do raio e construir o arco com centro na extremidade A₁ e raio r.
• 
  Fazendo a mesma construção no semi-plano oposto, encontramos mais um ponto na circunferência.
• 
  Com centros em A₂ e em A₆, construímos arcos com a medida do raio igual a r e determinamos mais 2 pontos na circunferência.
• 
  O último vértice pode ser obtido da mesma forma, ou então no prolongamento do raio OA₁.
• 
  Temos o hexágono regular inscrito na circunferência.
• 
  Esta construção deve-se ao fato de que construímos 6 triângulos equiláteros, com lados iguais a r. Portanto, o ângulo central mede 60°.
• 
  Para construir o triângulo equilátero, basta "pular" os vértices com índices pares ou ímpares; logo, teremos ângulos centrais de 120°. Os demais polígonos podem ser construídos mediante sucessivas bissetrizes dos ângulos centrais.

📑 Propriedade

Vamos acompanhar a demonstração da Propriedade 1.

• 
  Considere o ângulo central de 36° e o lado AB = l₁₀.
• 
  Logo, temos que ∢OAB = ∢ OBA = 72°.
• 
  Construindo a bissetriz do ∢OAB, temos dois ângulos com 36°. Logo, o △ABC é isósceles de base BC.
• 
  Temos outro triângulo iscósceles: △OAC, de base OA, pois tem dois ângulos com medida de 36°.
• 
  Logo, BC = r − l₁₀, e podemos substituir as medidas correspondentes na razão da semelhança dos △OAB e △ABC. Esta relação entre as medidas é a mesma do segmento áureo, que vimos na página 44. Logo, o lado l₁₀ é segmento áureo do raio.

📑 Propriedade

Vamos acompanhar a demonstração da Propriedade 2.

• 
  Considere o ângulo central de ∢AOB = 36° e o prolongamento do segmento AB intercectando a circunferência de centro em A no ponto C. Note que as duas circunferências têm mesma medida de raio r.
• 
  Considere o segmento CD tangente à circunferência de centro O. Logo, temos que ∢CDO = 90°.
• 
  Usando potência do ponto C em relação à circunferência de centro O, temos que $\mathsf{ CD^2 = CA \cdot CB }$, ou seja, $\mathsf{ CD^2 = r \cdot (r - l_{10} ) }$, que é a mesma relação da propriedade anterior. Logo, CD = l₁₀.
• 
  Como o ∢OAB = 72°, o segmento OC = l₅. Portanto, temos um triângulo retângulo △OCD com catetos l₁₀ e l₆ = r e hipotenusa l₅. Logo, os lados do pentágono regular e do decágono regular são construídos por meio do △OCD.

voltar ao topo

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.

• 
  Vamos construir dois diâmetros perpendiculares. Utilizaremos a construção de segmento áureo.
• 
  Construa a mediatriz do raio OB.
• 
  Construa o arco com centro em M e raio MA, encontrando o ponto D ∈ OC.
• 
  De acordo com as propriedades anteriores, temos que OD = l₁₀ (segmento áureo de r) e que AD = l₅.
• 
  Considere o ponto C ≡ A₁. "Pegue" com o compasso a medida do lado do pentágono regular....
• 
  ... e construa os arcos com centro em A₁ e raio l₅. Assim, encontramos mais 2 vértices do pentágono.
• 
  Construa os arcos com raio l₅ e centros em A₅ e A₂.
• 
  Construa o pentágono regular. Para construir os polígonos de 20, 40, ... lados, podemos usar bissetrizes sucessivas do ângulo central de 72°.

📏 📐 Resolução do pentadecágono

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.

• 
  Vamos construir dois diâmetros perpendiculares.
• 
  Primeiro, vamos encontrar o l₁₀. Construa a mediatriz de OB.
• 
  Construa o arco com centro em M e raio MA, encontrando o ponto D ∈ OC.
• 
  Logo, temos que OE = l₁₀.
• 
  "Pegue" com o compasso a medida do l₁₀...
• 
  ... e construa o arco com raio l₁₀ e centro em um ponto qualquer da circunferência. Eu escolhi o ponto D.
• 
  Logo, temos um ângulo central de 36°.
• 
  Agora "pegue" com o compasso a medida do raio da circunferência...
• 
  ... e construa o arco com raio r = l₆ e centro em D.
• 
  Como o ângulo central ∢DOA₂ = 60°, temos que o ∢A₁OA₂ = 24°. Portanto, A₁A₂ = l₁₅.
• 
  Construa os outros 13 vértices do pentadecágono regular. Os demais polígonos de 30, 60,... são construídos com bissetrizes sucessivas do ângulo central de 24°.

📏 📐 Resolução de heptadecágono

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício. Esta construção é devida a Richmond (1893).

• 
  Vamos construir dois diâmetros perpendiculares.
• 
  Usando o teorema de Tales, vamos encontrar $\mathsf{ OE = \frac{r}{4} }$.
• 
  Construa o segmento EA₁.
• 
  Vamos dividir o ∢OEA₁ em 4 partes iguais. Construa a bissetriz deste ângulo...
• 
  ... e depois, a bissetriz da metade deste ângulo, encontrando o ponto F ∈ OA₁.
• 
  Construa o ∢FEG = 45°.
• 
  Agora construa a semi-circunferência com diâmetro A₁G; construa a mediatriz de GA₁. O ponto de interseção desta semi-circunferência com OC é o ponto I.
• 
  Construa o arco com centro em F e raio FI, até encontrar J ∈ OA₁.
• 
  A reta JA₄ ⊥ OA₁ determina o quarto vértice do heptadecágono na circunferência. O primeiro vértice já está sendo considerado como A₁.
• 
  Podemos "pegar" com o compasso a medida A₁A₄...
• 
  ... e construir os arcos: com centro em A₄ para encontrar A₇; com centro em A₇ para encontrar A₁₀; com centro em A₁₀ para encontrar A₁₃; e com centro em A₁₃ para encontrar A₁₆.
• 
  Continuando, na segunda volta e mesmo raio A₁A₄, construímos os arcos para encontrar A₂, A₅, A₈, A₁₁, A₁₄ e A₁₇.
• 
  Para finalizar, na terceira volta e mesmo raio A₁A₄, construímos os arcos para encontrar A₃, A₉, A₁₂ e A₁₅. Construa o heptadecágono regular.

📏 📐 Solução

Começando pelo lado AB = l₆, podemos encontrar o centro da circunferência circunscrita.

Com centros em A e B, construímos os arcos com raios de medidas iguais a l₆. Depois, construímos a circunferência circunscrita e os 4 outros vértices, como fizemos anteriormente.

voltar ao topo

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.

• 
  Vamos encontrar o centro da circunferência circunscrita. Como o ângulo central mede 45°, vamos construir o arco capaz de 45° em AB = 3cm. Construa a mediatriz de AB.
• 
  Construa o arco capaz de 90°. Com centro em N, construa o arco capaz de 45°.
• 
  O centro da circunferência circunscrita está no encontro do arco capaz de 45° com a mediatriz de AB.
• 
  Agora, basta construir os arcos com centros em A e B, com raios de medidas iguais a l₈ = AB.
• 
  Com centros em C e H, construa os arcos com raios de medidas iguais a AB.
• 
  Para finalizar, construa os arcos com centros em D e G, com raios de medidas iguais a AB.

📏 📐 Exercício proposto 5.1

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício. Vamos usar homotetia.

• 
  Começamos com a construção de uma circunferência de raio qualquer. Vamos construir um pentágono regular inscrito nesta circunferência. Construa dois diâmetros perpendiculares.
• 
  Construa a mediatriz do raio O'B.
• 
  Com centro em M e rao MC, construa o arco que intercecta A'O' em D.
• 
  Considerando o primeiro vértice A₁, construa os arcos com raio l₅ para encontrar os vértices A'₂ e A'₅.
• 
  Agora podemos construir o lado l₅ = 4,5cm a partir de A₁. Logo, encontramos os vértices A₂ e A₅.
• 
  Para encontrar o centro da nova circunferência circunscrita, vamos construir a reta OA₂ // O'A'₂.
• 
  Construa a nova circunferência circunscrita.
• 
  Construa o pentágono com lado l₅ = 4,5cm.

voltar ao topo

📑 Propriedade

Vamos ver como é o cálculo da medida do lado de um polígono de n lados inscrito em uma circunferência de raio r.

• 
  Considere AB = l_n. Logo, temos que $\mathsf{ A \hat{O} B = \frac{360^o}{n} }$ .
• 
  Construindo a bissetriz do ∢AOB, encontramos a metade do lado l_n.
• 
  Portanto, $\mathsf{ \alpha = \frac{A \hat{O} B}{2} = \frac{180^o}{n} }$. Usando a relação trigonométrica do seno, encontramos a relação $\mathsf{ l_n = 2 \cdot sen(\frac{180^o}{n}) }$.

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.

• 
  Construa o arco com centro em um ponto qualquer da circunferência A, e raio OA = r. Encontre as interseções B e C.
• 
  Construa o segmento BC. A interseção de OA com BC é o ponto D.
• 
  O lado l'₇ mede a metade de BC. Como BC é o segmento l₃, temos que $\mathsf{ l'_7 = \frac{r \sqrt{3}}{2} }$. O erro teórico deste processo fica na ordem de dois milésimos.

voltar ao topo

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.

• 
  Vamos começar construindo dois diâmetros perpendiculares.
• 
  Construa o arco com centro em D e raio de medida r = l₆.
• 
  Temos que CE = l₃. Construa o arco com centro em C e raio CE. No prolongamento de AB, encontramos o ponto F.
• 
  Construa o arco com centro em F e raio CF. Encontramos então o ponto G ∈ OA e o segmento AG = l'₉.
• 
  Desta construção, temos que OF = l₄. Logo, $\mathsf{ AG = OA - (GF - OF) = r - (r \sqrt{3} - r \sqrt{2}) }$. O erro teórico deste processo fica na ordem de dois milésimos.

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.

• 
  Vamos começar construindo dois diâmetros perpendiculares.
• 
  Construa a mediatriz de um dos raios: por exemplo, do raio OA.
• 
  Agora construa a mediatriz de ED, encontrando o ponto médio F.
• 
  Temos então que FD = l'₁₁. O segmento ED já foi usado na construção de segmento áureo, e sua medida é $\mathsf{ \frac{r \sqrt{5}}{2} }$. Portanto, $\mathsf{ l'_{11} = \frac{r \sqrt{5}}{4} }$, e o erro deste processo é da ordem de 5 milésimos.

voltar ao topo

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.

• 
  Vamos começar construindo dois diâmetros perpendiculares.
• 
  Agora vamos construir o segmento com medida $\mathsf{ \frac{r}{4} }$. Usando o teorema de Tales, vamos dividir OD em 4 partes iguais.
• 
  Determine o segmento $\mathsf{ OE = \frac{r}{4} }$.
• 
  Construa a reta EB, encontrando o ponto F na circunferência. O segmento AF = l'₁₃
• 
  Usando o teorema de Pitágoras, encontramos a medida $\mathsf{ EB = \frac{r \sqrt{17}}{4} }$.
• 
  Como temos que △EOB ~ △AFB, substituindo as medidas dos lados nas razões correspondentes, encontramos $\mathsf{ l'_{13} = \frac{2r \sqrt{17}}{17} }$. O erro teórico deste processo fica na ordem de sete milésimos.

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.

• 
  Vamos começar construindo dois diâmetros perpendiculares.
• 
  Temos que o segmento BD = l₄. Construa o arco com centro em D e raio BD, encontrando E ∈ OC.
• 
  O segmento $\mathsf{ OE = l'_{15} = r \sqrt{2} - r }$. O erro deste processo fica na ordem de dois milésimos.

voltar ao topo

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.

• 
  Vamos começar construindo dois diâmetros perpendiculares.
• 
  Agora vamos usar o teorema de Tales para encontrar $\mathsf{ \frac{r}{4} }$.
• 
  O segmento OE mede $\mathsf{ \frac{r}{4} }$.
• 
  Construa a mediatriz de OA.
• 
  Construa a reta paralela a OA que passa por E. A interseção desta paralela com a mediatriz de OA é o ponto F.
• 
  No prolongamento de BF, encontramos G na circunferência e AG = l'₁₉.
• 
  Usando o teorema de Pitágoras, encontramos a medida $\mathsf{ BF = \frac{r \sqrt{37}}{4} }$.
• 
  Como △AGB ~ △FMB, podemos substituir as medidas conhecidas na proporção entre os lados correspondentes. Logo, encontramos o segmento $\mathsf{ l'_{19} = \frac{2r \sqrt{37}}{37} }$. O erro deste processo fica na ordem de quatro milésimos.

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício. O método usado nesta construção é da Homotetia.

• 
  Vamos começar construindo uma circunferência de raio qualquer: por exemplo, r = 5cm.
• 
  Vamos encontrar o lado l'₇ do heptágono inscrito nesta circunferência. Construa o arco de centro A₁ e raio O'A₁.
• 
  A medida AC é o lado do heptágono.
• 
  Construa os arcos com centro em A₁ e raio l'₇.
• 
  A partir de A₁, podemos construir o lado l₇ = 2,5cm. O centro da circunferência circunscrita do heptágono de lado A₁A₂ é encontrado por meio da paralela a O'A'₂ que passa por A₂.
• 
  Construa a nova circunferência, com centro em O.
• 
  Construa o heptágono com lado l₇ = 2,5cm.

📏 📐 Solução do item b

Começando com a circunferência de raio qualquer (por exemplo, r = 5cm), podemos construir o eneágono inscrito nesta circunferência.

Depois, basta ampliar ou reduzir o raio desta circunferência para construir o eneágono de lado com medida de 2,5cm usando Homotetia.

📏 📐 Exercício proposto 5.2: item c

📏 📐 Solução do item d

Começamos com uma circunferência de raio qualquer, por exemplo r = 3,5cm, e construímos o tridecágono inscrito nesta circunferência.

Depois, basta usar homotetia para ampliar ou reduzir o raio da nova circunferência circunscrita, que terá o tridecágono com lado de 2,5cm.

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício. O método usado nesta construção é da Homotetia.

• 
  Vamos começar construindo uma circunferência de raio qualquer: por exemplo, r = 4,5cm.
• 
  A partir de um ponto A'₁ da circunferência, construa dois lados do hexágono circunscrito.
• 
  Podemos escolher A₆ ou A'₂ para construirmos a diagonal d = 5cm. Escolhendo A₆, encontraremos o vértice A₂.
• 
  Usando a Homotetia, temos que △A₆A₂A₁ ~ △A₆A'₂A'₁. Logo, construímos o segmento A₁A₂ // A'₁A'₂.
• 
  O centro da nova circunferência circunscrita é encontrado da mesma maneira: construa o segmento OA₁ // O'A'₁.
• 
  Construa a nova circunferência, com centro em O.
• 
  Construa o hexágono com lado A₁A₂.

📏 📐 Solução

Começando com a circunferência de raio qualquer (por exemplo, r = 4,5cm), podemos construir o heptágono inscrito nesta circunferência.

Depois, basta ampliar ou reduzir o raio desta circunferência para construir o eneágono com diagonal menor com medida de 4,5cm usando Homotetia.

📏 📐 Exercício proposto 5.3

voltar ao topo

📏 📐 Solução

Começando com a circunferência de raio qualquer (por exemplo, r = 5cm), podemos construir o undecágono inscrito nesta circunferência.

Depois, basta ampliar ou reduzir o raio desta circunferência para construir o undecágono com apótema com medida de 4cm usando Homotetia.

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.

• 
  Vamos começar construindo um diâmetro AB da circunferência.
• 
  Construa os arcos com centros em A e B, de raios AB, determinando os pontos C e D.
• 
  Agora dividimos o diâmetro AB no mesmo número de partes que queremos dividir a circunferência: neste exemplo, dividimos em 7 partes iguais usando o teorema de Tales. Podemos nomear os pontos de divisão usando índices numéricos para facilitar as próximas construções.
• 
  Agora podemos unir o ponto C com os pontos nomeados com índices pares ou ímpares (tanto faz). Neste exemplo, vamos unir com os ímpares: nos prolongamentos destes segmentos, encontramos 3 vértices na circunferência. O vértice A₄ fica coincidente com A.
• 
  Agora unimos o ponto D com os mesmos pontos usados com o ponto C: neste caso, os ímpares. Nos prolongamentos destes segmentos, encontramos outros 3 vértices na circunferência.
• 
  Agora basta unir os vértices encontrados do heptágono regular.

voltar ao topo

📏 📐 Solução

Neste exemplo, usamos o método de Rinaldini para construir o eneágono.

Neste caso, unimos os pontos com índices pares e a construção é parecida com a anterior.

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.

• 
  Vamos começar construindo o lado do pentágono regular inscrito na primeira circunferência.
• 
  Encontre os vértices do pentágono regular. Podemos nomear os vértices usando índices numéricos para facilitar nossas construções.
• 
  Vamos usar o número p = 2, ou seja, a partir de um vértice vamos "pular" o vértice consecutivo e unir com o segundo: começando com A₁, vamos uní-lo com A₃, no sentido anti-horário.
• 
  Agora unimos A₃ com A₅.
• 
  Depois, A₅ com A₂.
• 
  Unimos A₂ com A₄.
• 
  E finalizamos chegando no mesmo ponto de partida: A₁. Este é o pentagrama.
• 
  Para construir o heptágono regular estrelado, começamos encontrando o lado l'₇ e os vértices deste polígono.
• 
  Neste caso, podemos fazer p = 2 ou p = 3. Neste exemplo, veja como fica o heptágono estrelado com p = 2.

voltar ao topo

📏 📐 Solução do item a

Construímos o lado do heptágono regular, e os vértices na circunferência de raio 5cm.

Podemos "pular" de 3 em 3 vértices. No exercício da página anterior, fizemos a construção do heptágono regular estrelado de 2 em 2 vértices.

📏 📐 Solução do item b

Construímos o lado do octógono regular, e os vértices na circunferência de raio 5cm.

Podemos "pular" de 3 em 3 vértices. Se pularmos de 2 em 2, não temos a formação de um polígono estrelado.

📏 📐 Solução do item c

Construímos o lado do pentadecágono regular, e os vértices na circunferência com raio 5cm.

Podemos "pular" de 2 em 2 vértices, 4 em 4, 6 em 6 ou 7 em 7. Neste exemplo, usamos p = 7.

📏 📐 Solução do item a

Construímos o lado do pentadecágono regular, e os vértices na circunferência de raio 4,5cm.

Depois, basta unir os pontos, sempre no mesmo sentido, pulando de 4 em 4.

📏 📐 Exercício proposto 5.4: item b

📏 📐 Solução do item c

Construímos o decágono regular na circunferência de raio 4,5cm.

Depois, basta "pular" de 3 em 3 vértices, iniciando de qualquer vértice do decágono regular.

📏 📐 Solução do exercício 1

Construímos o heptágono regular inscrito na circunferência de raio 2cm.

Depois, basta prolongar os lados do heptágono para definir a estrelação com p = 2.

📏 📐 Solução do exercício 2

Construímos o heptágono regular inscrito na circunferência de raio 2cm e a estrelação com p = 2.

Depois, basta prolongar os lados da primeira estrelação do heptágono para definir a estrelação com p = 3.

📏 📐 Solução do exercício 3

Construímos o octógono regular inscrito na circunferência de raio 2,5cm.

Depois, basta prolongar os lados do octógono para definir a estrelação com p = 2.

📏 📐 Exercício proposto 5.5: exercício 4

📏 📐 Solução do exercício 5

Construímos o eneágono regular inscrito na circunferência de raio 3cm.

Depois, basta prolongar os lados do eneágono para definir a estrelação com p = 2.

📏 📐 Solução do exercício 6

Construímos o eneágono regular inscrito na circunferência de raio 3cm e a estrelação com p = 2.

Depois, basta prolongar os lados da primeira estrelação do eneágono para definir a estrelação com p = 3.

voltar ao topo

6.1. Retificação de circunferência

Material da página 90 até a página 95.

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.

• 
  Vamos construir a circunferência de raio 2cm e prolongar seu diâmetro AB = d.
• 
  No prolongamento de AB, construa os segmentos BC = CD = DE = d.
• 
  Vamos usar o teorema de Tales para dividir o último diâmetro construído em 7 partes iguais.
• 
  Unindo os pontos 7 e E, e construindo a reta 1F // 7E, encontramos o segmento correspondente a $\mathsf{ \frac{d}{7} }$. Logo, temos que $\mathsf{ AF = 3d + \frac{d}{7} = \pi'd }$.

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.

• 
  Usando o valor aproximado de π do processo de Arquimedes, temos que $\mathsf{ d = \frac{7 \cdot AB}{22} }$
• 
  Usando o teorema de Tales, vamos dividir o segmento AB em 22 partes iguais. Começamos construindo 11 unidades iguais em uma reta que passa por A.
• 
  Agora, podemos "pegar" a medida A11 e marcá-la a partir do ponto 11 para encontrar o ponto 22.
• 
  Unindo os pontos 22 e B, e construindo a reta 7C // B22, encontramos o segmento correspondente a $\mathsf{ \frac{7 \cdot AB}{22} }$.
• 
  Logo, o segmento AC é o diâmetro da circunferência. Construa a mediatriz de AC para construir a circunferência com perímetro AB.

voltar ao topo

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.

• 
  Neste processo de retificação da circunferência, começamos construindo o diâmetro AB e os pontos C e D da circunferência, tais que AC = BD = r.
• 
  Construa os arcos com centros em A e B, com raio igual a AD, encontrando o ponto E. Vale lembrar que $\mathsf{ AD = r \sqrt{3} }$.
• 
  Construa o arco com centro em C e raio CE, encontrando o ponto F na circunferência. O segmento AF mede aproximadamente $\mathsf{ \frac{\pi r}{2} }$.
• 
  Agora vamos verificar algumas propriedades decorrentes desta construção. A primeira delas é que ∢AFC = 30°, pois o ângulo central ∢AOC mede 60°.
• 
  Construindo o segmento OE ⊥ AB, temos que $\mathsf{ OE = r \sqrt{2} }$, pois, de acordo com o teorema de Pitágoras, $\mathsf{ AE = r \sqrt{3} }$ e $\mathsf{ AO = r }$.
• 
  Se construirmos o segmento CM ⊥ AB, temos que $\mathsf{ CM = \frac{r \sqrt{3}}{2} }$, pois é a altura do △AOC equilátero.
• 
  Portanto, $\mathsf{ GE = r \sqrt{2} - \frac{r \sqrt{3}}{2} }$.
• 
  Usando o teorema de Pitágoras no △CGE, temos que $\mathsf{ CF = r \sqrt{ 3 - \sqrt{6}} }$.
• 
  Finalmente, usando a lei dos cossenos no △ACF, temos que $\mathsf{ AF = \frac{r}{2} (\sqrt{\sqrt{6} + 1} + \sqrt{9-3 \sqrt{6}}) }$. Este processo tem erro da ordem de 8 décimos de milésimos.

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.

• 
  Neste processo de retificação da circunferência, começamos construindo o diâmetro AB e o ∢AOA' = 30°.
• 
  Construa a reta tangente à circunferência pelo ponto A: AC.
• 
  A partir do ponto C, construa os segmentos CD = DE = EF = r. Temos que BF mede aproximadamente πr.
• 
  Como AB = 2r e AF = 3r - rtan30°, usamos o teorema de Pitágoras no △ABF para encontrar o valor aproximado de π neste processo. O erro fica na ordem de 6 décimos de milésimos.

voltar ao topo

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.

• 
  Neste processo de retificação da circunferência, começamos construindo o diâmetro AB e a reta tangente à circunferência pelo ponto A.
• 
  Construa o arco com centro em A e raio AB, encontrando o ponto C na reta tangente.
• 
  Usando o teorema de Tales, vamos dividir o raio AO em 5 partes iguais.
• 
  Construa os segmentos $\mathsf{ CD = \frac{r}{5} }$ e $\mathsf{ DE = \frac{2r}{5} }$ na reta tangente.
• 
  Usando o compasso, construa o segmento AF = OD.
• 
  Agora construa o segmento FG // OE. O segmento AG tem medida aproximada de 2πr.
• 
  Vamos ver algumas propriedades desta construção. Da semelhança dos △AOE e △AFG, temos que $\mathsf{ AG = \frac{AE \cdot AF}{AO} }$.
• 
  Temos também que $\mathsf{ AE = \frac{13r}{5} }$.
• 
  Usando o teorema de Pitágoras no △AOD, encontramos a medida $\mathsf{ OD = \frac{r \sqrt{146}}{5}}$. Logo, temos que $\mathsf{ AG = \frac{13r \sqrt{146}}{25} }$. O erro neste processo é da ordem de 8 décimos de milésimos.

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.

• 
  Neste processo de retificação de arco de circunferência, começamos prolongando o raio OA e construindo a semi-circunferência de centro O e raio OA.
• 
  Usando o teorema de Tales, construa o segmento $\mathsf{ CD = \frac{3r}{4} }$.
• 
  Construa a semi-circunferência de centro C e raio CD.
• 
  Construa a reta AF ⊥ OA e a reta BE. O segmento AF é a retificação do arco AB, que tem amplitude θ.
• 
  Agora vamos ver algumas propriedades desta construção. Se construirmos o segmento BG ⊥ OA, temos que △BGE ~ △FAE, BG = rsen(θ) e OG = rcos(θ).
• 
  Da razão dos lados correspondentes, temos que $\mathsf{ AF = \frac{11r \cdot sen(\theta)}{7+4 \cdot cos(\theta)} }$. O erro deste processo depende do valor do ângulo θ.

voltar ao topo

Quando o ângulo for maior do que 90° e menor do que 180°, podemos retificar a metade; depois, dobramos a medida para termos o arco retificado.
Quando o ângulo for maior do que 180° e menor do que 360°, podemos retificar a quarta parte; depois, quadruplicamos a medida para termos o arco retificado.

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.

• 
  Vamos desretificar o arco, ou seja, vamos obter a medida do ângulo θ. Construa os segmentos OA = r e AF = l.
• 
  Podemos prolongar o raio OA e construir a semi-circunferência de centro O e raio OA.
• 
  Divida o raio OC em 4 partes iguais, para encontrar $\mathsf{ CD = \frac{3r}{4} }$.
• 
  Construa a semi-circunferência de centro C e raio CD.
• 
  Construa o segmento EF: a interseção deste segmento com a semi-circunferência de centro O e raio OA é o ponto B, correspondente à extremidade do arco AB.
• 
  Unindo os pontos O e B, encontramos o ângulo θ.

voltar ao topo

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.

• 
  Construa o arco OAB com raio OA = r e amplitude de 75°. Vamos retificar este arco.
• 
  Podemos prolongar o raio OA e construir a semi-circunferência de centro O e raio OA.
• 
  Divida o raio OC em 4 partes iguais, para encontrar $\mathsf{ CD = \frac{3r}{4} }$. Construa a semi-circunferência de centro C e raio CD.
• 
  Construa a reta EB e AF ⊥ OA. O segmento AF tem a medida aproximada do arco OAB retificado.
• 
  Usando o teorema de Tales, divida o segmento AF em 3 partes iguais, encontrando os pontos F₁ e F₂.
• 
  Unindo o ponto E com F₁ e F₂, encontramos as extremidades correspondentes B₁ e B₂.
• 
  Unindo o ponto O com B₁ e B₂, encontramos o ângulo de 75° dividido em 3 partes iguais.

📏 📐 Solução

A construção é parecida com a que fizemos no item a.

Porém, como o ângulo tem medida maior do que 90°, retificamos apenas a metade. Depois, podemos marcar a outra metade abaixo e o segmento FF' tem a medida do arco de 120° retificado. Neste segmento que podemos fazer a divisão em 3 partes iguais.

📏 📐 Solução

A construção é parecida com a que fizemos no item a do exercício 2.

Porém, a divisão no teorema de Tales é feita em partes proporcionais aos números 2, 3 e 1.

📏 📐 Solução

A construção é parecida com a que fizemos no item b do exercício 2.

Porém, como o ângulo tem medida maior do que 90°, retificamos apenas a metade. Depois, podemos marcar a outra metade abaixo e o segmento FF' tem a medida do arco de 120° retificado. Neste segmento que podemos fazer a divisão em partes proporcionais aos número 2, 3 e 1.

📏 📐 Exercício proposto 6.1

voltar ao topo

📏 📐 Exercício proposto 6.2

📏 📐 Solução

Vamos usar uma escala de 1:10 neste exercício: cada 1cm do desenho equivale a 10cm em escala real. Esta construção tem 3 fases: a primeira serve para encontrar as retas tangentes TT'' e T'T''' usando o processo de Homotetia (ou de dilatação e contração de circunferências). Desta forma, temos os comprimentos dos segmentos com medidas de 58,1cm.

Na segunda fase, retificamos o arco de amplitude β, que deve ser feito por meio de sua bissetriz pois tem medida maior do que 90°. Assim, encontramos o segmento FE. Na terceira fase, refificamos o arco de amplitude α, encontrando o segmento F'E'. O comprimento total mede 266,6cm.

📏 📐 Solução

Vamos usar uma escala de 1:10 neste exercício: cada 1cm do desenho equivale a 10cm em escala real. Esta construção tem 2 fases: a primeira serve para encontrar as retas tangentes às circunferências de centros A, B e C. Como os raios são iguais, os segmentos tangentes têm medida igual ao lado do triângulo equilátero, e são construídos por meio de perpendiculares a estes lados. Desta forma, temos os comprimentos dos segmentos com medidas de 50cm.

Na segunda fase, retificamos um dos arcos de amplitude δ, que deve ser feito por meio de sua bissetriz pois tem medida maior do que 90°. Assim, encontramos o segmento JG. O comprimento total mede 277cm.

voltar ao topo

6.2. Equivalência de áreas

Material da página 96 até a página 105.

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.

• 
  Construa o retângulo de lados AB e BC. Vamos construir um quadrado equivalente a este retângulo. Como as áreas são iguais, temos que $\mathsf{ l^2 = AB \cdot BC }$, ou seja, $\mathsf{ l = \sqrt{AB \cdot BC} }$. Logo, o lado do quadrado é a média geométrica entre os lados do retângulo.
• 
  Podemos prolongar o lado AB e construir o segmento BE = BC.
• 
  Construa a mediatriz de AE.
• 
  Construa o arco capaz de 90° em AE. A interseção do prolongamento de BC com o arco capaz é o ponto F: BF é a média geométrica entre AB e BC.
• 
  Construa o quadrado com lado l = BF.

voltar ao topo

📑 Propriedade

Vamos ver as propriedades para o cálculo da área de um paralelogramo.

• 
  Quando construímos as alturas do paralelogramo relativas e um mesmo lado AB, temos os segmentos AE = BF = h e △ADE = △BCF.
• 
  Logo, as áreas 1 e 2 são iguais. Se "recortássemos" o △ADE e "encaixássemos" no espaço do △BCF, teríamos um retângulo AEFB. Por isso que a área do paralelogramo é igual a AB.h.

📑 Propriedade

Vamos ver as propriedades para o cálculo da área de um triângulo.

• 
  Quando construímos os segmentos CD // AB e BD // AC, temos um paralelogramo ABDC.
• 
  Neste caso, temos que △ABC = △DCB. Logo, as áreas 1 e 2 são iguais, e a área do triângulo será a metade da área de um paralelogramo: $\mathsf{ A_\Delta = \frac{AB \cdot h_c}{2} }$.

📑 Propriedade

Vamos ver a aplicação do princípio fundamental da equivalência de áreas.

• 
  Quando construímos a reta paralela a um dos lados de um triângulo, temos o lugar geométrico dos vértices de triângulos equivalentes. Se escolhermos o vértice C' na reta paralela ao lado AB, temos que A_ABC = A_ABC'.
• 
  Se escolhermos o vértice C'' na reta paralela ao lado AB, temos que A_ABC = A_ABC''.
• 
  Se escolhermos o vértice C''' na reta paralela ao lado AB, temos que A_ABC = A_ABC''', e assim sucessivamente.

voltar ao topo

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.

• 
  Como os lados BC e EF coincidem, vamos construir a reta paralela ao lado BC ≡ EF pelo vértice D: como estamos mantendo a medida da base, vamos manter a medida da altura do △ABC.
• 
  Construa a Circunf(B, AB).
• 
  Na interseção da circunferência com a reta paralela temos o vértice A do △ABC equivalente ao △DEF.

📏 📐 Solução

Neste exercício, mantemos o lado AB ≡ DF: logo, podemos construir a reta paralela ao lado AB que passa pelo vértice E.

Como o △ABC é isósceles de base AB, o vértice C pertence à mediatriz de AB.

📏 📐 Solução

Neste exercício, mantemos o lado AB ≡ DE: logo, podemos construir a reta paralela ao lado AB que passa pelo vértice F.

A distância do vértice C ao ponto médio M_c é igual à medida da mediana m_c.

📏 📐 Solução

Neste exercício, mantemos o lado AB ≡ DE: logo, podemos construir a reta paralela ao lado AB que passa pelo vértice F.

A primeira construção para determinar a altura h_b é do arco capaz de 90° em AB: depois, basta construir a Circunf(B, h_b). A reta AH_b intercecta a reta paralela a AB no vértice C.

voltar ao topo

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.

• 
  Neste exercício, vamos alterar a medida de um lado. Construa o lado BC, fazendo com que uma extremidade coincida com E ou F: neste caso, optei por usar o ponto B ≡ E.
• 
  Como a medida BC > EF, temos o △CFD com área 1, que não deve ser considerada.
• 
  Mantendo-se a base CD e construindo a reta paralela a CD que passa por F, temos o triângulo de área 2, equivalente à área 1. Logo, descartamos os vértices D e F. A área do △D'BC é a mesma do △DEF.
• 
  Agora podemos construir a reta paralela a BC que passa por D'.
• 
  E finalmente podemos construir o ∢C = 60°. A interseção da reta que forma 60° com BC com a reta paralela a BC é o vértice A.

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.

• 
  Neste exercício, vamos alterar a medida de um lado. Construa o lado AB, fazendo com que uma extremidade coincida com D ou E: neste caso, optei por usar o ponto A ≡ D.
• 
  Como a medida AB < EF, temos o △EBF com área 1, que não pode ser descartada.
• 
  Mantendo-se a base BF e construindo a reta paralela a BF que passa por E, temos o triângulo de área 2, equivalente à área 1. Logo, descartamos os vértices F e E. A área do △F'AB é a mesma do △DEF.
• 
  Agora podemos construir a reta paralela a AB que passa por F' e a mediatriz de AB.
• 
  Construa a Circunf(M_c, m_c), encontrando na reta paralela a AB os vértices C e C'.
• 
  Escolha uma das soluções.

📏 📐 Exercício proposto 6.3

voltar ao topo

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.

• 
  Escolhemos um vértice para ficar fixo (por exemplo, D) e um lado como reta suporte fixa (neste caso, escolhi a reta AB). Construa as diagonais do polígono a partir do vértice D.
• 
  Vamos começar com a área 1: vamos construir um triângulo equivalente, tal que o vértice C fique na reta suporte AB.
• 
  Construa a reta paralela a BD que passa pelo vértice C, encontrando C' ∈ AB. Descartamos os vértices C e B.
• 
  A área 3 fica sem alterações.
• 
  As áreas 4 e 5 serão agrupadas.
• 
  Podemos construir o prolongamento de AF e a reta paralela a DF que passa por E. Descartamos os vértices E e F, e a área 5 torna-se a área 6.
• 
  Finalmente, construa a reta paralela a AD que passa por E', para "transportar" a área 4+6. O vértice E'' ∈ AB é considerado e os vértices A e E' são descartados. A solução final fica como o △DE''C'.

📑 Propriedade

Vamos ver a aplicação do princípio fundamental da equivalência de áreas para trapézios.

• 
  Prolongue as bases do trapézio.
• 
  Construa o segmento A'B' = AB na mesma reta suporte de AB. O trapézio A'B'CD é equivalente ao trapézio ABCD (mesmas medidas das bases e mesma altura).
• 
  Construa o segmento C'D' = CD na mesma reta suporte de CD. O trapézio ABC'D' é equivalente ao trapézio ABCD, e assim sucessivamente: basta considerar inalteradas as medidas da altura e das bases.

No caso do losango, temos que uma diagonal divide-o em dois triângulos isósceles. Logo, a área de um destes triângulos fica igual a d₁.d₂/4. Podemos concluir que a área do losango será igual à metade do produto das medidas das diagonais: d₁.d₂/2.
No polígono regular de n lados, temos n triângulos isósceles de base igual a l_n e altura igual ao apótema a. Somando-se todas estas áreas, teremos n.l_n, que é o semi-perímetro. Logo, a área de um polígono regular de n lados é o produto do semi-perímetro pelo apótema.

voltar ao topo

📑 Propriedade

Vamos ver os cálculos de áreas de círculos e coroas circulares.

• 
  Podemos imaginar um polígono de n lados inscrito na circunferência, com seu respectivo apótema: a área é o produto do semi-perímetro pelo apótema.
• 
  Se imaginarmos que o número de vértices aumenta, o apótema começa a se aproximar da medida do raio do círculo, e o lado do polígono se aproxima de 0. Logo, o polígono se transforma no círculo e o apótema fica com medida igual ao raio do círculo.
• 
  Portanto, a área do círculo será o o produto do semi-perímetro πr pelo "apótema" r, ou seja, A = πr.r = πr².
• 
  No caso da coroa circular, temos que a área será obtida pela diferença das áreas dos círculos de raios r₁ e r₂.

📑 Propriedade

Vamos ver os cálculos de áreas de círculos e coroas circulares.

• 
  Podemos fazer uma regra de três para encontrar a área de um setor circular de amplitude α
• 
  No caso do triângulo equilátero, calculamos a medida da altura usando o teorema de Pitágoras.
• 
  Depois, basta usar a fórmula da área de um triângulo com medida a e a altura calculada h.

📏 📐 Exercício proposto 6.4

voltar ao topo

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.

• 
  Escolhemos um vértice para ficar fixo (por exemplo, A) e um lado como reta suporte fixa (neste caso, escolhi a reta DE). Construa as diagonais do polígono a partir do vértice A.
• 
  Vamos começar com a área 1: vamos construir um triângulo equivalente, tal que o vértice F fique na reta suporte DE.
• 
  Construa a reta paralela a AE que passa pelo vértice F, encontrando F' ∈ DE. Descartamos os vértices E e F.
• 
  A área 3 fica sem alterações.
• 
  As áreas 4 e 5 serão combinadas. Note que a área 5 precisa ser descartada.
• 
  Construa a reta paralela a AC que passa por B. Descartamos os vértices B e C.
• 
  Finalmente, construa a reta paralela a AD que passa por B', para "transportar" a área 4-6. O vértice B'' ∈ DE é considerado e os vértices B' e D são descartados. A solução final fica como o △AB''F'.

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.

• 
  Construa os quadrados de lados l₁ e l₂.
• 
  O lado do quadrado equivalente à soma das áreas destes quadrados é encontrado usando o teorema de Pitágoras.
• 
  O lado L é a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos l₁ e l₂.
• 
  Construa o quadrado de lado L.

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.

• 
  Construa os círculos de raios r₁, r₂ e r₃.
• 
  O raio do círculo equivalente à soma das áreas destes círculos é encontrado usando o teorema de Pitágoras.
• 
  Primeiro, encontramos o raio R₁, hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos r₁ e r₂.
• 
  O raio R é a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos R₁ e r₃. Construa o círculo com raio R.

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.

• 
  Primeiro vamos construir o pentágono de lado l. Começamos com uma circunferência de raio qualquer e dois diâmetros perpendiculares. Encontre o ponto médio de um dos raios.
• 
  Com centro em M e raio MA₁, determinamos o lado l'₅ do pentágono inscrito nesta circunferência.
• 
  Encontre os vértices A'₂ e A'₅. Vamos ampliar este pentágono para encontrar o pentágono com lado l = 3,5cm usando Homotetia.
• 
  Construa A₁A₂ = A₁A₅ = l, e encontre o novo centro da circunferência circunscrita: construa o segmento OA₅ // O'A'₅.
• 
  Agora podemos encontrar a medida do apótema deste pentágono: basta construir a reta perpendicular a um dos lados que passa pelo centro O.
• 
  O lado do quadrado equivalente será a média geométrica entre o apótema e o semi-perímetro do pentágono: construa o segmento AB com o semi-perímetro do pentágono.
• 
  Construa o apótema a = AC. A média geométrica é o cateto L, lado do quadrado equivalente ao pentágono. Construa este quadrado com lado de medida L.

📏 📐 Solução

O raio R do círculo equivalente à área da coroa circular é encontrado usando o teorema de Pitágoras.

A medida R é um cateto do triângulo retângulo com hipotenusa r₁ e o outro cateto com medida r₂.

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.

• 
  O lado do quadrado equivalente ao círculo é a média geométrica entre πr e r.
• 
  Vamos usar um dos métodos para encontrar a retificação da circunferência: eu optei pelo método de Mascheroni. Construa os arcos com centros em A e B e raio r.
• 
  Construa os arcos com centros em A e B e raio AC = BD, encontrando E.
• 
  Construa o arco com centro em D e raio DE, encontrando F. A distância AF é a metade do semi-perímetro do círculo.
• 
  Construa em uma reta qualquer o dobro da medida AF: o segmento GI = πr.
• 
  Construa GJ = r. Vamos construir agora a média geométrica.
• 
  Construa o arco capaz de 90° (o centro já é o ponto H) e o segmento perpendicular a GI que passa por J. O cateto L é o lado do quadrado equivalente ao círculo de raio r. Construa o quadrado com lado de medida L.

📏 📐 Exercício proposto 6.5

📏 📐 Solução

O lado do triângulo equilátero será a média geométrica entre $\mathsf{ \frac{4}{3}l }$ e $\mathsf{ l \sqrt{3} }$. Encontramos $\mathsf{ \frac{4}{3}l }$ usando o teorema de Tales.

O segmento $\mathsf{ l \sqrt{3} }$ é construído usando o teorema de Pitágoras.

📏 📐 Solução

O lado l₁ do retângulo pode ser encontrado com a construção de quarta proporcional dos segmentos πr, l₂ = 7cm e r.

O segmento πr pode ser encontrado com qualquer método de retificação de circunferências. Eu optei pelo método de Kochanski. Construa o retângulo de lados l₁ e l₂.

📏 📐 Solução

O raio R do círculo equivalente ao setor circular de amplitude α e raio r será a média geométrica entre αr e $\mathsf{ x = \frac{r}{2\pi} }$. Encontramos o segmento 2π usando o o processo de Arquimedes.

O segmento x pode ser encontrado usando quarta proporcional entre 2π, r e 1cm. O segmento αr é encontrado retificando o setor circular de amplitude α e raio r. Finalmente, podemos fazer a média geométrica entre x e αr.

📏 📐 Solução

O lado L do quadrado equivalente ao setor circular de amplitude α e raio r será a média geométrica entre αr e $\mathsf{ \frac{r}{2} }$.

O segmento αr é encontrado retificando o setor circular de amplitude α e raio r. A média geométrica entre $\mathsf{ \frac{r}{2} }$ e αr resulta no lado do quadrado equivalente.

voltar ao topo

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.

• 
  O raio do círculo que divide a área do círculo de raio r em $\mathsf{ \frac{1}{3} }$ é a média geométrica entre $\mathsf{ \frac{r}{3} }$ e r. Na razão de $\mathsf{ \frac{2}{3} }$ da área, temos a média geométrica entre $\mathsf{ \frac{2r}{3} }$ e r.
• 
  Usando o teorema de Tales, divida o raio r em 3 partes iguais.
• 
  Construa o arco capaz de 90° em r.
• 
  Os segmentos r₁ e r₂ são os raios que dividem a área do círculo de raio r em 3 partes equivalentes.
• 
  Construa os círculos.

📏 📐 Solução

Neste caso, devemos dividir o raio r em partes proporcionais aos números dados.

Construa os círculos de áreas proporcionais aos números dados.

voltar ao topo

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.

• 
  Vamos imaginar que o △AB₁C₁ esteja construído. Neste caso, temos que a área deste triângulo mede $\mathsf{ \frac{1}{3} }$ da área do △ABC.
• 
  Como são triângulos semelhantes, podemos determinar a medida da altura h₁ em função da altura h e dos lados AC₁ e AC.
• 
  Substituindo a medida h₁ na relação entre as áreas, temos a relação mostrada no desenho.
• 
  Isolando-se a medida AC₁, temos que construir a média geométrica entre AC e $\mathsf{ \frac{AC}{3} }$. Analogamente, para encontrar a divisão em $\mathsf{ \frac{2}{3} }$, faremos a média geométrica entre AC e $\mathsf{ \frac{2AC}{3} }$.
• 
  Usando o teorema de Tales, divida o lado AC em 3 partes iguais.
• 
  Construa o arco capaz de 90° em AC.
• 
  Construa os segmentos perpendiculares a AC: X₁Y₁ e X₂Y₂.
• 
  Construa os arcos de circunferência com centro em A e raios AY₁ e AY₂, encontrando os vértices C₁ e C₂.
• 
  Construa os lados paralelos a AC que passam por C₁ e C₂.

📏 📐 Exercício proposto 6.6

📏 📐 Resolução

Utilizaremos a régua, os esquadros e o compasso como instrumentos auxiliares neste exercício.

• 
  Podemos prolongar as laterais do trapézio, encontrando o vértice E. Logo, a construção ficará parecida com o caso de triângulos.
• 
  Construa o arco capaz de 90° em EC.
• 
  A primeira construção que faremos antes de usar o teorema de Tales é "voltar" o ponto B, ou seja, vamos determinar o ponto correspondente X₀ em CE que originou o ponto B: neste caso, o vértice B é considerado como uma divisão do △ECD.
• 
  Podemos dividir o segmentoCX₀ em 3 partes iguais usando o teorema de Tales.
• 
  Construa os segmentos X₁Y₁ e X₂Y₂ perpendiculares a EC.
• 
  Construa os arcos de circunferência com centro em E e raios EY₁ e EY₂, encontrando os vértices C₁ e C₂.
• 
  Construa os lados paralelos a CD que passam por C₁ e C₂.

voltar ao topo

📏 📐 Solução

O lado BC fica comum, então as alturas dos triângulos têm mesma medida.

Logo, podemos dividir o lado BC em 4 partes iguais, e os triângulos equivalentes ficam definidos com estes 3 pontos de divisão unidos ao ponto A.

📏 📐 Solução

Se encontrarmos o baricentro do triângulo, temos as razões de $\mathsf{ \frac{1}{3} }$ com os pontos médios dos lados.

Temos esta mesma razão entre as alturas correspondentes. Logo, os 3 triângulos com vértice coincidente com o baricentro, mantendo-se os lados AB, BC e AC são equivalentes.

voltar ao topo

página desenvolvida por:

Paulo Henrique Siqueira

contato: paulohscwb@gmail.com

O desenvolvimento deste material de construções geométricas faz parte do Grupo de Estudos em Expressão Gráfica (GEEGRAF) da Universidade Federal do Paraná (UFPR)

Desenho Geométrico de Paulo Henrique Siqueira está licenciado com uma Licença Creative Commons Atribuição-NãoComercial-SemDerivações 4.0 Internacional.

Como citar este trabalho:

Siqueira, P.H., "Desenho Geométrico". Disponível em: <https://paulohscwb.github.io/desenho-geometrico/>, Setembro de 2020.

Referências:

1. Carvalho, B.A. Desenho Geométrico. Imperial Novo Milênio, 2008.
2. Rezende, E.Q.F.; Queiroz, M.L.B. Geometria Euclidiana plana e construções geométricas. Editora da Unicamp, 2008.
3. Marmo, C.M.B. Curso de Desenho, vol. 1 a 4. Editora Moderna, 1967.
4. Braga, T.B. Desenho Linear Geométrico. Editora Cone, 1997.
5. Braga, T.B. Problemas de Desenho Linear Geométrico. Cultura Brasileira, 1962.
6. Candido Gomes, M.E. Desenho Geométrico. Editora I.T.E.C., 1950.
7. Giovanny, J.R. Desenho Geométrico, vol.4. Editora FTD, 1996.
8. Putnoki, J.C. Elementos de Geometria e Desenho Geométrico. v. 1-3. Scipione, 1993.
9. Costa, D.M.B.; Siqueira, P.H. Apostila de Desenho Geométrico. UFPR, 2020.