Construções Geométricas

Esta página contém definições, propriedades e os procedimentos para as construções geométricas usadas na disciplina de Desenho Geométrico II.

A apostila está disponível no link: apostila de Desenho Geométrico 2

Uso dos materiais básicos de Desenho

Veja o passo a passo das construções básicas mostradas no vídeo:

📏 📐 Resolução

Vamos utilizar a régua e o compasso para resolver este exercício. Clique nos botões do passo a passo para fazer a construção na sua apostila.

• 
  Com a ponta seca em A, desenhe um arco com raio maior do que a metade de AB.
• 
  Com a ponta seca em B, desenhe um arco com o mesmo raio usado no passo anterior.
• 
  Os pontos de interseção dos arcos são P e Q.
• 
  Desenhe a reta que passa pelos pontos de interseção dos arcos.
• 
  Pronto! A mediatriz do segmento AB está construída. Note que a figura PAQB é um losango e, portanto, suas diagonais são perpendiculares e se encontram no ponto médio das mesmas.

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📏 📐 Resolução com esquadros

Podemos utilizar a régua e um dos esquadros ou a régua e o compasso para resolver este exercício. Primeiro, veja como é a construção com a régua e o esquadro de 45°.

• 
  Alinhe um dos catetos do esquadro com a reta r.
• 
  Coloque a régua como apoio na hipotenusa do esquadro. A régua ficará fixa.
• 
  Deslize o esquadro até chegar na posição do ponto P. Lembre-se de não mover a régua.
• 
  Desenhe a reta que passa pelo ponto P com o cateto do esquadro.
• 
  Pronto! A reta paralela s // r está construída.

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📏 📐 Resolução com esquadros

Vamos utilizar a régua e um dos esquadros para resolver este exercício. Clique nos botões do passo a passo para fazer a construção na sua apostila.

• 
  Alinhe um dos catetos do esquadro com a reta r.
• 
  Coloque a régua como apoio na hipotenusa do esquadro. A régua ficará fixa.
• 
  Deslize o esquadro até o cateto vertical chegar na posição do ponto P. Lembre-se de não mover a régua.
• 
  Desenhe a reta que passa pelo ponto P.
• 
  Pronto! A reta perpendicular p está construída.
• 
  Alinhe um dos catetos do esquadro com a reta r.
• 
  Coloque a régua como apoio na hipotenusa do esquadro. A régua ficará fixa.
• 
  Deslize o esquadro até o cateto vertical chegar na posição do ponto P. Lembre-se de não mover a régua.
• 
  Desenhe a reta que passa pelo ponto P.
• 
  Pronto! A reta perpendicular p está construída.

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📏 📐 Resolução

Vamos utilizar a régua e o compasso para resolver este exercício. Clique nos botões do passo a passo para fazer a construção na sua apostila.

• 
  Com a ponta seca no vértice O do ângulo desenhe um arco obtendo os pontos P e Q, cada um em um lado do ângulo.
• 
  Com a ponta seca no ponto P desenhe um arco.
• 
  Com a ponta seca em Q desenhe um arco com o mesmo raio do passo anterior, obtendo o ponto R.
• 
  Desenhe a reta OR que é a bissetriz do ângulo dado.
• 
  Note que construímos dois triângulos: um verde e outro laranja.
• 
  Esses triângulos são congruentes (iguais) e por isso os ângulos α e β são também congruentes.

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1. Simetria Axial, Arcos e Ovais

Material da página 1 até a página 11.

📑 Propriedades

Dados os pontos A, B e C, os simétricos destes pontos são obtidos da seguinte maneira:

• 
  Construímos as retas perpendiculares ao eixo e que passam pelos pontos A, B e C.
• 
  Depois, basta definir os homólogos A', B' e C' pertencentes às respectivas perpendiculares e equidistantes ao eixo, ou seja, AM_A = A'M_A, BM_B = B'M_B e CM_C = C'M_C.

📏 📐 Resolução

Em um triângulo, a bissetriz de um ângulo serve como eixo de simetria para os pontos dos lados adjacentes a este ângulo.

• 
  A reta r é um eixo de simetria dos pontos P e P'. Logo, podemos construir uma reta perpendicular a r que passa por P.
• 
  Alinhando um catedo do esquadro de 45° com a reta r e deixando o outro esquadro ou a régua como apoio na hipotenusa, podemos deslizar o esquadro de 45° para construir com o outro cateto a reta perpendicular a r.
• 
  Depois, basta construir com o compasso os segmentos congruentes das distâncias de P...
• 
  ... e de P' à reta r.
• 
  Unindo os pontos A e P', encontramos B na interseção com a reta r.
• 
  Como o triângulo isósceles tem base BC, temos que AB = AC. Usando o compasso com a ponta seca em A e raio AB...
• 
  ... encontramos o vértice C na reta suporte BP.

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📏 📐 Resolução

Em um triângulo, a bissetriz de um ângulo serve como eixo de simetria para os pontos dos lados adjacentes a este ângulo.

• 
  A reta s é um eixo de simetria dos pontos P e P' que pertencem aos lados AB e AC.
• 
  A reta s é também um eixo de simetria dos pontos Q e Q' que pertencem aos lados AC e AB.
• 
  Determinando as retas PQ' e P'Q, encontramos os vértices do triângulo nas retas r e s.

📏 📐 Resolução

Em um triângulo, a bissetriz de um ângulo serve como eixo de simetria para os pontos dos lados adjacentes a este ângulo.

• 
  A reta r é um eixo de simetria dos pontos P e P' que pertencem aos lados AB e BC. Se construirmos um arco de circunferência com centro em um ponto B₁ sobre r, que passe por P...
• 
  ... e outro arco com centro em um ponto B₂ sobre r, que passe por P, encontramos P' simétrico de P em relação a r (pois os triângulos △PB₁B₂ e △P'B₁B₂ são congruentes).
• 
  Construindo da mesma forma, o arco de circunferência com centro em um ponto qualquer A₁ de s e raio QA₁...
• 
  ... e o arco de centro em A₂ de s com raio QA₂ encontramos o simétrico de Q em relação a s.
• 
  A reta PQ' determina os vértices A e B nas retas r e s.
• 
  As retas AQ e BP' determinam o vértice C.

📏 📐 Exercício proposto 1.1

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📏 📐 Resolução

Em um triângulo isósceles, a mediatriz da base serve como eixo de simetria para os pontos das laterais deste triângulo.

• 
  A reta r é um eixo de simetria dos pontos P e P' que pertencem aos lados AB e AC. Construa o simétrico de P em relação à reta r.
• 
  A reta r é também um eixo de simetria dos pontos Q e Q' que pertencem aos lados AC e AB. Construa o simétrico de Q em relação à reta r.
• 
  Vamos encontrar a metade da medida da base construindo a mediatriz de BC.
• 
  Escolhendo um ponto qualquer R da reta r, construa os segmentos RB' e RC' perpendiculares a r com medidas iguais a $\mathsf{BC \over 2}$.
• 
  Os pontos B e C pertencem às retas AQ' e AP'.
• 
  Outro lugar geométrico dos pontos B e C é o par de retas paralelas à reta r que passam por B' e C'.

📏 📐 Resolução

Neste problema, vamos usar o conceito da menor distância entre dois pontos de um plano.

• 
  Quando A e B estão em semi-planos opostos em relação à reta r, basta encontrar a menor distância entre A e B definida pelo segmento de reta AB.
• 
  Usando o conceito anterior, se construirmos o simétrico de um dos pontos (B) em relação à reta r, a menor distância entre o outro ponto (A) e o simétrico encontrado (B') será o segmento de reta (AB').
• 
  Logo, temos que BX = B'X, e a trajetória mínima será AX + XB.

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📏 📐 Resolução

Neste problema, vamos usar o conceito dos ângulos de incidência e reflexão nas tabelas da mesa de bilhar.

• 
  Se construirmos o simétrico de Q em relação à ultima tabela BC, teremos o ângulo de incidência igual ao ângulo de reflexão nesta tabela.
• 
  Usando o mesmo raciocínio, se construirmos o simétrico de Q' em relação à primeira tabela AB, teremos o ângulo de incidência igual ao ângulo de reflexão nesta tabela.
• 
  Unindo os pontos P e Q'', temos o ponto X₁ da trajetória que a bola fará ao sair da posição P com tabela AB.
• 
  Unindo os pontos X₁ e Q' temos o ponto X₂ da trajetória que a bola fará ao sair da posição X₁ com tabela BC. Como o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão de cada tabela, a bola que estava na posição P atinge a bola que está na posição Q depois de fazer as tabelas AB e BC solicitadas.

📏 📐 Exercício proposto 1.2

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📏 📐 Solução

Usando o conceito de distância mínima entre dois pontos, podemos encontrar os simétricos dos vértices A e B em relação aos lados do ângulo.

Desta forma, temos que as distâncias BD e AC são mínimas. Logo, o quadrilátero ABCD tem perímetro mínimo.

📏 📐 Solução

Usando o conceito de distância mínima entre dois pontos, podemos encontrar os simétricos do vértice A em relação aos lados do ângulo.

Desta forma, temos que as distâncias AB e AC são mínimas. Logo, o triângulo ABC tem perímetro mínimo.

📏 📐 Solução

Usando o conceito de ângulos de incidência e reflexão, podemos encontrar os simétricos do foco F e do objeto O em relação aos espelhos planos r e s.

Desta forma, temos que a trajetória da fonte de luz saindo de F, atingindo o espelho r em X₂, depois atingindo o espelho s em X₁ para finalmente atingir o objeto em O.

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📑 Propriedades

Considere o arco de ferradura mostrado nesta página. Vamos analisar quais são os elementos de um arco arquitetônico.

• 
  Os pontos A e B definem o começo do arco e são chamados de pontos de nascença.
• 
  A distância entre os pontos de nascença AB é chamada de vão ou abertura do arco. O segmento AB pode ser considerado também como a base do arco.
• 
  A distância entre o ponto mais alto do arco e a base é chamada de flecha do arco.
• 
  As semi-retas perpendiculares ao vão, que geralmente passam pelas extremidades deste segmento, são chamadas de suportes do arco. São as semi-retas que sustentam o arco arquitetônico.

📏 📐 Resolução: 1ª parte

O arco pleno tem o centro na metade do vão.

• 
  Vamos construir a mediatriz do vão AB. Usando um arco de abertura maior do que a metade do vão, com centro em A...
• 
  ... e outro arco de mesmo raio com centro em B...
• 
  ... definimos a med_AB e o centro C do arco pleno.
• 
  Alinhando um cateto de um dos esquadros com o vão e apoiando a hipotenusa com outro esquadro ou com a régua, podemos deslizar o esquadro alinhado...
• 
  ... até passar pela extremidade B do vão, definindo um dos suportes. Construindo o arco de centro em C e raio CA = CB, temos o arco pleno...
• 
  .. e deslizando o esquadro até passar pela extremidade A do vão, encontramos o outro suporte do arco.
• 
  Este é o arco pleno, um dos mais simples de construir.

📏 📐 Resolução: 2ª parte

Agora vamos construir o arco abatido, com o uso de 3 centros. A flecha está definida pelo segmento CD, que contém o ponto mais alto deste arco.

• 
  Com o compasso, vamos usar a medida da flecha CD.
• 
  Construa a semi-circunferência com centro em C e raio igual à flecha CD, determinando no vão os pontos E e F.
• 
  Com o compasso, construa os segmentos DG = AE = BF e DH = AE = BF nos segmentos AD e BD.
• 
  Encontre as mediatrizes dos segmentos AG e BH e o ponto de interseção I destas mediatrizes: este é um dos centros do arco abatido.
• 
  Com centro em I e raio ID a primeira parte do arco que começa na mediatriz de AG e termina na mediatriz de BH.
• 
  Os outros centros são K e J: as outras partes do arco abatido têm raios AJ e BK. Para finalizar o arco, alinhamos um dos esquadros para construir as semi-retas perpendiculares ao vão AB...
• 
  ... que passam por B...
• 
  ... e pelo ponto A.
• 
  Este é um arco abatido com 3 centros: I, J e K.

📏 📐 Exercício proposto 1.3

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📏 📐 Solução

Quando a medida da flecha não for considerada, podemos definir a mediatriz do vão AB como eixo de simetria e escolher um centro E qualquer da mediatriz.

Definindo o centro D qualquer sobre o vão, temos o terceiro centro D' simétrico de D em relação à mediatriz. As retas ED e ED' são usadas como limites para os três arcos que formam o arco abatido.

📏 📐 Resolução

Vamos começar construindo os centros do arco maior com um retângulo de lados iguais ao vão AB e a flecha CD.

• 
  Alinhe a hipotenusa de um dos esquadros com o vão AB, deixando um cateto apoiado com o outro esquadro ou com a régua.
• 
  Deslize o esquadro alinhado, construindo a reta paralela ao vão que passa por D.
• 
  Construa da mesma forma as paralelas à flecha CD que passam pelas extremidades do vão A e B. Temos o retângulo AEFB.
• 
  Construa as bissetrizes dos ângulos DÂE e ADE, definindo o incentro G do △ADE.
• 
  A reta HG ⊥ AD define os centros I e H do arco abatido maior.
• 
  Construa os segmentos sobre o vão do arco: CJ = AI = CK = BL. Note que os pontos I e L são simétricos em relação à flecha CD. O mesmo acontece com os pontos J e K.
• 
  Os centros I e L definem as duas partes simétricas do arco maior até as retas HG e HL.
• 
  A parte mais alta do arco maior tem centro em H e raio HD.
• 
  A reta GM serve como limite dos arcos menores. Logo, podemos construir os arcos com centros em J e K e raios iguais a CJ até intersectar a reta GM.
• 
  Agora precisamos encontrar os centros dos arcos abatidos menores. As retas NJ e OK intersectam as retas HG e HL nos centros P e Q.
• 
  Construindo os arcos de centros P e Q e os suportes, temos o arco abatido conjugado em dois arcos abatidos menores.

📏 📐 Resolução

Vamos construir o arco ogival de duas formas: considerando a flecha com tamanho fixo e com a flecha dependente da medida do vão AB.

• 
  Neste primeiro caso, vamos considerar a flecha com a medida que depende da medida do vão AB. Construa o arco de circunferência com a medida do raio igual a AB.
• 
  Fazendo o mesmo no ponto B, temos um arco ogival.
• 
  Considerando a medida fixa da flecha CD, vamos encontrar o centro do arco que passa por B e D usando a mediatriz de BD. O ponto E pertencente ao prolongamento do vão é o centro do primeiro arco.
• 
  O ponto F, centro do segundo arco, está na interseção da mediatriz de AD com o prolongamento do vão AB.
• 
  Construa o primeiro arco, com centro em E e raio com medida EB.
• 
  O segundo arco tem centro F e raio com medida AF.

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📏 📐 Resolução

Vamos construir um arco ogival com a flecha com tamanho menor do que o vão e um arco gótico.

• 
  A construção fica parecida com o exercício anterior, porém, os centros E e F ficam entre as extremidades do vão.
• 
  Para construir o arco gótico, começamos com a mediatriz do vão AB.
• 
  A metade do vão é usada para encontrar CD na mediatriz de AB.
• 
  Uma parte do arco gótico tem centro em A, raio AB, começando em B até o prolongamento da semi-reta AD.
• 
  O arco simétrico, com centro em B e raio com medida AB começa em A e vai até o prolongamento de BD.
• 
  Determine os segmentos EG = AD no prolongamento de AD...
• 
  ... e HF = AD no prolongamento de BF.
• 
  Os arcos com centros em H e G e raios iguais a EG = HF determinam o ponto mais alto do arco gótico.

📏 📐 Resolução

Vamos construir os arcos gótico flamejante e otomano.

• 
  No arco gótico flamejante, começamos dividindo o vão AB em 4 partes iguais usando o teorema de Tales.
• 
  Encontre os pontos C e D correspondentes a $\mathsf{ {1 \over 4}}$ e $\mathsf{ {3 \over 4}}$ do vão.
• 
  Construa as semi-retas perpendiculares ao vão que passam por C e D.
• 
  Uma parte do arco gótico flamejante tem centro em C, raio AC e amplitude de 90°. O arco simétrico tem centro em D e raio BD.
• 
  Determine os pontos G e H nos prolongamentos de CF e de DE, tais que FG = CF = ED = HE.
• 
  Os arcos com centros em H e G e raios iguais a FG = HE determinam o ponto mais alto do árco gótico flamejante.
• 
  Para começar o arco otomando, vamos dividir o vão AB em 8 partes iguais usando o teorema de Tales.
• 
  Determine os pontos C e D correspondentes a $\mathsf{ {3 \over 8}}$ e $\mathsf{ {5 \over 8}}$ do vão.
• 
  Construa o △ACE equilátero: uma parte do arco otomano tem centro em C, raio igual a CA e amplitude de 60°.
• 
  O arco simétrico tem centro em D e raio DB. Construa os segmentos EC e DF.
• 
  O ponto mais alto do arco otomano é determinado pelos segmentos tangentes aos arcos construídos nos pontos E e F.

📏 📐 Resolução

Vamos construir os arcos ogivais de ferradura com ângulos centrais de 30° e 45°.

• 
  Começamos dividindo o vão na metade com a mediatriz de AB.
• 
  Posicione o esquadro de 60° com o cateto maior alinhado com o vão.
• 
  Deslize o esquadro de 60° com o outro esquadro apoiado no cateto menor até o ponto C. Logo, temos o ângulo central construído com medida de 30°.
• 
  Faça o mesmo do outro lado para construirmos os arcos simétricos em relação à mediatriz do vão com centro em C, raios AC = BC e amplitude de 30°.
• 
  Determine o ponto D na mediatriz tal que CD = AC.
• 
  O arco ogival de ferradura tem o terceiro arco com centro em D e raio DA' = DB'.
• 
  A construção do arco ogival de ferradura com ângulo central de 45° é feita da mesma forma apresentada com 30°.

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📏 📐 Resolução

Vamos construir os arcos assimétricos denominados esconsos.

• 
  Começamos encontrando o ponto D no prolongamento de AC, tal que CD = BC.
• 
  Encontre a mediatriz de AD.
• 
  O primeiro arco tem centro em E, raio AE e amplitude de 90°.
• 
  O centro do segundo arco está na mediatriz de AD, tal que BG // AC e o raio mede BG.
• 
  O arco esconso com a medida BC menor do que $\mathsf{ {AC \over 3}}$ pode ser feita de maneira similar.

📏 📐 Resolução

Vamos construir os arcos Tudor e Mourisco.

• 
  Começamos dividindo o vão AB em 3 partes iguais usando o teorema de Tales.
• 
  Encontre a mediatriz do vão AB.
• 
  Encontre o ponto F na mediatriz do vão, tal que EF = EC = ED.
• 
  Construa o quadrado de lado CD.
• 
  As semi-retas HC e GF serão usadas para delimitar o arco Tudor.
• 
  Construa os arcos simétricos em relação à mediatriz do vão: centros em C e D, raios iguais a AC = BD.
• 
  Com centros em H e G e raio HI = GJ, construa os arcos que determinam o ponto mais alto do arco Tudor.
• 
  No arco Mourisco, determine os arcos com centros em A e B e raios iguais a AB. Assim encontramos o ponto mais alto deste arco arquitetônico.
• 
  Determine os segmentos perpendiculares AC e AD. Construa um segmento DE com medida qualquer no prolongamento de AD.
• 
  Para finalizar o arco Mourisco, determine o segmento FG simétrico de DE em relação à mediatriz do vão AB.

📏 📐 Resolução

Vamos construir os arcos geminado e trilobado.

• 
  Começamos dividindo o vão AB na metade. A mediatriz funciona como eixo de simetria deste arco.
• 
  Podemos começar com o centro C, raio CA, com arco começando em A até o segmento CD.
• 
  O próximo arco tem centro D, começa no segmento CD e termina no próximo segmento ED.
• 
  Para finalizar a parte esquerda do arco geminado, construa o arco com centro E, que começa em ED e termina na mediatriz do vão.
• 
  Determine os centros simétricos em relação à mediatriz do vão: C', D' e E'.
• 
  Construa os arcos simétricos em relação à mediatriz da mesma forma mostrada nos arcos da parte esquerda deste arco.
• 
  O arco trilobado é parecido com o ogival de ferradura. Porém os centros C, D e E são de arcos com raios iguais. Note que o ponto E deve estar na mediatriz do vão para que este arco tenha simetria em relação a esta reta.
• 
  Construa os arcos com centros em C, D e E e raios iguais a AC.

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📏 📐 Resolução

Vamos construir os arcos parabólico e bulbiforme.

• 
  No arco parabólico, podemos dividir os segmentos AB e CD em um número qualquer de partes iguais.
• 
  Usando o teorema de Tales, divida AB e CD em 4 partes iguais.
• 
  Determine os segmentos AB₃, A₁B₂, A₂B₁ e A₃B.
• 
  Os pontos do arco parabólico são as extremidades A e B e os pontos de interseção: P₁ = AB₃ ∩ A₁B₂, P₂ = A₂B₁ ∩ A₁B₂ e P₃ = A₂B₁ ∩ A₃B.
• 
  No arco bulbiforme, determine o ponto E ∈ CD tal que CE = AC = BC.
• 
  Construa a reta FG // AB e os segmentos DF = DG = AE.
• 
  A mediatriz de EF determina o ponto G' que é o centro de um dos arcos.
• 
  Determine o ponto F' simétrico de G' em relação ao segmento CD. Construa o arco com centro em E e raio AE.
• 
  Os segmentos EF' e EG' determinam os pontos de tangência no arco de centro E.
• 
  Com centros em F' e G', construa os arcos tangentes ao arco de centro em E.

📑 Propriedades

Vamos acompanhar algumas definições de elementos das curvas chamadas ovais ou falsas elipses.

• 
  As ovais possuem sempre eixos com duas medidas: o eixo maior e o eixo menor. As ovais regulares têm os dois eixos de simetria.
• 
  As ovais irregulares têm apenas um eixo de simetria. Assim como fizemos nos arcos arquitetônicos, os arcos de concordância são utilizados para construções das falsas elipses.

📏 📐 Resolução

Vamos construir ovais irregulares. Nestes casos, temos apenas um eixo de simetria nestas curvas.

• 
  A mediatriz do eixo menor será o eixo de simetria da oval irregular de 4 centros.
• 
  Encontre o ponto D pertencente à mediatriz tal que CD = AC = BC.
• 
  O ponto médio de AB é o primeiro centro desta oval. As semi-retas AD e BD serão limites dos outros arcos desta curva.
• 
  Construa os arcos com centros em A e B e raios iguais a AB até as semi-retas limites.
• 
  O quarto centro desta oval é o ponto D, que define o arco de raio com medida DE = DF.
• 
  Na oval alongada, o segmento CD está contido na mediatriz e tem medida maior do que a metade de AB. O primeiro arco tem centro em C e raio de medida AC = BC.
• 
  Encontre o ponto médio de BC...
• 
  ... e determine os pontos F e F' nos prolongamentos de AB tais que BF = AF' = BE = EC. Encontre também o ponto G ∈ CD tal que CG = EC = BE. As semi-retas FG e F'G serão limites de dois arcos da curva.
• 
  Construa os arcos com centros F' e F e raios com medidas iguais a F'B = FA.
• 
  As semi-retas JD e J'D serão limites de dois arcos da curva.
• 
  Construa os arcos com centros J' e J e raios com medidas iguais a J'H = JI.
• 
  Para finalizar, basta construir o arco de centro D e raio com medida DK = DL.

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📏 📐 Resolução

Vamos construir uma oval irregular encurtada e uma oval regular. Os diâmetros das ovais regulares são eixos de simetria das curvas.

• 
  A oval irregular encurtada tem a medida de CD menor do que a metade de AB. A construção fica similar à da oval alongada.
• 
  No caso da oval regular, vamos construir a mediatriz do diâmetro menor, que funciona como eixo de simetria da curva. Neste caso, o eixo maior não está definido e depende das construções feitas com a medida do eixo menor.
• 
  Encontre a metade de BC e o ponto simétrico de D em relação à mediatriz de AB.
• 
  As semi-retas DE, DE', D'E e D'E' serão os limites dos arcos da oval regular.
• 
  Construa o arco com centro em D' com raio D'B até as semi-retas limites.
• 
  Construa o arco simétrico com centro em D com raio DA até as semi-retas limites correspondentes.
• 
  Para finalizar, basta construir os arcos de centros E e E' da oval regular.

📏 📐 Resolução

Vamos construir ovais regulares: uma com apenas a medida do eixo maior e a outra com as medidas dos dois eixos.

• 
  Vamos construir a mediatriz do diâmetro maior, que funciona como eixo de simetria da curva.
• 
  Encontre a metade de BC e o ponto simétrico de D em relação à mediatriz de AB.
• 
  As semi-retas DE, DE', D'E e D'E' serão os limites dos arcos da oval regular.
• 
  Construa o arco com centro em D' com raio D'A até as semi-retas limites. Construa o arco com centro em D com raio DB até as semi-retas limites correspondentes.
• 
  Para finalizar, basta construir os arcos de centros E e E' da oval regular.
• 
  Considerando as medidas fixas dos eixos de uma oval regular, começamos a construção com a diferença entre as medidas dos eixos: AE = AB - CD.
• 
  Divida o segmento AE em 3 partes iguais e encontre o ponto F' tal que AF' = $\mathsf{ {2 \over 3}}$AE.
• 
  Encontre os pontos F e G no diâmetro maior, tais que OF = OG = AF'.
• 
  Construa a circunferência de centro F e raio FG, determinando os pontos H e I no diâmetro menor.
• 
  As semi-retas HF, HG, IF e IG serão os limites dos arcos da oval regular.
• 
  Construa o arco de centro G e raio GB até as retas limites.
• 
  Construa o arco simétrico de centro F e raio FA até as retas limites correspondentes.
• 
  Para finalizar, basta construir os arcos de centros H e I da oval regular.

📏 📐 Resolução

Vamos construir uma oval com as medidas dos dois eixos dadas. O método do retângulo foi usado para construirmos um arco abatido.

• 
  Construa o retângulo AOCE.
• 
  Determine o incentro F do △ACE.
• 
  Construa o segmento HF ⊥ AC, determinando G sobre o diâmetro maior da oval regular.
• 
  Encontre o simétrico de G em relação ao eixo menor e a reta F'F // AB. As semi-retas HF e HF' serão usadas como limites de arcos da curva.
• 
  Encontre os pontos simétricos de F, de H e de F' em relação ao diâmetro AB.
• 
  Construa os arcos de centros G e G' até as respectivas semi-retas limites.
• 
  Para finalizar, construa os arcos de centros H e H' até as respectivas semi-retas limites.

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2. Espirais e elipses

Material da página 12 até a página 25.

📑 Propriedades

Veremos agora as definições usadas nas construções das espirais. Estas curvas podem ser construídas por pontos auxiliares e construídas à mão livre, ou construídas com arcos de concordâncias.

• 
  O núcleo é o polígono que contém os centros dos arcos da falsa espiral.
• 
  Na espiral verdadeira, o núcleo é substituído por um ponto denominado pólo.
• 
  Os raios vetores são os prolongamentos dos lados do núcleo.
• 
  A evolução completa da espiral é chamada de espira.
• 
  O passo é a distância entre duas espiras.

📏 📐 Resolução

Vamos construir falsas espirais com 2 e com 3 centros.

• 
  Determine o segmento AB que define os dois centros da falsa espiral. Prolongue o lado AB nos dois sentidos. Usando o centro A, determine o arco de circunferência com amplitude de 180° com raio AB.
• 
  Agora vamos usar o centro B, com raio B1 e as amplitudes sempre iguais a 180°. Neste caso, completamos uma volta e temos uma espira.
• 
  Voltamos ao ponto A e o próximo raio tem medida A2.
• 
  Voltamos ao ponto B e o próximo raio tem medida B3.
• 
  Prosseguimos com a alternância entre os centros e temos a construção da espiral de 2 centros com 4 espiras.
• 
  Construa o △ABC equilátero com as medidas dos lados iguais a 1cm. Defina as semi-retas AC, BA e CB.
• 
  Começando pelo centro A, defina o arco de amplitude 120° e raio AC até a semi-reta limite BA.
• 
  Agora com centro B, defina o arco de amplitude 120° e raio B1 até a semi-reta limite CB. O próximo centro será C, com raio C2.
• 
  Prosseguimos com o rodízio dos centros e temos a construção da espiral regular de 3 centros.

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📏 📐 Resolução

Vamos construir falsas espirais com 3 e com 4 centros.

• 
  Construa o △ABC com as medidas indicadas dos lados. Defina as semi-retas AB, BC e CA.
• 
  Começando com o centro A e fazendo o rodízio de centros, temos a construção similar à que fizemos com o triângulo equilátero.
• 
  Construa o quadrado ABCD com lado de medida 0,5cm. Defina as semi-retas BA, AD, DC e CB.
• 
  Começando com o centro A, o primeiro arco tem raio AD, amplitude de 90° e termina na semi-reta limite BA.
• 
  Agora vamos usar o centro B, com raio B1, terminando na semi-reta CB, com amplitudes sempre iguais a 90°.
• 
  Agora vamos usar o centro C, com raio C2, terminando na semi-reta DC.
• 
  Prosseguimos com o rodízio dos centros e temos a construção da espiral regular de 4 centros.

📏 📐 Solução

Usando o mesmo raciocínio do exercício anterior, podemos construir a espiral ovalada com o núcleo representado pelo retângulo de medidas indicadas.

Utilize os prolongamentos dos lados do retângulo como retas limites e as amplitudes dos arcos todas com 90°.

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📏 📐 Resolução

Vamos construir a espiral de ouro começando pela construção do retângulo áureo.

• 
  Construa a mediatriz de AB.
• 
  No segmento BE ⊥ AB, encontre o ponto E tal que BE = BM = AM.
• 
  Construa o arco de circunferência com centro em E e raio EA. O segmento BC é áureo de AB.
• 
  Construa os lados CD // AB e AD // BC do retângulo áureo.
• 
  Defina o ponto F ∈ AB tal que AF = AD.
• 
  O primeiro arco da espiral de ouro tem centro F e raio AF.
• 
  Defina o ponto I ∈ FG tal que GI = CG.
• 
  O segundo arco da espiral de ouro tem centro I e raio IG.
• 
  Defina o ponto K ∈ IH tal que HK = HB. O terceiro arco da espiral de ouro tem centro K e raio HK.
• 
  Defina o ponto L ∈ JK tal que LJ = LM. O quarto arco da espiral de ouro tem centro L e raio LJ.
• 
  Defina o ponto N ∈ LM tal que MN = NO. O quinto arco da espiral de ouro tem centro N e raio MN. Prosseguindo com o mesmo raciocínio, podemos encontrar outros arcos que definem a espiral de ouro.

📏 📐 Resolução

Vamos construir a espiral de ouro começando pela construção do triângulo áureo.

• 
  O triângulo áureo é isósceles, conhecido também pelo nome de "triângulo sublime", pois apresenta as propriedades estéticas do retângulo áureo. Uma das formas de construí-lo utiliza três lados adjacentes de um pentagrama regular.
• 
  Outra maneira de construir o triângulo áureo é parecida com a construção que vimos do retângulo áureo. Construa o segmento áureo EB de AB.
• 
  Construa os lados BC = AC = BE do triângulo áureo. Os ângulos da base deste triângulo isósceles medem 36° e o arco com centro C e raio AC é o primeiro arco da espiral áurea.
• 
  Defina o ponto F tal que AF = AC e CAF = 36°.
• 
  Construa AFG = 36°, definindo o △AGF áureo.
• 
  O arco com centro G e raio GF é o segundo arco da espiral áurea.
• 
  Defina o ponto C' tal que FG = FC' e GFC' = 36°.
• 
  Construa HCF = 36°, definindo o △HCF áureo. O arco com centro H e raio HF é o terceiro arco da espiral áurea.
• 
  Defina o ponto G' tal que CG' = HC e HCG' = 36°. Construa CGI = 36°, definindo o △IGC áureo. O arco com centro I e raio IG é o quarto arco da espiral áurea. Prosseguindo com o mesmo raciocínio, podemos encontrar outros arcos que definem a espiral de ouro.

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📏 📐 Resolução

Vamos construir a Voluta Jônica começando pela construção dos segmentos perpendiculares aos lados do quadrado.

• 
  Usando o teorema de Tales, divida um dos segmentos perpediculares a um lado do quadrado em 3 partes iguais: o primeiro ponto será chamado de 1.
• 
  Construa a circunferência de centro O e raio O1 para encontrar nos outros segmentos perpendiculares aos lados do quadrado os pontos 2, 3 e 4.
• 
  Usando a mesma ideia, com a segunda divisão obtida pela construção de Tales, construa a circunferência de centro O e raio O5 para encontrar nos outros segmentos perpendiculares aos lados do quadrado os pontos 6, 7 e 8. As interseções das perpendiculares aos lados do quadrado são os pontos 9, 10, 11 e 12.
• 
  Defina as semi-retas limites 21 e 32 para construir o primeiro arco da voluta com centro 2, começando pela interseção da semi-reta 21 com a circunferência circunscrita ao quadrado.
• 
  Defina a semi-reta limite 43 para construir o segundo arco da voluta com centro 3, começando pela interseção da semi-reta 32 com o arco anterior da voluta.
• 
  Defina a semi-reta limite 54 para construir o próximo arco da voluta com centro 4, começando pela interseção da semi-reta 43 com o arco anterior da voluta.
• 
  Defina a semi-reta limite 65 para construir o próximo arco da voluta com centro 5, começando pela interseção da semi-reta 54 com o arco anterior da voluta.
• 
  Defina a semi-reta limite 76 para construir o próximo arco da voluta com centro 6, começando pela interseção da semi-reta 65 com o arco anterior da voluta.
• 
  Defina a semi-reta limite 87 para construir o próximo arco da voluta com centro 7, começando pela interseção da semi-reta 76 com o arco anterior da voluta.
• 
  Defina a semi-reta limite 98 para construir o próximo arco da voluta com centro 8, começando pela interseção da semi-reta 87 com o arco anterior da voluta.
• 
  Defina a semi-reta limite 10-9 para construir o próximo arco da voluta com centro 9, começando pela interseção da semi-reta 98 com o arco anterior da voluta.
• 
  Defina a semi-reta limite 11-10 para construir o próximo arco da voluta com centro 10, começando pela interseção da semi-reta 10-9 com o arco anterior da voluta.
• 
  Para finalizar a construção, defina a semi-reta limite 12-11 para construir o próximo arco da voluta com centro 11, começando pela interseção da semi-reta 11-10 com o arco anterior da voluta.

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📑 Propriedades

Vamos acompanhar a demonstração do teorema de Apollonius para o caso de uma elipse. Considere as esferas inscritas na superfície cônica e tangentes ao plano de seção.

• 
  Usando o conceito de potência do ponto P em relação às esferas de centros O' e O, encontramos que PF₁ = PL' e PF₂ = PL.
• 
  Como os planos de seção definidos por E e E' e por D e D' são perpendiculares ao eixo da superfície cônica, temos que DE = D'E' = LL'. Portanto, temos que PF₁ + PF₂ = LL' = DE.
• 
  Calculando o perímetro do △SA₁A₂, encontramos que 2p = SD' + SD + DA₂ + A₂F₂ + A₁F₂ + D'A₁.
• 
  Usando a potência dos pontos A₁ e A₂ em relação às esferas, encontramos que DA₂ = A₂F₂ e A₁F₂ = D'A₁. Substituindo estas medidas no perímetro do △SA₁A₂, encontramos que A₂F₂ + A₁F₂ = p - SD.
• 
  Analisando a circunferência ex-inscrita do △SA₁A₂, temos que A₂F₁ = A₂E e A₁F₁ = A₁E'. Substituindo estas medidas no perímetro do △SA₁A₂, obtemos que 2p = SE + SE'.
• 
  Como SE = SE', temos que p = SE.
• 
  Portanto, temos que SE - SD = ED e A₁A₂ = DE, ou seja, PF₁ + PF₂ = DE = A₁A₂.

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📏 📐 Resolução

Construiremos uma elipse dados um vértice, o centro e o foco.

• 
  Vamos iniciar encontrando os simétricos de A₁ e de F₁ em relação ao centro.
• 
  A distância entre os focos e os vértices do diâmetro menor é igual ao semi-diâmetro maior a. Logo, para achar B₁ e B₂, basta encontrar a interseção da reta perpendicular ao diâmetro A₁A₂ que passa pelo centro com a Circunf(F₂, a).
• 
  Para construir uma elipse por pontos, vamos determinar os pontos 1, 2 e 3 entre o foco F₁ e o centro O. Cada ponto determinará 4 pontos da elipse.
• 
  Como PF₁ + PF₂ = 2a, tome os raios com medidas iguais a 1A₁ e 1A₂. As interseções das circunferências com centros em F₁ e F₂ com raios 1A₁ e 1A₂ são dois pontos da elipse.
• 
  Invertendo-se os centros, mas usando as mesmas medidas de raios, obtemos mais dois pontos da cônica: as circunferências com centros em F₁ e F₂ com raios 1A₂ e 1A₁ determinam mais dois pontos da elipse.
• 
  Usando o mesmo raciocínio com o ponto 2, tomamos os raios com medidas iguais a 2A₁ e 2A₂. As interseções das circunferências com centros em F₁ e F₂ com raios 2A₁ e 2A₂ são dois pontos da elipse.
• 
  Invertendo-se os centros, mas usando as mesmas medidas de raios, obtemos mais dois pontos da cônica: as circunferências com centros em F₁ e F₂ com raios 2A₂ e 2A₁ determinam mais dois pontos da elipse.
• 
  Usando o mesmo raciocínio com o ponto 3, tomamos os raios com medidas iguais a 3A₁ e 3A₂. As interseções das circunferências com centros em F₁ e F₂ com raios 3A₁ e 3A₂ são dois pontos da elipse.
• 
  Invertendo-se os centros, mas usando as mesmas medidas de raios, obtemos mais dois pontos da cônica: as circunferências com centros em F₁ e F₂ com raios 3A₂ e 3A₁ determinam mais dois pontos da elipse.
• 
  Depois, basta traçar a cônica à mão livre usando os pontos encontrados e os vértices.

📏 📐 Resolução

Vamos construir os elementos principais de uma elipse dados os focos e um ponto da cônica.

• 
  Vamos iniciar encontrando o centro da elipse usando a mediatriz de F₁F₂.
• 
  Como PF₁ + PF₂ = 2a, podemos prolongar PF₁ e marcar a medida PF₂, obtendo-se o ponto F'₂. Logo, temos que F₁F'₂ = 2a.
• 
  Encontre a mediatriz de F₁F'₂ para determinar os vértices do diâmetro maior da elipse.
• 
  Determine OA₁ = OA₂ = a.
• 
  Com a circunferência de centro em F₁ e raio a, encontramos os vértices B₁ e B₂ na mediatriz de F₁F₂.
• 
  Depois, basta construir a elipse à mão livre.

📏 📐 Resolução

Vamos construir os elementos principais de uma elipse dados os pontos simétricos em relação ao centro e um foco da cônica.

• 
  Vamos iniciar encontrando o centro da elipse usando a mediatriz de P₁P₂.
• 
  Podemos determinar OF₁ = OF₂.
• 
  Como P₁F₁ + P₁F₂ = 2a, podemos prolongar P₁F₁ e marcar a medida P₁F₂, obtendo-se o ponto F'₂. Logo, temos que F₁F'₂ = 2a. Encontre a mediatriz de F₁F'₂ para determinar os vértices do diâmetro maior da elipse.
• 
  Determine OA₁ = OA₂ = a.
• 
  Com a circunferência de centro em F₂ e raio a, encontramos os vértices B₁ e B₂ na reta perpendicular ao eixo maior que passa pelo centro.
• 
  Para finalizar, basta construir a elipse à mão livre.

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📏 📐 Resolução

Vamos construir as retas tangentes a uma elipse dada pelos focos, a distância 2a e um ponto da cônica.

• 
  Vamos iniciar encontrando a circunferência diretriz γ₁, com centro em F₁ e raio 2a. Construindo a Circunf(P, PF₂), determinamos os pontos F'₂ e F''₂ na circunferência diretriz.
• 
  As retas tangentes são as mediatrizes de F₂F'₂ e F₂F''₂.
• 
  Unindo o foco F₁ com os simétricos de F₂ em relação às tangentes, determinamos os pontos de tangência nas retas t e t'.
• 
  Para finalizar, basta construir a elipse à mão livre.

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📏 📐 Resolução

Vamos construir as retas tangentes a uma elipse paralelas a uma reta. São dados os focos e a distância 2a da cônica.

• 
  Vamos iniciar encontrando a circunferência diretriz γ₁, com centro em F₁ e raio 2a. Construindo o segmento PF₂ ⊥ r, determinamos o ponto F'₂ na circunferência diretriz.
• 
  Uma das retas tangentes é a mediatriz de F₂F'₂.
• 
  Unindo o foco F₁ com o ponto F'₂, determinamos o ponto de tangência T.
• 
  Se prolongarmos o segmento PF₂, determinamos o ponto F''₂ na circunferência diretriz. A outra reta tangente é a mediatriz de F₂F''₂.
• 
  Unindo o foco F₁ com o ponto F''₂, determinamos o ponto de tangência T'.
• 
  Depois, basta construir a elipse à mão livre.

📏 📐 Exercício proposto 2.1

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📏 📐 Resolução

Vamos construir os elementos principais de uma elipse dada por um vértice, um foco e uma reta tangente.

• 
  Vamos iniciar encontrando o segmento F₂F'₂ ⊥ t. Logo, determinamos o ponto L ∈ t que pertence à circunferência principal da elipse.
• 
  Como a circunferência principal passa pelo vértice A₂ e por L, o centro O estará na interseção do prolongamento de A₂F₂ com a mediatriz de A₂L.
• 
  Determine os pontos F₁ e A₁, simétricos de F₂ e de A₂ em relação ao centro.
• 
  Determine os vértices B₁ e B₂, sabendo-se que B₁B₂ ⊥ F₁F₂ e B₁F₂ = B₂F₂ = a.
• 
  Unindo o foco F₁ com o ponto F'₂, determinamos o ponto de tangência T.
• 
  Depois, basta construir a elipse à mão livre.

📏 📐 Resolução

Vamos construir os elementos principais de uma elipse dada por um vértice, um foco e uma reta tangente.

• 
  Vamos iniciar encontrando o segmento F₂F'₂ ⊥ t. Logo, determinamos o ponto L ∈ t que pertence à circunferência principal da elipse.
• 
  Como a circunferência principal passa pelo vértice A₁ e por L, o centro O estará na interseção do segmento A₁F₂ com a mediatriz de A₁L.
• 
  Determine os pontos F₁ e A₂, simétricos de F₂ e de A₁ em relação ao centro.
• 
  Determine os vértices B₁ e B₂, sabendo-se que B₁B₂ ⊥ F₁F₂ e B₁F₂ = B₂F₂ = a.
• 
  Unindo o foco F₁ com o ponto F'₂, determinamos o ponto de tangência T.
• 
  Para finalizar, basta construir a elipse à mão livre.

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📏 📐 Exercício proposto 2.2

📏 📐 Resolução

Vamos construir os elementos principais de uma elipse dada por um foco e 3 retas tangentes.

• 
  Vamos iniciar encontrando os simétricos do foco F₁ em relação às retas tangentes.
• 
  Como a circunferência diretriz passa pelos simétricos de um foco em relação às retas tangentes, podemos construir as mediatrizes de F'₁F''₁ e F'₁F'''₁ para encontrar o foco F₂.
• 
  A circunferência diretriz γ₂ tem centro em F₂ e raio 2a. Unindo F₂ com os simétricos de F₁ em relação às tangentes, determinamos os pontos de tangência.
• 
  Determine a mediatriz de um dos raios da circunferência diretriz: med_F2F'''1 para encontrarmos a medida a.
• 
  Construa a mediatriz de F₁F₂ para encontrar o centro da elipse.
• 
  Obtenha os vértices A₁ e A₂ usando a Circunf(O, a).
• 
  Determine os vértices B₁ e B₂, sabendo-se que B₁B₂ ⊥ F₁F₂ e B₁F₁ = B₂F₁= a.
• 
  Para finalizar, basta construir a elipse à mão livre.

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📏 📐 Resolução

Vamos construir os elementos principais de uma elipse dada pelos vértices do diâmetro principal e um ponto.

• 
  Vamos iniciar encontrando o centro da elipse com a med_A1A2.
• 
  Construa a circunferência principal da elipse e o segmento PE ⊥ A₁A₂.
• 
  De acordo com as propriedades de afinidade homológica, a interseção de OC com o segmento PD // A₁A₂ determina OD = b.
• 
  A Circunf(O, OD) determina os vértices B₁ e B₂ na mediatriz de A₁A₂.
• 
  Construa a Circunf(B₁, a) para encontrar os focos da elipse.
• 
  Para finalizar, basta construir a elipse à mão livre.

📏 📐 Resolução

Vamos construir os elementos principais de uma elipse dada pelo diâmetro 2c e pela excentricidade.

• 
  Vamos iniciar encontrando o segmento 2c e a med_F1F2.
• 
  Usando o teorema de Tales, determinamos a proporção da excentricidade $\mathsf{ {c \over a} = {2 \over 3}}$ fazendo $\mathsf{ {O2 \over O3} = {2 \over 3}}$. Logo, encontramos o vértice A₁.
• 
  Encontre o simétrico de A₁ em relação ao centro da elipse.
• 
  A Circunf(F₁, a) determina os vértices B₁ e B₂ na mediatriz de F₁F₂.
• 
  Para finalizar, basta construir a elipse à mão livre.

📏 📐 Exercício proposto 2.3

📏 📐 Resolução

Vamos construir os elementos principais de uma elipse dada pelo diâmetro 2a e pela excentricidade.

• 
  Vamos iniciar encontrando o segmento 2a e a med_A1A2.
• 
  Usando o teorema de Tales, determinamos a proporção da excentricidade $\mathsf{ {c \over a} = {4 \over 5}}$ fazendo $\mathsf{ {O4 \over O5} = {4 \over 5}}$. Logo, encontramos o foco F₁.
• 
  Encontre o simétrico de F₁ em relação ao centro da elipse.
• 
  A Circunf(F₁, a) determina os vértices B₁ e B₂ na mediatriz de A₁A₂.
• 
  Para finalizar, basta construir a elipse à mão livre.

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3. Hipérboles e parábolas

Material da página 26 até a página 43.

📑 Propriedades

Vamos acompanhar a demonstração do teorema de Apollonius para o caso de uma hipérbole. Considere as esferas inscritas na superfície cônica e tangentes ao plano de seção.

• 
  Usando o conceito de potência do ponto P em relação às esferas de centros O' e O, encontramos que PF₂ = PG' e PF₁ = PG. Logo, temos que PF₂ - PF₁ = PG' - PG = GG' = BB' = CC'.
• 
  Prolongando-se BB', obtemos o ponto A₁ e BB' = A₁B' - A₁B. Pela potência do ponto A₁ em relação às esferas, temos que A₁F₁ = A₁B e A₁B' = A₁F₂. Logo, temos que BB' = A₁B' - A₁B = A₁F₂ - A₁F₁.
• 
  Temos também que CC' = BB' = A₂C - A₂C' = A₂F₁ - A₂F₂ ...
• 
  ... pois pela potência do ponto A₂ em relação às esferas temos que A₂F₁ = A₂C ...
• 
  ... e A₂F₂ = A₂C'.
• 
  Logo, temos que CC' = BB' = A₁F₂ - A₁F₁ = A₂F₁ - A₂F₂.
• 
  Temos também que CC' = BB' = A₂C - A₂C' = A₂F₁ - A₂F₂.
• 
  Da última igualdade que verificamos, podemos concluir que A₁F₁ = A₂F₂ e A₁F₂ = A₂F₁.
• 
  Portanto, temos que A₂F₁ - A₁F₂ = A₁F₂ - A₂F₂ = BB' = A₁A₂. Logo, PF₂ - PF₁ = BB' = A₁A₂.

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📏 📐 Resolução

Construiremos uma hipérbole dados um vértice, o centro e um foco.

• 
  Vamos iniciar encontrando os simétricos de A₁ e de F₁ em relação ao centro.
• 
  A distância entre os focos e os vértices do diâmetro imaginário é igual à metade da distância focal: c. Logo, para achar B₁ e B₂, basta encontrar a interseção da reta perpendicular ao diâmetro A₁A₂ que passa pelo centro com a Circunf(A₂, c).
• 
  Para construir uma hipérbole por pontos, vamos determinar os pontos 1, 2 e 3 que ficam à esquerda do foco F₁ na semi-reta de origem F₁. Cada ponto determinará 4 pontos da cônica.
• 
  Como PF₁ - PF₂ = 2a, tome os raios com medidas iguais a 1A₁ e 1A₂. As interseções das circunferências com centros em F₁ e F₂ com raios 1A₁ e 1A₂ são dois pontos da hipérbole.
• 
  Invertendo-se os centros, mas usando as mesmas medidas de raios, obtemos mais dois pontos da cônica: as circunferências com centros em F₁ e F₂ com raios 1A₂ e 1A₁ determinam mais dois pontos da hipérbole.
• 
  Usando o mesmo raciocínio com o ponto 2, tomamos os raios com medidas iguais a 2A₁ e 2A₂. As interseções das circunferências com centros em F₁ e F₂ com raios 2A₁ e 2A₂ são dois pontos da hipérbole.
• 
  Invertendo-se os centros, mas usando as mesmas medidas de raios, obtemos mais dois pontos da cônica: as circunferências com centros em F₁ e F₂ com raios 2A₂ e 2A₁ determinam mais dois pontos da hipérbole.
• 
  Usando o mesmo raciocínio com o ponto 3, tomamos os raios com medidas iguais a 3A₁ e 3A₂. As interseções das circunferências com centros em F₁ e F₂ com raios 3A₁ e 3A₂ são dois pontos da hipérbole.
• 
  Invertendo-se os centros, mas usando as mesmas medidas de raios, obtemos mais dois pontos da cônica: as circunferências com centros em F₁ e F₂ com raios 3A₂ e 3A₁ determinam mais dois pontos da hipérbole.
• 
  Depois, basta traçar a cônica à mão livre usando os pontos encontrados e os vértices do diâmetro real.

📏 📐 Resolução

Vamos encontrar os elementos principais de uma hipérbole dados os focos, e um ponto da curva.

• 
  Começamos encontrando o centro da hipérbole construindo a mediatriz de F₁F₂.
• 
  Como PF₁ - PF₂ = 2a, construímos a Circunf(P, PF₂) para encontrar PF'₂ no segmento PF₁. Logo, temos que F₁F'₂ = 2a.
• 
  Determine a mediatriz de F₁F'₂ para encontrar a medida do segmento a.
• 
  Obtenha os vértices A₁ e A₂, simétricos em relação ao centro.
• 
  A distância entre os focos e os vértices do diâmetro imaginário é igual à metade da distância focal: c. Logo, para achar B₁ e B₂, basta encontrar a interseção da mediatriz de F₁F₂ com a Circunf(A₁, c).
• 
  Para finalizar, construa a hipérbole à mão livre.

📏 📐 Exercício proposto 3.1

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📏 📐 Resolução

Encontraremos os elementos principais de uma hipérbole um foco e os pontos simétricos em relação ao eixo imaginário.

• 
  Como os pontos P₁ e P₂ são simétricos em relação ao eixo imaginário, a mediatriz de P₁P₂ contém os vértices deste eixo.
• 
  Construa a reta perpendicular à med_P1P2, determinado o centro da hipérbole.
• 
  Encontre o simétrico de F₁ em relação ao centro O.
• 
  Como P₁ pertence à cônica, podemos unir F₁ e P₁ e construir a Circunf(P₁, P₁F₂), obtendo-se o segmento F₁F'₂ = 2a.
• 
  Encontre a mediatriz de F₁F'₂ para determinar a medida a.
• 
  Construa os vértices do diâmetro real, simétricos em relaçao ao centro da cônica.
• 
  Para achar B₁ e B₂, encontre a interseção da mediatriz de P₁P₂ com a Circunf(A₂, c).
• 
  Finalizando, construa a hipérbole à mão livre.

📏 📐 Resolução

Vamos construir os elementos principais de uma hipérbole dada pelo diâmetro 2a e pela excentricidade.

• 
  Vamos iniciar encontrando o segmento 2a e a med_A1A2.
• 
  Usando o teorema de Tales, determinamos a proporção da excentricidade $\mathsf{ {c \over a} = {5 \over 2}}$ fazendo $\mathsf{ {O5 \over O2} = {5 \over 2}}$. Logo, encontramos o foco F₁.
• 
  Encontre o simétrico de F₁ em relação ao centro da hipérbole.
• 
  A Circunf(A₁, c) determina os vértices B₁ e B₂ na mediatriz de A₁A₂.
• 
  Para finalizar, basta construir a hipérbole à mão livre.

📏 📐 Resolução

Vamos construir os elementos principais de uma hipérbole dada pelo diâmetro 2c e pela excentricidade.

• 
  Vamos iniciar encontrando o segmento 2c e a med_F1F2.
• 
  Usando o teorema de Tales, determinamos a proporção da excentricidade $\mathsf{ {c \over a} = {6 \over 5}}$ fazendo $\mathsf{ {O6 \over O5} = {6 \over 5}}$. Logo, encontramos o vértice A₁.
• 
  Encontre o simétrico de A₁ em relação ao centro da hipérbole.
• 
  A Circunf(A₁, c) determina os vértices B₁ e B₂ na mediatriz de F₁F₂.
• 
  Para finalizar, basta construir a hipérbole à mão livre.

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📏 📐 Resolução

Vamos construir as retas tangentes à hipérbole, dada pelos focos e pela distância 2a, que passam pelo ponto P.

• 
  Começamos construindo a circunferência diretriz γ₁ com centro em F₁ e raio 2a. Os simétricos de F₂ em relação à reta tangente pertencem à circunferência diretriz: logo, construímos a Circunf(P, PF₂) para encontrar os dois simétricos de F₂ em relação às tangentes à hipérbole que passam pelo ponto dado.
• 
  Construa as mediatrizes de F₂F'₂ e de F₂F''₂ que são as tangentes à hipérbole que passam por P.
• 
  Unindo F₁ com F'₂ e com F''₂, encontramos os pontos de tangência T e T'.
• 
  Para finalizar, basta construir a hipérbole à mão livre.

📏 📐 Resolução

Vamos construir as retas tangentes à hipérbole, dada pelos focos e pela distância 2a, que são paralelas à reta r.

• 
  Começamos construindo a circunferência diretriz γ₁ com centro em F₁ e raio 2a. O simétrico de F₂ em relação à reta tangente pertence à circunferência diretriz: logo, construímos a reta PF₂ ⊥ r para encontrar o simétrico de F₂ em relação a uma tangente da hipérbole paralela a r.
• 
  Construa a mediatriz de F₂F'₂ que é uma das tangentes à hipérbole paralela à reta r.
• 
  Unindo F₁ com F'₂, encontramos o ponto de tangência T na reta t.
• 
  Construa o prolongamento de PF₂ para encontrar o simétrico F''₂ na circunferência diretriz. Construa a mediatriz de F₂F''₂ que é a segunda tangente à hipérbole paralela à reta r.
• 
  Unindo F₁ com F''₂, encontramos o ponto de tangência T' na reta t'.
• 
  Para finalizar, basta construir a hipérbole à mão livre.

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📏 📐 Resolução

Vamos construir as assíntotas da hipérbole, dada pelos focos e pelo diâmetro principal 2a.

• 
  Começamos construindo a circunferência diretriz γ₁ com centro em F₁ e raio 2a.
• 
  Construa a mediatriz de F₁F₂ para encontrar o centro da cônica.
• 
  As retas tangentes à diretriz que passam por F₂ determinam os simétricos do foco F₂ em relação às assíntotas. Logo, podemos construir o arco capaz de 90° em relação a F₁F₂.
• 
  As mediatrizes de F₂F'₂ e de F₂F''₂ são as assíntotas da hipérbole.
• 
  Para finalizar, basta construir a hipérbole à mão livre e determinar os elementos principais da curva.

📏 📐 Resolução

Vamos encontrar os elementos principais da hipérbole, dada por um foco, o centro e uma reta tangente. Além disso, vamos encontrar os elementos principais da hipérbole conjugada desta cônica.

• 
  Começamos construindo o símetrico do foco F₂ em relação à reta tangente t.
• 
  Construa o simétrico de F₂ em relação ao centro O. Logo, temos a circunferência diretriz γ₁ com centro em F₁...
• 
  ... e raio F₁F'₂ = 2a.
• 
  Determine a medida do segmento F₁M = a.
• 
  Encontre os vértices da hipérbole construindo a circunferência de centro O e raio a.
• 
  Encontre as extremidades do diâmetro imaginário da hipérbole construindo a circunferência de centro A₁ e raio c e a reta perpendicular ao diâmetro real que passa por O.
• 
  Para finalizar, basta construir a hipérbole à mão livre. Agora vamos encontrar os elementos da hipérbole conjugada.
• 
  Duas hipérboles são conjugadas quando os diâmetros real e imaginário de uma são os diâmetros imaginário e real da outra (respectivamente).
• 
  Para encontrar os focos da hipérbole conjugada, basta construir a circunferência de centro O e raio c = A₁B₁.
• 
  Para finalizar, basta construir a hipérbole conjugada à mão livre. Uma propriedade importante é que as hipérboles conjugadas compartilham das mesmas assíntotas.

📏 📐 Resolução

Vamos construir os elementos principais de uma hipérbole equilátera, dada pelo diâmetro principal 2a.

• 
  Começamos construindo a mediatriz de A₁A₂ para encontrar o centro da cônica.
• 
  Na hipérbole equilátera, temos que A₁A₂ = B₁B₂. Logo, podemos construir a circunferência de centro O e raio a para encontrar o diâmetro imaginário da cônica.
• 
  A distância focal c tem medida B₁A₂. Logo, podemos construir a circunferência de centro O e raio c...
• 
  ... para encontrar os focos da hipérbole.
• 
  Para finalizar, basta construir a hipérbole à mão livre.

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📏 📐 Resolução

Vamos construir os elementos principais de uma hipérbole dada por um foco, um vértice e uma reta tangente.

• 
  Começamos construindo o simétrico do foco F₂ em relação à reta t, encontrando os pontos L e F'₂.
• 
  A circunferência principal da hipérbole tem centro em O e passa pelo vértice A₂ e L: logo, para encontrar O, basta construir a mediatriz de A₂L.
• 
  Encontre os simétricos de F₂ e de A₂ em relação ao centro O.
• 
  A Circunf(A₂, c) determina os vértices B₁ e B₂ na reta perpendicular ao diâmetro real que passa por O.
• 
  Unindo F₁ com F'₂, encontramos o ponto de tangência T na reta t.
• 
  Para finalizar, basta construir a hipérbole à mão livre.

📏 📐 Resolução

Vamos construir os elementos principais de uma hipérbole dada por um foco, um vértice e uma reta tangente.

• 
  Começamos construindo o simétrico do foco F₂ em relação à reta t, encontrando os pontos L e F'₂.
• 
  A circunferência principal da hipérbole tem centro em O e passa pelo vértice A₁ e L: logo, para encontrar O, basta construir a mediatriz de A₁L.
• 
  Encontre os simétricos de F₂ e de A₁ em relação ao centro O.
• 
  A Circunf(A₁, c) determina os vértices B₁ e B₂ na reta perpendicular ao diâmetro real que passa por O.
• 
  Unindo F₁ com F'₂, encontramos o ponto de tangência T na reta t.
• 
  Para finalizar, basta construir a hipérbole à mão livre.

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📏 📐 Resolução

Vamos construir os elementos principais de uma hipérbole dada pelo diâmetro real e uma reta tangente.

• 
  Começamos construindo a mediatriz de A₁A₂ para encontrar o centro da hipérbole.
• 
  A circunferência principal da hipérbole tem centro em O e passa pelos vértices A₁ e A₂, determinando os pontos L e L' na reta t.
• 
  As retas perpendiculares à reta t que passam por L e L' determinam os focos nos prolongamentos do diâmetro real.
• 
  A Circunf(A₂, c) determina os vértices B₁ e B₂ na mediatriz de A₁A₂.
• 
  Determine o simétrico de F₁ em relação à reta tangente. Unindo F₂ com F'₁, encontramos o ponto de tangência T na reta t.
• 
  Para finalizar, basta construir a hipérbole à mão livre.

📏 📐 Resolução

Vamos construir os elementos principais e as assíntotas de uma hipérbole dada pelos diâmetros real e imaginário.

• 
  Construa a mediatriz de A₁A₂ para encontrar o centro da hipérbole.
• 
  Encontre os pontos B₁ e B₂ na mediatriz de A₁A₂.
• 
  A medida B₁A₂ = c: logo, determine os focos F₁ e F₂ nos prolongamentos do diâmetro real.
• 
  Construa as retas paralelas ao diâmetro real que passam por B₁ e por B₂.
• 
  Construa as retas paralelas ao diâmetro imaginário que passam por A₁ e por A₂: logo, temos os vértices do retângulo cujas diagonais são as retas suporte das assíntotas.
• 
  Determine as assíntotas SQ e PR.
• 
  Para finalizar, basta construir a hipérbole à mão livre.

📏 📐 Exercício proposto 3.2

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📑 Propriedades

Vamos acompanhar a demonstração do teorema de Apollonius para o caso de uma parábola. Considere a esfera inscrita na superfície cônica e tangente ao plano de seção.

• 
  Vamos considerar o plano LSL' perpendicular ao plano de seção que determina a parábola. Neste caso teremos que a geratriz SL' será paralela ao plano de seção e o traço deste plano em LSL' é a reta A₂F₂.
• 
  Considere a circunferência de centro O tangente às geratrizes SL e SL' em B e C e no segmento DN no ponto F₂. Girando esta circunferência com amplitude de 180° em torno de um diâmetro, temos a esfera tangente à superfície cônica.
• 
  Usando a potência do ponto P em relação à esfera, construa os segmentos PF₂ e PS, obtendo-se o ponto G no plano perpendicular ao eixo do cone que passa pelos pontos B e C.
• 
  Construa o plano paralelo ao plano BCG que passa pelo ponto P, obtendo-se o ponto N ∈ A₂F₂.
• 
  Usando a propriedade de potência de ponto, temos que PF₂ = PG.
• 
  Os segmentos PG, BR e CR são iguais, pois são obtidos dos planos perpendiculares ao eixo do cone.
• 
  A interseção dos planos de seção e BCG é a reta DE perpendicular ao plano LSL': temos que ND é a distância do ponto P à reta DE.
• 
  Da semelhança dos △A₂NR, △A₂BD e △SLL', temos que ND = BR = PF₂. Logo, temos que PF₂ = PE.

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📏 📐 Resolução

Vamos construir os elementos principais e alguns pontos de uma parábola dada pelo vértice e pelo foco.

• 
  A reta definida por A₂F₂ é o eixo da cônica e a distância A₂F₂ = p é a metade do parâmetro da parábola. Determine o simétrico de F₂ em relação ao vértice A₂.
• 
  A reta γ, perpendicular ao eixo que passa por F'₂ é a diretriz da parábola.
• 
  Agora vamos determinar pontos da cônica. Escolha um ponto 1 ∈ γ: a interseção da mediatriz de 1F₂ com a reta paralela ao eixo que passa por 1 é um dos pontos da parábola (equidistante da diretriz e do foco).
• 
  Escolha um ponto 2 ∈ γ: a interseção da mediatriz de 2F₂ com a reta paralela ao eixo que passa por 2 é outro ponto da parábola (equidistante da diretriz e do foco).
• 
  Escolha um ponto 3 ∈ γ: a interseção da mediatriz de 3F₂ com a reta paralela ao eixo que passa por 3 é outro ponto da parábola (equidistante da diretriz e do foco).
• 
  Depois, basta encontrar os simétricos de P₁, P₂ e P₃ em relação ao eixo. Assim, temos 6 pontos da cônica além do vértice A₂.
• 
  Para concluir, basta construir a parábola à mão livre.

📏 📐 Resolução

Vamos construir os elementos principais de uma parábola dada pelos pontos simétricos em relação ao eixo e a reta diretriz.

• 
  A mediatriz de PP' é o eixo da cônica e o ponto de interseção do eixo com a diretriz é o simétrico do foco em relação ao vértice A₂.
• 
  Construindo a reta perpendicular à diretriz que passa por P, obtemos o ponto S₂ ∈ γ.
• 
  A distância de P à diretriz PS₂ é igual a PF₂. Logo, podemos construir a Circunf(P, PS₂) para determinar o foco no eixo. Escolha uma das interseções.
• 
  Determine o vértice A₂ por meio da mediatriz de S'₂F₂. Para concluir, basta construir a parábola à mão livre.

📏 📐 Resolução

Vamos construir os elementos principais de uma parábola dada pela direção da diretriz, o foco e um ponto da curva.

• 
  Construindo a reta PS'₂ ⊥ r e a Circunf(P, PF₂), determinamos o ponto S₂ ∈ γ.
• 
  Construa a reta diretriz, paralela a r que passa por S₂. A reta perpendicular à diretriz que passa pelo foco determina o eixo e o ponto simétrico do foco em relação ao vértice: S''₂
• 
  Determine o vértice A₂ por meio da mediatriz de S''₂F₂. Para concluir, basta construir a parábola à mão livre.

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📏 📐 Resolução

Vamos construir as retas tangentes à parábola que passam por um ponto. São dados o foco e a diretriz da cônica.

• 
  A reta F₂S'₂ ⊥ γ determina o eixo da parábola.
• 
  Construa a mediatriz de F₂S'₂ para achar o vértice da parábola.
• 
  A Circunf(P, PF₂) determina na diretriz os simétricos do foco em relação às retas tangentes à parábola que passam por P.
• 
  Construa as mediatrizes de F₂F'₂ e de F₂F''₂ que são as retas tangentes à parábola que passam por P.
• 
  Construa as retas paralelas ao eixo que passam por F'₂ e por F''₂. As interseções destas retas com as retas tangentes são os pontos de tangência.
• 
  Para concluir, basta construir a parábola à mão livre.

📏 📐 Exercício proposto 3.3

📏 📐 Resolução

Vamos construir os elementos principais de uma parábola dada por duas retas tangentes e o foco.

• 
  Começamos a construção determinando os simétricos do foco em relação às retas tangentes.
• 
  A reta que passa por F'₂ e F''₂ é a diretriz da parábola.
• 
  A reta F₂S₂ ⊥ γ é o eixo da parábola e o vértice é o ponto médio de F₂S₂.
• 
  Construa as retas paralelas ao eixo que passam por F'₂ e por F''₂. As interseções destas retas com as retas tangentes são os pontos de tangência.
• 
  Para concluir, basta construir a parábola à mão livre.

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📑 Propriedades

Vamos compreender as propriedades sobre retas tangentes e normais de uma parábola.

• 
  O quadrilátero TF'₂PF₂ é losango, pois F'₂P e TF₂ são iguais e paralelos (pois △F'₂LP = F₂LT pelo critério LAAo). Logo TF'₂PF₂ tem todas as propriedades de um losango.
• 
  O quadrilátero F'₂PNF₂ é paralelogramo, pois F'₂P // F₂N e PN // F'₂F₂. Logo F'₂PNF₂ tem todas as propriedades de um paralelogramo.
• 
  Temos que os triângulos retângulos △PIN e △F'₂MF₂ têm um par de catetos e um par de ângulos iguais. Logo, são triângulos congruentes e temos que IN = MF₂ = 2p.
• 
  Temos no △TPI o ponto L médio de TP e o eixo y paralelo a PI. De acordo com o teorema de Tales, podemos concluir que A₂ é o ponto médio de TI, ou seja, TI = 2A₂I = 2x.
• 
  Temos no △TPN, retângulo em P, que PI² = TI·IN, ou seja, y² = 2x·2p. De acordo com o teorema de Tales, podemos concluir que A₂ é o ponto médio de TI, ou seja, TI = 2A₂I = 2x = 4px, que é a equação da parábola.

📏 📐 Resolução

Vamos construir os elementos principais de uma parábola dada pelo eixo, uma reta tangente e um ponto da parábola pertencente à reta tangente.

• 
  Começamos a construção determinando a reta normal à parábola que passa pelo ponto P. Logo, encontramos o ponto N do eixo da cônica.
• 
  A mediatriz do segmento PT determina o ponto L da reta tangente.
• 
  Podemos construir os segmentos LA₂ ⊥ e e PI ⊥ e.
• 
  A mediatriz de PT determina o foco F₂ sobre o eixo. Logo, podemos encontrar o simétrico do foco em relação ao vértice A₂.
• 
  A diretriz γ passa por F'₂ perpendicularmente ao eixo.
• 
  Para concluir, basta construir a parábola à mão livre.

📏 📐 Resolução

Vamos construir os elementos principais de uma parábola dada pelos segmentos sub-tangente e sub-normal.

• 
  Começamos a construção determinando os segmentos dados colineares TI e IN.
• 
  Para encontrar o ponto que determina os segmentos dados, construimos a média geométrica entre TI e IN. Começamos com o arco capaz de 90° em relação ao segmento TN.
• 
  A média geométrica está no encontro do arco capaz de 90° com a reta perpendicular ao eixo que passa por I.
• 
  Podemos construir o segmento LA₂ ⊥ e.
• 
  Determine o simétrico do foco em relação ao vértice A₂, e a diretriz γ passa por F'₂ perpendicularmente ao eixo.
• 
  Para concluir, basta construir a parábola à mão livre.

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📑 Propriedades

Vamos acompanhar as propriedades que aparecem na definição de Apollonius para as cônicas.

• 
  Vamos começar com o caso de uma elipse. Considere o segmento BC ⊥ A₁A₂, onde B e C pertencem à elipse. Determine um ponto P da elipse e o segmento PS ⊥ A₁A₂.
• 
  Construa o quadrado com a medida do lado igual a PS.
• 
  Vamos determinar o lado x de um retângulo equivalente ao quadrado de lado PS, sabendo-se que um dos lados mede A₁S. Temos que A₁S·x = SR².
• 
  Desenvolvendo a relação das áreas, temos que $\mathsf{ {A_1S \over SR} = {SR \over x}}$. Logo, podemos usar o teorema de Tales para determinar o segmento x por uma terceira proporcional.
• 
  Construa o retângulo A₁SUT equivalente ao quadrado PQRS.
• 
  Podemos observar que temos x < BC, que vem da palavra grega "elleípsis", que significa falta ou insuficiência.
• 
  Seguindo o mesmo raciocínio no caso da parábola, ao construirmos o retângulo A₂SUT equivalente ao quadrado PQRS, obtemos que x = BC. O nome da cônica vem da palavra grega "parabolé", que significa comparação ou igualdade.
• 
  Seguindo o mesmo raciocínio no caso da hipérbole, ao construirmos o retângulo A₂SUT equivalente ao quadrado PQRS, obtemos que...
• 
  ... A₂S·x = SR² = BC e o segmento x > BC. O nome da cônica vem da palavra grega "hyperbolé", que significa exagero ou excesso.

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4. Homotetia, Rotação e curvas

Material da página 44 até a página 54.

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📏 📐 Resolução

Vamos usar a Homotetia para multiplicar uma circunferência, usando o centro de homotetia H e as razões indicadas.

• 
  Usando o teorema de Tales, vamos encontrar o centro O' com a razão $\mathsf{ {O'H \over OH} = -{2 \over 3}}$.
• 
  Construa o segmento O'2 // H3 para determinar o centro O' da circunferência multiplicada pela razão k.
• 
  O raio O'A' é determinado construindo-se O'A' // OA. O ponto A' pertence à reta AH.
• 
  Para encontrar a circunferência multiplicada com a razão $\mathsf{ {1 \over 2}}$, podemos encontrar o ponto médio do segmento OH, que define o centro da circunferência multiplicada pela razão k.
• 
  O segmento que define o raio O''A'' é paralelo a OA, e A'' ∈ AH.
• 
  A circunferência multiplicada na razão k = -1 é simétrica em relação ao centro de homotetia H.

📏 📐 Resolução

Vamos usar a Homotetia para construir um pentágono regular com medida do lado m.

• 
  Podemos escolher qualquer vértice como centro de homotetia. Considere o ponto A ≡ A' e determine A'B' = m.
• 
  Determine o segmento A'E' = m.
• 
  Construa o segmento B'C' // BC. Como os triângulos △ABC e △A'B'C' são semelhantes, o vértice C' ∈ AC.
• 
  Construa o segmento C'D' // CD. Como os triângulos △ACD e △A'C'D' são semelhantes, o vértice D' ∈ AD.

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📏 📐 Resolução

Vamos usar a Homotetia para construir um quadrado com a diferença de medidas entre a diagonal e o lado igual a m.

• 
  Considerando o quadrado construído, defina a diferença entre as medidas da diagonal AC e de um lado AN = n.
• 
  Usando o vértice A como centro de homotetia, encontre o ponto M tal que AM = m e M ∈ AC.
• 
  Como todos os quadrados são semelhantes entre si, podemos definir os triângulos semelhantes △ABN e △AB'M. Logo, definimos o vértice B' do quadrado com o segmento B'M // BN.
• 
  Construa o segmento B'C' // BC. Como os triângulos △ABC e △AB'C' são semelhantes, o vértice C' ∈ AC.
• 
  Construa o segmento C'D' // CD. O vértice D' ∈ AD.

📏 📐 Resolução

Vamos usar a Homotetia para construir um heptágono regular com a medida do apótema a.

• 
  Considerando o heptágono dado, vamos construir o apótema. Para determinar o centro do heptágono, construa as mediatrizes de dois lados.
• 
  O segmento OM = a' é o apótema do heptágono dado.
• 
  Usando o centro de homotetia O' ≡ O, defina a Circunf(O, a) e os pontos M' e M'' nas mediatrizes construídas.
• 
  Como os triângulos △ABO e △A'B'O são semelhantes, os vértices A' e B' pertencem às retas OA e OB, e temos também que A'B' // AB.
• 
  Construa o segmento A'G' // AG. O vértice G' ∈ OG.
• 
  Construa a Circunf(O, OA'), definindo os vértices F', E', D' e C' nos respectivos raios OF, OE, OD e OC.
• 
  Construa os lados do heptágono.

📏 📐 Resolução

Vamos usar a Homotetia para construir um hexágono regular com a medida da diagonal menor igual a d.

• 
  Vamos construir um hexágono regular a partir de uma circunferência de raio OA qualquer.
• 
  A partir do ponto A qualquer, defina os pontos B e C na circunferência, tais que AB = AF = OA.
• 
  Usando o mesmo raciocínio, defina os outros vértices do hexágono.
• 
  Construa uma diagonal menor d'.
• 
  Usando um vértice como centro de homotetia, construa o segmento A'C' = d.
• 
  Como os triângulos △AB'C' e △ABC são semelhantes, defina o vértice B' ∈ AB, tal que B'C' // BC.
• 
  Como os triângulos △O'A'B' e △OAB são semelhantes, defina o centro O' ∈ OA, tal que O'B' // OB
• 
  Construa a Circunf(O', O'A') e defina os vértices F' ∈ AF e D' ∈ AD.
• 
  Prolongando-se o segmento O'B', definimos o vértice E'. Construa os lados do hexágono.

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📏 📐 Resolução

Usaremos a Homotetia para construir um triângulo inscrito no triângulo △ABC.

• 
• 
  Construa o △X'Y'Z' tal que X'Z' // t e Y'Z' // s. Agora falta inserir o vértice Z' no lado BC.
• 
  Usando o centro de homotetia H ≡ A, defina o ponto Z ∈ AZ' e Z ∈ BC.
• 
  Construa o triângulo △XYZ tal que XZ // X'Z', XY // X'Y' e YZ // Y'Z'.

📏 📐 Resolução

Usaremos a Homotetia para construir um quadrado inscrito em um setor circular.

• 
  No primeiro exemplo, vamos considerar que um dos lados do quadrado pertence a um raio do setor circular. Considere o ponto X' ∈ AB e o vértice Y' ∈ AC tal que X'Y' ⊥ AB.
• 
  Defina o lado Y'Z' // AB...
• 
  ... e finalize o quadrado com Z'W' ⊥ AB. Falta inserir o vértice Z' no arco do setor circular.
• 
  Considere o centro de homotetia A ≡ H e defina o ponto Z ∈ AZ' no arco do setor circular.
• 
  Construa o segmento ZW ⊥ AB...
• 
  ... o lado YZ // AB...
• 
  ... e finalize o quadrado construindo XY // X'Y'.
• 
  No segundo exemplo, vamos considerar que um dos lados do quadrado contém os vértices equidistantes ao vértice do setor circular. Considere os pontos X' ∈ AB e Y' ∈ AC tais que X'A = Y'A.
• 
  Construa o lado Y'Z' ⊥ X'Y'...
• 
  ... e finalize o quadrado com X'W' // Y'Z' e Z'W' // X'Y'. Falta inserir os vértices Z' e W' no arco do setor circular.
• 
  Considere o centro de homotetia A ≡ H e defina os pontos Z ∈ AZ' e W ∈ AW' no arco do setor circular.
• 
  Construa o segmento YZ ⊥ ZW...
• 
  ... e finalize o quadrado com XY // ZW e XW // YZ.

📏 📐 Resolução

Usaremos a Homotetia para construir um losango inscrito no triângulo △ABC.

• 
  Como os lados de um losango são iguais, encontre os pontos X' ∈ BC e Y' ∈ AC tais que CX' = CY'.
• 
  Construa os lados do losango: X'Z' // Y'C e Y'Z' // X'C. Agora falta inserir o vértice Z' no lado AB.
• 
  Usando o centro de homotetia H ≡ C, defina o ponto Z ∈ CZ' e Z ∈ AB.
• 
  Construa o losango tal que XZ // X'Z' e ZY // Z'Y'.

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📏 📐 Exercício proposto 4.1

📏 📐 Resolução

Usaremos a Homotetia para construir um quadrado inscrito em uma elipse.

• 
  Encontre os pontos X' e Y' nos diâmetros principais da elipse, tais que OX' = OY'.
• 
  Construa os lados do quadrado: X'Y' // OZ' e Y'Z' // OX'. Agora falta inserir o vértice Y' na elipse.
• 
  Usando o centro de homotetia H ≡ O, defina o ponto A ∈ OY' na elipse. Temos o primeiro vértice do quadrado inscrito.
• 
  Prolongando-se OA, temos o vértice C simétrico de A em relação ao centro da elipse.
• 
  Construa o quadrado: AD // Y'Z', CD // OZ'...
• 
  ... e AB // CD.

📏 📐 Resolução

Usaremos a Homotetia para construir um retângulo inscrito em uma hipérbole.

• 
  Encontre os pontos 3 e 2 nos diâmetros principais da hipérbole, tais que $\mathsf{ {O2 \over O3} = {2 \over 3}}$.
• 
  Construa os lados do retângulo: A'2 // O3 e A'3 // O2. Agora falta inserir o vértice A' na hipérbole.
• 
  Usando o centro de homotetia H ≡ O, defina o ponto A ∈ OA' na hipérbole. Temos o primeiro vértice do retângulo inscrito. Prolongando-se OA, temos o vértice C simétrico de A em relação ao centro da hipérbole.
• 
  Construa o retângulo: AD // A'2, CD // A'3...
• 
  ... e AB // A'3.

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📏 📐 Resolução

Usaremos a Homotetia para construir um triângulo equilátero inscrito em uma parábola.

• 
  Encontre o vértice B' tal que A₂B' forme ângulo de 30° com o eixo da parábola.
• 
  Construa os lados do triângulo equilátero: A₂C' forma 30° com o eixo e A₂C' = A₂B'. Agora falta inserir os vértices B' e C' na parábola.
• 
  Usando o centro de homotetia H ≡ A₂, defina o ponto B ∈ A₂B' na parábola. Temos o primeiro vértice do triângulo equilátero inscrito.
• 
  Defina o ponto C ∈ A₂C' na parábola, determinando o triângulo equilátero inscrito na cônica.

📏 📐 Resolução

Vamos construir uma espiral de Arquimedes por pontos. Usaremos 8 pontos neste exemplo.

• 
  Obtenha os vértices de um octógono regular inscrito na circunferência: os ângulos centrais medem 45°.
• 
  Divida um dos raios AC = r₀ em 8 partes iguais, usando o teorema de Tales. Assim, encontramos os pontos A₁, A₂, ..., A₇ no raio AC.
• 
  Defina o arco com centro em A e raio AA₁: a interseção deste arco com o primeiro raio AC₁ é o primeiro ponto da espiral.
• 
  Defina o arco com centro em A e raio AA₂: a interseção deste arco com o segundo raio AC₂ é o segundo ponto da espiral.
• 
  Defina o arco com centro em A e raio AA₃: a interseção deste arco com o terceiro raio AC₃ é o terceiro ponto da espiral.
• 
  Usando o mesmo raciocínio, encontramos os demais pontos da espiral.
• 
  A forma paramétrica desta curva pode ser encontrada com um raio qualquer AC' e o ângulo CÂC' = α.
• 
  Defina a $\mathsf{ Circunf(A, { {AC'\cdot \alpha} \over {2 \pi}}) }$. O ponto P de interseção desta circunferência com o raio AC' determina um ponto da espiral.
• 
  O lugar geométrico do ponto P em relação ao ponto C' é a espiral de Arquimedes limitada à circunferência dada.

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📏 📐 Resolução

Vamos construir uma espiral logarítmica por pontos. Usaremos 8 pontos neste exemplo.

• 
  Construa as retas que passam por A e formam ângulos de 45° entre si.
• 
  Construa o segmento 1C ⊥ a₀, tal que 1 ∈ a₁.
• 
  Construa o segmento 12 ⊥ a₁, tal que 2 ∈ a₀.
• 
  Construa o segmento 23 ⊥ a₀, tal que 3 ∈ a₁.
• 
  Usando o mesmo raciocínio, defina os pontos 4, 5, 6 e 7 que pertencem alternadamente às retas a₀ e a₁.
• 
  Os pontos C e 1 pertencem à espiral. Defina o arco com centro em A e raio A2: a interseção deste arco com a reta a₂ é o terceiro ponto da espiral.
• 
  Defina o arco com centro em A e raio A3: a interseção deste arco com a reta a₃ é o quarto ponto da espiral.
• 
  Defina o arco com centro em A e raio A4: a interseção deste arco com a reta a₄ é o quinto ponto da espiral.
• 
  Usando o mesmo raciocínio, encontramos os demais pontos da espiral.
• 
  Obtenha o ponto 8 por meio do segmento 78 ⊥ a₁. Este é o último ponto da primeira volta desta espiral.
• 
  A forma paramétrica desta curva pode ser encontrada com um raio qualquer AC' e o ângulo CÂC' = α. Defina a $\mathsf{ Circunf(A, AC'e ^ {m \alpha}) }$. O ponto P de interseção desta circunferência com o raio AC' determina um ponto da espiral.
• 
  O lugar geométrico do ponto P em relação ao ponto C' é a espiral logarítmica. Neste exemplo, temos m = 0.442

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📏 📐 Resolução

Vamos construir uma espiral hiperbólica usando sua equação polar.

• 
  Defina o valor m e o raio inicial r₀.
• 
  Construa o ângulo com amplitude fixa m, com vértice A.
• 
  Defina a $\mathsf{ Circunf(A, { {AC} \over {m} }) }$. O ponto P de interseção desta circunferência com o raio AC' determina um ponto da espiral.
• 
  O lugar geométrico do ponto P em relação ao valor m é a espiral hiperbólica.

📏 📐 Resolução

Vamos construir uma ciclóide simples, por pontos, usando uma circunferência geradora com raio de medida igual a 2cm.

• 
  Construa a circunferência próxima à margem da folha, e encontre os vértices do octógono inscrito nesta circunferência.
• 
  Construa a reta tangente à circunferência que passa pelo ponto A, que será o início da ciclóide. Construa quatro segmentos consecutivos com medidas iguais ao diâmetro d da circunferência.
• 
  Usando a aproximação de Arquimedes para retificação de circunferências, obtenha $\mathsf{ {1} \over {7} }$ do quarto diâmetro construído. Logo, a distância AB = 3d + $\mathsf{ {d} \over {7} }$ é aproximamente igual ao perímetro da circunferência.
• 
  Divida o segmento AB em 4 partes iguais. Os pontos N, M e P definem $\mathsf{ {1} \over {4} }$, $\mathsf{ {1} \over {2} }$ e $\mathsf{ {3} \over {4} }$ da trajetória da circunferência.
• 
  Divida os segmentos AN, NM, MP e PB ao meio. Os pontos Q, R, S e T definem $\mathsf{ {1} \over {8} }$, $\mathsf{ {3} \over {8} }$, $\mathsf{ {5} \over {8} }$ e $\mathsf{ {7} \over {8} }$ da trajetória da circunferência.
• 
  As retas CD, GH e EF definem os pontos da trajetória da ciclóide. A interseção da circunferência que passa por Q com a reta CD define o primeiro ponto da curva ciclóide (ângulo de 45° relativo ao ponto C).
• 
  A interseção da circunferência que passa por N com a reta GH define o segundo ponto da curva ciclóide (ângulo de 90° relativo ao ponto G).
• 
  A interseção da circunferência que passa por R com a reta EF define o terceiro ponto da ciclóide (ângulo de 135° relativo ao ponto F).
• 
  O ponto A₄ corresponde à metade da trajetória (ângulo de 180° relativo ao ponto I).
• 
  A interseção da circunferência que passa por S com a reta EF define o quinto ponto da ciclóide (ângulo de 225° relativo ao ponto E).
• 
  A interseção da circunferência que passa por P com a reta GH define o sexto ponto da ciclóide (ângulo de 270° relativo ao ponto H).
• 
  A interseção da circunferência que passa por T com a reta CD define o sétimo ponto da ciclóide (ângulo de 315° relativo ao ponto D). O último ponto da ciclóide é B.

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📏 📐 Resolução

Vamos construir uma ciclóide usando uma rotação.

• 
  Construa uma circunferência de centro O e raio OA. Trace a reta r tangente a esta circunferência pelo ponto A.
• 
  Usando um ponto qualquer A' ∈ r, construa a circunferência com raio O'A' = OA tangente à reta r.
• 
  A fração da trajetória AA' está em uma correspondência proporcional ao ângulo de 360°. Usando a regra de três, temos que $\mathsf{ { {\alpha} \over {AA'} } = { {2 \pi} \over {2 \pi \cdot OA} } }$.
• 
  Logo, temos que $\mathsf{ \alpha = { {AA'} \over {OA} } }$ .
• 
  Defina a rotação do ponto A' feita por meio do ângulo de amplitude fixa α e vértice O'.
• 
  A ciclóide é o lugar geométrico da extremidade do ângulo α, ou seja, do ponto A'', em relação ao ponto A'.

📏 📐 Resolução

Vamos construir uma ciclóide encurtada usando uma rotação.

• 
  Construa uma circunferência de centro O e raio OA. Trace a reta r tangente a esta circunferência pelo ponto A.
• 
  Usando um ponto qualquer A' ∈ r, construa a circunferência com raio O'A' = OA tangente à reta r. Defina os pontos P e P' pertencentes aos raios OA e O'A'.
• 
  Defina o ângulo $\mathsf{ \alpha = { {AA'} \over {OA} } }$.
• 
  Defina a rotação do ponto P' feita por meio do ângulo de amplitude fixa α e vértice O'.
• 
  A ciclóide encurtada é o lugar geométrico da extremidade do ângulo α, ou seja, do ponto P'', em relação ao ponto A'.

📏 📐 Exercício proposto 4.2

📏 📐 Resolução

Vamos construir uma ciclóide usando uma rotação, com um pentágono regular estrelado giratório.

• 
  Usando os elementos mostrados nos dois exemplos anteriores, construa uma ciclóide simples com o ângulo α definido na circunferência de centro O'.
• 
  Defina o ângulo central do pentágono a partir da extremidade móvel A'' da circunferência de centro O'.
• 
  Construa os demais vértices do pentágono...
• 
  ... e defina os lados do pentágono regular estrelado.
• 
  Ao movimentar a circunferência, os vértices e lados do pentágono movimentam-se junto. Experimente definir os lugares geométricos dos vértices do pentágono em relação ao ponto A'.

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📏 📐 Resolução

Vamos construir uma epiciclóide usando rotações.

• 
  Começamos com a definição de um ângulo central qualquer AÔA' = α na circunferência de centro O e raio OA = r.
• 
  Defina o número n ≥ 2 e a circunferência de centro O', tangente externa à circunferência de centro O no ponto A'. O raio da circunferência de centro O' mede $\mathsf{ r' = { {r} \over {n} } = { {OA} \over {n} } }$.
• 
  Considerando que a epiciclóide começa no ponto A, quando a circunferência menor rolar tangenciando a circunferência maior até o ponto A', o comprimento do arco AOA' (com amplitude α) será igual ao comprimento do arco A'O'A'' (com amplitude β), ou seja, α·r = β·r'.
• 
  Logo, temos que $\mathsf{ \beta = { {\alpha \cdot r} \over {r'} } }$.
• 
  Defina o ângulo central com medida paramétrica β na circunferência menor no sentido horário.
• 
  A epiciclóide é o lugar geométrico da extremidade do ângulo β, ou seja, do ponto A'', em relação ao ponto A'.

📏 📐 Resolução

Vamos construir uma epiciclóide alongada usando rotações.

• 
  Começamos definindo um ângulo central qualquer AÔA' = α na circunferência de centro O e raio OA = r.
• 
  Defina o número n ≥ 2 e a circunferência de centro O', tangente à circunferência de centro O no ponto A'. O raio da circunferência de centro O' mede $\mathsf{ r' = { {r} \over {n} } = { {OA} \over {n} } }$.
• 
  Na epiciclóide alongada, a trajetória será de um ponto P pertencente ao prolongamento do raio O'A'.
• 
  O ângulo correspondente da circunferência menor mede $\mathsf{ \beta = { {\alpha \cdot r} \over {O'A'} } }$.
• 
  Defina o ângulo central com medida paramétrica PO'P'' = β na circunferência menor.
• 
  A epiciclóide alongada é o lugar geométrico da extremidade do ângulo β, ou seja, do ponto P'', em relação ao ponto A'.

📏 📐 Exercício proposto 4.3

📏 📐 Resolução

Vamos construir uma epiciclóide usando rotações, com um pentágono regular estrelado giratório.

• 
  Usando os elementos mostrados nos dois exemplos anteriores, construa uma epiciclóide simples usando o ângulo central com medida β na circunferência menor.
• 
  Defina o ângulo central do pentágono a partir da extremidade móvel A'' da circunferência de centro O'.
• 
  Construa os outros vértices e os lados do pentágono regular estrelado.
• 
  Ao movimentar a circunferência, os vértices e lados do pentágono movimentam-se junto. Experimente definir os lugares geométricos dos vértices do pentágono em relação ao ponto A'.

📏 📐 Resolução

Vamos construir uma hipociclóide usando rotações.

• 
  Começamos com a definição de um ângulo central qualquer AÔA' = α na circunferência de centro O e raio OA = r.
• 
  Defina o número n ≥ 2 e a circunferência de centro O', tangente interna à circunferência de centro O no ponto A'. O raio da circunferência de centro O' mede $\mathsf{ r' = { {r} \over {n} } = { {OA} \over {n} } }$.
• 
  Considerando que a hipociclóide começa no ponto A, quando a circunferência menor rolar tangenciando a circunferência maior até o ponto A', o comprimento do arco AOA' (com amplitude α) será igual ao comprimento do arco A'O'A'' (com amplitude β), ou seja, α·r = β·r'.
• 
  Logo, temos que $\mathsf{ \beta = { {\alpha \cdot r} \over {r'} } }$.
• 
  Defina o ângulo central com medida paramétrica β na circunferência menor, no sentido anti-horário.
• 
  A hipociclóide é o lugar geométrico da extremidade do ângulo β, ou seja, do ponto A'', em relação ao ponto A'.

📏 📐 Resolução

Vamos construir uma hipociclóide alongada usando rotações.

• 
  Começamos com a definição de um ângulo central qualquer AÔA' = α na circunferência de centro O e raio OA = r.
• 
  Considere o número n ≥ 2 e a circunferência de centro O', tangente à circunferência de centro O no ponto A'. O raio da circunferência de centro O' mede $\mathsf{ r' = { {r} \over {n} } = { {OA} \over {n} } }$.
• 
  Na hipociclóide alongada, a trajetória será de um ponto P pertencente ao prolongamento do raio O'A'.
• 
  O ângulo correspondente da circunferência menor mede $\mathsf{ \beta = { {\alpha \cdot r} \over {O'A'} } }$.
• 
  Defina o ângulo central com medida paramétrica PO'P'' = β na circunferência menor.
• 
  A hipociclóide alongada é o lugar geométrico da extremidade do ângulo β, ou seja, do ponto P'', em relação ao ponto A'.

📏 📐 Resolução

Vamos construir uma hipociclóide encurtada usando rotações.

• 
  Defina um ângulo central qualquer AÔA' = α na circunferência de centro O e raio OA = r.
• 
  Considere o número n ≥ 2 e a circunferência de centro O', tangente à circunferência de centro O no ponto A'. O raio da circunferência de centro O' mede $\mathsf{ r' = { {r} \over {n} } = { {OA} \over {n} } }$.
• 
  Na hipociclóide encurtada, a trajetória será de um ponto P pertencente ao raio O'A'.
• 
  O ângulo correspondente da circunferência menor mede $\mathsf{ \beta = { {\alpha \cdot r} \over {O'A'} } }$.
• 
  Defina o ângulo central com medida paramétrica PO'P'' = β na circunferência menor.
• 
  A hipociclóide encurtada é o lugar geométrico da extremidade do ângulo β, ou seja, do ponto P'', em relação ao ponto A'.

📏 📐 Exercício proposto 4.4

📏 📐 Resolução

Vamos construir as projeções frontal e superior de uma hélice cilíndrica usando rotações.

• 
  Defina a projeção superior do cilindro: uma circunferência de centro O e raio r = OA'. Escolha um ponto P qualquer desta circunferência.
• 
  Construa as retas tangentes à circunferência nas extremidades do diâmetro A'B'. Escolha um ponto A em uma das retas construídas.
• 
  Construa o segmento AB // A'B'.
• 
  A projeção frontal do cilindro é o retângulo ABCD com o segmento AB igual ao diâmetro da base e BC = h com a medida da altura do cilindro.
• 
  Considere um número chamado voltas, que será usado para controlar o número de voltas da hélice. Considere o ponto K ∈ AD. Usando uma regra de três, temos que o segmento KA corresponde à altura relativa que define a medida do ângulo central da base α por meio da seguinte expressão: $\mathsf{ \alpha = { {2\pi \cdot voltas \cdot KA} \over {h} } }$.
• 
  Defina o ângulo central paramétrico α = P'OQ' no sentido anti-horário. Construindo o segmento QQ' tal que QQ' // AD e KQ // A'B', temos o ponto correspondente Q' da projeção superior da rotação de ângulo α da hélice cilíndrica, e Q será a projeção frontal deste mesmo ponto Q'.
• 
  A projeção frontal da hélice cilíndrica é o lugar geométrico do ponto Q em relação ao ponto K. A projeção superior é a própria circunferência que define a base do cilindro.
• 
  Modificando o valor do número voltas, temos outras hélices. Podemos modificar também a posição do ponto P', que define o início das projeções da curva.

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📏 📐 Resolução

Vamos construir as projeções frontal e superior de uma hélice cônica usando rotações.

• 
  Defina a projeção superior do cone: uma circunferência de centro O e raio r = OA'. Escolha um ponto P qualquer desta circunferência.
• 
  Construa as retas tangentes à circunferência nas extremidades do diâmetro A'B'. Escolha um ponto A em uma das retas construídas.
• 
  Construa o segmento AB // A'B'.
• 
  A projeção frontal do cone é o triângulo isósceles VAB com o segmento AB igual ao diâmetro da base e VM = AD = h com a medida da altura do cone.
• 
  Considere um número chamado voltas, que será usado para controlar o número de voltas da hélice. Considere o ponto K ∈ AD. Usando uma regra de três, temos que o segmento KA corresponde à altura relativa que define a medida do ângulo central da base α por meio da seguinte expressão: $\mathsf{ \alpha = { {2\pi \cdot voltas \cdot KA} \over {h} } }$.
• 
  Defina o ângulo central paramétrico α = P'OC' no sentido anti-horário. Defina a projeção frontal de C' tal que CC' // AD e C ∈ AB. Logo, temos a geratriz VC com sua projeção superior OC'. Obtenha as projeções do ponto R ∈ VC, tal que KR // AB, RR' // AD e R' ∈ OC'.
• 
  As projeções frontal e superior da hélice cônica são os lugares geométricos dos pontos R e R' em relação ao ponto K.
• 
  Modificando o valor do número voltas, temos outras hélices. Podemos modificar também a posição do ponto P', que define o início das projeções da curva.

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5. Translação, Inversão e curvas

Material da página 54 até a página 67.

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📏 📐 Resolução

Vamos construir o trapézio ABCD, dadas as medidas dos lados.

• 
  Começamos pela base maior AB.
• 
  Fazendo a translação da base menor CD sobre a base maior com amplitude AD, definimos o segmento AE = CD sobre a base AB.
• 
  Logo, temos o paralelogramo AECD que define o segmento EC = AD. Construa as circunferências de centros em E e B, com raios AD e BC. Assim, encontramos o vértice C.
• 
  Para finalizar o trapézio, basta construir os segmentos CD // AB e AD // EC.

📏 📐 Resolução

Vamos construir o trapézio ABCD, dadas as medidas das bases e das diagonais.

• 
  Podemos fazer a translação da base menor com amplitude igual à medida de uma diagonal: BD. Assim, encontramos o ponto E ∈ AB, tal que BE = CD.
• 
  Começamos com a base maior AB...
• 
  ... e construímos o segmento BE = CD.
• 
  Logo, temos o paralelogramo BECD que define o segmento EC = BD. Construa as circunferências de centros em E e A, com raios BD e AC. Assim, encontramos o vértice C.
• 
  Para finalizar o trapézio, basta construir os segmentos CD // AB e BD // EC.

📏 📐 Resolução

Vamos construir o trapézio ABCD, dadas as medidas das bases e de dois ângulos.

• 
  Podemos fazer a translação da base menor com amplitude igual à medida de uma diagonal: AD. Assim, encontramos o ponto E ∈ AB, tal que AE = CD.
• 
  Começamos com a base maior AB e construímos o segmento AE = CD.
• 
  Construa os ângulos dos vértices A e B, encontrando as retas suporte das laterais do trapézio.
• 
  Construa a reta paralela à direção da lateral AD que passa por E. Assim, encontramos o vértice C na interseção da reta suporte do lado BC.
• 
  Para finalizar o trapézio, basta construir o segmento CD // AB.

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📏 📐 Resolução

Vamos usar a translação para determinar os pontos P e Q das circunferências dadas, tal que o segmento PQ passa por C e PQ = 2m.

• 
  Construa o arco capaz de 90° no segmento AB.
• 
  O segmento PQ deve passar pelo ponto C: logo, defina o segmento AQ' = m, tal que Q' esteja no arco capaz de 90° mais próximo de C.
• 
  O segmento procurado PQ é paralelo ao segmento AQ' e passa por C.
• 
  A justificativa para esta construção está na construção do arco capaz de 90°, que define o segmento M_AM_B transladado de AQ' = m. Temos que PM_A = CM_A e QM_B = CM_B, ou seja, PQ = 2m.

📏 📐 Resolução

Vamos usar a translação para circunscrever um triângulo equilátero no triângulo △ABC.

• 
  Vamos construir arcos capazes de 60° em dois lados do △ABC. Começando pelo lado AB, construa o ângulo de segmento de 60° com vértice A.
• 
  Encontre a mediatriz do lado AB. O centro O do arco capaz de 60° está na interseção da mediatriz do lado AB com o segmento perpendicular à reta suporte do ângulo de segmento construído.
• 
  Construa o arco capaz de centro O e raio OA = OB.
• 
  Agora vamos construir o arco capaz no lado AC: construa o ângulo de segmento de 60° com vértice C.
• 
  Encontre a mediatriz do lado AC. O centro O' do arco capaz de 60° está na interseção da mediatriz do lado AC com o segmento perpendicular à reta suporte do ângulo de segmento construído.
• 
  Construa o arco capaz de centro O' e raio O'A = O'C.
• 
  Escolha um ponto P de um dos arcos capazes e defina o segmento PQ que passa por A e Q pertence ao outro arco capaz construído. Assim, temos um dos lados de um triângulo equilátero circunscrito.
• 
  Agora basta construir os segmentos PR e QR que passam pelos vértices B e C.
• 
  Outra forma de resolver este exercício é começar com uma reta r que passa por um dos vértices: por exemplo, o vértice A.
• 
  Depois podemos escolher um ponto P' ∈ r e construir um ângulo de 60° no sentido horário a partir da reta escolhida.
• 
  Agora podemos escolher um ponto Q' ∈ r e construir um ângulo de 60° no sentido anti-horário a partir da reta escolhida. Assim construímos um triângulo equilátero △P'Q'R'.
• 
  Agora basta fazer a translação do lado P'R', obtendo-se a reta PB // P'R'.
• 
  Com a translação do lado Q'R' encontramos a reta QC // Q'R' e o triângulo equilátero circunscrito.

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📏 📐 Resolução

Vamos usar a translação para encontrar um ponto da reta s que enxerga o segmento AB segundo ângulo de 60°.

• 
  Contrua um ângulo BC'A' = 60°. Agora precisamos fazer a translação do segmento C'A' até que os pontos A e A' fiquem coincidentes.
• 
  Construindo a reta paralela a A'C' que passa por A, encontramos o ponto C ∈ s que enxerga AB segundo ângulo de 60°.

📏 📐 Exercício proposto 5.1

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📏 📐 Resolução

Vamos construir uma hélice cilíndrica em projeções ortogonais e também em perspectiva.

• 
  Construa uma circunferência de centro A' e raio r e os eixos perpendiculares x e y com origem do sistema de coordenadas xOy.
• 
  Construa a projeção frontal do cilindro: o retângulo com um lado igual ao diâmetro da circunferência da base e o outro lado igual à altura h. Considere as geratrizes paralelas ao eixo y.
• 
  Considere um número chamado voltas, que será usado para controlar o número de voltas da hélice. Considere o ponto K ∈ QR. Usando uma regra de três, temos que o segmento KR corresponde à altura relativa que define a medida do ângulo central da base α = P'A'B' por meio da seguinte expressão: $\mathsf{ \alpha = { {2\pi \cdot voltas \cdot KR} \over {h} } }$.
• 
  Construa os segmentos paralelos aos eixos que passam por A', definindo as coordenadas deste ponto: x_A' e y_A'.
• 
  Construa os eixos em perspectiva e defina as coordenadas x_A' e y_A' que determinam a projeção do ponto A' em perspectiva, por meio dos segmentos paralelos aos eixos representados em perspectiva.
• 
  Agora obtenha as coordenadas do ponto B' e transfira estas medidas para os eixos em perspectiva.
• 
  O lugar geométrico do ponto B' da perspectiva em relação ao ponto K é a projeção da circunferência da base do cilindro em perspectiva.
• 
  Construa o segmento correspondente de B' na vista frontal do cilindro, definindo o segmento BC tal que BC // QR e BK // P'Q'.
• 
  O lugar geométrico do ponto B em relação ao ponto K é a projeção frontal da hélice cilíndrica. Transfira a medida BC para a perspectiva, tal que BB' // z e BB' = BC.
• 
  O lugar geométrico do ponto B na perspectiva em relação ao ponto K é a projeção da hélice cilíndrica na perspectiva.
• 
  Modificando o valor do número voltas, temos outras hélices cilíndricas representadas em projeções e também em perspectiva.

Arquivo de base para as hélices

📏 📐 Resolução

Vamos construir uma hélice cônica em projeções ortogonais e também em perspectiva.

• 
  Construa uma circunferência de centro A' e raio r e os eixos perpendiculares x e y com origem do sistema de coordenadas xOy. Construa a projeção frontal do cone: o triângulo iscósceles com um lado igual ao diâmetro da circunferência da base e altura QR = h. Considere a altura do cone paralela ao eixo y.
• 
  Considere um número chamado voltas, que será usado para controlar o número de voltas da hélice. Considere o ponto K ∈ QR. Usando uma regra de três, temos que o segmento KR corresponde à altura relativa que define a medida do ângulo central da base α = P'A'C' por meio da seguinte expressão: $\mathsf{ \alpha = { {2\pi \cdot voltas \cdot KR} \over {h} } }$.
• 
  Construa os segmentos paralelos aos eixos que passam por A', definindo as coordenadas deste ponto: x_A' e y_A'.
• 
  Construa os eixos em perspectiva e defina as coordenadas x_A' e y_A' que determinam a projeção do ponto A' em perspectiva, por meio dos segmentos paralelos aos eixos representados em perspectiva.
• 
  Agora obtenha as coordenadas do ponto C' e transfira estas medidas para os eixos em perspectiva.
• 
  O lugar geométrico do ponto C' da perspectiva em relação ao ponto K é a projeção da circunferência da base do cone em perspectiva.
• 
  Construa a geratriz correspondente de C' na vista frontal do cilindro, definindo o segmento VC tal que C pertence ao segmento da base do triângulo isósceles. Defina o ponto correspondente de K na geratriz VC, tal que BK // P'Q'.
• 
  O lugar geométrico do ponto B em relação ao ponto K é a projeção frontal da hélice cônica. Obtenha a projeção superior do ponto B tal que B' ∈ A'C' e defina a medida da altura correspondente da hélice BD.
• 
  O lugar geométrico do ponto B' em relação ao ponto K é a projeção superior da hélice cônica.
• 
  Obtenha as coordenadas do ponto B' na perspectiva. O lugar geométrico do ponto B' da perspectiva em relação ao ponto K é a projeção da hélice cônica em perspectiva.
• 
  Transfira a medida BD para a perspectiva, tal que BB' // z e BB' = BD.
• 
  O lugar geométrico do ponto B na perspectiva em relação ao ponto K é a projeção da hélice cônica na perspectiva.
• 
  Modificando o valor do número voltas, temos outras hélices cônicas representadas em projeções e também em perspectiva.

📏 📐 Resolução

Vamos construir uma hélice esférica em projeções ortogonais e também em perspectiva.

• 
  Construa uma circunferência de centro A' e raio r e os eixos perpendiculares x e y com origem do sistema de coordenadas xOy. Construa a projeção frontal da esfera: a circunferência de raio QA = r. Considere o segmento correspondente das projeções da esfera QQ' // y.
• 
  Defina os pontos limite V e T da projeção frontal a partir dos diâmetros paralelos aos eixos x e y.
• 
  Defina o ponto K ∈ VT, e os pontos da projeção frontal D e E tais que DE // P'Q'.
• 
  Considere um número chamado voltas, que será usado para controlar o número de voltas da hélice. Usando uma regra de três, temos que o segmento KT corresponde à altura relativa que define a medida do ângulo central da base α = P'A'C' por meio da seguinte expressão: $\mathsf{ \alpha = { {2\pi \cdot voltas \cdot KT} \over {TV} } }$.
• 
  Construa a Circunf(A', A'D'), correspondente à seção paralela ao diâmetro da esfera P'Q' da vista frontal. O ponto R' ∈ A'C' pertence à hélice esférica.
• 
  O ponto correspondente de R' da projeção frontal é R tal que RR' // TV e R ∈ DE.
• 
  O lugar geométrico de R em relação ao ponto K define a projeção frontal da hélice esférica.
• 
  O lugar geométrico do ponto R' em relação ao ponto K define a projeção superior da hélice esférica.
• 
  Construa os eixos em perspectiva e defina as coordenadas e projeções do ponto R'.
• 
  O lugar geométrico do ponto R' da perspectiva em relação ao ponto K define a projeção da hélice esférica em perspectiva.
• 
  Transfira a medida KT para a perspectiva, tal que RR' // z, RR' = KT + 1. O lugar geométrico do ponto R na perspectiva em relação ao ponto K define a projeção da hélice esférica na perspectiva.
• 
  Modificando o valor do número voltas, temos outras hélices esféricas representadas em projeções e também em perspectiva.

📏 📐 Exercício proposto 5.2

📏 📐 Resolução

Vamos construir uma hélice hiperbólica em projeções ortogonais e também em perspectiva. Vamos considerar a superfície de um hiperbolóide de revolução.

• 
  Construa uma circunferência de centro A' e raio r e os eixos perpendiculares x e y com origem do sistema de coordenadas xOy. Construa a projeção frontal da hipérbole com centro na mesma reta paralela ao eixo y que passa por A'. Considere o segmento PQ // P'Q' que passa por A e contém os focos da hipérbole.
• 
  Defina os pontos limite T e V da projeção frontal a partir dos diâmetros paralelos aos eixos x e y.
• 
  Defina o ponto K ∈ VT, e os pontos da projeção frontal D e E tais que DE // P'Q'.
• 
  Considere um número chamado voltas, que será usado para controlar o número de voltas da hélice. Usando uma regra de três, temos que o segmento KT corresponde à altura relativa que define a medida do ângulo central da base α = P'A'C' por meio da seguinte expressão: $\mathsf{ \alpha = { {2\pi \cdot voltas \cdot KT} \over {VT} } }$.
• 
  Construa a Circunf(A', A'D'), correspondente à seção paralela ao diâmetro do hiperbolóide P'Q' da vista frontal. O ponto R' ∈ A'C' pertence à hélice hiperbólica.
• 
  O ponto correspondente de R' da projeção frontal é R tal que RR' // VT e R ∈ DE.
• 
  O lugar geométrico do ponto R em relação ao ponto K define a projeção frontal da hélice hiperbólica.
• 
  O lugar geométrico do ponto R' em relação ao ponto K define a projeção superior da hélice hiperbólica.
• 
  Construa os eixos em perspectiva e defina as coordenadas e projeções do ponto R'.
• 
  O lugar geométrico do ponto R' da perspectiva em relação ao ponto K define a projeção da hélice hiperbólica em perspectiva.
• 
  Transfira a medida KT para a perspectiva, tal que RR' // z, RR' =KT + 1.
• 
  O lugar geométrico do ponto R na perspectiva em relação ao ponto K define a projeção da hélice hiperbólica na perspectiva.
• 
  Modificando o valor do número voltas, temos outras hélices hiperbólicas representadas em projeções e também em perspectiva.

📏 📐 Resolução

Vamos construir uma hélice parabólica em projeções ortogonais e também em perspectiva. Vamos considerar a superfície de um parabolóide de revolução.

• 
  Construa uma circunferência de centro A' e raio r e os eixos perpendiculares x e y com origem do sistema de coordenadas xOy. Construa a projeção frontal da parábola com o vértice na mesma reta paralela ao eixo y que passa por A'. Considere o segmento PQ // P'Q' // γ.
• 
  Defina o ponto limite T da projeção frontal que pertence à reta paralela ao eixo x que passa pelo vértice da parábola.
• 
  Defina o ponto K ∈ QT, e os pontos da projeção frontal D e E tais que DE // P'Q'.
• 
  Considere um número chamado voltas, que será usado para controlar o número de voltas da hélice. Usando uma regra de três, temos que o segmento KT corresponde à altura relativa que define a medida do ângulo central da base α = P'A'C' por meio da seguinte expressão: $\mathsf{ \alpha = { {2\pi \cdot voltas \cdot KT} \over {TQ} } }$.
• 
  Construa a Circunf(A', A'D'), correspondente à seção paralela ao diâmetro do parabolóide P'Q' da vista frontal. O ponto R' ∈ A'C' pertence à hélice parabólica.
• 
  O ponto correspondente de R' da projeção frontal é R tal que RR' // QT e R ∈ DE.
• 
  O lugar geométrico do ponto R em relação ao ponto K define a projeção frontal da hélice parabólica.
• 
  O lugar geométrico do ponto R' em relação ao ponto K define a projeção superior da hélice parabólica.
• 
  Construa os eixos em perspectiva e defina as coordenadas e a projeção do ponto R'.
• 
  O lugar geométrico do ponto R' da perspectiva em relação ao ponto K define a projeção da hélice parabólica em perspectiva.
• 
  Transfira a medida TK para a perspectiva, tal que RR' // z e RR' = TK + 1.
• 
  O lugar geométrico do ponto R na perspectiva em relação ao ponto K define a projeção da hélice parabólica na perspectiva.
• 
  Modificando o valor do número voltas, temos outras hélices parabólicas representadas em projeções e também em perspectiva.

📏 📐 Resolução

Vamos construir uma curva de Agnesi a partir de uma circunferência de centro A e raio a.

• 
  Começamos construindo um diâmetro CT.
• 
  Na extremidade T, construa uma reta tangente t.
• 
  Escolha um ponto qualquer B ∈ t e defina o segmento BC.
• 
  Encontre o ponto da circunferência D ∈ BC e o ponto P tal que PD // t e PB // CT.
• 
  O lugar geométrico do ponto P em relação ao ponto B é a curva de Agnesi relativa à circunferência de centro A e raio a.

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📏 📐 Resolução

Vamos construir uma curva logarítmica a partir dos eixos x e y.

• 
  Começamos construindo um segmento AB ∈ y que será usado como parâmetro da curva.
• 
  A curva logarítmica pode ser definida a partir de um ponto C ∈ x tal que $\mathsf{ CP = { {AB} \over {k \cdot AC} } }$.
• 
  Se considerarmos k = 1, temos esta curva logarítmica como o lugar geométrico de P em relação ao ponto C. Escolha outros valores de k para construir outras curvas logarítmicas.

📏 📐 Resolução

Vamos construir uma curva Catenária a partir de dois segmentos perpendiculares.

• 
  Começamos construindo um segmento AB que será usado como parâmetro da curva. Defina o segmento a ⊥ AB.
• 
  A curva Catenária pode ser definida a partir de um ponto C ∈ a tal que $\mathsf{ CP = cosh \left( { {AC} \over {AB} } \right) }$.
• 
  O lugar geométrico de P em relação ao ponto C é a curva Catenária com parâmetro a.

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📏 📐 Resolução

Vamos construir uma curva de Cassini a partir dos segmentos AA' e FF'.

• 
  Construa o segmento AA' e encontre o ponto médio O, que será o centro da curva.
• 
  Determine os pontos F e F', simétricos em relação ao centro O.
• 
  Construa a Cirunf(O, OF).
• 
  Determine um ponto B da circunferência e defina o segmento A'C tal que B ∈ A'C. Um ponto da curva de Cassini tem as distâncias aos focos com a potência de ponto fixa igual a A'B·A'C = a².
• 
  Para encontrar um ponto P da curva de Cassini, construa a Circunf(F', A'B)...
• 
  ... e a Circunf(F, A'C). A interseção destas duas circunferências define dois pontos da curva de Cassini, simétricos em relação ao diâmetro AA'.
• 
  Os lugares geométricos de P e de P' em relação ao ponto B definem a curva de Cassini com parâmetros AA' e FF'.
• 
  Modificando o tamanho de FF', temos outros formatos da curvas de Cassini.
• 
  Modificando o tamanho de FF', temos outros formatos da curvas de Cassini.

📏 📐 Resolução

Vamos construir uma curva lemniscata de Bernoulli a partir do segmento FF'.

• 
  Construa o segmento FF' e encontre o ponto médio O, que será o centro da curva.
• 
  Determine o ângulo central F'OA'' = 45°.
• 
  A lemniscata de Bernoulli é um caso especial da curva de Cassini, quando a = OF. Para determinar o ponto A', basta construir o segmento A''A' tangente à circunferência. Logo, teremos que A''A'² = a².
• 
  Determine um ponto B da circunferência e defina o segmento A'C tal que B ∈ A'C. Um ponto da lemniscata tem as distâncias aos focos com a potência de ponto fixa igual a A'B·A'C = a².
• 
  Para encontrar os pontos P e P' da lemniscata, construa as Circunf(F', A'B) e Circunf(F, A'C).
• 
  Os lugares geométricos de P e de P' em relação ao ponto B definem a lemniscata de Bernoulli com parâmetro FF'.

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📏 📐 Resolução

Vamos construir uma quadratriz de Hippias a partir do segmento AB.

• 
  Construa a semicircunferência de diâmetro AB.
• 
  Determine um ponto C ∈ AB.
• 
  Defina o ângulo $\mathsf{ \alpha = { {AC \cdot \pi} \over {AB} } }$, ou seja, proporcional em relação ao ângulo de 180° e ao diâmetro AB.
• 
  Determine um ponto P tal que CP ⊥ AB e P ∈ OA'.
• 
  O lugar geométrico de P em relação ao ponto C define a quadratriz de Hippias com diâmetro AB.

📏 📐 Resolução

Vamos construir uma cissóide de uma circunferência exterior a uma reta.

• 
  Construa uma circunferência de raio r (curva c₁) e uma reta exterior a esta circunferência (curva c₂).
• 
  Construa o diâmetro AB ⊥ c₂.
• 
  Defina o ponto C ∈ c₂.
• 
  Determine os pontos P ∈ AC e Q ∈ AC tais que CP = CQ = AD.
• 
  Os lugares geométricos de P e de Q em relação ao ponto C definem a cissóide das curvas c₁ e c₂.

📏 📐 Resolução

Vamos construir uma cissóide de uma circunferência tangente a uma reta.

• 
  Construa uma circunferência de raio r (curva c₁).
• 
  Construa o diâmetro AB.
• 
  Construa a reta tangente à circunferência (curva c₂) pela extremidade B.
• 
  Defina o ponto C ∈ c₂.
• 
  Determine os pontos P ∈ AC e Q ∈ AC tais que CP = CQ = AD.
• 
  Os lugares geométricos de P e de Q em relação ao ponto C definem a cissóide das curvas c₁ e c₂.

📏 📐 Exercício proposto 5.3

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📏 📐 Resolução

Vamos construir uma cissóide de uma elipse secante a uma reta.

• 
  Construa uma elipse que contém um ponto K (curva c₁) e uma reta secante a esta elipse (curva c₂).
• 
  Construa o diâmetro AB ⊥ c₂.
• 
  Defina o ponto C ∈ c₂.
• 
  Determine os pontos P ∈ AC e Q ∈ AC tais que CP = CQ = AD.
• 
  Os lugares geométricos de P e de Q em relação ao ponto C definem a cissóide das curvas c₁ e c₂.

📏 📐 Resolução

Vamos construir uma cissóide de uma hipérbole secante a uma reta.

• 
  Construa uma hipérbole que contém um ponto K (curva c₁) e uma reta secante a esta hipérbole (curva c₂).
• 
  Construa o diâmetro AB ⊥ c₂.
• 
  Defina o ponto C ∈ c₂.
• 
  Determine os pontos P ∈ AC e Q ∈ AC tais que CP = CQ = AD.
• 
  Os lugares geométricos de P e de Q em relação ao ponto C definem a cissóide das curvas c₁ e c₂.

📏 📐 Resolução

Vamos construir uma conchóide de uma circunferência com parâmetro d e pólo A.

• 
  Construa uma circunferência de raio OA (curva c).
• 
  Defina o ponto C ∈ c.
• 
  Determine os pontos P ∈ AC e Q ∈ AC tais que CP = CQ = d.
• 
  Os lugares geométricos de P e de Q em relação ao ponto C definem a conchóide da curva c.

📏 📐 Resolução

Vamos construir uma conchóide de uma circunferência com parâmetro igual ao diâmetro d e pólo A.

• 
  Construa uma circunferência com diâmetro d (curva c).
• 
  Defina o ponto C ∈ c.
• 
  Determine os pontos P ∈ AC e Q ∈ AC tais que CP = CQ = d.
• 
  Os lugares geométricos de P e de Q em relação ao ponto C definem a conchóide da curva c. Este caso especial da conchóide chama-se cardióide.

📏 📐 Resolução

Vamos construir uma conchóide de uma reta com parâmetro d e pólo A.

• 
  Construa uma reta (curva c) e determine um ponto A exterior à reta.
• 
  Defina o ponto C ∈ c.
• 
  Determine os pontos P ∈ AC e Q ∈ AC tais que CP = CQ = d.
• 
  Os lugares geométricos de P e de Q em relação ao ponto C definem a conchóide da curva c.

📏 📐 Exercício proposto 5.4

📏 📐 Resolução

Vamos construir uma conchóide de uma hipérbole com parâmetro d e pólo A.

• 
  Construa uma hipérbole que contém um ponto K (curva c) e determine um ponto A da hipérbole.
• 
  Escolha um ponto C ∈ c.
• 
  Determine os pontos P ∈ AC e Q ∈ AC tais que CP = CQ = d.
• 
  Os lugares geométricos de P e de Q em relação ao ponto C definem a conchóide da curva c.

📏 📐 Resolução

Vamos construir uma besácea com parâmetros AB e AC.

• 
  Construa uma circunferência de raio OA.
• 
  Defina o diâmetro AB e um ponto C da circunferência.
• 
  Determine um ponto E da circunferência.
• 
  Construa a reta ED // BC e encontre os pontos P ∈ ED e Q ∈ ED tais que PD = QD = EC.
• 
  Os lugares geométricos de P e de Q em relação ao ponto E definem uma curva chamada besácea.

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📏 📐 Resolução

Vamos construir uma curva de Bézier dados os segmentos de controle AB e CD.

• 
  Determine os segmentos de controle AB e CD.
• 
  Defina um ponto E ∈ AB e a razão $\mathsf{ c = { {AE} \over {AB} } }$ relativa à medida AB. Usaremos este número para encontrar os pontos correspondentes nos outros segmentos.
• 
  Determine o ponto F ∈ BC tal que F = B + c·(C - B). Desta forma, temos o ponto F com a mesma razão de distâncias do ponto E, porém, em relação ao segmento BC.
• 
  Determine o ponto G ∈ CD tal que G = C + c·(D - C).
• 
  Determine o ponto H ∈ EF tal que H = E + c·(F - E).
• 
  Determine o ponto I ∈ FG tal que I = F + c·(G - F).
• 
  Para finalizar, determine o ponto J ∈ HI tal que J = H + c·(I - H).
• 
  O lugar geométrico de J em relação ao ponto E define uma curva de Bézier.

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📏 📐 Resolução

Vamos construir uma curva aerofólio dadas as circunferências α e β e a reta r.

• 
  Construa as circunferências secantes α e β e a reta r.
• 
  Defina um ponto A ∈ α e construa o inverso de A em relação a β.
• 
  Determine o ponto A'' simétrico de A' em relação à reta r.
• 
  Determine o ponto médio de AA''.
• 
  A curva aerofólio é o lugar geométrico de P em relação ao ponto A.

📏 📐 Resolução

Vamos determinar a reta que define uma curva aerofólio que passa por P, dadas as circunferências α e β.

• 
  Defina o ponto simétrico de A ∈ α em relação ao ponto P (pois P é o ponto médio de AA'').
• 
  Determine o ponto A' inverso de A em relação a β.
• 
  Logo, a reta procurada é mediatriz de A'A'' (pois A' e A'' são simétricos em relação à reta r).
• 
  Determine um ponto B ∈ α.
• 
  Encontre o inverso de B em relação a β.
• 
  Determine o simétrico de B' em relação à reta r.
• 
  Construa o ponto médio de BB''.
• 
  A curva aerofólio é o lugar geométrico de P' em relação ao ponto B.

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📏 📐 Resolução

Vamos construir a curva bicorne usando as três definições apresentadas nesta página.

• 
  Definição 1: Construa as circunferências com raios iguais, tangentes no ponto A.
• 
  Determine um ponto B ∈ β.
• 
  Encontre a reta polar de B em relação a α.
• 
  Construa o segmento BP // OO' tal que P ∈ b.
• 
  O lugar geométrico de P em relação ao ponto B é uma curva bicorne.
• 
  Definição 2: Construa uma circunferência com raio OE e determine os pontos A e A' simétricos em relação a OE.
• 
  Determine um ponto C da circunferência e construa o triângulo △AA'C.
• 
  Construa o ortocentro H do triângulo △AA'C.
• 
  O lugar geométrico de H em relação ao ponto C é uma curva bicorne.
• 
  Definição 3: Construa uma circunferência com raio OE e determine os pontos A e A' simétricos em relação a OE.
• 
  Determine um ponto C da circunferência e construa o diâmetro CD.
• 
  Determine o ponto P ≡ AC ∩ A'D.
• 
  O lugar geométrico de P em relação ao ponto C é uma curva bicorne.

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📏 📐 Resolução

Vamos construir a curva lemniscata de Gerono usando as três definições apresentadas nesta página.

• 
  Definição 1: Determine uma circunferência de raio OA, um ponto B desta circunferência e a reta tangente t que passa por A.
• 
  Determine o segmento BC ⊥ t.
• 
  Construa o segmento CD que passa pelo centro O. Determine P ∈ CD tal que BP // t.
• 
  O lugar geométrico de P em relação ao ponto B é uma lemniscata de Gerono.
• 
  Definição 2: Construa uma circunferência com raio OA e a circunferência tangente de diâmetro OA.
• 
  Determine um ponto B da circunferência menor e construa o diâmetro da circunferência maior CD que passa por B.
• 
  Construa os segmentos CQ // PD tais que CQ ⊥ OA e B ∈ PQ.
• 
  Os lugares geométricos de P e de Q em relação ao ponto B determinam uma lemniscata de Gerono.
• 
  Definição 3: Construa uma circunferência com diâmetro AB e determine um ponto C ∈ AB.
• 
  Construa os segmentos CD ⊥ AB e CE ⊥ OD.
• 
  Determine os pontos P e Q pertencentes à reta CD tais que CP = CQ = CE.
• 
  Os lugares geométricos de P e de Q em relação ao ponto C determinam uma lemniscata de Gerono.

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📏 📐 Resolução

Vamos construir uma curva kappa, dados o ponto O e a reta s.

• 
  Determine uma reta s e um ponto O.
• 
  Encontre o ponto A ∈ s tal que AO ⊥ s.
• 
  Determine um ponto B ∈ s.
• 
  Construa a reta OB e determine a medida AB.
• 
  Encontre os pontos P ∈ OB e Q ∈ OB tais que OP = OQ = AB.
• 
  Os lugares geométricos de P e de Q em relação ao ponto B determinam uma curva kappa.

📏 📐 Resolução

Vamos construir a reta s da curva kappa, dados o ponto P da curva, a reta que contém o ponto A e o ponto O.

• 
  Determine a distância OP e escolha um ponto C ∈ q para construir CD ⊥ q. Esta é a distância do ponto A até o ponto B que define o ponto dado P.
• 
  Construa a reta BD // q, definindo o ponto B no prolongamento de OP.
• 
  Logo, a reta s será perpendicular à reta q e passará no ponto B.
• 
  O simétrico de P em relação ao ponto O pertence à curva kappa.
• 
  Os lugares geométricos de P e de Q em relação ao ponto B determinam uma curva kappa.

📏 📐 Resolução

Vamos construir a curva quártica piriforme dados a circunferência, o ponto A e a reta s.

• 
  Determine circunferência de raio OA e a reta secante s.
• 
  Escolha um ponto B pertencente à circunferência.
• 
  Construa o segmento BC ⊥ s tal que C ∈ s.
• 
  Construa a reta AC e encontre o ponto P ∈ AC tal que BP // s.
• 
  O lugar geométrico de P em relação ao ponto B determina uma curva quártica piriforme.

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6. Curvas paramétricas

Material da página 68 até a página 79.

📏 📐 Resolução

Vamos construir a curva torpedo dados a circunferência e o ponto fixo A.

• 
  Construa a circunferência de raio OA.
• 
  Escolha um ponto B pertencente à circunferência e determine a distância AB.
• 
  Construa os segmentos BQ // OA e BP // OA tais que BP = BQ = AB.
• 
  Os lugares geométricos de P e de Q em relação ao ponto B determinam uma curva torpedo.

📏 📐 Resolução

Vamos construir a curva serpentina dados a circunferência, o ponto A e a reta s.

• 
  Construa a circunferência de raio OA e a reta secante s.
• 
  Escolha um ponto B pertencente à reta s e construa a reta perpendicular a s que passa por B.
• 
  Encontre o ponto de interseção da reta AB com a circunferência.
• 
  Construa o segmento CP // s tal que BP ⊥ s.
• 
  O lugar geométrico de P em relação ao ponto B determina uma curva serpentina.

📏 📐 Resolução

Vamos encontrar o ponto fixo que determine a curva serpentina, dados a circunferência, o ponto da curva P e a reta s.

• 
  Construa o segmento BP ⊥ s.
• 
  Determine o segmento CP // s, onde C pertence à circunferência.
• 
  Determine o segmento BC: o ponto fixo da curva está na interseção de BC com a circunferência.
• 
  Para encontrar mais um ponto da curva, escolha um ponto B' ∈ s e defina o segmento B'C' que contém o ponto fixo A.
• 
  Construa o segmento C'P' // s tal que B'P' ⊥ s
• 
  O lugar geométrico de P' em relação ao ponto B' determina uma curva serpentina.

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📏 📐 Resolução

Vamos construir uma curva de Talbot com as circunferências tangentes à elipse passando pelo centro da elipse.

• 
  Construa uma elipse que contém um ponto K.
• 
  Escolha um ponto da elipse A, e obtenha o simétrico do foco F₂ em relação à reta tangente: AF'₂ = AF₂.
• 
  A reta tangente t é a mediatriz do segmento F₂F'₂.
• 
  Encontre o centro da cônica construindo a mediatriz do segmento que define os focos.
• 
  A circunferência tangente à elipse no ponto A tem o centro na mediatriz de OA (porque passa pelo centro da cônica). Como a circunferência fica tangente à elipse no ponto A, o centro pertence à reta AP ⊥ t.
• 
  O lugar geométrico de P em relação ao ponto A determina uma curva de Talbot. Construa uma curva de Talbot que passa pelo foco F₁ ao invés de passar pelo centro da cônica.

📏 📐 Resolução

Vamos construir curvas rosáceas com n = 2, 3, 4, 5 e 6.

• 
  Construa uma circunferência de raio OA.
• 
  Escolha um ponto da circunferência A' e defina o ângulo AOA' = α.
• 
  Defina um número n e o ângulo β = n·α = AOA''.
• 
  Construa a Circunf(A'', A''O) e determine o ponto P nesta circunferência tal que P ∈ A'O.
• 
  O lugar geométrico de P em relação ao ponto A' determina uma rosácea com n = 3: uma curva com 4 "pétalas".
• 
  Quando n = 2, a rosácea coincide com uma circunferência com raio OA e centro em A.
• 
  Quando n = 4, a rosácea contém 3 "pétalas".
• 
  Quando n = 5, a rosácea contém 8 "pétalas".
• 
  E quando n = 6, a rosácea contém 5 "pétalas".

📏 📐 Resolução

Vamos construir as ciclóides centradas usando os pontos médios dos segmentos A'B', B'P e PA'.

• 
  Construa uma circunferência de raio OA.
• 
  Construa uma circunferência de raio O'B = OA, onde os pontos O, A, O' e B estão alinhados.
• 
  Defina um número n, o ângulo θ e o ângulo α = n·θ = AOA'.
• 
  Defina o número m e o ângulo β = -m·θ = BO'B'.
• 
  Encontre o ponto médio de A'B'.
• 
  O lugar geométrico de P em relação ao ângulo θ determina uma ciclóide centrada com m = 2 e n = 3.
• 
  Encontre o ponto médio de A'P. O lugar geométrico de Q em relação ao ângulo θ determina outra ciclóide centrada.
• 
  Encontre o ponto médio de B'P. O lugar geométrico de R em relação ao ângulo θ determina outra ciclóide centrada.
• 
  Modifique os valores de m e de n para obter novas curvas. Neste exemplo, temos m = 5 e n = 3.
• 
  Neste exemplo, temos m = 7 e n = 3.

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📏 📐 Resolução

Vamos construir a curva bifolium usando as 3 definições mostradas nesta página.

• 
  Definição 1: Construa uma circunferência de raio OA e a reta tangente t que passa por A.
• 
  Escolha um ponto B da circunferência e construa a Circunf(B, AB). Determine o diâmetro PQ // t.
• 
  Os lugares geométricos de P e de Q em relação ao ponto B definem uma curva bifolium.
• 
  Definição 2: Construa uma elipse que contém um ponto K e a reta AF que passa pelo centro da cônica.
• 
  Construa uma parábola com vértice A e com a diretriz r que passa pelo simétrico de F em relação ao ponto A. Escolha um ponto B da elipse e construa uma reta paralela a r que passa por B.
• 
  Encontre os pontos de interseção das cônicas que pertencem à reta que passa por B: D, C e E.
• 
  Encontre os pontos médios de BD e de CE.
• 
  Os lugares geométricos de P e de Q em relação ao ponto B determinam uma curva bifolium.
• 
  Definição 3: Construa uma circunferência com raio OA, e escolha um ponto B da circunferência. Defina a reta AB e escolha um ponto C ∈ AB.
• 
  Construa o segmento CD ⊥ AB e encontre a interseção deste segmento com a circunferência.
• 
  Defina o segmento BD e construa PC ⊥ BD.
• 
  Defina o segmento BE e construa QC ⊥ BE.
• 
  Os lugares geométricos de P e de Q em relação ao ponto C determinam uma curva bifolium.

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📏 📐 Resolução

Vamos construir uma crosscurve a partir de uma circunferência.

• 
  Construa uma circunferência de raio r.
• 
  Construa os segmentos perpendiculares que passam pelo centro O da circunferência. Escolha um ponto A de um dos segmentos.
• 
  Construa os segmentos AD e AB tangentes à circunferência, onde B e D pertencem ao segmento perpendicular ao segmento que contém A.
• 
  Construa as retas perpendiculares a BD que passam por B e por D.
• 
  Construa a reta paralela a BD e encontre os pontos C e E nesta reta tais que DE ⊥ OD e BC ⊥ OD.
• 
  Os lugares geométricos de E e de C em relação ao ponto A determinam uma crosscurve.

📏 📐 Resolução

Vamos construir uma curva de Watt a partir das circunferências com raios de medida r e uma distância d.

• 
  Construa as circunferências com raios iguais a r e defina uma distância d.
• 
  Escolha um ponto A da circunferência de centro O e encontre os pontos B e C da circunferência de centro O' tais que AB = AC = d.
• 
  Determine os pontos médios de AB e de AC.
• 
  Os lugares geométricos de D e de E em relação ao ponto A determinam uma curva de Watt.

📏 📐 Resolução

Vamos construir uma trissetriz de Ceva a partir de um ponto fixo O e uma distância d e a semi-reta de origem O.

• 
  Construa a semi-reta de origem O, escolha um ponto B desta semi-reta e defina uma distância d.
• 
  Encontre um ponto A tal que OA = AB = d.
• 
  Encontre o ponto B' da semi-reta tal que BB' = d. Defina o ângulo α = OBA.
• 
  Determine o ângulo β = 3·α = B'BC.
• 
  O lugar geométrico de C em relação ao ponto B determina uma parte da trissetriz de Ceva.
• 
  Encontre o simétrico de C em relação à semi-reta OB. O lugar geométrico de C₁ em relação ao ponto B determina outra parte da trissetriz de Ceva.
• 
  Encontre o simétrico de C em relação ao ponto O. O lugar geométrico de C₂ em relação ao ponto B determina outra parte da trissetriz de Ceva.
• 
  Finalmente, encontre o simétrico de C₁ em relação ao ponto O. O lugar geométrico de C₃ em relação ao ponto B determina outra parte da trissetriz de Ceva.

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📏 📐 Resolução

Vamos construir uma oval de Hügelschäffer a partir das circunferências α e β.

• 
  Construa as circunferências de centros O e O', com raios de medidas r e s.
• 
  Determine a reta OO' e escolha um ponto A ∈ α.
• 
  Encontre o ponto P tal que PB // OO' e PA ⊥ OO'.
• 
  O lugar geométrico de P em relação ao ponto A define uma oval de Hügelschäffer.

📏 📐 Resolução

Vamos construir uma curva de Rosillo a partir da circunferência α e de um ponto A.

• 
  Construa a circunferência de centro O e raio r e defina o ponto A exterior à circunferência.
• 
  Determine a reta AO e encontre o ponto B de interseção desta reta com a circunferência.
• 
  Escolha um ponto C ∈ α e determine o segmento AC.
• 
  Construa o segmento PC tal que PB // AC e PC ⊥ AO.
• 
  O lugar geométrico de P em relação ao ponto C define uma curva de Rosillo.

📏 📐 Resolução

Vamos construir uma curva de Cramer-Lacroix a partir de uma hipérbole e de uma distância d.

• 
  Construa uma hipérbole que passa por um ponto K e defina o segmento de medida d.
• 
  Encontre o centro O da hipérbole.
• 
  Escolha um ponto A da hipérbole e defina o segmento AB = d tal que AB ⊥ OA.
• 
  Construa o segmento OC ⊥ OA tal que AC = d.
• 
  Defina o segmento BO, e encontre o ponto D ∈ OA tal que DO = BO.
• 
  Os lugares geométricos de C e de D em relação ao ponto A definem uma curva de Cramer-Lacroix.

📏 📐 Exercício proposto 6.1

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📏 📐 Resolução

Vamos construir uma espiral de Euler a partir de um ponto A sobre o eixo x.

• 
  Considere o sistema de coordenadas com os eixos x e y. Defina um segmento de medida e sobre o eixo x e um ponto A ∈ e. Determine a medida do segmento α, com uma extremidade na origem do sistema de coordenadas e a outra extremidade A.
• 
  Defina a reta com equação $\mathsf{ x = { \int_{0}^{\alpha} cos \left( { {\pi} \over {2} } x^2 \right) \,dx } }$.
• 
  Defina a reta com equação $\mathsf{ y = { \int_{0}^{\alpha} sen \left( { {\pi} \over {2} } x^2 \right) \,dx } }$. Encontre o ponto P de interseção das retas construídas.
• 
  O lugar geométrico de P em relação ao ponto A define a parte de coordenadas positivas da espiral de Euler.
• 
  Encontre o simétrico do ponto P em relação à origem do sistema de coordenadas. O lugar geométrico de P' em relação ao ponto A define a parte de coordenadas negativas da espiral de Euler.

📏 📐 Resolução

Vamos construir uma espiral curva usando sua equação com coordenadas polares.

• 
  Defina o parâmetro OA = p.
• 
  Defina o ângulo α e construa AOA' = α.
• 
  Defina a medida m e construa a circunferência com centro O e raio $\mathsf{ {p} \over {1 + e ^{m \cdot \alpha}} }$. Encontre a interseção desta circunferência com o segmento OA'.
• 
  O lugar geométrico de P em relação ao ângulo α define uma espiral curva de parâmetro p.

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📏 📐 Resolução

Vamos construir uma espiral cóclea usando sua equação com coordenadas polares.

• 
  Defina o parâmetro OA = p.
• 
  Defina o ângulo α e construa AOA' = α.
• 
  Construa a circunferência com centro O e raio $\mathsf{ {p \cdot sen(\alpha)} \over {\alpha} }$. Encontre a interseção desta circunferência com o segmento OA'.
• 
  O lugar geométrico de P em relação ao ângulo α define uma espiral cóclea de parâmetro p.

📏 📐 Resolução

Vamos construir uma tratriz usando sua equação com coordenadas cartersianas.

• 
  Considere o sistema de coordenadas com os eixos x e y. Defina o parâmetro OA = p e a Circunf(O, OA).
• 
  Defina um ângulo central da circunferência α = AOA'.
• 
  Construa a reta com equação $\mathsf{ x = p \cdot \left( cos(\alpha)+ln(tan\left( {\alpha} \over {2} \right) \right) }$.
• 
  Construa a reta com equação $\mathsf{ y = p \cdot sen(\alpha) }$. Encontre a interseção P das retas construídas.
• 
  Encontre o ponto B ∈ x tal que PB = p.
• 
  O lugar geométrico de P em relação ao ponto A' define uma tratriz com parâmetro p.

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📏 📐 Resolução

Vamos construir uma espiral tratriz usando suas equações com coordenadas polares.

• 
  Defina o parâmetro OA = p.
• 
  Defina um ângulo θ e construa o ângulo AOA' = α = tan(θ) - θ.
• 
  Construa a circunferência com centro O e raio p·cos(θ) e encontre o ponto P de interseção desta circunferência com o segmento OA'.
• 
  O lugar geométrico de P em relação ao ângulo θ define uma espiral tratriz com parâmetro p.
• 
  Construa o segmento perpendicular a OA' que passa por O.
• 
  Encontre o ponto B tal que BO = BP = p/2.
• 
  Prolongue o segmento BP para encontrar o ponto C na reta perpendicular a OA'. Verifique qual é a medida do segmento BC.

📏 📐 Resolução

Vamos construir uma curva epi usando sua equação com coordenadas polares.

• 
  Defina o parâmetro OA = p.
• 
  Construa uma circunferência com centro O e raio OK.
• 
  Escolha um ponto A' pertencente à circunferência com raio menor e defina um ângulo central AOA' = α.
• 
  Defina um número n e construa a circunferência com centro O e raio $\mathsf{ {p} \over {cos(n \cdot \alpha)} }$. Determine a interseção desta circunferência com o segmento OB.
• 
  O lugar geométrico de P em relação ao ponto B define uma curva epi com parâmetro p.

📏 📐 Resolução

Vamos construir uma espiral de Fermat usando sua equação com coordenadas polares.

• 
  Defina o parâmetro OA = p.
• 
  Defina um ângulo α e construa o ângulo central AOA' = α.
• 
  Construa a circunferência com centro O e raio $\mathsf{ p \sqrt{\alpha} }$. Determine a interseção desta circunferência com a reta OA'.
• 
  O lugar geométrico de P em relação ao ângulo α define uma espiral de Fermat com parâmetro p.

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📏 📐 Resolução

Vamos construir uma espiral Lituus usando sua equação com coordenadas polares.

• 
  Defina o parâmetro OA = p.
• 
  Defina um ângulo α e construa o ângulo central AOA' = α.
• 
  Construa a circunferência com centro O e raio $\mathsf{ p \sqrt{ {1} \over {\alpha} } }$. Determine a interseção desta circunferência com a reta OA'.
• 
  O lugar geométrico de P em relação ao ângulo α define uma espiral Lituus com parâmetro p.

📏 📐 Resolução

Vamos construir uma espiral parabólica usando sua equação com coordenadas polares.

• 
  Defina o parâmetro OA = p.
• 
  Defina um ângulo α e construa o ângulo central AOA' = α.
• 
  Defina o número b e construa as circunferências com centros em O e raios $\mathsf{ p + \sqrt{2p \cdot \alpha \cdot b} }$ e $\mathsf{ p - \sqrt{2p \cdot \alpha \cdot b} }$. Determine as interseções destas circunferências com a reta OA'.
• 
  Os lugares geométricos de P e de Q em relação ao ângulo α definem uma espiral parabólica com parâmetro p.

📏 📐 Resolução

Vamos construir uma curva sinusoidal usando sua equação com coordenadas polares.

• 
  Defina o parâmetro OA = p.
• 
  Escolha um ponto A' da circunferência e defina um ângulo α = AOA'.
• 
  Defina o número n e construa a circunferência com centro O e raio $\mathsf{ \sqrt[n]{2 \cdot cos(n \cdot \alpha)} }$. Determine a interseção desta circunferência com a reta OA'.
• 
  O lugar geométrico de P em relação ao ponto A' define uma curva sinusoidal com parâmetro p.

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📏 📐 Resolução

Vamos construir uma curva folióide usando sua equação com coordenadas polares.

• 
  Defina o parâmetro OA = p.
• 
  Escolha um ponto A' da circunferência e defina um ângulo α = AOA'.
• 
  Defina os números m e n e construa as circunferências com centros em O e raios com medidas $\mathsf{ p \cdot(m \cdot cos(n \cdot \alpha) - \sqrt{1 - (m \cdot sen(n \cdot \alpha))^2} }$ e $\mathsf{ p \cdot(m \cdot cos(n \cdot \alpha) + \sqrt{1 - (m \cdot sen(n \cdot \alpha))^2} }$. Determine as interseções destas circunferências com a reta OA'.
• 
  Os lugares geométricos de P e de Q em relação ao ponto A' definem uma curva folióide com parâmetro p.

📏 📐 Resolução

Vamos construir curvas ornamentais usando suas equações com coordenadas polares.

• 
  Defina o parâmetro OA = p da curva.
• 
  Escolha um ponto A' da circunferência e defina um ângulo α = AOA'.
• 
  Construa a circunferência com centro em O e raio com medida $\mathsf{ p \cdot { { \sqrt{|cos(2 \alpha)|} \over {cos(\alpha)^2} } } }$. Determine a interseção desta circunferência com a reta OA'.
• 
  O lugar geométrico de P em relação ao ponto A' define a primeira curva ornamental com parâmetro p.
• 
  Se utilizarmos o raio da circunferência com medida $\mathsf{ p \cdot (e^{cos(\alpha)} - 2 \cdot cos(4 \alpha) + (sen( { {\alpha} \over {12} } ))^5) }$, temos a segunda curva ornamental.

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📏 📐 Exercício proposto 6.2

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📏 📐 Resolução

Vamos construir a curva do Batman usando funções com coordenadas cartesianas.

• 
  Defina o sistema de coordenadas x e y com origem O. A primeira função tem a seguinte expressão: $\mathsf{ f(x) = | { {x} \over {2} } | - { {3 \sqrt{33} - 7} \over {122} } x^{2} - 3 + \sqrt{1 - (||x| - 2| - 1)^{2} } - 0.1 }$
• 
  Defina a função: $\mathsf{ s(x) = -3 \sqrt{1 - \left( { {x} \over {7} } \right)^{2} } \cdot \sqrt{ {||x| - 4|} \over {|x| - 4} }}$.
• 
  Agora defina a função: $\mathsf{ r(x) = 3\sqrt{1 - \left( { {x} \over {7} } \right)^{2} } \cdot t(x) \cdot (|x| - 3) }$.
• 
  A próxima função tem a seguinte expressão: $\mathsf{ q(x) = { {6\sqrt{10}} \over {7} } + (1.5 - 0.5|x|) \cdot t(x) \cdot (|x| - 1) - { {6\sqrt{10}} \over {14} } \sqrt{4 - (|x| - 1)^2 } }$.
• 
  Agora defina a função: $\mathsf{ g(x) = -9t(x) \cdot (|x| - 1) \cdot (|x| - 0.75) - 8|x| }$.
• 
  A próxima função tem a seguinte expressão: $\mathsf{ h(x) = 3|x| - 0.75t(x) \cdot (|x| - 0.5) \cdot (|x| - 0.75) }$.
• 
  A última função tem a seguinte expressão: $\mathsf{ p(x) = 2.25t(x) \cdot (-(x - 0.5) \cdot (x + 0.5)) }$.
• 
  Para definir a região que será pintada de amarelo, usamos as inequações em função da variável y da seguinte maneira: as funções com coordenadas negativas de y definem as regiões do semi-plano superior relativo às funções: y > s(x) ∨ y > f(x).
• 
  As funções com coordenadas positivas de y definem as regiões do semi-plano inferior relativo às funções: y < g(x) ∨ y < p(x) ∨ y < h(x) ∨ y < r(x) ∨ y < q(x).
• 
  Agora basta fazer a união destas regiões usando a seguinte expressão: (y > s(x) ∨ y > f(x)) ∧ (y < g(x) ∨ y < p(x) ∨ y < h(x) ∨ y < r(x) ∨ y < q(x)).
• 
  Construindo um retângulo preto no fundo, temos o símbolo do Batman completo.

📏 📐 Exercício proposto 6.3

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página desenvolvida por:

Paulo Henrique Siqueira

contato: paulohscwb@gmail.com

O desenvolvimento deste material de construções geométricas faz parte do Grupo de Estudos em Expressão Gráfica (GEEGRAF) da Universidade Federal do Paraná (UFPR)

Desenho Geométrico 2 de Paulo Henrique Siqueira está licenciado com uma Licença Creative Commons Atribuição-NãoComercial-SemDerivações 4.0 Internacional.

Como citar este trabalho:

Siqueira, P.H., "Desenho Geométrico 2". Disponível em: <https://paulohscwb.github.io/desenho-geometrico2/>, Dezembro de 2022.

Referências:

1. Carvalho, B.A. Desenho Geométrico. Imperial Novo Milênio, 2008.
2. Rezende, E.Q.F.; Queiroz, M.L.B. Geometria Euclidiana plana e construções geométricas. Editora da Unicamp, 2008.
3. Marmo, C.M.B. Curso de Desenho, vol. 1 a 4. Editora Moderna, 1967.
4. Braga, T.B. Desenho Linear Geométrico. Editora Cone, 1997.
5. Braga, T.B. Problemas de Desenho Linear Geométrico. Cultura Brasileira, 1962.
6. Candido Gomes, M.E. Desenho Geométrico. Editora I.T.E.C., 1950.
7. Giovanny, J.R. Desenho Geométrico, vol.4. Editora FTD, 1996.
8. Putnoki, J.C. Elementos de Geometria e Desenho Geométrico. v. 1-3. Scipione, 1993.
9. Siqueira, P.H.; Costa, D.M.B. Apostila de Desenho Geométrico 2. UFPR, 2022.