Visualização de propriedades de projeções, sólidos e aplicações

Esta página contém as construções geométricas e visualizações 3D dos exemplos e exercícios utilizados nas disciplinas de Geometria Descritiva, Expressão Gráfica e Desenho Técnico.

As apostilas estão disponíveis nos links:

CD020, CEG005 - Geometria Descritiva e Expressão Gráfica II

CEG008 - Expressão Gráfica

CD028 - Expressão Gráfica II (a partir da pág. 25)

CEG019 - Expressão Gráfica A

Os objetos programados em 3D podem ser visualizados em Realidade Virtual (RV) e Realidade Aumentada (RA). As propriedades de projeções e os sólidos podem ser vistos em RA com os marcadores indicados, e por meio dos links criados nos marcadores, os objetos podem ser vistos em RV.

1.1. Desenho Geométrico

Material da página 1 até a página 10.

As construções geométricas dos exercícios da pág. 1 até a pág. 10 foram feitas pela profª Deise Maria Bertholdi Costa.

📏 📐 Resolução

Vamos utilizar a régua e o compasso para resolver este exercício. Clique nos botões do passo a passo para fazer a construção na sua apostila.

• 
  Com a ponta seca em A, desenhe um arco com raio maior do que a metade de AB.
• 
  Com a ponta seca em B, desenhe um arco com o mesmo raio usado no passo anterior.
• 
  Os pontos de interseção dos arcos são P e Q.
• 
  Desenhe a reta que passa pelos pontos de interseção dos arcos.
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  Pronto! A mediatriz do segmento AB está construída. Note que a figura PAQB é um losango e, portanto, suas diagonais são perpendiculares e se encontram no ponto médio das mesmas.
• 
  Agora veja como fica a construção da mediatriz do segmento AB próximo da margem da folha. Podemos começar desenhando um arco com a ponta seca em A e um raio maior do que a metade de AB.
• 
  Com a ponta seca em B, podemos desenhar um arco com a mesma medida usada no ponto A.
• 
  Podemos desenhar um arco com medida diferente da que usamos nos passos anteriores para encontrar o segundo ponto da mediatriz.
• 
  Desenhando os arcos com centros em A e B com mesma medida, encontramos os pontos P e Q da mediatriz.
• 
  Desenhe a reta que passa pelos pontos P e Q.
• 
  Pronto! A mediatriz do segmento AB está construída.

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📏 📐 Resolução com esquadros

Podemos utilizar a régua e um dos esquadros ou a régua e o compasso para resolver este exercício. Primeiro, veja como é a construção com a régua e o esquadro de 45°.

• 
  Alinhe um dos catetos do esquadro com a reta r.
• 
  Coloque a régua como apoio na hipotenusa do esquadro. A régua ficará fixa.
• 
  Deslize o esquadro até chegar na posição do ponto P. Lembre-se de não mover a régua.
• 
  Desenhe a reta que passa pelo ponto P com o cateto do esquadro.
• 
  Pronto! A reta paralela s // r está construída.

📏 📐 Resolução com régua e compasso

Agora veja os passos da construção feita com régua e compasso.

• 
  Desenhe um arco com a ponta seca em P, que intercepte a reta r no ponto Q.
• 
  Com a ponta seca em Q, use o mesmo raio PQ para marcar o ponto R na reta r.
• 
  Desenhe o arco com a ponta seca em R, com a mesma medida PQ, interceptando o primeiro arco que você desenhou no ponto S.
• 
  Desenhe a reta que passa pelos pontos P e S com a régua.
• 
  Pronto! A reta paralela s // r está construída. Note que a figura PQRS é um losango e, portanto, seus lados opostos são paralelos.

📏 📐 Resolução com esquadros

Vamos utilizar a régua e um dos esquadros para resolver este exercício. Clique nos botões do passo a passo para fazer a construção na sua apostila.

• 
  Alinhe um dos catetos do esquadro com a reta r.
• 
  Coloque a régua como apoio na hipotenusa do esquadro. A régua ficará fixa.
• 
  Deslize o esquadro até o cateto vertical chegar na posição do ponto P. Lembre-se de não mover a régua.
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  Desenhe a reta que passa pelo ponto P.
• 
  Pronto! A reta perpendicular p está construída.
• 
  Alinhe um dos catetos do esquadro com a reta r.
• 
  Coloque a régua como apoio na hipotenusa do esquadro. A régua ficará fixa.
• 
  Deslize o esquadro até o cateto vertical chegar na posição do ponto P. Lembre-se de não mover a régua.
• 
  Desenhe a reta que passa pelo ponto P.
• 
  Pronto! A reta perpendicular p está construída.

📏 📐 Resolução com régua e compasso

Agora veja como fica a construção da reta perpendicular à reta r que passa por P usando régua e compasso.

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  Com a ponta seca em P desenhe um arco para a esquerda obtendo o ponto Q sobre a reta r e um arco para a direita obtendo o ponto R sobre a reta. Ambos os arcos com o mesmo raio.
• 
  Com a ponta seca em Q, desenhe um arco com raio maior do que a metade de QR.
• 
  Com a ponta seca em R, desenhe um arco com o mesmo raio usado no passo anterior. Os pontos de interseção dos arcos são S e T.
• 
  Desenhe a reta que passa pelos pontos S e T de interseção dos arcos. Pronto! A perpendicular à reta r que passa pelo ponto P está construída!
• 
  Com a ponta seca em P desenhe um arco com raio maior que a distância de P à reta r, obtendo os pontos Q e R sobre a reta r.
• 
  Com a ponta seca em Q desenhe um arco.
• 
  Com a ponta seca em R desenhe um arco com o mesmo raio do passo anterior, obtendo o ponto S.
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  Desenhe a reta p que passa pelos pontos P e S. Pronto! A reta p é perpendicular à reta r e passa pelo ponto P. Note que essa construção é baseada na construção da mediatriz de um segmento dado!

📏 📐 Resolução

Vamos utilizar a régua e o compasso para resolver este exercício. Clique nos botões do passo a passo para fazer a construção na sua apostila.

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  Com a ponta seca no vértice O do ângulo desenhe um arco obtendo os pontos P e Q, cada um em um lado do ângulo.
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  Com a ponta seca no ponto P desenhe um arco.
• 
  Com a ponta seca em Q desenhe um arco com o mesmo raio do passo anterior, obtendo o ponto R.
• 
  Desenhe a reta OR que é a bissetriz do ângulo dado.
• 
  Note que construímos dois triângulos: um verde e outro laranja.
• 
  Esses triângulos são congruentes (iguais) e por isso os ângulos α e β são também congruentes.

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📏 📐 Resolução

Vamos utilizar a régua e o compasso para resolver este exercício. Clique nos botões do passo a passo para fazer a construção na sua apostila.

• 
  Com a ponta seca no vértice O do ângulo desenhe um arco obtendo os pontos R e Q, cada um em um lado do ângulo.
• 
  Com o mesmo raio do passo anterior, desenhe um arco agora com vértice no ponto P, obtendo o ponto S sobre a reta r.
• 
  Agora meça com o compasso o tamanho do segmento QR.
• 
  Com raio QR desenhe um arco com centro no ponto S, obtendo o ponto T sobre o segundo arco desenhado.
• 
  Construa a reta PT. O ângulo α obtido é congruente ao ângulo α dado. Note que o triângulo ROQ é congruente ao TPS, por isso que os ângulos são também congruentes.

📏 📐 Resolução com régua e compasso

Vamos utilizar a régua e o compasso para resolver este exercício. Clique nos botões do passo a passo para fazer a construção na sua apostila.

Ângulos de 60°, 30°, 90° e 45°:

• 
  Desenhe uma reta r e marque dois pontos A e B sobre ela.
• 
  Construa o arco de centro A e raio AB e o arco de centro B e raio AB obtendo o ponto C.
• 
  Construa a reta AC. O ângulo CAB mede 60°, pois o triângulo ABC construído é equilátero e, portanto, todos os seus ângulos internos medem 60°.
• 
  Essa construção fornece dois ângulos: o de 60° e o de 120°. Quando dois ângulos somam 180° são chamados de suplementares.
• 
  Para obtermos o ângulo de 30° basta dividir o ângulo de 60° em duas partes iguais. Então construa novamente um ângulo de 60° conforme vimos anteriormente.
• 
  Agora construa a bissetriz desse ângulo, obtendo a reta AD. O ângulo DAB mede 30°. Que ângulo também obtivemos nessa construção? Lembre-se do ângulo suplementar!
• 
  Essa construção fornece também o suplemento do ângulo de 30°, ou seja, o ângulo de 150°.
• 
  Para construir um ângulo de 90° com régua e compasso basta construir uma reta perpendicular. Lembra que já fizemos isso? Vamos repetir então. Desenhe uma reta r e marque um ponto A sobre ela.
• 
  Com a ponta seca do compasso em A, marque um ponto B para a esquerda e um ponto C para a direita. Use o mesmo raio para esses arcos.
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  Com centro em B e um raio maior que a metade do segmento BC construa um arco, e faça o mesmo em C. Na interseção desses arcos obtemos os pontos D e E.
• 
  A reta DE é perpendicular à reta r e, assim, o ângulo obtido mede 90°,
• 
  Para obtermos o ângulo de 45° basta dividir o ângulo de 90° em duas partes iguais. Então construa novamente um ângulo de 90° conforme vimos anteriormente.
• 
  Agora construa a bissetriz desse ângulo, obtendo a reta AF. O ângulo FAC mede 45°. Lembra do ângulo suplementar? O suplemento do ângulo de 45° mede 135°.

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Ângulos de 75° e 15°:

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  Para construir um ângulo de 75° basta dividir um ângulo de 150° ao meio. Já sabemos construir um ângulo de 150°, lembra? Comece construindo um ângulo BAC de 60°. Construa um arco BC de tal forma que intercepte a reta r em dois pontos B e F.
• 
  Construa sua bissetriz, obtendo um ângulo de 30°. O suplemento do ângulo de 30° irá medir 150°.
• 
  Como o ângulo DAF mede 150°, basta agora construir usa bissetriz, obtendo o ângulo de 75°. Os ângulos DAE e EAF medem 75°.
• 
  Para construir um ângulo de 15° basta construir um ângulo de 30°. E para construir um ângulo de 30° basta construir um de 60°. Então vamos começar construindo um ângulo de 60°.
• 
  Agora construa a bissetriz do ângulo de 60°, obtendo dois ângulos de 30°.
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  Escolha um dos ângulos de 30° e construa sua bissetriz, obtendo dois ângulos de 15°.

📏 📐 Resolução com esquadros

Vamos utilizar a régua e os esquadros para resolver este exercício. Existem várias maneiras para construir ângulos usando os esquadros. Aqui veremos algumas. Clique nos botões do passo a passo para fazer a construção na sua apostila.

Ângulos de 60° e 30°:

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  Para construir o ângulo de 60° desenhe uma reta r e encaixe o cateto menor do esquadro de 30/60 sobre essa reta. O ângulo da esquerda do esquadro mede 60° e o de cima mede 30°. Já temos o ângulo de 60° formado com a reta! Mas não podemos ainda traçar o outro lado do ângulo de 60° pois o vértice não estará definido!
• 
  Use a régua para apoiar o outro cateto desse esquadro (você pode usar também o outro esquadro ao invés da régua).
• 
  Deslize o esquadro de 30/60 até que a hipotenusa corte a reta r. Mantenha fixa a régua.
• 
  Desenhe a reta s concorrente com a reta r dada. Pronto! Agora o vértice O do ângulo está definido!
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  Essa construção fornece dois ângulos: o de 60° e o seu suplemento de 120°.
• 
  Construir o ângulo de 30° com os esquadros é muito parecido com o de 60°. Desenhe uma reta r e agora encaixe o cateto maior do esquadro de 30/60 sobre a reta r. O ângulo da esquerda do esquadro mede 30° e o de cima mede 60°. Já temos o ângulo de 30° formado, mas como na construção anterior, não podemos traçar o lado do ângulo ainda!
• 
  Vamos usar o esquadro de 45 apoiado no outro cateto. Podemos usar a régua também.
• 
  Deslize o esquadro de 30/60 até que a hipotenusa corte a reta r. Mantenha fixo o esquadro de 45.
• 
  Desenhe a reta s concorrente com a reta r dada. Pronto! Agora o vértice O do ângulo está definido!
• 
  Essa construção fornece dois ângulos: o de 30° e o seu suplemento de 150°.

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Ângulos de 90° e 45°:

• 
  Lembra quando construímos uma reta perpendicular à outra reta? Então, o ângulo formado é reto, ou seja, de 90°. Vamos repetir o processo agora. Desenhe uma reta r e encaixe um cateto do esquadro nessa reta (você pode usar qualquer esquadro agora).
• 
  Use a régua para apoiar a hipotenusa desse esquadro (você pode usar também o outro esquadro ao invés da régua).
• 
  Deslize o esquadro até que o outro cateto corte a reta r. Mantenha fixa a régua.
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  Desenhe a reta s concorrente com a reta r dada. Pronto! Agora o vértice O do ângulo está definido!
• 
  Essa construção fornece dois ângulos retos.
• 
  Construir o ângulo de 45° com os esquadros é muito parecido com o de 30° e o de 60°. Desenhe uma reta r e agora encaixe o cateto do esquadro de 45 sobre a reta r. Já temos o ângulo de 45° formado, mas não podemos traçar o lado do ângulo ainda! Lembra o porquê?
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  Use o outro esquadro ou a régua para apoiar o outro cateto.
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  Deslize o esquadro de 45 até que a hipotenusa corte a reta r. Mantenha fixo o esquadro de 30/60.
• 
  Desenhe a reta s concorrente com a reta r dada. Pronto! Agora o vértice O do ângulo está definido!
• 
  Essa construção fornece dois ângulos: o de 45° e o seu suplemento de 135°.

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Ângulos de 75° e 15°:

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  Para construir o ângulo de 75° basta lembrar que ele é a soma de 30° com 45°. Desenhe uma reta r e agora encaixe o cateto maior do esquadro de 30/60 sobre a reta r, já temos um ângulo de 30°.
• 
  Agora encaixe a hipotenusa do esquadro de 45 na hipotenusa do esquadro de 30/60. A soma dos dois ângulos da esquerda é 75°, mas não podemos traçar o lado do ângulo ainda!
• 
  Deslize o esquadro de 45 até que o cateto corte a reta r. Mantenha fixo o esquadro de 30/60.
• 
  Desenhe a reta s concorrente com a reta r dada utilizando o cateto do esquadro de 45. Pronto! Agora o vértice O do ângulo está definido!
• 
  Essa construção fornece dois ângulos: o de 75° e o seu suplemento de 105°.
• 
  A construção do ângulo de 15° é parecida com a de 75°. Desenhe uma reta r e agora encaixe o cateto menor do esquadro de 30/60 sobre a reta r, já temos um ângulo de 60°.
• 
  Agora encaixe a hipotenusa do esquadro de 45 na hipotenusa do esquadro de 30/60. A soma dos dois ângulos de cima é 75° e como o ângulo da direita é de 90° então o ângulo que aparecerá no lado esquerdo, após deslizarmos o esquadro de 45, será de 15°.
• 
  Deslize o esquadro de 45 até que o cateto corte a reta r. Mantenha fixo o esquadro de 30/60.
• 
  Segure agora o esquadro de 45 e deslize o de 30/60.
• 
  Mantenha fixo agora o de 30/60 e deslize o de 45.
• 
  Pronto! Só traçar a reta s utilizando o cateto de cima do esquadro de 45.
• 
  Essa construção fornece dois ângulos: o de 15° e o seu suplemento de 165°.

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📏 📐 Resolução

Para dividirmos um segmento graficamente em partes iguais utilizamos o Teorema de Tales que diz que “Um feixe (conjunto) de retas paralelas determina sobre um feixe de retas concorrentes segmentos proporcionais correspondentes”.

• 
  Na figura da direita temos o feixe de retas paralelas: r, s, t e u, e o feixe de retas concorrentes em O: f e g.
• 
  Essas paralelas determinam sobre as retas concorrentes os segmentos: a, b e c, e os seus correspondentes nesta ordem: m, n e p. Assim, o Teorema de Tales garante que os segmentos a, b e c são proporcionais aos segmentos correspondentes m, n e p. Ou seja, a/m = b/n = c/p. Note que podemos ter variações na forma de montar as proporções, por exemplo, a/m = b/n é análogo a a/b=m/n.
• 
  Vamos aplicar esse teorema na divisão gráfica do segmento dado AB em 5 partes iguais. Trace uma reta auxiliar passando por uma das extremidades do segmento AB, neste caso, foi por A.
• 
  Precisamos marcar 5 unidades iguais sobre a reta auxiliar a partir do ponto A. Então abra o compasso com uma unidade arbitrária u (usamos aqui u=1,5cm).Construa um arco com centro em A e raio u, obtendo o ponto 1 sobre a reta auxiliar.
• 
  Construa um novo arco agora com centro no ponto 1 e o mesmo raio u, obtendo o ponto 2 sobre a reta auxiliar.
• 
  Continue o processo até obter o ponto 5.
• 
  Desenhe a reta r ligando os pontos 5 e B.
• 
  Trace com os esquadros uma reta s paralela à reta r que passe pelo ponto 4, obtendo o ponto F sobre a reta AB.
• 
  Trace com os esquadros as demais retas paralelas passando pelos pontos 3, 2 e 1. Determinando sobre a reta AB os pontos E, D e C, respectivamente.
• 
  Pelo Teorema de Tales como os segmentos A1, 12, 23, 34, 45 são proporcionais a u então AC, CD, DE, EF e FB são proporcionais a u'. E, portanto, o segmento AB foi dividido graficamente em 5 partes iguais.

📏 📐 Resolução

Para dividirmos o segmento AB graficamente em partes proporcionais a números dados vamos aplicar o Teorema de Tales. Temos que construir um feixe de retas concorrentes cortadas por um feixe de paralelas, lembra?

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  Comece traçando uma reta auxiliar passando por uma das extremidades do segmento AB, neste caso, foi por A.
• 
  Como queremos dividir o segmento dado AB em partes proporcionais aos números dados m, n e p, vamos associá-los a segmentos de comprimentos 2cm, 4,2cm e 5,3cm, respectivamente. Marque sobre a reta auxiliar, a partir do ponto A, um segmento m de medida 2cm, obtendo o ponto 1.
• 
  A partir do ponto 1, marque o segmento n de medida 4,2cm, obtendo o ponto 2.
• 
  Marque o segmento p de comprimento 5,3cm, a partir do ponto 2, obtendo o ponto 3.
• 
  Desenhe a reta r ligando os pontos 3 e B.
• 
  Trace com os esquadros uma reta s paralela à reta r que passe pelo ponto 2, obtendo o ponto D sobre a reta AB.
• 
  Trace com os esquadros uma reta t paralela à reta r (ou s) que passe pelo ponto 1, obtendo o ponto C sobre a reta AB.
• 
  Pelo Teorema de Tales temos que os segmentos AC, CD e DB são proporcionais a A1, 12 e 23, respectivamente. Ou seja, a, b e c são proporcionais a m, n e p nesta ordem. Assim, o segmento AB foi dividido em partes proporcionais pelos pontos C e D como pedido.

📏 📐 Resolução

Para construir a circunferência pertencente aos pontos dados A, B e C, devemos encontrar o centro O da mesma para depois desenhá-la com o compasso. Antes de iniciarmos a construção devemos pensar na estratégia de solução! Acompanhe o desenvolvimento do raciocínio e depois a resolução gráfica!

• 
  Vamos iniciar pensando no exercício resolvido, ou seja, na figura auxiliar da direita temos uma circunferência de centro O que passa pelos pontos A, B e C. Vamos procurar uma relação do centro O com os dados do exercício.
• 
  Note que a distância do centro O ao ponto A é r, o mesmo acontece com o ponto C, ou seja, a distância do centro O ao ponto C também é r. Não sabemos quanto mede r, mas conhecemos que O é equidistante de A e C!
• 
  Assim, o ponto O pertence à mediatriz do segmento AC! Lembra que vimos essa propriedade da mediatriz?
• 
  Agora vamos observar que a distância do centro O ao ponto C é r, e que a distância do centro O ao ponto B também é r. Assim, o ponto O é equidistante de B e C!
• 
  Logo, o ponto O pertence à mediatriz do segmento BC!
• 
  Portanto, já temos a estratégia de solução: para obtermos o centro O basta construir as mediatrizes dos segmentos AC e BC! Agora vamos à construção gráfica!
• 
  Construa a mediatriz do segmento AC.
• 
  Construa a mediatriz do segmento BC.
• 
  Obtenha o ponto O na interseção da med(AC) com a med(BC).
• 
  Pronto! Agora é só construir a circunferência de centro O que ela passará pelos pontos dados A, B e C. Note que poderíamos ter utilizado também a mediatriz do segmento AB ao invés de alguma outra. Não construímos as três mediatrizes, bastam duas apenas!

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📏 📐 Resolução

Num triângulo ABC, o lado oposto ao vértice A é denotado por a=BC, o lado oposto ao B é denotado por b=AC e o lado oposto ao C é denotado por c=AB. Para construir um triângulo ABC dados os lados é necessário determinar a posição dos seus vértices A, B e C. Vamos à construção!

• 
  Construa uma reta suporte r.
• 
  Marque um ponto B sobre a mesma. Esse será o primeiro vértice do triângulo que queremos construir.
• 
  Vamos agora obter o vértice C! Sabemos que a distância entre B e C mede a=7cm. Basta então construir o arco de centro em B e raio a=7cm, na interseção com a reta r teremos C.
• 
  Falta somente o vértice A! Sabemos que a distância entre B e A mede c=9cm. Logo, A estará sobre uma circunferência de centro B e raio c=9cm! Construa essa primeira circunferência!
• 
  Sabemos que a distância entre C e A mede b=6cm. Assim, A estará sobre uma circunferência de centro C e raio b=6cm! Construa essa segunda circunferência! Na interseção dessas duas circunferências obtemos o vértice A do triângulo!
• 
  Pronto! Com os três vértices determinados podemos representar agora o triângulo ABC.
• 
  Para obter o circuncentro O basta construir as mediatrizes dos lados do triângulo ABC. Temos três lados e, portanto, três mediatrizes. Basta construir duas apenas. Construa a mediatriz do lado AB.
• 
  Construa a mediatriz do lado AC.
• 
  Essas duas mediatrizes se encontram no ponto O denominado de Circuncentro do triângulo ABC. Note que esse ponto é equidistante das extremidades dos segmentos AB e AC e, portanto, é equidistante dos três pontos ao mesmo tempo!
• 
  Logo, o circuncentro O é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo ABC!

📏 📐 Resolução

Para obter o baricentro G do triângulo precisamos construir as medianas do mesmo. Uma mediana é um segmento que une um vértice do triângulo ao ponto médio do lado oposto. Veja como resolver o exercício.

• 
  Vamos nomear os vértices do triângulo como A, B e C. Construa as mediatrizes dos lados AB e AC, obtendo também os pontos médios Mc e Mb, respectivamente.
• 
  Desenhe o segmento mb ligando o ponto B ao ponto médio Mb do lado oposto, este é a mediana relativa ao lado b.
• 
  Agora desenhe o segmento mc ligando o ponto C ao ponto médio Mc do lado oposto, este é a mediana relativa ao lado c.
• 
  A interseção das duas medianas mb e mc nos dá o baricentro G. Note que não é preciso desenhar a terceira mediana ma! O baricentro possui uma propriedade importante: ele divide cada mediana em duas partes, sendo que a parte que contém o vértice tem o dobro do tamanho da parte que contém o ponto médio. Meça no desenho para verificar!

📏 📐 Exercício Proposto

Neste exercício, construa o incentro e a circunferência inscrita.

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📏 📐 Resolução

Para obtermos o Ortocentro H do triângulo precisamos construir suas alturas.

• 
  Construa pelo vértice B uma reta perpendicular ao lado oposto b, obtendo o ponto Hb sobre a reta AC. Essa reta é denominada de reta suporte da altura. E a altura relativa ao lado b é o segmento BHb.
• 
  Agora construa pelo vértice C uma reta perpendicular ao lado oposto c, obtendo o ponto Hc sobre a reta AB. A altura relativa ao lado c é o segmento CHc.
• 
  A interseção das retas suportes das alturas nos fornece o Ortocentro H do triângulo ABC.

📏 📐 Resolução

Quando dividimos uma circunferência em partes iguais estamos dividindo o ângulo central de 360° em partes iguais e também estamos construindo polígonos regulares inscritos nessa circunferência. É importante observar que se a circunferência for dividida em n partes iguais, também será facilmente dividida em 2n partes, bastando traçar bissetrizes dos ângulos centrais.

Vamos dividir a circunferência em 3 partes iguais, ou seja, construir o polígono regular de 3 lados inscrito na circunferência dada. Esse será o triângulo equilátero!

• 
  Marque um ponto A qualquer sobre a circunferência dada.Coloque a ponta seca do compasso no ponto A e abra até chegar ao centro O da circunferência dada. Estamos “pegando” o raio OA com o compasso.
• 
  Construa dois arcos de circunferência, um para a esquerda e outro para a direita, com centro em A e raio OA, obtendo os pontos B e F, respectivamente.
• 
  Agora com centro em B e raio OA construa mais um arco obtendo o ponto C.
• 
  Com centro em F e raio OA construa mais um arco obtendo o ponto E.
• 
  Com centro ou em E ou em C, construa mais um arco obtendo um ponto D.
• 
  Acabamos de dividir a circunferência em 6 partes iguais obtendo o hexágono regular inscrito na circunferência! Pois construímos 6 triângulos: OAB, OBC, OCD, ODE, OEF e OFA, todos equiláteros de lado OA.
• 
  Finalmente para obter o triângulo equilátero inscrito nessa circunferência basta unir os vértices B, D e F, por exemplo.

📏 📐 Resolução

Vamos dividir a circunferência em 4 partes iguais, ou seja, construir o polígono regular de 4 lados inscrito na circunferência dada. Esse será o quadrado!

• 
  Marque um ponto A qualquer sobre a circunferência dada. Construa a reta OA obtendo o ponto C sobre a circunferência.
• 
  Usando os esquadros construa uma reta perpendicular à reta OA passando pelo centro O, obtendo os pontos B e D sobre a circunferência.
• 
  Agora desenhe o polígono ABCD. Ele é um quadrado pois os ângulos centrais formados são de 90°.

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📏 📐 Solução

Vamos dividir a circunferência em 6 partes iguais. Lembra que no item a desse exercício já fizemos isso?

Então basta repetir o processo aqui. Lembre de utilizar como medida no compasso o raio da circunferência dada! Pronto! Temos o hexágono regular inscrito na circunferência!

📏 📐 Resolução

Vamos dividir a circunferência em 8 partes iguais. Para isso, vamos começar dividindo a circunferência em 4 partes iguais. Lembra? Já fizemos isso no item b desse exercício!

• 
  Comece por um ponto A qualquer da circunferência e trace dois diâmetros AE e CG perpendiculares utilizando os esquadros. Já temos o quadrado ACEG inscrito. Não precisa representar esse quadrado!
• 
  Construa a bissetriz do ângulo GOE obtendo os pontos B e F sobre a circunferência. Acabamos de obter ângulos centrais de 45°.
• 
  Construa agora a bissetriz do ângulo COE obtendo sobre a circunferência os pontos D e H. Temos mais 4 ângulos centrais de 45°.
• 
  Pronto! O polígono ABCDEFG é um octógono regular inscrito na circunferência dada. Agora é só representar. O que é preciso fazer para obtermos o polígono regular de 16 lados inscrito nessa circunferência?

📏 📐 Resolução

Vamos dividir a circunferência em 10 partes iguais. Acompanhe o procedimento.

• 
  Desenhe um diâmetro 12.
• 
  Construa um segundo diâmetro 34 perpendicular ao primeiro.
• 
  Trace a mediatriz do raio O1, obtendo o ponto 5, médio do segmento.
• 
  Construa o arco de centro no ponto 5 e raio 53, obtendo o ponto 6 sobre o diâmetro 12.
• 
  O segmento O6=l₁₀ é o lado do decágono regular inscrito nessa circunferência.
• 
  Marque essa medida l₁₀ no compasso e a partir de um ponto A qualquer da circunferência construa um arco obtendo o ponto B.
• 
  Com a mesma medida l₁₀ no compasso, construa um arco de centro em B obtendo o ponto C.
• 
  Continue o processo até obter o ponto J.
• 
  Pronto! Agora é só unir os pontos A, B, C, ..., J para obter o decágono regular inscrito na circunferência de raio r dada. Por propriedade o l₁₀ é o segmento áureo do raio e, portanto, mede r(√5-1)/2. Para deduzir essa relação basta observar o triângulo retângulo O53 e que os segmentos 56 e 53 são congruentes!

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📏 📐 Resolução

Para dividir a circunferência em 5 partes iguais podemos dividi-la primeiro em 10 partes iguais e ao invés de unir os vértices um a um, basta unir de dois em dois, ou utilizar uma propriedade geométrica. Veja a seguir qual seria.

• 
  Repita o processo da divisão da circunferência em 10 partes iguais visto no item anterior.
• 
  O segmento 63=l₅ é o lado do pentágono regular inscrito na circunferência dada.
• 
  Marque essa medida l₅ no compasso e a partir de um ponto A qualquer da circunferência construa um arco obtendo o ponto B.
• 
  Com a mesma medida do l₅ no compasso, obtenha os demais vértices.
• 
  Pronto! Agora é só unir os pontos A, B, C, D e E para representar o pentágono regular inscrito na circunferência de raio r dada. Por propriedade o l₅ é hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos l₁₀ e l₆=r.

📏 📐 Resolução

Vamos construir o triângulo equilátero de lado l dado! Mas antes reveja o exercício 6 da página 3 em que construímos o ângulo de 60°, lá utilizamos dois processos: um com régua e compasso e outro com os esquadros para obtermos o ângulo de 60°. Reveja também o exercício 10 da página 5, em que construímos um triângulo dados os tamanhos dos lados. O que já aprendemos iremos utilizar agora.

• 
  Existem várias formas de resolver esse problema. Vamos a uma delas! Construa uma reta suporte r.
• 
  Marque um ponto B sobre a mesma. Esse será o primeiro vértice do triângulo que queremos construir.
• 
  Vamos agora obter o vértice C! Sabemos que a distância entre B e C mede a=l=4cm. Basta então construir o arco de centro em B e raio a=l=4cm, na interseção com a reta r teremos C.
• 
  Falta somente o vértice A! Sabemos que a distância entre B e A mede c=l=4cm. Logo, A estará sobre uma circunferência de centro B e raio c=l=4cm! Construa essa primeira circunferência! Veja que não é preciso construir toda ela, basta um arco somente.
• 
  Sabemos que a distância entre C e A mede b=l=4cm. Assim, A estará sobre uma circunferência de centro C e raio b=l=4cm! Construa essa segunda circunferência, ou melhor, esse segundo arco! Na interseção desses dois arcos de circunferência obtemos o vértice A do triângulo!
• 
  Pronto! Com os três vértices determinados podemos representar agora o triângulo ABC. Nessa construção usamos somente régua e compasso! Como seria a construção usando régua e esquadros?

📏 📐 Resolução

Vamos construir o quadrado de lado l dado! O quadrado é um polígono que possui os quatro lados congruentes (iguais) e os quatro ângulos internos também congruentes e cada um medindo 90°.

• 
  Existem várias formas de resolver esse problema. Vamos a uma delas! Construa uma reta suporte r.
• 
  Marque um ponto B sobre a mesma. Esse será o primeiro vértice do quadrado que queremos construir.
• 
  Vamos agora obter o vértice C! Sabemos que a distância entre B e C mede a=l=4cm. Basta então construir o arco de centro em B e raio a=l=4cm, na interseção com a reta r teremos C.
• 
  O ângulo interno do quadrado que queremos construir é 90°, então o ponto A estará sobre uma perpendicular à reta r passando pelo ponto B. Use os esquadros ou o compasso para construir essa perpendicular.
• 
  Sabemos que a distância entre B e A mede l=4cm. Logo, A estará sobre uma circunferência de centro B e raio l=4cm! Construa essa primeira circunferência! Lembre-se que não é preciso construir toda ela!
• 
  Falta obtermos o último vértice D. Como a distância entre D e C é l=4cm, então D estará sobre uma circunferência de centro C e raio l=4cm. Construa essa circunferência.
• 
  E como a distância entre D e A é l=4cm, então D estará sobre uma circunferência de centro A e raio l=4cm. Construa essa circunferência obtendo o ponto D sobre a circunferência obtida no passo anterior.
• 
  Pronto! O quadrado está construído. Para obter o ponto D poderíamos ter usado os esquadros e traçado paralelas, tente fazer novamente dessa maneira.

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📏 📐 Resolução

Vamos construir o pentágono regular de lado l dado! O pentágono regular é um polígono que possui os cinco lados congruentes e os cinco ângulos internos também congruentes. Existem processos de construção exatos e aproximados. Vamos aprender um aproximado que é rápido de ser construído e nos dá um resultado muito bom!

• 
  Construa uma reta suporte r.
• 
  Marque um ponto 1 sobre a mesma. Esse será o primeiro vértice do pentágono que queremos construir.
• 
  Marque no compasso 3 centímetros e construa a circunferência de centro 1 e raio l=3cm, obtendo sobre a reta r o ponto 2, que será o segundo vértice do pentágono. Não feche o compasso, vamos usar essa medida mais vezes!
• 
  Construa a circunferência de centro no ponto 2 e raio l=3cm obtendo sobre a primeira circunferência os pontos 3 e 4.
• 
  Construa a reta s que passe pelos pontos 3 e 4.
• 
  Agora com centro no ponto 4 construa uma terceira circunferência de raio l=3cm obtendo sobre a primeira o ponto 5, sobre a segunda o ponto 7 e sobre a reta s o ponto 6.
• 
  Trace a reta t unindo os pontos 5 e 6 obtendo o ponto 8 sobre a segunda circunferência. Esse ponto será mais um vértice do pentágono.
• 
  E agora trace a reta u pelos pontos 6 e 7 obtendo o ponto 9 sobre a primeira circunferência. Esse ponto será mais um vértice do pentágono.
• 
  Para obtermos o último vértice construa um arco de circunferência de centro no ponto 8 e raio l=3cm e outro arco com centro no ponto 9 e raio l=3cm encontrando na interseção o último vértice 10.
• 
  Agora é só unir os pontos 1, 2, 8, 10 e 9! Embora essa construção nos dê um polígono com os 5 lados congruentes, os ângulos internos não são iguais!

📏 📐 Exercício Proposto

📏 📐 Resolução

Para determinar a reta tangente à circunferência dada basta encontrar o ponto T de tangência! Antes de iniciarmos a construção vamos aprender duas propriedades importantes!

• 
  Veja a primeira figura auxiliar.Por definição uma reta tangente possui um único ponto T em comum com a circunferência! E por propriedade a reta tangente forma com o raio r=OT no ponto T um ângulo de 90°!
• 
  Na segunda figura auxiliar temos que o segmento QR é um diâmetro da circunferência de centro M, assim, temos a seguinte propriedade: qualquer ponto P da mesma sempre “enxerga” esse diâmetro segundo um ângulo reto, ou seja, o ângulo QPR=90°. Dizemos que a semicircunferência é um Arco Capaz de 90° do segmento QR. Temos dois Arcos Capazes de 90°!
• 
  Agora é a resolução gráfica! Nomeie o centro da circunferência dada como O. Construa a reta AO. Vamos obter o ponto T de tangência para obter a reta tangente.
• 
  Como o ângulo OTA=90° então T pertence ao Arco Capaz de 90° do segmento AO. Ou seja, pertence à circunferência de diâmetro AO. Construa a mediatriz do segmento OA obtendo o ponto M médio do segmento.
• 
  Construa a circunferência de centro M e raio OM, obtendo sobre a circunferência dada dois pontos de tangência T₁ e T₂. Note que são duas soluções para o ponto de tangência!
• 
  Desenhe as retas AT₁ e AT₂ que são as retas tangentes à circunferência dada passando pelo ponto dado A. Pronto! Você consegue agora identificar as propriedades vistas nas figuras auxiliares?

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📏 📐 Exercício Proposto

📏 📐 Resolução

Lembre-se que para que uma reta seja tangente à uma circunferência devemos ter que o ângulo formado entre o raio e a reta no ponto de tangência mede 90°! Vamos à construção.

• 
  Construa a reta OT.
• 
  Usando os esquadros ou o compasso construa a reta t passando pelo ponto T e perpendicular à reta s. Pronto! A reta t é tangente à circunferência dada pois o ângulo formado entre ela e o raio no ponto T é 90°.

📏 📐 Exercício Proposto

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1.2. Propriedades das projeções cilíndricas

Material da página 11 até a página 24.

As construções geométricas dos exercícios da pág. 11 até a pág. 24 foram feitas pelo prof. Paulo Henrique Siqueira.

Leia o conteúdo das páginas 11, 12 e 13 da apostila. Vamos trabalhar com as projeções de objetos e figuras em um plano chamado de π'.

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Para projetar um ponto A qualquer do espaço usando a projeção cônica, basta definir a reta projetante a, que passa pelo centro de projeção O e pelo ponto A. A interseção desta reta com o plano π' é a projeção A' do ponto A.

Visualização em 3D

Para projetar um ponto A qualquer do espaço usando a projeção cilíndrica, basta definir a reta projetante a, paralela à direção d e que passa pelo ponto A. A interseção desta reta com o plano π' é a projeção A' do ponto A. Se a reta d formar ângulo 0 < θ < 90^o, a projeção é chamada oblíqua.

Projeção cilíndrica oblíqua em 3D

Quando θ = 90^o, temos a projeção ortogonal.

Projeção cilíndrica ortogonal em 3D

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Quando a reta r não é paralela à direção d, a sua projeção r' é uma reta.

Visualização em 3D: projeção oblíqua
Visualização em 3D: projeção ortogonal

No caso em que as retas r e d são paralelas, a projeção r' é um ponto.

Visualização em 3D: projeção oblíqua
Visualização em 3D: projeção ortogonal

👓 Realidade Aumentada e Realidade Virtual

Esta apostila tem recursos programados em Realidade Aumentada e Realidade Virtual. Você pode acessar estes recursos usando o seguinte endereço:

https://paulohscwb.github.io/geometria-descritiva/ra.html

Os ambientes podem ser acessados em qualquer navegador com um dispositivo de webcam (smartphone, tablet ou notebook).

Os objetos modelados em 3D aparecem sobre as coordenadas da apostila. Você pode usá-los para conferir as construções ou apenas visualizar os objetos em 3D.

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Considerando r e s estão em planos projetantes distintos, as projeções r' e s' são paralelas.

Propriedade em 3D: projeção oblíqua
Propriedade em 3D: projeção ortogonal

Se r e s estão em um mesmo plano projetante, as projeções r' e s' são coincidentes.

Propriedade em 3D: projeção oblíqua
Propriedade em 3D: projeção ortogonal

Quando as retas r e s são paralelas à direção d, suas projeções r' e s' são pontos.

Propriedade em 3D: projeção oblíqua
Propriedade em 3D: projeção ortogonal

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A proporção entre as medidas dos segmentos paralelos AB e CD é a mesma de suas projeções, ou seja: AB/CD = A'B'/C'D'.

Propriedade em 3D: projeção oblíqua
Propriedade em 3D: projeção ortogonal

Se os segmentos AB e CD são colineares, a mesma proporção entre as medidas é válida: AB/CD = A'B'/C'D'.

Propriedade em 3D: projeção oblíqua
Propriedade em 3D: projeção ortogonal

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Uma figura pertencente a um plano paralelo ao plano de projeções π' fica projetada com o mesmo tamanho, sem redução ou ampliação de tamanho.

Propriedade em 3D: projeção oblíqua
Propriedade em 3D: projeção ortogonal

Uma figura que pertence a um plano α paralelo à direção d de projeções tem projeção reduzida a um segmento.

Propriedade em 3D: projeção oblíqua
Propriedade em 3D: projeção ortogonal
Planos paralelo, projetante e oblíquo: projeção ortogonal

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📏 📐 Resolução

Vamos utilizar a régua e o compasso para resolver este exercício. De acordo com a propriedade 3, podemos encontrar a projeção do ponto médio de AB construindo a mediatriz da projeção deste segmento. Clique nos botões do passo a passo para fazer a construção na sua apostila.

• 
  Com a ponta seca em A', desenhe um arco com raio maior do que a metade de A'B'.
• 
  Com a ponta seca em B', desenhe um arco com o mesmo raio usado no passo anterior.
• 
  Desenhe a reta que passa pelos pontos de interseção dos arcos usando a régua.
• 
  A projeção do ponto médio M' está na interseção da mediatriz de A'B' com o segmento A'B'.
• 
  Como os pontos A' e B' estão coincidentes, quer dizer que o segmento AB é paralelo à direção das projetantes. Logo, M' coincide com A' e B'.

📏 📐 Resolução

Vamos utilizar a régua, o compasso e os esquadros para resolver este exercício. De acordo com a propriedade 2, podemos encontrar a projeção dos lados de um paralelogramo utilizando a construção de retas paralelas.

• 
  A projeção do lado C'D' será paralela ao segmento A'B'. Logo, podemos desenhar a reta C'D' // A'B' com o uso de esquadros.
• 
  Alinhando o esquadro de 45° com A'B', coloque como apoio o outro esquadro ou a régua. Deslize o esquadro de 45° deixando o outro esquadro ou a régua fixo.
• 
  Usando a mesma construção, você pode desenhar a reta paralela a A'D', ou usar o compasso. Pela propriedade 3, A'B' = C'D', logo, podemos "pegar" a medida A'B' com o compasso...
• 
  ... e desenhá-la com centro em D' e o raio A'B'. Logo, encontramos o ponto C'.
• 
  Pronto! O paralelogramo está construído. Agora é sua vez de fazer o item b!
• 
  A construção do item b é parecida com a que fizemos no item a.

📏 📐 Resolução

Vamos utilizar a régua e o compasso para resolver este exercício. De acordo com a propriedade 5, o paralelogramo está em um plano paralelo à direção d das projetantes.

• 
  O vértice C' do paralelogramo estará no prolongamento da reta A'B'.
• 
  De acordo com a propriedade 3, os segmentos A'B' e C'D' são iguais. Logo, podemos "pegar" a medida A'B' com o compasso...
• 
  ... e desenhar o arco com medida A'B' no prolongamento deste segmento.
• 
  Assim, encontramos o vértice C' do paralelogramo.
• 
  Usando as mesmas propriedades usadas nos itens anteriores, podemos concluir que as projeções dos vértices A e D coincidem no item d.

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📏 📐 Resolução: item a

Vamos utilizar a régua e o compasso para resolver este exercício.

• 
  Relembrando uma propriedade do paralelogramo: as diagonais interceptam-se em seus respectivos pontos médios. Logo, pela propriedade 3, A'M' = M'C'.
• 
  Logo, podemos "pegar" a medida A'B' com o compasso e prolongar o segmento A'M'.
• 
  Para encontrar C', basta desenhar o arco com medida A'M' no prolongamento de A'M'.
• 
  O mesmo acontece com os segmentos B'M' e M'D'. Logo, podemos "pegar" a medida B'M' com o compasso...
• 
  ... e podemos desenhar o arco com centro em M' e raio B'M'.
• 
  Pronto! O paralelogramo está construído. Não esqueça de desenhar os lados desta figura.

📏 📐 Resolução: item b

Vamos utilizar a régua e o compasso para resolver este exercício.

• 
  Como as projeções dos vértices A' e B' são coincidentes, pela propriedade 1, podemos concluir que AB // d. Portanto, temos que C'D' // d.
• 
  Podemos "pegar" a medida entre os pontos A' ≡ B' e M' com o compasso e prolongar o segmento que une estes pontos.
• 
  Os pontos C' e D' também coincidem, pois AB // CD. Para encontrar C'=D', basta desenhar o arco com medida A'M' no prolongamento de A'M'.
• 
  O paralelogramo está construído. Use o link abaixo para visualizar em 3D a propriedade que usamos. Agora você pode construir o item c deste exercício.

Visualização em 3D: item b

📏 📐 Solução

Usando as propriedades dos itens a e b, você consegue fazer a construção deste paralelogramo.

📏 📐 Resolução: item a

Vamos utilizar a régua e o compasso para resolver este exercício.

• 
  Relembrando a propriedade do baricentro: A distância do baricentro a um vértice mede 2/3 da mediana, ou seja, CG = 2CM/3 ou GM = CM/3.
• 
  Pela propriedade 3, a medida G'M' mede CM/3. Então vamos construir a mediatriz do segmento A'B'.
• 
  Usando os arcos de mesma medida, com centros em A' e B', obtemos os pontos que definem a mediatriz de A'B'.
• 
  Unindo os pontos M' e G', podemos usar o compasso para "pegar" a medida G'M'.
• 
  Com o centro em G', marcamos uma vez o segmento com medida igual a G'M'.
• 
  Na sequência, marcamos novamente um segmento com a mesma medida. Assim, encontramos G'C' = 2G'M'.
• 
  Agora você pode desenhar os lados do triângulo A'B'C'.

📏 📐 Resolução: item b

Vamos utilizar a régua e o compasso para resolver este exercício.

• 
  Vamos usar a mesma propriedade do item anterior: A distância do baricentro a um vértice mede 2/3 da mediana, ou seja, CG = 2CM/3 ou GM = CM/3.
• 
  Pela propriedade 2, se os pontos A' e B' coincidem, o lado AB é paralelo à direção d. Logo, o ponto M' também coincide com A' e B'.
• 
  Logo, podemos prolongar a reta A'G' para encontrar a projeção do vértice C. Usando o compasso, "pegamos" a medida A'G' e podemos marcá-la a partir de G'
• 
  Marcando-se duas vezes esta medida A'G' encontramos a projeção C'. Neste caso, o triângulo ABC fica projetado como um segmento.
• 
  Use o link abaixo para visualizar o exercício em 3D. Agora é sua vez de construir o item c.

Visualização em 3D: item b

📏 📐 Solução

Utilizando as mesmas propriedades dos itens anteriores, você consegue construir este triângulo. Use o link abaixo para te ajudar na visualização em 3D.

Visualização em 3D

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📏 📐 Resolução

Vamos utilizar a régua, o compasso e os esquadros para resolver este exercício.

• 
  Relembrando as propriedades do hexágono regular: os lados são iguais ao raio da circunferência circunscrita, e os raios são paralelos aos lados.
• 
  Pela propriedade 3, os segmentos A'O' e B'C' terão projeções com mesma medida e serão paralelos. Logo, podemos construir a paralela a A'O' que passa por B'.
• 
  Alinhando a hipotenusa de um esquadro e apoiando este esquadro com a régua ou outro esquadro, basta deslizar o esquadro que você alinhou até chegar em B'.
• 
  Como AO = BC e AO // BC, pelas propriedades 2 e 3 temos que A'O' = B'C' e A'O' // B'C'. Podemos "pegar" a medida A'O' com o compasso...
• 
  ... e marcá-la na paralela construída, a partir do ponto B'. Assim, encontramos a projeção do ponto C'.
• 
  Usando a propriedade 3, como A, O e D são colineares, temos que A'O' = O'D'. Podemos "pegar" essa medida com o compasso...
• 
  ... e desenhar o arco com centro em O'. Assim, encontramos o vértice D'.
• 
  Podemos fazer a mesma construção com os segmentos O'F' = O'C' para encontrar F'.
• 
  E para fechar o hexágono, fazemos a mesma construção com os segmentos B'O' = O'E'. Use o link abaixo para visualizar o exercício em 3D.
• 
  Com as propriedades que usamos no item a, você consegue fazer a construção deste hexágono do item b.

Visualização em 3D: item a

📏 📐 Resolução

Vamos utilizar a régua e o compasso para resolver este exercício.

• 
  Usando as propriedades do hexágono regular, podemos notar que AB = OC e AB // OC. Logo, as projeções desses serão iguais e paralelas.
• 
  Pela propriedade 5, como os pontos A', B' e O' são colineares, o hexágono está em um plano paralelo à direção de projeções d. Logo, C' estará na mesma reta.
• 
  Podemos "pegar" a medida A'B' com o compasso e transferir esta medida a partir de O', encontrando o ponto C'.
• 
  Como BO = OE, pela propriedade 3 temos que B'O' = O'E'. Podemos "pegar" a medida B'O' com o compasso...
• 
  ... e marcá-la a partir do ponto O', encontrando o vértice E'. Podemos usar a mesma propriedade para encontrar os outros vértices.
• 
  Podemos marcar A'O' = O'D' para encontrar o vértice D'.
• 
  E para finalizar o hexágono, marcamos O'C' = O'F'. Visualize este hexágono em 3D com o link abaixo.

Visualização em 3D

📏 📐 Exercício proposto 1.1

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Os segmentos oblíquos ao plano de projeções π' são projetados com tamanho reduzido, ou seja, AB > A'B'

Visualização da propriedade em 3D

Quando a reta r // π' e as retas r e s são perpendiculares ou ortogonais, as retas r' e s' são perpendiculares.

Visualização da propriedade em 3D
Planos paralelo, projetante e oblíquo: projeção ortogonal

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📏 📐 Resolução

Vamos utilizar a régua e o compasso para resolver este exercício.

• 
  Usando as propriedades do losango, temos que as medidas dos lados são iguais AB = BC = CD = AD e as diagonais AC e BD são perpendiculares. Podemos usar a propriedade 7 de projeções ortogonais.
• 
  Como a reta AC é paralela a π', o ângulo de 90° está projetado em verdadeira grandeza (vg). Podemos construir a mediatriz da projeção da diagonal A'C'.
• 
  A interseção da mediatriz de A'C' com a reta r' é o vértice B'.
• 
  Como BM = MD, pela propriedade 3 temos que B'M' = M'D'. Podemos marcar com o compasso a medida B'M' a partir do ponto M', encontrando o vértice D'.
• 
  Pronto, a projeção do losango está construída. Veja no link abaixo a representação em 3D deste exercício.

Visualização em 3D

📏 📐 Resolução

Vamos utilizar a régua e o compasso para resolver este exercício.

• 
  Usando as propriedades do retângulo, temos que os vértices pertencem a uma circunferência com centro no encontro das diagonais M. Esta circunferência é chamada de arco capaz de 90°.
• 
  Como o segmento AB é paralelo a π', sua projeção A'B' está em verdadeira grandeza (vg). Podemos construir a circunferência com centro em A' e raio 3cm.
• 
  Vamos começar construindo a mediatriz de A'C' para desenhar o arco capaz de 90°.
• 
  Com o centro em M', podemos construir a circunferência de raio M'A' = M'C'.
• 
  Agora podemos desenhar a circunferência com centro em A' e raio 3cm. A interseção desta circunferência com o arco capaz de 90° é o vértice B'. Escolha uma das interseções para este vértice B'
• 
  Como os lados AB e CD são paralelos, podemos desenhar a circunferência com centro em C' e raio 3cm para encontrar o vértice D'.
• 
  Pronto, a projeção do retângulo está construída. Veja no link abaixo a representação em 3D deste exercício.

Visualização em 3D

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📏 📐 Resolução

Vamos utilizar o compasso e os esquadros para resolver este exercício.

• 
  Um paralelepípedo tem todas as faces com paralelogramos. Supondo-se que o vértice F está mais próximo do observador, temos as arestas determinadas por F visíveis
• 
  Outra maneira de construir o paralelepípedo é considerando que o vértice F está mais distante do observador. Neste caso, suas arestas tornam-se invisíveis. Neste exercício você pode escolher uma das visibilidades apresentadas.
• 
  Vamos começar construindo a reta paralela a B'C' que passa por A' para encontrar o vértice D' da base do paralelepípedo. Podemos usar o esquadro de 45° para alinhar com o segmento.
• 
  Deslizando o esquadro com o outro esquadro apoiado, podemos desenhar a reta paralela a B'C' pelo vértice A'.
• 
  Fazendo a mesma construção, podemos desenhar a reta paralela ao segmento A'B' que passa por C'. O encontro destas paralelas é o vértice D'.
• 
  Agora podemos desenhar as arestas laterais. Basta desenhar as retas paralelas à aresta lateral A'E' que passam pelos vértices B', C' e D'.
• 
  Com o compasso, você pode "pegar" a medida A'E'...
• 
  ... e marcar com a ponta seca em B' para encontrar o vértice F'.
• 
  Fazendo a mesma construção com os vértices C' e D', você encontra os vértices G' e H'. Esta construção é possível por causa das propriedades 2 e 3 de projeções cilíndricas.
• 
  Agora você pode "passar a limpo" o desenho do paralelepípedo. Como ainda não estamos trabalhando com as coordenadas dos vértices, você pode escolher uma das visualizações mostradas nos passos 1 e 2.

📏 📐 Exercício proposto 1.2

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📏 📐 Solução

Você pode utilizar o compasso e os esquadros para resolver este exercício. Lembre-se de aplicar as propriedades de projeções cilíndricas e cilíndricas ortogonais.

Usando as propriedades de projeções cilíndricas ortogonais, verifique quais dos segmentos são projetados em verdadeira grandeza (vg) em π': AB, AE, HJ e JG.

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2. Pontos e Retas

Material da página 25 até a página 47

As construções geométricas dos exercícios da pág. 25 até a pág. 39 foram feitas pelo prof. Paulo Henrique Siqueira.

📏 📐 Resolução

Com as posições dos pontos relativas aos dois planos de projeções, vamos estudar os sinais das coordenadas destes pontos em cada diedro.

• 
  O plano π' é chamado de primeiro plano de projeções, definido pelos eixos x e y. O plano π'' é chamado de segundo plano de projeções, definido pelos eixos x e z.
• 
  Um ponto P pertence ao 1º diedro quando tem as coordenadas y e z positivas. A coordenada x pode ser negativa ou positiva.
• 
  Um ponto P pertence ao 2º diedro quando tem a coordenada y negativa e a coordenada z positiva. O sinal da coordenada x pode ser tanto negativo quando positivo.
• 
  Um ponto P pertence ao 3º diedro quando tem as coordenadas y e z negativas. A coordenada x pode ser tanto negativa quanto positiva.
• 
  Um ponto P pertence ao 4º diedro quando tem a coordenada y positiva e a coordenada z negativa. O sinal da coordenada x pode ser tanto negativo quando positivo.
• 
  Resumindo, estas são as combinações dos sinais das coordenadas de um ponto e sua respectiva localização em um dos diedros.

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📏 📐 Resolução

Vamos representar as projeções de um ponto A em perspectiva.

• 
  Vamos representar os eixos x, y e z. O plano π' é definido pelos eixos x e y. Já o plano π'' é definido pelos eixos x e z. O plano π''' é definido pelos eixos y e z.
• 
  Vamos escolher a projeção de um ponto A sobre um dos planos de projeção. Neste caso, escolha um ponto A' sobre o plano π'. Logo, vamos começar a representação pela 1ª projeção de um ponto A.
• 
  Vamos traçar paralelas ao eixo y passando pelo ponto A' para encontrar a coordenada y deste ponto. Alinhe a hipotenusa do esquadro de 45 com o eixo y e apoie um cateto deste esquadro com a régua ou com o outro esquadro.
• 
  Deixando fixo o esquadro de 60 ou a régua, deslize o esquadro de 45 até chegar no ponto A'. Trace o segmento de reta que passa por A', paralelo ao eixo y, interceptando o eixo x. A distância de A' até o eixo x é a coordenada y do ponto A, que denominamos afastamento ou ordenada.
• 
  Agora vamos determinar a medida da coordenada x do ponto A. Alinhe a hipotenusa do esquadro de 45 com o eixo x e apoie um cateto com o esquadro de 60 ou com a régua.
• 
  Deixando fixo o esquadro de 60, deslize o esquadro de 45 até chegar no ponto A'. Trace o segmento que passa por A', é paralelo ao eixo x e intercepta o eixo y. A distância de A' até o eixo y é a coordenada x do ponto A, que denominamos de abscissa.
• 
  Agora use os esquadros para desenhar a reta paralela ao eixo z que passa por A'. Determine nesta paralela um ponto A. Para encontrar o ponto A'', podemos traçar a reta paralela ao eixo y, que passa pelo ponto A e a reta paralela ao eixo z que passa no ponto auxiliar do eixo x. Logo, encontramos a 2ª projeção A'' do ponto A.
• 
  Conseguimos determinar dois retângulos: um em π' com os lados de medidas iguais às coordenadas x e y do ponto A; e outro em um plano paralelo a π''', com medidas iguais às coordenadas y e z do ponto A.
• 
  Usando os esquadros, determine a reta paralela ao eixo x que passa por A e a reta paralela ao eixo z que passa no ponto auxiliar do eixo y. Assim, temos mais um retângulo, com lados de medidas iguais às coordenadas x e z do ponto A e encontramos a 3ª projeção A''' do ponto A.
• 
  Use os esquadros e trace a paralela ao eixo x que passa por A'' e a paralela ao eixo y que passa por A'''. Desta forma, encontramos os 6 retângulos que formam um prisma com as medidas de abscissa (x), afastamento ou ordenada (y) e cota (z) do ponto A.

📏 📐 Resolução

Agora vamos representar um ponto A em épura, ou seja, as projeções deste ponto nos planos π' e π'' ficarão em um só plano.

• 
  Vamos fixar o plano π'' e rebater o plano π' sobre π'' usando o eixo x como eixo deste rebatimento. O eixo x é chamado de linha de terra e podemos escolher a origem O e desenhar dois segmentos paralelos ao eixo nas extremidades para identificar a linha de terra.
• 
  Usando o eixo x para rebater o plano π' sobre π'', temos que a projeção A' será rotacionada no sentido anti-horário segundo ângulo de 90°. O mesmo acontecerá com o eixo y. Logo, as projeções A' e A'' ficarão em uma reta perpendicular ao eixo x.
• 
  Na épura, podemos representar os eixos y e z usando a construção de reta perpendicular com esquadros. Alinhe o cateto de um dos esquadros (neste exemplo é o de 45) com o eixo x e apoie a hipotenusa deste esquadro no outro esquadro (neste exemplo é o esquadro de 60) ou na régua.
• 
  Deixando fixo o esquadro de 60, deslize o esquadro de 45 até chegar no ponto O. Trace o segmento de reta que passa por O e está perpendicular ao eixo x.
• 
  Neste segmento teremos o eixo z com as coordenadas positivas para cima do eixo x e o eixo y com as coordenadas positivas para baixo do eixo x. Agora com a ponta seca em A', "pegue" a abscissa de A para marcarmos na representação em épura.
• 
  Com a ponta seca na origem O da épura, marque a abscissa do ponto A sobre o eixo x (linha de terra). As abscissas positivas são marcadas à direita de O e as abscissas negativas são marcadas à esquerda da origem. Podemos desenhar uma reta paralela aos eixos y e z, passando por O, ou a perpendicular ao eixo x usando os esquadros.
• 
  Alinhando o cateto do esquadro de 45 com o eixo x, deixe o outro esquadro apoiado na hipotenusa do esquadro de 45.
• 
  Deixando fixo o esquadro de 60, deslize o esquadro de 45 até chegar no ponto que marcamos com a abscissa de A. Represente a reta perpendicular ao eixo x qe passa por este ponto. Esta reta é chamada linha de chamada de A.
• 
  Pegando a distância da cota de A com o compasso, podemos marcar esta distância a partir do eixo x na linha de chamada de A. Como a cota é positiva, marcamos esta distância para cima do eixo x. Esta é a representação da 2ª projeção do ponto A.
• 
  Com a mesma construção, podemos marcar a ordenada do ponto A a partir do mesmo ponto na linha de chamada. Como a ordenada é positiva, marcamos esta distância para baixo do eixo x.
• 
  Esta é a representação em épura do ponto A: representamos a 1ª projeção A' no mesmo plano da 2ª projeção A''. Veja esta representação em 3D no link abaixo.

Visualização em 3D

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📏 📐 Resolução

Vamos representar um ponto A pertencente ao 1º diedro por meio de suas projeções em perspectiva, e depois em épura. Marque a origem no desenho em épura e construa os segmentos paralelos à linha de terra que determinam o eixo x.

• 
  Já temos a cota do ponto A, que é a distância AA'. Vamos construir a reta paralela ao eixo x que passa por A' para determinar as outras coordenadas deste ponto. Alinhando a hipotenusa do esquadro de 45 com o eixo x, colocamos o outro esquadro ou a régua como apoio em um dos catetos do esquadro de 45.
• 
  Deixando fixo o esquadro de 60, deslizamos o esquadro de 45 até chegar no ponto A'. Construa a reta paralela ao eixo x, encontrando o ponto auxiliar no eixo y que determina a abscissa de A.
• 
  Agora vamos construir a reta paralela ao eixo y que passa pelo ponto A'. Alinhe a hipotenusa do esquadro de 45 com o eixo y e deixe o esquadro de 60 como apoio em um dos catetos do esquadro de 45.
• 
  Vamos construir a reta projetante de A, paralela ao eixo y, deslizando o esquadro de 45 até chegar em A com o outro esquadro fixo.
• 
  Agora deslizamos o esquadro de 45 até chegar em A', determinando o ponto auxiliar no eixo x e a ordenada de A.
• 
  Podemos "pegar" com o compasso a ordenada de A para marcar esta medida na projetante de A que construímos. Com a ponta seca em A' e abertura até o ponto auxiliar do eixo x...
• 
  ... "pegamos" esta medida e marcamos a partir do ponto A. Desta maneira, encontramos a 2ª projeção A''.
• 
  Agora que temos as projeções de A em π' e π'' no desenho em perspectiva, vamos passar estas medidas para a épura. Com a ponta seca no ponto auxiliar do eixo y e abertura até A', "pegamos" a abscissa de A...
• 
  ... e marcamos com a ponta seca na origem da épura. Como a abscissa é positiva, marcamos esta distância à direita da origem O. Agora vamos construir a linha de chamada do ponto A.
• 
  Podemos alinhar um dos catetos do esquadro de 60 com a linha de terra, apoiando a hipotenusa com o outro esquadro. Vamos deixar fixo o esquadro de 45.
• 
  Deslizando o esquadro de 60 até chegar no ponto que marcamos com a abscissa de A, construa a perpendicular à linha de terra por este ponto.
• 
  "Pegando" a medida da cota de A (distância AA') com o compasso, marcamos esta distância na linha de chamada a partir do ponto auxiliar do eixo x. Esta é a projeção A'': como a cota é positiva, esta distância é marcada para cima da linha de terra.
• 
  Fazendo a mesma construção com a ordenada de A (distância AA''), encontramos a projeção A': como a ordenada é positiva, marcamos esta distância para baixo da linha de terra.

📏 📐 Solução

Usando as mesmas construções do ponto A do 1º diedro, conseguimos encontrar as coordenadas de B em perspectiva e colocá-las em épura.

As coordenadas y e z são marcadas para cima da linha da terra para o ponto B do 2º diedro. Note que a 2ª projeção de B vem de trás para a frente.

📏 📐 Solução

Usando as mesmas construções do ponto A do 1º diedro, conseguimos encontrar as coordenadas de C em perspectiva e colocá-las em épura.

A coordenada y é marcada para cima da linha de terra, pois é negativa, e a coordenada z é marcada para baixo da linha da terra, pois também é negativa.

📏 📐 Solução

Usando as mesmas construções do ponto A do 1º diedro, conseguimos encontrar as coordenadas de D em perspectiva e colocá-las em épura.

As coordenadas y e z são marcadas para baixo da linha da terra para o ponto D do 4º diedro. Use o link abaixo para visualizar os 4 pontos em 3D.

Visualização em 3D

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📏 📐 Resolução

Vamos representar os pontos A, B e C pertencentes aos planos de projeção por meio de suas projeções em perspectiva, e depois em épura.

• 
  Determine os eixos x, y e z e os planos de projeção em perspectiva. Na épura, escolha a origem O e construa as linhas paralelas ao eixo x nos cantos da linha de terra.
• 
  Escolhendo um ponto A sobre o plano π', a projeção A' ficará coincidente com o ponto A. Vamos encontrar as outras projeções usando retas paralelas aos eixos que passam por A. Alinhe a hipotenusa do esquadro de 45 com o eixo y, apoiando o cateto deste esquadro com o outro esquadro.
• 
  Deixando fixo o esquadro de 60, deslize o esquadro de 45 até chegar no ponto A. Trace a reta paralela a y até chegar no eixo x: esta é a projeção A''.
• 
  Agora podemos construir a paralela ao eixo x que passa por A. Alinhe a hipotenusa do esquadro de 45 com o eixo x e deixe um cateto com o outro esquadro apoiado.
• 
  Deixando fixo o esquadro de 60, deslize o esquadro de 45 até chegar em A. Construa a reta paralela a x que passa por A até chegar no eixo y: esta é a projeção A'''.
• 
  Agora podemos inserir as coordenadas de A em épura. Com a ponta seca em A''', "pegue" a distância A'A'''...
• 
  ... e com a ponta seca na origem da épura O, construa o arco com raio A'A''': assim, encontramos a projeção A'' em épura.
• 
  Agora vamos construir a linha de chamada de A. Alinhe um cateto do esquadro de 60 com a linha de terra, deixando a hipotenusa apoiada no outro esquadro.
• 
  Deixando fixo o esquadro de 45, deslize o esquadro de 60 até chegar em A''. Agora você pode construir a linha de chamada de A.
• 
  Com a ponta seca em A'', "pegue" a distância A'A''...
• 
  ... e construa o arco com a medida A'A'' na linha de chamada de A: assim encontramos a projeção A'. Todos os pontos pertencentes ao plano π' têm cotas nulas, e as segundas projeções pertencem à linha de terra. Agora você pode usar as mesmas construções para encontrar os pontos B e C pertencentes aos outros planos de projeção e encontrar suas projeções em épura.
• 
  Escolha um ponto B pertencente a π'' e determine suas projeções em perspectiva e em épura. Estes pontos têm ordenadas nulas e as primeiras projeções pertencem à linha de terra.
• 
  Escolha um ponto C pertencente a π''' e determine suas projeções em perspectiva e em épura. Estes pontos têm abscissas nulas e as primeiras projeções pertencem ao eixo y e as segundas projeções pertencem ao eixo z.

📏 📐 Resolução

Vamos representar os pontos A, B e C pertencentes aos eixos por meio de suas projeções em perspectiva, e depois em épura.

• 
  Determine os eixos x, y e z e os planos de projeção em perspectiva. Na épura, escolha a origem O e construa as linhas paralelas ao eixo x nos cantos da linha de terra.
• 
  Escolhendo um ponto A sobre o eixo x, as projeções A' e A'' ficam coincidentes no próprio eixo x e A''' coincide com a origem. Com a ponta seca na origem, "pegue" a medida da abscissa de A para marcarmos na épura.
• 
  Com a ponta seca na origem da épura, determine o arco com abscissa de A. Logo, temos as projeções A' e A'' em épura.
• 
  Todos os pontos do eixo x têm y=0 e z=0. Quando A ∈ x, temos que A' ∈ x e A'' ∈ x. Além disso, A''' ≡ O.
• 
  Escolha um ponto B pertencente ao eixo y. Neste caso, temos B' ≡ B''' e B'' ≡ O. Vamos construir a linha de chamada de B construindo uma perpendicular à linha de terra que passa por O. Alinhe um cateto do esquadro de 60, e deixe o outro esquadro apoiado na hipotenusa.
• 
  Deslizando o esquadro de 60 até passar em O, desenhe a reta perpendicular à linha de terra.
• 
  Com a ponta seca em B, "pegue" a coordenada y do ponto B.
• 
  Com centro na origem da épura, marque a ordenada do ponto B. Como é uma medida positiva, marcamos para baixo da linha de terra. Assim, determinamos a projeção B' e a projeção B'' coincide com a origem.
• 
  Todos os pontos do eixo y têm abscissas e cotas nulas. Se o ponto B ∈ y, então a 1ª projeção de B pertence a y. Além disso, B'' ≡ O.
• 
  Escolhendo-se um ponto C ∈ z, temos que as projeções C'' e C''' coincidem e a projeção C' coincide com a origem. Usando o compasso, "pegue" a coordenada z do ponto C...
• 
  ...e transfira para a épura. Como a medida de z é positiva, marcamos a distância para cima da linha de terra. Logo, temos a projeção C'' e a projeção C' coincide com a origem.
• 
  O eixo z contém os pontos com abscissas e ordenadas nulas. Se o ponto C ∈ z, então temos que C'' ∈ z e C' ≡ O.

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📏 📐 Resolução

Vamos representar as projeções de um ponto A em π', π'' e π''' por meio de suas projeções em perspectiva, e depois em épura.

• 
  Escolha a projeção do ponto A em π'.
• 
  Vamos fazer as construções que fizemos anteriormente para encontrar as outras projeções e as coordenadas de A. Veja a primeira delas: alinhando a hipotenusa do esquadro de 45 com o eixo y e apoiando um cateto com o outro esquadro...
• 
  ... podemos deslizar o esquadro de 45, deixando fixo o outro esquadro. Desta forma, temos a construção da reta paralela ao eixo y. Depois podemos construir as retas paralelas aos eixos x e z que passam por A'. Determine uma cota para o ponto A.
• 
  Para encontrar a projeção A'', construímos a reta paralela ao eixo y que passa por A. Faça a mesma construção mostrada anteriormente para encontrar esta projeção.
• 
  Depois de fazer esta reta paralela, podemos "pegar" com o compasso a medida da ordenada de A, marcando esta medida a partir do ponto A. As outras construções em perspectiva são similares.
• 
  Com as três projeções de A em perspectiva, podemos construir as projeções deste ponto em épura, como fizemos nos exemplos anteriores. Marque a origem no desenho em épura e construa os segmentos paralelos à linha de terra que determinam a linha de terra. Agora vamos focar na representação da 3ª projeção de A.
• 
  A representação da épura tem o rebatimeto de π' sobre o plano π'' usando o eixo x como eixo.
• 
  O plano π''' é rebatido sobre π'' usando o eixo z como eixo. Desta forma, os pontos com ordenadas positivas ficarão à esquerda do eixo z em épura; já os pontos com ordenadas negativas ficarão representados à direita do eixo z. O ponto A''' fica alinhado com A'' por meio de uma paralela ao eixo x.
• 
  Vamos construir a projeção A''' com uma reta paralela ao eixo x que passa por A''. Alinhe a hipotenusa de um dos esquadros, deixando o outro fixo e apoiado no cateto do primeiro esquadro.
• 
  Deslizando o esquadro, temos a reta paralela ao eixo x que passa por A''. No rebatimento do plano π''', a ordenada do ponto A aparece alinhada com a projeção A'', e deve ser marcada a partir do eixo z em épura.
• 
  Podemos "pegar" a ordenada do ponto com o compasso...
• 
  ... e marcá-la a partir do eixo z, na reta paralela que acabamos de construir.
• 
  Esta é a representação em épura da 3ª projeção de um ponto pertencente ao 1º diedro. Quando a ordenada de um ponto for negativa, marcamos esta distância à direita do eixo z.

Visualização em 3D

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📏 📐 Resolução

Vamos marcar a primeira, segunda e terceira projeções dos pontos A e B.

• 
  Começamos construindo a linha de terra, e marcamos o ponto O que será a origem do sistema de coordenadas.
• 
  Utilizando a régua, podemos marcar a partir da origem a abscissa com tamanho 20mm = 2cm à direita da origem, sobre a linha de terra.
• 
  Alinhe um cateto de um dos esquadros com a linha de terra e deixe o outro esquadro como apoio.
• 
  Deslize o esquadro alinhado até chegar na origem...
• 
  ... e continue deslizando até a abscissa que marcamos com tamanho 20mm. Assim, construímos a linha de chamada do ponto A e os eixos y e z que passam pela origem.
• 
  A partir da linha de terra, podemos marcar com a régua, na linha de chamada, a ordenada de 20mm do ponto. Como a ordenada é positiva, marcamos esta medida para baixo da linha de terra. A primeira projeção do ponto está determinada.
• 
  A partir da linha de terra, podemos marcar com a régua, na linha de chamada, a cota de 30mm do ponto. Como a cota é positiva, marcamos esta medida para cima da linha de terra. A segunda projeção do ponto está determinada.
• 
  Para construir a terceira projeção do ponto A, construímos a reta paralela à linha de terra (eixo x) que passa por A''.
• 
  A partir do eixo z, marcamos a ordenada de 20mm do ponto. Como a ordenada é positiva, devemos marcá-la à esquerda do eixo z.
• 
  No ponto B, podemos construir uma nova linha de terra, e marcar a abscissa 10mm. Na linha de chamada do ponto, marcamos a ordenada 15mm para baixo da linha de terra.
• 
  Como a cota tem valor negativo, devemos marcar a medida 20mm para baixo da linha de terra. Logo, encontramos as projeções B' e B''.
• 
  Para construir a terceira projeção de B, construimos a reta perpendicular à linha de terra que passa pela origem, e a reta paralela à linha de terra que passa por B''.
• 
  A partir do eixo z, marcamos a ordenada 15mm à esquerda do eixo, pois esta medida é positiva.

📏 📐 Resolução

Vamos marcar a primeira, segunda e terceira projeções dos pontos C e D.

• 
  Começamos marcando a abscissa 40mm e a ordenada de 20mm negativa, acima da linha da terra, na linha de chamada do ponto C.
• 
  Como a cota é negativa, marcamos a medida 10mm abaixo da linha de terra, na linha de chamada do ponto C. Logo, temos a primeira e a segunda projeções deste ponto.
• 
  Construindo os eixos y e z, perpendiculares à linha de terra a partir da origem, podemos construir a reta paralela à linha de terra que passa por C''. Como a ordenada é negativa, marcamos a distância 20mm a partir do eixo z, à direita da origem.
• 
  Para o ponto D, marcamos a abscissa de 30mm e a ordenada negativa, acima da linha de terra, com distância de 25mm.
• 
  Como a cota do ponto D é positiva, marcamos a distância de 35mm acima da linha de terra. Logo, temos a primeira e a segunda projeções do ponto D.
• 
  Para encontrar a terceira projeção de D, construimos a reta paralela à linha de terra que passa por D''.
• 
  Como a ordenada é negativa, marcamos a distância de 25mm à direita do eixo z para encontrar o ponto D'''.

Visualização em 3D

📏 📐 Resolução

De acordo com as projeções, podemos determinar as posições dos pontos em relação aos planos fundamentais de referência.

• 
  O ponto A tem ordenada (afastamento) e cota positivas. Logo, está no 1º diedro.
• 
  O ponto B tem ordenada positiva e cota negativa. Logo, está no está no 4º diedro.
• 
  O ponto C tem ordenada negativa e cota positiva. Logo, está no está no 2º diedro.
• 
  O ponto D tem ordenada e cota negativas. Logo, está no está no 3º diedro.
• 
  O ponto E tem ordenada positiva e cota nula. Logo, está no está no plano π'. Mesmo se a ordenada fosse negativa, mantendo-se a cota nula, este ponto continuaria pertencente ao plano π'.

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📏 📐 Resolução

Vamos utilizar apenas uma linha de terra para representar os pontos deste exercício em épura.

• 
  O ponto A tem abscissa 20mm (marcada à direita da origem), afastamento 30mm (marcado abaixo da linha de terra) e cota 10mm (marcada acima da linha de terra). Assim, encontramos as duas primeiras projeções do ponto.
• 
  Construindo a reta paralela à linha de terra que passa por A'', marcamos o afastamento de 30mm a partir do eixo z, à esquerda, encontrando a terceira projeção do ponto. O ponto tem cota e afastamento positivos. Logo, este ponto pertence ao 1º diedro.
• 
  O ponto B tem abscissa 50mm (marcada à direita da origem) e afastamento -20mm (marcado acima da linha de terra). Assim, determinamos a primeira projeção do ponto.
• 
  A cota de B tem medida 40mm (marcada acima da linha de terra). Logo, encontramos as segunda projeção do ponto.
• 
  Construindo a reta paralela à linha de terra que passa por B'', marcamos o afastamento de -20mm a partir do eixo z, à direita, encontrando a terceira projeção do ponto. O ponto tem cota positiva e afastamento negativos. Logo, este ponto pertence ao 2º diedro.
• 
  O ponto C tem afastamento e cota negativos. Logo, este ponto pertence ao 3º diedro.
• 
  O ponto D tem afastamento positivo e cota negativa. Logo, este ponto pertence ao 4º diedro.
• 
  O ponto E tem afastamento nulo e cota positiva. Logo, este ponto pertence ao plano π''.
• 
  O ponto F tem afastamento positivo e cota nula. Logo, este ponto pertence ao plano π'.
• 
  O ponto G tem afastamento nulo e cota negativa. Logo, este ponto pertence ao plano π''.
• 
  O ponto H tem afastamento positivo e cota negativa. Logo, este ponto pertence ao 4º diedro.
• 
  O ponto I tem afastamento negativo e cota nula. Logo, este ponto pertence ao plano π'.
• 
  O ponto J tem afastamento positivo pertence ao plano π'. Logo, este ponto tem cota nula, ou seja, a segunda projeção pertence à linha de terra.

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📏 📐 Resolução

Vamos representar as projeções do quadrado contido em π', dado o lado A'B'. Utilizaremos a propriedade 4 de projeções cilíndricas.

• 
  Como o quadrado pertence a π', as cotas de A e B são nulas. Logo, A'' e B'' pertencem à linha de terra.
• 
  Como o quadrado pertence a π', a primeira projeção está em verdadeira grandeza (vg). Logo, podemos construir as retas perpendiculares ao segmento A'B' que passam por A' e por B' com os esquadros.
• 
  Utilizando o compasso, "pegue" a medida do lado A'B' e ...
• 
  ... com centro em B', construa o arco com a medida A'B', encontrando o vértice C' na reta perpendicular que construimos.
• 
  Para encontrar o vértice D', podemos construir o arco com medida A'B' e centro em A', ou podemos construir a reta paralela a A'B' que passa por C'.
• 
  Construa as linhas de chamada de C' e D', encontrando as projeções C'' e D'' na linha de terra.
• 
  A primeira projeção do quadrado fica em vg, e a segunda projeção é reduzida ao segmento C''A''.
• 
  Outra solução possível pode ser construída se marcarmos a medida A'B' para cima.

📏 📐 Resolução

Vamos construir as projeções do paralelogramo usando a propriedade 3 de projeções cilíndricas.

• 
  Começamos marcando as projeções dos pontos A, B e M em épura.
• 
  De acordo com a propriedade 3 de projeções cilíndricas, os segmentos AM e CM têm projeções com mesma medida (o encontro das diagonais de um paralelogramo está no ponto médio das diagonais). Pegue a medida A"M" com o compasso...
• 
  ... e marque esta medida com centro em M", encontrando a projeção C" no prolongamento de A"M".
• 
  Fazendo a mesma construção com a diagonal BD, encontramos a projeção D".
• 
  Agora basta determinar a linha de chamada de D", e a interseção desta linha com o prolongamento de B'M' é a projeção D'.
• 
  Determine a linha de chamada de C". A interseção desta linha com o prolongamento de A'M' é a projeção C'.
• 
  Agora basta unir os vértices na primeira projeção (vista superior do paralelogramo) e da segunda projeção (vista frontal do paralelogramo).

📏 📐 Exercício proposto 2.1

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No primeiro exemplo, temos que P' ∈ r', mas P" ∉ r". Logo, podemos concluir que P ∉ r.
No segundo exemplo, temos que P' ∈ r", e P" ∈ r'. Neste caso, o ponto P está no 3º diedro, e as projeções do ponto não pertencem às projeções de mesmo nome da reta. Logo, podemos concluir que P ∉ r.
No terceiro exemplo, temos que P' ∈ r', e P" ∈ r". Logo, podemos concluir que P ∈ r.

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📏 📐 Resolução

A reta vertical é perpendicular ao plano π' e paralela aos planos π" e π'''.

• 
  Considere os pontos A e B pertencentes à reta vertical r. Para determinar a segunda projeção de r, basta construir as projetantes paralelas ao eixo y que passam por A e B. A projetante paralela a y que passa por A' ≡ B' determina o afastamento constante desta reta.
• 
  Para determinar a terceira projeção de r, basta construir as projetantes paralelas ao eixo x que passam por A e B. A projetante paralela a x que passa por A' ≡ B' determina a abscissa constante desta reta. Podemos "pegar" esta medida com o compasso...
• 
  ... e marcá-la na linha de terra da épura. Se fizermos o mesmo com o afastamento da reta e com as cotas dos pontos A e B...
• 
  ... temos as duas projeções da reta vertical: a primeira projeção fica reduzida a um ponto e a segunda projeção é a reta r".
• 
  Se uma parte da reta está contida no 1º diedro, a outra fica no 4º diedro. Se uma parte da reta está contida no 2º diedro, a outra fica no 3º diedro.
• 
  Os ângulos que a reta forma com os planos de projeção são de 90º, 0º e 0º.
• 
  Como a reta é paralela aos planos π" e π''', estas projeções ficam em vg.
• 
  Basta um ponto para determinar a reta vertical, pois a abscissa e o afastamento são constantes.

📏 📐 Resolução

Vamos representar em épura a reta vertical que contém o ponto A.

• 
  A primeira projeção da reta fica coincidente com a primeira projeção de A: A' ≡ r'. A segunda projeção é o prolongamento da linha de chamada do ponto A.
• 
  Podemos marcar a cota de 10mm do ponto B com a régua. Logo, temos a projeção B" sobre r". A projeção B' fica coincidente com a projeção r'.

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📏 📐 Resolução

A reta de topo é perpendicular ao plano π'' e paralela aos planos π' e π'''.

• 
  Considere os pontos A e B pertencentes à reta de topo r. Para determinar a terceira projeção de r, basta construir as projetantes paralelas ao eixo x que passam por A e B. A projetante paralela a x que passa por A" ≡ B" determina a abscissa constante desta reta.
• 
  Para determinar a primeira projeção de r, basta construir as projetantes paralelas ao eixo z que passam por A e B. A projetante paralela a z que passa por A" ≡ B" determina a cota constante desta reta. Podemos "pegar" a medida da abscissa da reta com o compasso...
• 
  ... e marcá-la na linha de terra da épura. Se fizermos o mesmo com a cota da reta e com as ordenadas dos pontos A e B...
• 
  ... temos as duas projeções da reta de topo: a segunda projeção fica reduzida a um ponto e a primeira projeção é a reta r'.
• 
  Se uma parte da reta está contida no 1º diedro, a outra fica no 2º diedro. Se uma parte da reta está contida no 3º diedro, a outra fica no 4º diedro.
• 
  Os ângulos que a reta forma com os planos de projeção são de 0º, 90º e 0º.
• 
  Como a reta é paralela aos planos π' e π''', estas projeções ficam em vg.
• 
  Basta um ponto para determinar a reta de topo, pois a abscissa e a cota são constantes.

📏 📐 Resolução

Vamos representar em épura a reta de topo que contém o ponto A.

• 
  A segunda projeção da reta fica coincidente com a segunda projeção de A: A" ≡ r". A primeira projeção é o prolongamento da linha de chamada do ponto A.
• 
  Marque as coordenadas do ponto B.
• 
  A reta paralela à reta de topo r será outra reta de topo. Logo, a projeção B" coincide com s", e a projeção s' é o prolongamento da linha de chamada de B.

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📏 📐 Resolução

A reta fronto-horizontal é perpendicular ao plano π''' e paralela aos planos π' e π''.

• 
  Considere os pontos A e B pertencentes à reta fronto-horizontal r. Para determinar a segunda projeção de r, basta construir as projetantes paralelas ao eixo y que passam por A e B. A projetante paralela a y que passa por A''' ≡ B''' determina o afastamento constante desta reta.
• 
  Para determinar a primeira projeção de r, basta construir as projetantes paralelas ao eixo z que passam por A e B. A projetante paralela a z que passa por A''' ≡ B''' determina a cota constante desta reta. Podemos "pegar" a medida da abscissa do ponto A com o compasso...
• 
  ... e marcá-la na linha de terra da épura. Se fizermos o mesmo com a cota da reta e com as ordenadas dos pontos A e B...
• 
  ... temos as duas projeções da reta fronto-horizontal: as duas projeções ficam paralelas à linha de terra.
• 
  Esta reta fica inteiramente contida em um diedro: no 1º diedro, no 2º diedro, no 3º diedro ou no 4º diedro.
• 
  Os ângulos que a reta forma com os planos de projeção são de 0º, 0º e 90º.
• 
  Como a reta é paralela aos planos π' e π'', estas projeções ficam em vg.
• 
  Basta um ponto para determinar a reta fronto-horizontal, pois o afastamento e a cota são constantes.

📏 📐 Resolução

Vamos representar em épura a reta fronto-horizontal que passa pelo ponto A.

• 
  Podemos construir as retas r' e r'' paralelas à linha de terra que passam por A' e A''.
• 
  Marque a abscissa do ponto B com medida 40.
• 
  Agora basta traçar a linha de chamada de B, e as projeções B' ∈ r' e B" ∈ r".

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📏 📐 Resolução

A reta horizontal é paralela ao plano π' e oblíqua aos planos π'' e π'''.

• 
  Considere os pontos A e B pertencentes à reta horizontal r. Para determinar a primeira projeção de r, basta construir as projetantes paralelas ao eixo z que passam por A e B.
• 
  Para determinar a segunda e a terceira projeção de r, basta construir as projetantes paralelas aos eixos y e x que passam por A e B. Podemos "pegar" a medida da abscissa do ponto A com o compasso...
• 
  ... e marcá-la na linha de terra da épura. Se fizermos o mesmo com as demais coordenadas dos pontos A e B...
• 
  ... temos as duas projeções da reta horizontal: a segunda projeção fica paralela à linha de terra (a reta tem cota constante) e a primeira projeção fica oblíqua.
• 
  Se uma parte da reta está contida no 1º diedro, a outra fica no 2º diedro. Se uma parte da reta está contida no 3º diedro, a outra fica no 4º diedro.
• 
  Os ângulos que a reta forma com os planos de projeção π'' e π''' são projetados em vg: θ'' é o ângulo entre a linha de terra e r', e θ''' é o ângulo formado entre a reta r' e uma linha de chamada ou com a projeção do eixo y. Note que estes ângulos são complementares.
• 
  Como a reta é paralela ao plano π', esta projeção fica em vg.
• 
  Precisamos de dois pontos para representar uma reta horizontal.

📏 📐 Resolução

Vamos representar em épura a reta horizontal que passa pelo ponto A e forma 60º com π''.

• 
  A projeção r" é paralela à linha de terra e passa por A". Alinhe o menor cateto do esquadro de 60 com a linha de terra e deixe a hipotenusa do outro esquadro apoiada no cateto maior do esquadro de 60.
• 
  Deslize o esquadro de 60 até chegar no ponto A': assim, construímos o ângulo θ'' à direita de A. Alinhando o esquadro de 60 do outro lado, você pode construir a outra solução, com ângulo θ'' à esquerda de A. Logo, temos a primeira projeção da reta horizontal.
• 
  A interseção de r' com a linha de terra é o ponto da reta que tem afastamento nulo. Faça a linha de chamada de B' para encontrar a projeção B'' ∈ r''.

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📏 📐 Resolução

A reta frontal é paralela ao plano π'' e oblíqua aos planos π' e π'''.

• 
  Considere os pontos A e B pertencentes à reta frontal r. Para determinar a segunda projeção de r, basta construir as projetantes paralelas ao eixo y que passam por A e B.
• 
  Para determinar a primeira e a terceira projeção de r, basta construir as projetantes paralelas aos eixos z e x que passam por A e B. Podemos "pegar" a medida da abscissa do ponto A com o compasso...
• 
  ... e marcá-la na linha de terra da épura. Se fizermos o mesmo com as demais coordenadas dos pontos A e B...
• 
  ... temos as duas projeções da reta frontal: a primeira projeção fica paralela à linha de terra (a reta tem afastamento constante) e a segunda projeção fica oblíqua.
• 
  Se uma parte da reta está contida no 1º diedro, a outra fica no 4º diedro. Se uma parte da reta está contida no 2º diedro, a outra fica no 3º diedro.
• 
  Os ângulos que a reta forma com os planos de projeção π' e π''' são projetados em vg: θ' é o ângulo entre a linha de terra e r'', e θ''' é o ângulo formado entre a reta r'' e uma linha de chamada ou com a projeção do eixo z. Note que estes ângulos são complementares.
• 
  Como a reta é paralela ao plano π'', esta projeção fica em vg.
• 
  Precisamos de dois pontos para representar uma reta frontal.

📏 📐 Resolução

Vamos representar em épura a reta frontal que passa pelos pontos A e B.

• 
  A projeção r' é paralela à linha de terra e passa por A'. A segunda projeção r" passa pelos pontos A" e B".
• 
  Trace a linha de chamada de B" para determinar a projeção B' ∈ r'.
• 
  Para encontrar o ponto da reta com cota 20mm, podemos usar a linha de chamada de A para marcar a cota 20. Trace a reta paralela à linha de terra com distância 20mm.
• 
  Na interseção da reta paralela com r", encontramos a projeção C". Trace a linha de chamada de C" para determinar C' ∈ r'.

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As construções geométricas dos exercícios da pág. 40 até a pág. 47 foram feitas pela profª Simone da Silva Soria Medina.

📏 📐 Resolução

• 
  Considere os pontos A e B pertencentes à reta de perfil r, lembrando que retas de perfil são oblíquas à π' e à π'' e paralelas à π'''.
• 
  Projetamos a reta sobre π', encontrando assim sua primeira projeção r'.
• 
  E também sobre π'', encontrando a segunda projeção r''.
• 
  Podemos também projetar os pontos A e B sobre π'''.

📏 📐 Resolução

Passamos agora para representação em épura da reta de perfil.

• 
  Os traços π'π''' e π''π''', por serem retas de abscissa constante, passam pela origem.
• 
  Com as coordenadas dos pontos A e B podemos encontrar r' e r''...
• 
  ... e também r'''.
• 
  De maneira geral uma reta de perfil atravessa três diedros...
• 
  ... e é oblíqua em relação a π' e a π'' e paralela a π'''. Os ângulos θ' e θ'' são complementares.
• 
  Por ser paralela a π''', a terceira projeção apresenta VG.
• 
  São necessários 2 pontos para definí-la.

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📏 📐 Resolução

• 
  Podemos representar os traços π'π''' e π''π''' passando pelo origem. Representamos também as projeções r' e r'' da reta de perfil, que são coincidentes e perpendiculares à LT. Observe que existem infinitas retas de perfil que passam por A.
• 
  Encontramos A'''.
• 
  Retas de perfil são oblíquas a π' e a π'' e a verdadeira grandeza dos ângulos aparecem na terceira projeção. O ângulo que a reta forma com π' corresponde ao ângulo formado pela terceira projeção e a LT. Observe que podemos ter duas soluções: r e r₁.
• 
  As retas de perfil ficam definidas por dois de seus pontos, então escolhemos um ponto P sobre a reta r e um ponto P₁ sobre r₁. Neste caso escolhemos os pontos de cota 15: P''' e P₁''' vão estar numa na interseção de uma reta de cota 15 com r''' e r₁''' respectivamente.
• 
  Podemos agora encontrar P'' e P₁''.
• 
  E finalmente P' e P₁'.

📏 📐 Resolução

Podemos utilizar a Mudança de Plano Vertical para encontrar VG de ângulos ou segmentos. O processo descritivo de mudança de planos consiste na modificação de posição de um dos planos de projeção, mantendo-se o outro plano de projeção. Neste primeiro exemplo, vamos modificar a posição de π'', mantendo-se o novo plano perpendicular a π'.

• 
  Considere neste exemplo o ponto A representado por meio das projeções em π' e π''.
• 
  Escolhemos uma posição conveniente para o novo plano de projeção π₁'', determinando a Segunda Linha de Terra (2LT). As cotas dos pontos serão mantidas neste novo sistema de projeções.
• 
  Na épura, basta construir a linha de chamada perpendicular à nova linha de terra, e marcar a cota do ponto A a partir da nova linha de terra. Temos a projeção A' mantida, e a nova projeção A₁'' do ponto A.

Visualização em 3D

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📏 📐 Resolução

Vimos que podemos encontrar a VG de segmentos contidos em uma reta de perfil ou dos ângulos que a mesma forma com π' e π'' na terceira projeção. Podemos também encontrar estes elementos em VG ao transformar uma reta de perfil em uma reta frontal (ou horizontal). Um dos métodos descritivos utilizados para esta transformação é a Mudança de Plano de Projeção (MPP). Vamos ver agora como podemos fazer uma Mudança de Plano Vertical (MPV).

• 
  Representamos a reta r em épura.
• 
  A MPV, como o próprio nome diz, consiste em mudar π'' de lugar. Vamos chamar de π''₁ o plano vertical de projeção na nova posição, que será paralela a r'. Observe que ao mudar π'' de posição temos uma nova Linha de Terra, que chamaremos de Segunda Linha de Terra (2LT).
• 
  Como temos uma nova LT, teremos linhas de chamada para esta nova LT. Lembre que as linhas de chamada são sempre perpendiculares à LT. Na MPV, as cotas dos pontos não são alteradas então podemos transportar as cotas de A e B, da primeira LT para segunda LT, encontrando assim A₁'' e B₁''.
• 
  Pronto! Unindo A₁'' e B₁'' encontramos r₁''. Observe que, em relação a LT2, a reta é frontal pois sua primeira projeção é paralela à LT.

📏 📐 Resolução

Podemos utilizar a Mudança de Plano Horizontal para encontrar VG de ângulos ou segmentos. O processo descritivo de mudança de planos consiste na modificação de posição de um dos planos de projeção, mantendo-se o outro plano de projeção. Neste segundo exemplo, vamos modificar a posição de π', mantendo-se o novo plano perpendicular a π''.

• 
  Considere neste exemplo o ponto A representado por meio das projeções em π' e π''.
• 
  Escolhemos uma posição conveniente para o novo plano de projeção π₁', determinando a Segunda Linha de Terra (2LT). Os afastamentos dos pontos serão mantidos neste novo sistema de projeções.
• 
  Na épura, basta construir a linha de chamada perpendicular à nova linha de terra, e marcar o afastamento do ponto A a partir da nova linha de terra. Temos a projeção A'' mantida, e a nova projeção A₁' do ponto A.

Visualização em 3D

📏 📐 Resolução

Podemos também transformar uma reta de perfil numa reta horizontal (segunda projeção paralela à LT). Para transformar uma reta de perfil em uma reta horizontal vamos utilizar o método descritivo de Mudança de Plano Horizontal (MPH).

• 
  Representamos a reta r em épura.
• 
  A MPH, como o próprio nome diz, consiste em mudar π' de lugar. Vamos chamar de π'₁ o plano horizontal de projeção na nova posição, que será paralela a r''. Temos então uma 2LT.
• 
  Como temos uma nova LT, teremos linhas de chamada para esta nova LT. Lembrando que as linhas de chamada são sempre perpendiculares à LT. Na MPH, os afastamentos dos pontos não são alterados, então podemos transportá-los da primeira LT para segunda LT, encontrando assim A₁' e B₁'.
• 
  Pronto! Temos r₁'. A VG do segmento AB aparece na primeira projeção da 2LT.

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📏 📐 Resolução

Para encontrar a VG do segmento AB podemos recorrer a uma MPV ou a uma MPH.

• 
  Vamos utilizar neste exercício a MPH. Para isso representamos uma 2LT paralela à r'' e transportamos os afastamentos de A e B, da primeira LT para segunda LT.
• 
  Encontramos r₁'. Esta reta apresenta a VG do segmento AB.
• 
  Traçamos uma reta paralela à 2LT, cuja distância entre elas corresponde ao afastamento do ponto P (23 unidades).
• 
  A interseção desta reta com r₁' nos dá P₁'.
• 
  A partir de P₁' encontramos P'' e P'.

📏 📐 Resolução

Para encontrar a VG do segmento AB podemos recorrer a uma MPV ou a uma MPH.

• 
  Vamos utilizar neste exercício a MPV. Para isso representamos uma 2LT paralela à s' e transportamos as cotas de C e D, da primeira LT para segunda LT.
• 
  Encontramos s₁'' e C₁''D₁'' corresponde a VG do segmento CD.
• 
  Encontramos a projeção do ponto P₁ desta reta que tem cota nula, ou seja, a segunda projeção deste ponto está sobre a LT2.
• 
  A partir de P₁'' encontramos P' e P''.

📏 📐 Construção

• 
  Considere os pontos A e B pertencentes à reta qualquer r, lembrando que retas quaisquer são oblíquas aos 3 planos de projeção.
• 
  Projetamos a reta sobre π', encontrando assim sua primeira projeção r'.
• 
  E também sobre π'', encontrando a segunda projeção r''.
• 
  Vamos agora representar a reta em épura.
• 
  Encontrando as projeções dos pontos A e B temos as projeções da reta qualquer.

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📏 📐 Construção

• 
  De maneira geral uma reta qualquer atravessa três diedros...
• 
  ... e é oblíqua em relação aos 3 planos de projeção, logo não apresenta VG em nenhuma das projeções.

📏 📐 Resolução

Uma reta qualquer passa por 3 diedros. Uma reta qualquer é oblíqua aos 3 planos de projeção.

• 
  A reta r(A, B) tem suas projeções r' e r'' unindo, respectivamente, A' com B' e A'' com B''.
• 
  Para encontrar o ponto desta reta que tem cota 15, traçamos uma reta paralela à LT, cuja distância entre elas seja 15.
• 
  Encontramos assim P'' sobre r'' e P' sobre r'.
• 
  A reta s(C, D) tem suas projeções s' e s'' unindo, respectivamente, C' com D' e C'' com D''.
• 
  Para encontrar o ponto desta reta que tem afastamento 20, traçamos uma reta paralela à LT, cuja distância entre elas seja 20.
• 
  Encontramos assim Q' sobre s' e Q'' sobre s''.

📏 📐 Construção

Vimos no estudo da reta de perfil que podemos encontrar a VG de segmentos transformando ela em uma reta frontal (ou horizontal). O mesmo podemos fazer com retas quaisquer. Vamos ver agora como podemos fazer uma Mudança de Plano Vertical (MPV) para retas quaisquer.

• 
  Representamos a reta r em épura.
• 
  Ao efetuarmos uma MPV vamos transformar a reta qualquer em uma reta frontal, pois vamos "deixar" o novo plano vertical de projeção paralelo à reta no espaço. Observe que ao mudarmos π'' de posição temos uma nova Linha de Terra, que chamaremos de Segunda Linha de Terra (2LT). Esta nova LT deve ser paralela (ou coincidente) com r'.
• 
  Como temos uma nova LT, teremos linhas de chamada para esta nova LT. Lembre que as linhas de chamada são sempre perpendiculares à LT. Na MPV, as cotas dos pontos não são alteradas então podemos transportar as cotas de A e B, da primeira LT para segunda LT, encontrando assim A₁'' e B₁''. Pronto! Unindo A₁'' e B₁'' encontramos r₁''.

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📏 📐 Resolução

A reta r(A, B) tem suas projeções r' e r'' unindo, respectivamente, A' com B' e A'' com B''.

• 
  Para encontrar o ponto desta reta que tem afastamento 10, traçamos uma reta paralela à LT, cuja distância entre elas seja de 10 unidades. Lembrando que afastamento positivo é marcado abaixo da LT. Na interseção desta reta com r' encontramos P' e na linha de chamada de P encontramos P'' sobre r''. Para encontrar o VG do segmento AB podemos efetuar uma MPV ou uma MPH. Na solução apresentada foi efetuada uma MPH transformando a reta r(A, B) em uma reta horizontal.
• 
  A reta s(C, D) tem suas projeções s' e s'' unindo, respectivamente, C' com D' e C'' com D''. Para encontrar o ponto desta reta que tem cota 40, traçamos uma reta paralela à LT, cuja distância entre elas seja de 40 unidades. Lembrando que cota positiva é marcada acima da LT. Encontramos assim Q'' sobre s'' e Q' sobre s'. Para encontrar o VG do segmento CD podemos efetuar uma MPV ou uma MPH. Na solução apresentada foi efetuada uma MPV transformando a reta s(C, D) em uma reta frontal.

📏 📐 Solução

📏 📐 Exercício proposto 2.2

📏 📐 Resolução

• 
  Solução do item a
• 
  Solução do item b
• 
  Solução do item c
• 
  Solução do item d
• 
  Solução do item e
• 
  Solução do item f
• 
  Solução do item g

📏 📐 Solução

📏 📐 Solução

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📏 📐 Solução

📏 📐 Solução

📏 📐 Solução

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📏 📐 Resolução

• 
• 

📏 📐 Resolução

• 
  As retas r e s são reversas, pois as projeções não ficam paralelas e não são concorrentes.
• 
  As retas r e s são concorrentes.

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3. Planos: horizontal e frontal

Material da página 48 até a página 65

As construções geométricas dos exercícios da pág. 48 até a pág. 53 foram feitas pela profª Deise Maria Bertholdi Costa.

📏 📐 Construção

Os três pontos A, B e C distintos e não colineares definem um único plano α. A notação utilizada é α(A,B,C).

• 
  Considerando a reta r definida pelos pontos A e B temos uma nova forma de definir o mesmo plano α: por um ponto C e uma reta r que não se pertencem. A notação utilizada é α(r,C).
• 
  Os pontos B e C definem uma reta s concorrente com a reta r no ponto B. Assim, temos que o plano α agora está definido por duas retas concorrentes. A notação utilizada é α(r,s).
• 
  Considerando a reta t que é concorrente com a reta r no ponto A e que seja paralela à reta s temos agora que o plano α está definido por duas retas t e s paralelas. A notação utilizada é α(s,t). Note que qualquer uma dessas representações de um plano pode recair na outra.

Visualização em 3D

📏 📐 Construção

As retas a e b concorrentes no ponto C definem um único plano α.

• 
  A reta r₁ pertence ao plano α(a,b) pois ela é concorrente com a reta a no ponto A e é concorrente com a reta b no ponto B.
• 
  A reta r₂ pertence ao plano α(a,b) pois ela é concorrente com a reta a no ponto A e é paralela à reta b.
• 
  O ponto P pertence ao plano α(a,b) pois ele pertence à reta r₁ que está contida no plano α.

📏 📐 Construção

Os traços de um plano são as interseções dele com cada um dos Planos Fundamentais de Referência, ou seja, são três retas: απ' – uma reta horizontal do plano de cota nula, απ'' – uma reta frontal do plano de afastamento nulo e απ''' – uma reta de perfil do plano de abscissa nula. Vamos representar em épura os traços do plano α.

• 
  Para representar o primeiro traço απ' vamos utilizar os pontos A e B. O ponto A é a interseção do plano α com o eixo x. Marque no compasso a abscissa do ponto A.
• 
  Agora vamos representar o ponto A em épura. Transfira essa medida para a épura obtendo A' ≡ A'' sobre o eixo x.
• 
  O ponto B é a interseção do plano α com o eixo y. Marque no compasso o afastamento do ponto B.
• 
  Agora vamos representar o ponto B em épura. Transfira essa medida para a épura obtendo B' sobre o eixo y. Como a cota do ponto B é nula temos que B'' ≡ O.
• 
  A reta definida por A' e B' é a primeira projeção do primeiro traço απ', que denotamos simplesmente por απ'. Como a segunda projeção desse traço sempre estará sobre a LT nós não a representamos.
• 
  Para representar o segundo traço απ'' vamos utilizar os pontos A e C. O ponto C é a interseção do plano α com o eixo z. Marque no compasso a cota do ponto C.
• 
  Agora vamos representar o ponto C em épura. Transfira essa medida para a épura obtendo C'' sobre o eixo z. Como o afastamento do ponto C é nulo temos que C' ≡ O.
• 
  A reta definida por C'' e A'' é a segunda projeção do segundo traço απ'', que denotamos simplesmente por απ''. Como a primeira projeção desse traço sempre estará sobre a LT nós não a representamos.
• 
  Para representar o terceiro traço απ''' vamos utilizar os pontos B e C. A primeira e segunda projeções desse traço coincidem com o eixo y e z respectivamente. O que representamos em épura é a sua terceira projeção, que denotamos simplesmente por απ'''. Para obtê-la basta encontrar a terceira projeção dos pontos B e C.

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📏 📐 Resolução

Um plano α pode ocupar sete posições distintas em relação aos três Planos Fundamentais de Referência (PFR). Podemos classificar essas posições em três conjuntos: os planos que são paralelos a um dos PFR, os planos que são perpendiculares a um dos PFR e oblíquo em relação a outro, e os planos oblíquos em relação aos PFR.

• 
  No primeiro conjunto temos os planos que são paralelos a um dos PFR. O plano paralelo ao π' é chamado de Plano Horizontal. O plano paralelo ao π'' é chamado de Plano Frontal. O plano paralelo ao π''' é chamado de Plano de Perfil.
• 
  No segundo conjunto temos os planos que são perpendiculares a um dos PFR e oblíquo em relação a outro. O plano que é perpendicular ao π'' e oblíquo ao π', em consequência é oblíquo também ao π''', é chamado de Plano de Topo.
• 
  O plano que é perpendicular ao π' e oblíquo ao π'', em consequência é oblíquo também ao π''', é chamado de Plano Vertical. O plano que é perpendicular ao π''' e oblíquo ao π', em consequência é oblíquo também ao π'', é chamado de Plano Paralelo à Linha de Terra ou de Plano Rampa.
• 
  No terceiro conjunto temos os planos que são oblíquos em relação a todos os PFR, esse tipo de plano é chamado de Plano Qualquer.

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Visualização em 3D

📏 📐 Resolução

Vamos estudar o Plano Horizontal.

• 
  A característica espacial do Plano Horizontal é ser paralelo a π' e, portanto, será perpendicular a π'' e a π'''.
• 
  Como o Plano Horizontalé paralelo a π' não existe interseção do plano com o primeiro PFR. Dizemos então que o primeiro traço não existe ou que é uma reta imprópria do plano.
• 
  O seu segundo traço απ'' é uma reta fronto-horizontal de afastamento nulo. Não precisamos representar a primeira projeção desse traço pois sempre estará sobre a Linha de Terra.
• 
  O seu terceiro traço απ''' é uma reta de topo de abscissa nula, concorrente com o segundo traço sobre o eixo z. Em geral, não representamos esse traço em épura, somente quando for necessário.
• 
  Como o Plano Horizontalé paralelo a π' então o ângulo θ1 que ele forma com π' é 0°.
• 
  Como o Plano Horizontal é perpendicular a π'' então o ângulo θ2 que ele forma com π'' é 90°.
• 
  Como o Plano Horizontal é perpendicular a π''' então o ângulo θ3 que ele forma com π''' é 90°.
• 
  O Plano Horizontal é perpendicular a π'' então ele é projetante em segunda projeção. Assim, qualquer ponto, reta ou figura que estejam contidos nele terá a sua segunda projeção contida em απ''. Dizemos que uma Figura F pertence ao Plano Horizontal ⟺ F'' ∈ απ''. Note que os pontos A, B e C pertencem ao plano.
• 
  O triângulo ABC se projeta em VG em primeira projeção. Isso porque o Plano Horizontal é paralelo ao primeiro PFR.
• 
  As retas contidas num Plano Horizontal podem ser: horizontais, fronto-horizontais ou de topo. E para se representar um plano desse tipo é necessário apenas 1 ponto.

📏 📐 Resolução

Uma reta pode estar contida, ser paralela ou ser concorrente com um plano. A reta r é concorrente com o Plano Horizontal α. Vamos determinar o traço de r sobre α, denotado por (rα).

• 
  A segunda projeção do traço de r sobre α está na interseção de r'' com απ'', pois o traço deve pertencer tanto ao plano quanto à reta.
• 
  Por (rα)'' traçamos uma linha de chamada até r', obtendo a primeira projeção do traço de r sobre α.
• 
  Agora vamos construir pelo ponto P uma reta perpendicular ao Plano Horizontal α. Como o Plano Horizontal é paralelo a π' então a reta perpendicular a esse Plano é uma reta vertical.
• 
  Construímos por P uma reta vertical, ou seja, sua segunda projeção coincide com a linha de chamada do ponto P e sua primeira projeção coincide com P'.
• 
  A reta p, que passa pelo ponto P e é perpendicular ao Plano Horizontal, intercepta o Plano α no ponto (pα), ou seja, esse ponto é o traço de p sobre α. O segmento definido por P e (pα) representa a distância do P ao Plano Horizontal α.

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📏 📐 Resolução

Vamos representar as projeções do quadrado contido num Plano Horizontal α.

• 
  Represente o ponto A em épura.
• 
  Para representar o ponto B, note que não é dada a sua cota, mas como sabemos que ele pertence ao mesmo Plano Horizontal do ponto A, então sua cota é 20, agora sim você pode representar o ponto B em épura.
• 
  O traço απ'' é definido por A'' e B''.
• 
  Para representar uma figura plana devemos iniciar por onde temos a sua VG, ou seja, na sua primeira projeção. Construa o quadrado A'B'C'D'. Veja que temos duas posições possíveis para desenhar o quadrado.
• 
  Destaque a primeira projeção do quadrado.
• 
  Como o quadrado está contido num Plano Horizontal α então as segundas projeções dele devem estar contidas no segundo traço. Assim, trace as linhas de chamada dos pontos C e D até απ'' obtendo C'' e D''.
• 
  Destaque a segunda projeção do quadrado.

📏 📐 Resolução

Vamos representar as projeções do hexágono regular contido num Plano Horizontal α sendo dados o centro O da circunferência circunscrita ao polígono e o seu raio, e sabendo-se que um dos seus lados é fronto-horizontal.

• 
  Represente o ponto O em épura.
• 
  Represente o traço απ'' que contém O'' e é paralelo à Linha de Terra. Para representar uma figura plana devemos iniciar por onde temos a sua VG, ou seja, na sua primeira projeção.
• 
  Construa a Circunferência de centro em O' e raio 20. Sobre ela estarão as primeiras projeções dos vértices do hexágono regular.
• 
  Como um dos lados do hexágono regular deve ser fronto-horizontal então um dos seus diâmetros também deve ser fronto-horizontal. Assim, construa a reta r que contém o ponto O e seja fronto-horizontal.
• 
  A interseção da Circunferência com r' nos dá as primeiras projeções dos vértices A e D.
• 
  Marque no compasso o raio 20 e a partir de A' obtenha B' e F' sobre essa Circunferência.
• 
  Faça o mesmo agora com centro em D' obtendo C' e E'.
• 
  Destaque a primeira projeção do hexágono regular.
• 
  Como o hexágono regular está contido num Plano Horizontal α então as segundas projeções dele devem estar contidas no segundo traço. Assim, trace as linhas de chamada dos pontos A, B, C, D, E e F até απ'' obtendo suas segundas projeções.
• 
  Destaque a segunda projeção do hexágono regular.

📏 📐 Resolução

Vamos representar as projeções do hexágono regular contido num Plano Horizontal α sendo dados o centro O da circunferência circunscrita ao polígono e o seu raio, e sabendo-se que um dos seus lados forma 15° com π''.

• 
  Represente o ponto O em épura.
• 
  Represente o traço απ'' que contém O'' e é paralelo à Linha de Terra. Para representar uma figura plana devemos iniciar por onde temos a sua VG, ou seja, na sua primeira projeção.
• 
  Construa a Circunferência de centro em O' e raio 20. Sobre ela estarão as primeiras projeções dos vértices do hexágono regular.
• 
  Como um dos lados do hexágono regular deve formar ângulo de 15° com π'', então um dos seus diâmetros também deve formar o mesmo ângulo com π''. Ou seja, vamos construir uma reta r horizontal de α'' que forme ângulo de 15° com π'' e que passe pelo ponto O dado. Encaixe o esquadro de 45 no prolongamento da Linha de Chamada (LC) de O.
• 
  Encaixe o cateto do esquadro de 30/60 na hipotenusa esquadro do esquadro de 45, de modo que o ângulo de 30° fique para cima.
• 
  Desloque o esquadro de 30/60 até que a sua hipotenusa contenha o ponto O'. Construa a reta r'. Note que o ângulo formado entre r' e a LC de O é 75° e, portanto, o ângulo que r' forma com a LT é 15°. A segunda projeção de r coincide com απ''. São duas posições possíveis para r.
• 
  A interseção da Circunferência com r' nos dá as primeiras projeções dos vértices A e D.
• 
  Marque no compasso o raio 20 e a partir de A' obtenha B' e F' sobre essa Circunferência. Faça o mesmo para D', obtendo os pontos C' e E'.
• 
  Destaque a primeira projeção do hexágono regular.
• 
  Como o hexágono regular está contido num Plano Horizontal α então as segundas projeções dele devem estar contidas no segundo traço. Assim, trace as linhas de chamada dos pontos A, B, C, D, E e F até απ'' obtendo suas segundas projeções.
• 
  Destaque a segunda projeção do hexágono regular.

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📏 📐 Resolução: 1ª parte

Vamos representar a pirâmide reta de base hexagonal ABCDEF contida num Plano Horizontal α, dada a altura h e dois vértices da base. Como a pirâmide é reta então a base é um polígono regular.

• 
  Para representarmos um sólido devemos iniciar sua representação por uma face ou seção que está em VG. Vamos iniciar a representação da pirâmide pela sua base hexagonal. Represente os pontos A e B em épura.
• 
  Como as cotas de A e B são nulas então a base da pirâmide está contida num Plano Horizontal de cota nula, ou seja, o plano α coincide com o primeiro PFR e, portanto, seu segundo traço coincide com a Linha de Terra (LT).
• 
  Para representar uma figura plana devemos iniciar por onde temos a sua VG, neste caso, na primeira projeção. Vamos construir o hexágono regular A'B'C'D'E'F'. Construa o triângulo equilátero de lado A'B' obtendo O'. Há duas possibilidades de posição para o O'. Trace a Linha de Chamada (LC) do ponto O obtendo O'' sobre απ".
• 
  Construa a circunferência de centro O' que passe pelos pontos A' e B'.
• 
  Marque no compasso a medida A'B' e divida a circunferência em 6 partes iguais, obtendo os pontos C', D', E' e F'. Não destaque ainda a primeira projeção do polígono!
• 
  Trace as LC dos pontos C, D, E e F obtendo suas segundas projeções sobre απ". Não destaque ainda a segunda projeção do polígono!
• 
  Vamos obter agora o vértice V da pirâmide. Como a pirâmide é reta então a projeção ortogonal do vértice V sobre a base coincide com o centro da mesma. Logo, a reta que contém o vértice V e o centro O da base é perpendicular à base, ou seja, a reta VO é uma reta vertical. Marque V' coincidente com O'.
• 
  Como a reta VO é vertical então sua VG está na segunda projeção. Marque V'' sobre o prolongamento da LC de O de modo que V''O'' = h = 50mm. Há duas possibilidades de posição para V''.
• 
  Temos todos os vértices da pirâmide representados. Precisamos agora representar suas faces e arestas de acordo com a visibilidade do sólido. Começamos escolhendo uma das projeções para fazer a visibilidade, por exemplo a primeira projeção.Inicialmente identificamos qual é o contorno aparente, que nesse caso é formado pelos lados do polígono plano ABCDEF.
• 
  Vamos destacar em épura o contorno aparente referente a visibilidade em primeira projeção,ou seja, os segmentos A'B', B'C', C'D', D'E', E'F' e F'A'. Lembrando que o contorno aparente é sempre visível por isso é representado por linha larga contínua.
• 
  Esse contorno aparente referente a primeira projeção divide o sólido em duas partes.Uma é composta pela base ABCDEF, que é não visível, pois as faces laterais encobrem essa base (para isso, basta verificar que a cota do ponto V é maior que a cota da base ABCDEF).
• 
  E a outra parte é formadapelas faces laterais ABV, BCV, CDV, DEV, EFV e FAV, que são todas visíveis em primeira projeção.
• 
  Assim, em épura representamos os segmentos A'O', B'O', C'O', D'O', E'O' e F'O' por linhas contínuas largas. O ponto V é um ponto visível em primeira projeção e como está dentro do contorno aparente temos que todas as arestas que partem dele serão também visíveis.

📏 📐 Resolução: 2ª parte

Agora vamos representar a visibilidade da pirâmide na segunda projeção.

• 
  O contorno aparente na segunda projeção é formado pelos lados do polígono reverso VCDEF.
• 
  Vamos destacar em épura o contorno aparente referente a visibilidade em segunda projeção, ou seja, os segmentos V''C'', C''D'', D''E'', E''F'' e F''V''. Lembrando que o contorno aparente é sempre visível por isso é representado por linha larga contínua.
• 
  Esse contorno aparente referente asegunda projeção divide o sólido em duas partes. Uma é composta pelas faces VCB, VBA e VAF, que não são visíveis.
• 
  E a outra é formado pelas faces laterais VCD, VDE e VEF. Note que os afastamentos dos pontos D e E são maiores que os dos pontos A e B! E também em épura que a segunda projeção da base ABCDEF se reduz a um segmento!
• 
  Assim, em épura representamos os segmentos V''D'' e V''E'' por linhas contínuas largas e, os segmentos V''B'' e V''A'' por linhas tracejadas largas.
• 
  Pronto! A pirâmide está representada! Uma observação importante é que com os dados iniciais é possível construir a pirâmide em 4 posições distintas!

Visualização em 3D

👓 Realidade Aumentada e Realidade Virtual

Você pode acessar os recursos de RA e RV usando o seguinte endereço:

https://paulohscwb.github.io/geometria-descritiva/ra.html

Os objetos modelados em 3D aparecem sobre as coordenadas da apostila. Você pode usá-los para conferir as construções ou apenas visualizar os objetos em 3D.

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As construções geométricas dos exercícios da pág. 54 até a pág. 58 foram feitas pela profª Luzia Vidal de Souza.

📏 📐 Resolução

• 
  Marcar os pontos A e B.
• 
  Construir o quadrado da base ABCD.
• 
  Encontrar as segundas projeçoes dos pontos C e D.
• 
  Encontrar o centro da base O.
• 
  Marcar a altura da piramide, determinando o vértice V".
• 
  Representar a visibilidade do sólido.

Visualização em 3D

📏 📐 Resolução

• 
  Marcar os pontos A, B e V.
• 
  Construir o quadrado da base ABCD.
• 
  Encontrar as segundas projeçoes dos pontos C e D.
• 
  Representar o contorno aparente na 1ª e na 2ª projeções.
• 
  Representar as arestas internas.
• 
  Finalizar a representação.

Visualização em 3D

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📏 📐 Resolução

• 
  Marcar os pontos A e B.
• 
  Construir o triângulo de base ABC.
• 
  Encontrar a segunda projeção do ponto C.
• 
  Encontrar o centro da base O, traçando pelos vértices, as perpendiculares ao lado oposto.
• 
  Encontrar a altura do tetraedro, para isso, fazer uma perpendicular pelo ponto O' a O'B'.
• 
  Tomar a medida da aresta B'C'.
• 
  Marcar a medida da aresta a partir do vértice B', obtendo a altura do sólido h.
• 
  Tomar a altura h com o compasso.
• 
  Marcar a altura na 2ª projeção.
• 
  Representar a visibilidade do sólido.

Visualização em 3D

📏 📐 Resolução

• 
  Marcar os pontos O e A.
• 
  Traçar a circunferência de centro O que passa pelo ponto A
• 
  Inscrever o triângulo na circunferência, lembrando que o raio divide a circunferência em 6 partes iguais, tomando 3 desses vértices, temos o triângulo equilátero inscrito na circunferência.
• 
  Encontrar a segunda projeção dos vértices B e C .
• 
  Por um ponto qualquer, marcar a altura do sólido, h = 40 que pode estar acima ou abaixo do plano α.
• 
  Representar o plano β que contém os vértices D, E e F.
• 
  Representar a visibilidade do sólido.

Visualização em 3D

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📏 📐 Resolução

• 
  Marcar os pontos A, B e E.
• 
  Representar o quadrado da base.
• 
  Encontrar as segundas projeções dos vértices C e D.
• 
  Representar o plano β que passa pelo ponto E e contém os vértices E, F, G e H.
• 
  Traçar as arestas AE, BF, CG e DH são paralelas e iguais, tanto na 1ª quanto na 2ª projeções.
• 
  Representar a altura do sólido, fazendo a perpendicular por uma das arestas laterais do sólido, nesse caso utilizamos a A'G'.
• 
  Representar o contorno aparente do sólido. Representar a visibilidade do sólido.

Visualização em 3D

📏 📐 Resolução

• 
  Marcar os pontos A e B
• 
  Encontrar o centro da circunferência que circunscreve o hexágono.
• 
  Representar o hexágono inscrito na circunferencia.
• 
  Traçar as bissetrizes dos ângulos internos do hexágono, representando um dodecágono, os vértices G, H, I, J, K e L são os vértices da outra face do anti-prisma.
• 
  Representar a altura do anti-prisma, fazendo uma perpendicular a um dos lados do dodecágono A'G'.
• 
  Fazer um arco de circunferencia com centro em A' e raio igual à aresta.
• 
  Marcar a altura encontrada, a partir do plano α, para cima ou para baixo, determinando o plano β, onde ficarão os vértices: G, H, I, J, K e L.
• 
  Representar o contorno aparente do sólido.
• 
  Representar a visibilidade do sólido.
• 

Visualização em 3D

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📏 📐 Resolução

• 
  Marcar os pontos A e B.
• 
  Construir o quadrado da seção equatorial.
• 
  Representar as segundas projeções dos vértices C e D.
• 
  Representar os vértices E e F, que na 1ª projeção são coincidentes com o centro do quadrado.
• 
  Representar a altura do octaedro que é igual à diagonal do quadrado. Marcar metade da diagonal acima do plano α e a metade abaixo.
• 
  Representar o contorno aparente do sólido.
• 
  Representar a visibilidade do sólido.

Visualização em 3D

📏 📐 Resolução

• 
  Marcar os pontos A e B.
• 
  Construir o triângulo da base.
• 
  Representar a segunda projeção do vértices C.
• 
  Traçar a circunferência que circunscreve o triângulo, para isso traçar a perpendicular por cada vértice ao lado oposto e encontrar o centro da circunferencia.
• 
  Determinar as primeiras projeções dos vértices D, E e F.
• 
  Determinar a altura do octaedro, que nesse caso, é tratado como um anti-prisma de base triangular.
• 
  Marcar a altura acima do plano α e marcar o plano β.
• 
  Representar as segundas projeções dos pontos D, E e F.
• 
  Representar o contorno aparente do sólido na 1ª e 2ª projeções.
• 
  Representar a visibilidade do sólido.

Visualização em 3D

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📏 📐 Resolução

Vamos construir um pentágono regular de lado AB dado.

• 
  Marcar os pontos A e B.
• 
  Traçar a circunferência de centro A' e raio A'B'
• 
  Traçar a circunferência de centro B' e raio A'B'.
• 
  Traçar a circunferência com centro na interseção das duas primeiras (1) e raio A'B'.
• 
  Traçar a mediatriz de A'B' (unir os pontos 1 e 2) encontrando o ponto 3.
• 
  Marcar os pontos 4 e 5.
• 
  Unir os pontos 5 e 3, determinando o pontos E', e os pontos 4 e 3, determinando o pontos C'.
• 
  Para determinar o ponto D', basta fazer uma circunferência com centro em E', raio A'B' e outra com centro em C' com o mesmo raio.
• 
  Desenhar o pentágono na 1ª projeção.
• 
  Representar as segundas projeções dos pontos, fazendo linhas de chamada. Como pertencem ao plano horizontal, suas segundas projeções estão contidas em απ''.
• 
  Representar a 2ª projeção do pentágono.

📏 📐 Exercício proposto 3.1

📏 📐 Solução

📏 📐 Solução

Visualização em 3D

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As construções geométricas dos exercícios da pág. 59 até a pág. 65 foram feitas pela profª Simone da Silva Soria Medina.

Visualização em 3D

📏 📐 Resolução

Vamos estudar o Plano Frontal.

• 
  A característica espacial do Plano Frontal é ser paralelo a π'' e, portanto, será perpendicular a π' e a π'''.
• 
  Como o Plano Frontal é paralelo a π'' não existe interseção do plano com o segundo PFR. Dizemos então que o segundo traço não existe ou que é uma reta imprópria do plano.
• 
  O seu primeiro traço απ' é uma reta fronto-horizontal de cota nula. Não precisamos representar a segunda projeção desse traço pois sempre estará sobre a Linha de Terra.
• 
  O seu terceiro traço απ''' é uma reta vertical de abscissa nula, concorrente com o primeiro traço sobre o eixo y. Em geral, não representamos esse traço em épura, somente quando for necessário.
• 
  Como o Plano Frontal é paralelo a π'' então o ângulo θ2 que ele forma com π'' é 0°.
• 
  Como o Plano Frontal é perpendicular a π' então o ângulo θ1 que ele forma com π' é 90°.
• 
  Como o Plano Frontal é perpendicular a π''' então o ângulo θ3 que ele forma com π''' é 90°.
• 
  O Plano Frontal é perpendicular a π' então ele é projetante em primeira projeção. Assim, qualquer ponto, reta ou figura que estejam contidos nele terá a sua primeira projeção contida em απ'. Dizemos que uma Figura F pertence ao Plano Frontal ⟺ F' ∈ απ'. Note que os pontos A, B e C pertencem ao plano.
• 
  O triângulo ABC se projeta em VG em segunda projeção. Isso porque o Plano Frontal é paralelo ao segundo PFR.
• 
  As retas contidas num Plano Frontal podem ser: frontais, fronto-horizontais e verticais. E para se representar um plano desse tipo é necessário apenas 1 ponto.

📏 📐 Resolução

Uma reta pode estar contida, ser paralela ou ser concorrente com um plano. A reta r é concorrente com o Plano Frontal α. Vamos determinar o traço de r sobre α, denotado por (rα).

• 
  A primeira projeção do traço de r sobre α está na interseção de r' com απ', pois o traço deve pertencer tanto ao plano quanto à reta.
• 
  Por (rα)' traçamos uma linha de chamada até r'', obtendo a segunda projeção do traço de r sobre α.
• 
  Agora vamos construir pelo ponto P uma reta perpendicular ao Plano Frontal α. Como o Plano Frontal é paralelo a π'' então a reta perpendicular a esse Plano é uma reta de topo.
• 
  Construímos por P uma reta de topo, ou seja, sua primeira projeção coincide com a linha de chamada do ponto P e sua segunda projeção coincide com P''.
• 
  A reta p, que passa pelo ponto P e é perpendicular ao Plano Frontal, intercepta o Plano α no ponto (pα), ou seja, esse ponto é o traço de p sobre α. O segmento definido por P e (pα) representa a distância do P ao Plano Frontal α.

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📏 📐 Resolução

• 
  Encontrar as projeções do ponto O.
• 
  Encontrar o traço horizontal do plano α, paralelo à LT, assim como a circunferência em VG na segunda projeção.
• 
  Traçar uma reta frontal r do plano α, que passe pelo ponto O e forme ângulo de 30° com π'. Este ângulo aparece em VG na épura.
• 
  A interseção da circunferência com a reta r encontramos as segundas projeções de dois vértices do hexágono (C'' e F'').
• 
  Construímos a segunda projeção do hexágono regular inscrito na circunferência. Esta projeção está em VG.
• 
  A primeira projeção do hexágono fica reduzida a um segmento de reta sobre o traço horizontal do plano.
• 
  Verifique que o lado AB do hexágono é uma reta frontal que forma ângulo de 30° com π'.

📏 📐 Resolução

• 
  Representar os pontos A e B em épura.
• 
  Como a seção equatorial da pirâmide dupla está contida num plano frontal, a segunda projeção desta seção estará em VG e a primeira projeção reduzida a um segmento de reta paralelo à LT e contido no traço horizontal do plano.
• 
  A altura da pirâmide é perpendicular à seção equatorial, ou seja, está sobre uma reta de topo. Esta reta de topo passa pelo centro do hexágono regular. Obs: Retas de topo têm a segunda projeção reduzida a pontos e apresentam VG de segmentos na primeira projeção.
• 
  O próximo passo consiste em verificar a visibilidade das arestas: o contorno aparente vai ser sempre visível nas duas projeções. Na segunda projeção os vértices V₁ e V₂ não pertencem ao contorno aparente, sendo visível o de maior afastamento (V₂); as arestas que partem dele são visíveis.
• 
  Na primeira projeção, os vértices E e F têm maior cota, logo são visíveis e as arestas que partem deles também; os vértices C e B são os de menores cotas, logo são invisíveis e as arestas que partem deles também.

Visualização em 3D

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📏 📐 Solução

A base da pirâmide está contida num plano frontal, logo a segunda projeção desta base está em VG e a primeira projeção reduzida a um segmento de reta paralelo à LT (contido no traço horizontal do plano).

A altura é de uma pirâmide regular é perpendicular à base e passa pelo seu centro, logo contida na reta de topo definida pelo ponto O.

Visualização em 3D

📏 📐 Construção do pentágono regular

Vamos lembrar como se constrói um pentágono regular a partir de um de seus lados.

📏 📐 Exercício proposto 3.2
Visualização em 3D

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📏 📐 Solução

Como uma das faces do tetraedro está contida num plano frontal sua segunda projeção está em VG e a primeira projeção reduzida a um segmento de reta paralelo à LT (contido no traço horizontal do plano).

Para determinar a altura do tetraedro regular construímos um triângulo retângulo auxiliar onde um dos catetos corresponde ao raio da circunferência circunscrita à face, o outro corresponde à altura e a hipotenusa à aresta do tetraedro.

Visualização em 3D

📏 📐 Solução

Para construir um cilindro, encontramos as geratrizes limite: AE e BF, que possuem a menor (-40) e a maior abscissa (20); CG e DH, que possuem a menor (0) e a maior cota (60). Estas geratrizes são retas de topo, pois o cilindro é reto e tem as bases apoiadas em planos frontais.

Para determinar a altura do cilindro, basta traçar a distância h = 40 entre os traços dos planos frontas α e β.

Visualização em 3D

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📏 📐 Solução

Retas tangentes a circunferências são perpendiculares à reta que passa pelo centro e pelo ponto de tangência.

Visualização em 3D

📏 📐 Solução

Retas tangentes a circunferências são perpendiculares à reta que passa pelo centro e pelo ponto de tangência.

Para encontrar os pontos de tangência na segunda projeção construímos uma circunferência de diâmetro OV.

Visualização em 3D

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📏 📐 Construção

Vamos acompanhar a construção de um dodecaedro com a face ABCDE contida em um plano frontal α. Neste exemplo, as coordenadas dos pontos A e B são conhecidas. Este exemplo mostra a construção em 3D junto com a construção em épura.

• 
  Começamos construindo o pentágono ABCDE no plano frontal α. A projeção do pentágono fica contida no traço do plano.
• 
  Determine o centro O" do pentágono em épura. Vamos utilizar a propriedade de projeções do dodecaedro: O"E" = E"P" e que P" pertence à mediatriz de A"E". O vértice P" pertence à face adjacente de ABCDE.
• 
  Construa a circunferência de centro O" e raio O"P". Os vértices das faces adjacentes a ABCDE pertencem a esta circunferência. Para encontrar os primeiros vértices destas faces, basta prolongar O"A", O"B", O"C", O"D" e O"E".
• 
  A altura destes vértices é o cateto de um triângulo retângulo com hipotenusa de medida igual à aresta A"B" = a e o outro cateto mede a distância entre as projeções dos vértices das faces consecutivas (por exemplo, C"J"). As projeções dos vértices J', H', L', F' e N' pertencem ao traço do plano frontal β de distância h₁ ao plano α.
• 
  A altura dos próximos vértices das faces adjacentes é o cateto de um triângulo retângulo com hipotenusa de medida igual à aresta A"B" = a e o outro cateto mede a distância entre as projeções dos vértices das faces consecutivas (por exemplo, M"N"). As projeções dos vértices I', K', G', M' e P' pertencem ao traço do plano frontal δ de distância h₂ ao plano β.
• 
  A face QRSTU fica paralela ao pentágono ABCDE. Os vértices ficam nos encontros das mediatrizes dos lados do pentágono ABCDE com a circunferência circunscrita deste pentágono. As projeções dos vértices Q', R', S', T' e U' pertencem ao traço do plano frontal λ de distância h₁ ao plano δ.
• 
  Finalize o dodecaedro usando os critérios de visibilidade que já usamos nos outros sólidos.

📏 📐 Solução

A solução do exercício com as coordenadas indicadas fica da seguinte maneira:

Note que as visibilidades ficam um pouco diferentes do exemplo mostrado anteriormente.

Visualização em 3D

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📏 📐 Solução

Para representar o dodecaedro regular de aresta AB, com a face ABCDE contida no plano horizontal α, veja o detalhamento das construções mostradas na página anterior.

Visualização em 3D

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4. Planos: de perfil e de topo

Material da página 66 até a página 79

As construções geométricas dos exercícios da pág. 66 até a pág. 74 foram feitas pela profª Simone da Silva Soria Medina.

Visualização em 3D

📏 📐 Resolução

Vamos estudar o Plano de Perfil.

• 
  A característica espacial do Plano de Perfil é ser paralelo a π''' e, portanto, será perpendicular a π' e a π''.
• 
  Como o Plano de Perfil é paralelo a π''' não existe interseção do plano com o terceiro PFR. Dizemos então que o terceiro traço não existe ou que é uma reta imprópria do plano.
• 
  O seu primeiro traço απ' é uma reta de topo de cota nula. Não precisamos representar a segunda projeção desse traço pois sempre estará sobre a Linha de Terra.
• 
  O seu segundo traço απ'' é uma reta vertical de afastamento nulo, concorrente com o primeiro traço sobre a linha de terra. Não precisamos representar a primeira projeção desse traço pois sempre estará sobre a Linha de Terra. Note que os traços de um plano de perfil são perpendiculares à linha de terra.
• 
  Como o Plano de Perfil é paralelo a π''' então o ângulo θ3 que ele forma com π''' é 0°.
• 
  Como o Plano de Perfil é perpendicular a π' então o ângulo θ1 que ele forma com π' é 90°.
• 
  Como o Plano de Perfil é perpendicular a π'' então o ângulo θ2 que ele forma com π'' é 90°.
• 
  O Plano de Perfil é perpendicular a π' e a π'' então ele é projetante em primeira e segunda projeções. Assim, qualquer ponto, reta ou figura que estejam contidos nele terá a sua primeira projeção contida em απ' e sua segunda projeção contida em απ''. Dizemos que uma Figura F pertence ao Plano de Perfil ⟺ F' ∈ απ' e F'' ∈ απ''.
• 
  O triângulo ABC se projeta em VG em terceira projeção. Isso porque o Plano de Perfil é paralelo ao terceiro PFR. Podemos construir a terceira projeção, usar Mudança de plano Horizontal ou Vertical ou rebater o plano para construir figuras em VG contidas em planos de perfil.
• 
  As retas contidas num Plano de Perfil podem ser: de perfil, de topo e verticais. E para se representar um plano desse tipo é necessário apenas 1 ponto.

📏 📐 Resolução

Uma reta pode estar contida, ser paralela ou ser concorrente com um plano. A reta r é concorrente com o Plano de Perfil α. Vamos determinar o traço de r sobre α, denotado por (rα).

• 
  A primeira projeção do traço de r sobre α está na interseção de r' com απ', pois o traço deve pertencer tanto ao plano quanto à reta.
• 
  A segunda projeção do traço de r sobre α está na interseção de r'' com απ'', pois o traço deve pertencer tanto ao plano quanto à reta.
• 
  Agora vamos construir pelo ponto P uma reta perpendicular ao Plano de Perfil α. Como o Plano de Perfil é paralelo a π''' então a reta perpendicular a esse Plano é uma reta fronto-horizontal.
• 
  Construímos por P uma reta fronto-horizontal, ou seja, suas projeções ficam paralelas à linha de terra.
• 
  A reta p, que passa pelo ponto P e é perpendicular ao Plano de Perfil, intercepta o Plano α no ponto (pα), ou seja, esse ponto é o traço de p sobre α. O segmento definido por P e (pα) representa a distância do P ao Plano Frontal α.

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📏 📐 Rebatimento de um Plano de Perfil

Visualização do Rebatimento de um Plano de Perfil α.

• 
  Vamos considerar um plano α de Perfil.
• 
  Consideramos agora um ponto A desse Plano de Perfil.
• 
  Podemos rebater o plano de Perfil em torno do seu primeiro traço ou em torno do seu segundo traço, considerando ainda o sentido horário ou anti-horário. Vamos rebatê-lo em torno do seu primeiro traço, no sentido horário, até que ele coincida com o Primeiro Plano de Projeção, ou seja, teremos α₁ ≡ π'. Assim, o ponto A no espaço descreve um arco de circunferência com centro em A' e raio igual a sua cota. Obtemos desta forma a nova posição do ponto A, denotada por A₁.
• 
  O ponto A₁ terá a sua primeira projeção A'₁ coincidente com ele.
• 
  E o ponto A₁ terá a sua segunda projeção A''₁ sobre a Linha de Terra.
• 
  Note que o arco está em VG na segunda projeção.
• 
  O procedimento em Épura será o seguinte:
  1. Desenhamos um arco com centro em A₀ (centro do rebatimento) e obtemos A''₁ sobre a Linha de Terra.
• 
  2. Por A''₁ desenhamos uma perpendicular à Linha de Terra.
  3. Por A' desenhamos uma paralela à Linha de Terra.
  4. No encontro dessas duas linhas teremos A'₁.

📏 📐 Resolução - 3ª projeção

Vamos utilizar a 3ª projeção para construir as projeções do triângulo equilátero ABC.

• 
  Determine as projeções dos pontos A e B.
• 
  Os traços horizontal (απ') e vertical (απ'') são coincidentes e perpendiculares à LT. Determine o eixo z, que passa pela origem e fica paralelo aos traços do plano α.
• 
  Construa a linha de chamada de A, que passa por A'' e fica paralela à linha de terra. A partir do eixo z, marque a ordenada do ponto y_A.
• 
  Agora construa a linha de chamada de B, que passa por B'' e fica paralela à linha de terra. A partir do eixo z, marque a ordenada do ponto y_B.
• 
  Construa o triângulo A'''B'''C''', que fica em VG na terceira projeção.
• 
  Construa a linha de chamada de C, que passa por C''' e fica paralela à linha de terra. A segunda projeção C'' pertence ao traço do plano απ''.
• 
  A ordenada de C é a distância do eixo z até a projeção C'''. "Pegue" esta distância com o compasso, e marque-a a partir da linha de terra: desta forma, encontramos a projeção C' pertencente a απ'.
• 
  As duas projeções do triângulo foram encontradas. Ambas são segmentos de reta.

📏 📐 Resolução - rebatimento

• 
  Encontrar as projeções dos pontos A e B.
• 
  Os traços horizontal (απ') e vertical (απ'') são coincidentes e perpendiculares à LT.
• 
  Podemos, por exemplo, rebater o plano α, no sentido anti-horário, até ele coincidir com π'. Encontramos a projeção do segmento em VG (A'₁B'₁).
• 
  Construímos o triângulo em VG (A'₁B'₁C'₁).
• 
  Voltamos com o rebatimento e encontramos as projeções do ponto C.
• 
  As duas projeções do triângulo foram encontradas. Ambas são segmentos de reta.

👓 Realidade Aumentada e Realidade Virtual

A partir desta página da apostila, você pode acessar os recursos de RA e RV usando o seguinte endereço:

https://paulohscwb.github.io/geometria-descritiva/ra1.html

Os objetos modelados em 3D aparecem sobre as coordenadas da apostila. Você pode usá-los para conferir as construções ou apenas visualizar os objetos em 3D.

📏 📐 Exercício proposto 4.1
Visualização em 3D

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📏 📐 Resolução - mudança de planos

Vamos utilizar a mudança de plano vertical para construir as projeções deste prisma.

• 
  Determine as projeções dos pontos A e B. Os traços horizontal (απ') e vertical (απ'') são coincidentes e perpendiculares à LT.
• 
  Determine da segunda linha de terra (LT2) paralela ao traço απ', com uma distância qualquer deste traço.
• 
  Construa as linhas de chamada de A e de B, que passam por A' e B' e ficam perpendiculares à segunda linha de terra (LT2). A partir da LT2, marque as cotas dos pontos z_A e z_B.
• 
  Construa a base quadrada em VG A''₁B''₁C''₁D''₁.
• 
  Construa as linhas de chamada de C e de D, que passam por C''₁ e D''₁ e ficam perpendiculares à LT2. As primeiras projeções C' e D' pertencem ao traço do plano απ'.
• 
  As cotas de C e de D são iguais às distâncias da LT2 até as projeções C''₁ e D''₁. "Pegue" estas distâncias z_C e z_D com o compasso, e marque-as a partir da linha de terra original: desta forma, encontramos as projeções C'' e D'' pertencentes a απ''.
• 
  Como o prisma é regular, as faces laterais são perpendiculares às bases. Construa os traços do plano de perfil β, com distância h = 40 a partir dos traços de α. As projeções dos vértices correspondentes da base de β são determinadas por meio de paralelas à linha de terra.
• 
  Com os critérios de visibilidade, podemos notar que "olhando de cima", a aresta C''G'' tem menor cota: logo, a projeção C'G' é invisível. As arestas B'F' e D'H' pertencem ao contorno e A''E'' tem maior cota; logo, A'E' fica visível.
• 
  Agora "olhando de frente", a aresta B'F' tem menor ordenada: logo, a projeção B''F'' é invisível. As arestas A''E'' e C''G'' pertencem ao contorno e D'H' tem maior ordenada; logo, D''H'' fica visível.

📏 📐 Solução - rebatimento

Podemos resolver esta questão por rebatimento ou por mudança de plano de projeção.

A solução apresentada foi resolvida por rebatimento.

Visualização em 3D

📏 📐 Resolução - mudança de planos

Vamos utilizar a mudança de plano horizontal para construir esta pirâmide.

• 
  Encontrar as projeções dos pontos A e B. Os traços horizontal (απ') e vertical (απ'') são coincidentes e perpendiculares à LT.
• 
  Determine da segunda linha de terra (LT2) paralela ao traço απ'', com uma distância qualquer deste traço. Construa as linhas de chamada de A e de B, que passam por A'' e B'' e ficam perpendiculares à segunda linha de terra (LT2). A partir da LT2, marque as ordenadas dos pontos y_A e y_B.
• 
  Construa a base hexagonal em VG A'₁B'₁C'₁D'₁E'₁F'₁.
• 
  Construa as linhas de chamada dos vértices C, D, E, F e do centro da base O, que passam por pelas projeções destes pontos na VG, e ficam perpendiculares à LT2. As segundas projeções destes pontos pertencem ao traço do plano απ''.
• 
  Como a pirâmide é regular, a projeção do vértice sobre a base coincide com o centro da base. Construa a altura h = 50 a partir dos traços de α, encontrando a projeção do vértice V.
• 
  As ordenadas de C, D, E, F e O são iguais às distâncias da LT2 até as projeções C'₁, D'₁, E'₁, F'₁ e O'₁. "Pegue" estas distâncias y_C, y_D, y_E, y_F e y_O com o compasso, e marque-as a partir da linha de terra original: desta forma, encontramos as projeções C', D', E', F' e O' pertencentes a απ'.
• 
  Determine a projeção V', sabendo-se que O'V' = O''V'' = 50.
• 
  Com os critérios de visibilidade, podemos notar que "olhando de frente", as arestas V'A' e V'F' têm as menores ordenadas: logo, as projeções V''A'' e V''F'' são invisíveis. As arestas V''E'' e V''B'' pertencem ao contorno e V'D' e V'C' têm as maiores ordenadas; logo, V''D'' e V''C'' ficam visíveis.
• 
  Agora "olhando de cima", as arestas V''B'' e V''C'' têm as menores cotas: logo, as projeções V'B' e V'C' são invisíveis. As arestas V'A' e V'D' pertencem ao contorno e V''E'' e V''F'' têm as maiores cotas; logo, V'E' e V'F' ficam visíveis.

📏 📐 Resolução - rebatimento

• 
  Encontrar as projeções dos pontos A e B.
• 
  Os traços horizontal (απ') e vertical (απ'') são coincidentes e perpendiculares à LT.
• 
  Podemos, por exemplo, rebater o plano α, no sentido anti-horário, até ele coincidir com π'. Encontramos a projeção do segmento em VG (A'₁B'₁).
• 
  Construímos a base em VG (A'₁B'₁C'₁D'₁E'₁F'₁).
• 
  Encontramos A'B'C'D'E'F'.
• 
  Encontramos A''B''C''D''E''F''.
• 
  Encontramos o centro da base.
• 
  A altura OV é uma reta fronto-horizontal, logo aparece em VG nas duas projeções.
• 
  Verificamos a visibilidade das arestas na primeira projeção.
• 
  Verificamos a visibilidade das arestas na segunda projeção.

Visualização em 3D

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📏 📐 Resolução - mudança de planos

Encontrar as projeções da pirâmide. Neste exemplo foi usada a mudança do plano horizontal de projeção para encontrar a VG da aresta AB e construir a base em VG.

• 
  Encontrar o traço vertical do plano β que é paralelo à LT.
• 
  Encontrar os pontos de interseção das arestas da pirâmide com o traço vertical do plano β: 1''2''3''4''5''6''.
• 
  Encontrar as primeiras projeções destes pontos.
• 
  A primeira projeção do polígono 123456 está em VG. A visibilidade da seção acompanha a visibilidade das arestas da pirâmide.

📏 📐 Resolução: rebatimento

Encontrar as projeções da pirâmide. Neste exemplo foi usado o rebatimento do plano no sentido horário para encontrar a VG da aresta AB e construir a base em VG.

• 
  Encontrar o traço vertical do plano β que é paralelo à LT.
• 
  Encontrar os pontos de interseção das arestas da pirâmide com o traço vertical do plano β: 1''2''3''4''5''6''.
• 
  Encontrar as primeiras projeções destes pontos.
• 
  A primeira projeção do polígono 123456 está em VG. A visibilidade da seção acompanha a visibilidade das arestas da pirâmide.

Visualização em 3D

📏 📐 Resolução - mudança de planos

Neste exemplo, vamos utilizar a mudança de planos para construir o prisma.

• 
  Encontrar as projeções do prisma. Neste exercício foi utilizada a mudança de plano vertical para encontrar as projeções da base do prisma. Marcamos as cotas dos pontos a partir da LT2, que fica paralela aos traços do plano α.
• 
  Encontrar as projeções do polígono (12345) resultante da seção produzida pelo plano frontal (δ) no prisma. A primeira projeção fica reduzida a um segmento de reta sobre o traço horizontal do plano δ e a segunda projeção apresenta VG. A visibilidade da seção acompanha a visibilidade das arestas do prisma.
• 
  As cotas dos pontos 3 e 4 são determinadas na vg da base.

📏 📐 Resolução - rebatimento

• 
  Encontrar as projeções do prisma. Neste exercício foi utilizado o rebatimento do plano α no sentido horário para encontrar as projeções da base do prisma.
• 
  Encontrar as projeções do polígono (12345) resultante da seção produzida pelo plano frontal (δ) no prisma. A primeira projeção fica reduzida a um segmento de reta sobre o traço horizontal do plano δ e a segunda projeção apresenta VG. A visibilidade da seção acompanha a visibilidade das arestas do prisma.
• 
  As cotas dos pontos 3 e 4 são determinadas na vg da base.

Visualização em 3D

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📏 📐 Resolução

Vamos representar um cilindro com as bases contidas em planos de perfil.

• 
  Marque as projeções dos pontos P e Q, definindo os planos das bases α e β. Podemos utilizar mudança de planos de projeção, rebatimento ou a 3ª projeção para construir uma das bases em VG.
• 
  Neste exercício, vamos usar a terceira projeção da base de centro P, definindo os pontos limites A e B (menor e maior cota), além de C e D (menor e maior afastamento).
• 
  Note que a 3ª projeção é igual à mudança de planos, mas fazemos a construção como se o eixo z fosse a 2LT. Fazendo as linhas de chamada dos pontos limites, encontramos os diâmetros das bases na 1ª e na 2ª projeções.
• 
  Podemos construir as geratrizes B''F'' // A''E'' // P''Q'' e C'G' // D'H' // P'Q'. Logo, construimos as projeções do cilindro circular oblíquo.
• 
  Construa o traço δπ'' do plano horizontal de cota 20, e determine as interseções deste traço com as geratrizes A''E'', B''F'', C''G'' e D''H''.
• 
  Faça as linhas de chamada pelos 4 pontos de seção, e determine as primeiras projeções destes pontos. A seção será uma elipse, que podemos construir à mão livre!

Visualização em 3D

📏 📐 Solução

Determine os traços do plano de perfil αda seção da esfera. Podemos encontrar as projeções do centro P da esfera construindo circunferências com centros em A'' e B'' e raios iguais a 2, ou então as circunferências com centros em C' e D' e raios iguais a 2. As projeções da esfera serão as circunferências de centros em P' e P'' com raios iguais a 2.

A seção plana produzida pelo plano horizontal β é determinada pelos pontos limites 1'' e 2''. Esta reta 12 é fronto-horizontal e determina o diâmetro da seção. Neste caso, a primeira projeção da seção é uma circunferência de centro P', pois o plano β tem a primeira projeção em VG.

Visualização em 3D

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Visualização em 3D

📏 📐 Resolução

• 
  απ' é perpendicular à LT e απ" é oblíquo à LT.
• 
  São necessários dois pontos para definir um plano de topo.
• 
  Qualquer figura contida no plano tem sua 2ª projeção reduzida a um segmento de reta.
• 
  Não tem projeção em VG.
• 
  É projetante na segunda projeção.
• 
  Num plano de topo temos retas de topo, frontais e quaisquer.
• 
  Forma ângulo de 90º com π'', e com π' e π"' forma ângulo entre 0º e 90º.

📏 📐 Resolução

• 
  A segunda projeção do traço rα de uma reta r com o plano de topo pertence ao traço vertical do plano.
• 
  Qualquer reta perpendicular ao plano de topo é uma reta frontal com as projeções perpendiculares aos respectivos traços do plano.

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📏 📐 Construção

Para fazer o rebatimento do Plano de Topo sobre π' basta considerar o eixo do rebatimento como sendo o seu primeiro traço. Assim, um ponto A desse plano descreve um arco de circunferência de centro no ponto A₀ e raio AA₀.

• 
  Seja o plano de Topo α definido pelos seus traços e um ponto A desse plano. Vamos fazer o rebatimento do ponto A sobre o plano π''.
• 
  Por A' construa uma paralela à Linha de Terra, obtendo sobre o eixo do rebatimento a primeira projeção do ponto A₀.
• 
  A segunda projeção do ponto A₀ está sobre a Linha de Terra.
• 
  Com centro em A''₀ construa um arco de circunferência, no sentido horário, até encontrar a Linha de Terra em A''₁.
• 
  Por A''₁ construa uma perpendicular à Linha de Terra, encontrando A'₁ sobre a reta paralela à Linha de Terra.

📏 📐 Resolução

• 
  Encontrar as projeções dos pontos A e B.
• 
  Encontrar o traço vertical do plano: απ''.
• 
  Encontrar o traço horizontal do plano: απ'.
• 
  A primeira projeção do segmento AB apresenta VG após o rebatimento.
• 
  A projeção A'₁B'₁C'₁D'₁ está em VG.
• 
  A projeção A''₁B''₁C''₁D''₁ fica reduzida a um segmento de reta.
• 
  Voltamos com o processo do rebatimento e encontramos C'' e D''.
• 
  Encontramos C' e D'.
• 
  Pronto! O quadrado ABCD contido no plano α, de topo, está representado.

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📏 📐 Solução

A solução é similar a do exercício anterior.

📏 📐 Solução: rebatimento

Para encontrar as projeções da base usamos o mesmo procedimento do exercício 1 da página 72.

A altura da pirâmide é perpendicular à base e apresenta VG na segunda projeção pois está sobre uma reta frontal. A primeira projeção da altura é paralela à LT.

📏 📐 Solução: mudança de planos

Solução usando a mudança de plano horizontal de projeção, transformando o plano de topo em plano horizontal.

A base pode ser construída em v.g. com a mudança de planos. A altura da pirâmide é perpendicular à base e apresenta VG na segunda projeção pois está sobre uma reta frontal. A primeira projeção da altura é paralela à LT.

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📏 📐 Solução

Visualização em 3D

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As construções geométricas dos exercícios da pág. 75 até a pág. 79 foram feitas pela profª Luzia Vidal de Souza.

📏 📐 Seção plana

Vamos começar recuperando a solução do exercício 2 da página 54.

• 
  Representar o ponto Z e os traços do plano γ. Sendo γ um plano de topo, seu traço horizontal é perpendicular à LT e o traço vertical forma com a LT um ângulo igual ao ângulo que o plano forma no espaço com π'.
• 
  Como γ é um plano de topo, a segunda projeção de qualquer figura contida nele fica reduzida a um segmento de reta, sobre seu traço vertical. A interseção das arestas da pirâmide com o γπ'' nos fornece os vértices do polígono resultante da seção.
• 
  Encontramos a primeira projeção dos vértices do polígono resultante da seção.
• 
  Unindo os vértices temos a primeira projeção da seção.
• 
  Para encontrar a VG da seção, temos que recorrer a um dos métodos descritivos. Na solução apresentada foi utilizado o método do rebatimento do plano γ sobre o plano π'. Utilizando o traço horizontal como eixo, rebatemos o plano γ até ele se tornar horizontal. Os pontos, na segunda projeção, se deslocam segundo arcos de circunferência.
• 
  Os pontos se deslocam paralelamente à LT na primeira projeção.
• 
  Pronto! A VG da seção está representada.
• 
  Para planificar o tronco da pirâmide resultante da seção precisamos da VG de todas as suas faces. Conhecemos a VG da base da pirâmide e da seção. Precisamos encontrar a VG das arestas da pirâmide. Neste exemplo a aresta VD, que define uma reta qualquer, foi rotacionada até ser transformada em uma reta frontal, apresentando VG na segunda projeção.
• 
  Precisamos também encontrar a VG das arestas após a interseção com o plano γ. Verifique que todas as arestas da pirâmide podem ser rotacionadas, coincidindo com a rotação da aresta VD. Ao serem rotacionadas, os pontos da seção também são rotacionados, deslocando-se paralelamente à LT na segunda projeção.

📏 📐 Planificação

Desenhe uma reta r e marque sobre ela o um dos lados do quadrado (por exemplo o lado CD).

• 
  Construa o quadrado ABCD
• 
  Agora vamos construir as faces laterais da pirâmide. Desenhe dois arcos de circunferência: um com centro em A e raio igual ao valor da aresta em VG e o outro com mesmo raio e centro em B.
• 
  Marcar o vértice V na interseção dos dois arcos de circunferência.
• 
  Traçar um arco de circunferência com centro em V e raio igual à aresta.
• 
  Sobre este arco de circunferência marcar o ponto C que está a uma distância l do ponto B (sendo l o lado do quadrado). Ainda sobre este arco, marcar o ponto D, que está a uma distância l do ponto A e novamente o ponto C, a uma distância l do ponto D.
• 
  Unir o vértice V aos vértices A, B, C e D.
• 
  Com o valor dos segmentos A1, B2, C3 e D4, marcar os pontos 1, 2, 3 e 4 respectivamente sobre as arestas AV, BV, CV e DV.
• 
  Reforçar as arestas laterais do tronco da pirâmide.
• 
  Transportar a seção para a planificação. Como sugestão podemos dividir a seção em dois triângulos (por exemplo triângulo 432 e triângulo 124). Reforçar os lados da seção.

📏 📐 Resolução

A pirâmide oblíqua da página 54 é seccionada pelo plano de topo γ. Represente os traços do plano de topo.

• 
  Como este plano é projetante em π'', as interseções de γπ'' com as arestas VA, VB, VC e VD determinam os 4 pontos da seção da pirâmide. Construa as linhas de chamada dos pontos da seção e encontre a primeira projeção desta seção 1234.
• 
  Podemos construir o triângulo retângulo V''V₀'A₀'' para encontrar a VG da aresta VA. Um dos catetos é a medida V'A' e o outro cateto é a altura h = V''V₀': a hipotenusa V''A₀'' tem a medida da aresta VA em verdadeira grandeza. Outra maneira de encontrar esta medida é usar a rotação, como foi mostrado no exercício anterior.
• 
  Usando o mesmo raciocínio para a aresta VB, construimos o triângulo retângulo V''V₀'B₀''. Um dos catetos é a medida V'B' e o outro cateto é a altura h: A hipotenusa V''B₀'' tem a medida da aresta VB em verdadeira grandeza.
• 
  Para a aresta VC, construimos o triângulo retângulo V''V₀'C₀''. Um dos catetos é a medida V'C' e o outro cateto é a altura h: A hipotenusa V''C₀'' tem a medida da aresta VC em verdadeira grandeza.
• 
  Finalmente, para a aresta VD, construimos o triângulo retângulo V''V₀'D₀''. Um dos catetos é a medida V'D' e o outro cateto é a altura h: A hipotenusa V''D₀'' tem a medida da aresta VD em verdadeira grandeza.
• 
  Construa as retas paralelas à linha de terra que passam pelas segundas projeções dos pontos da seção. Cada ponto determina na respectiva aresta sua distância em VG. Por exemplo, a projeção 4'' determina V''4''₀ e 4''₀D''₀ em VG. Estas distâncias serão usadas na planificação da pirâmide seccionada.
• 
  Para encontrar a VG da seção, podemos fazer a mudança de planos horizontal do plano de topo, ou o rebatimento deste plano em π'.
• 
  A planificação fica parecida com a que fizemos no exercício anterior. Construa o quadrado com a media AB em VG, que está representada na primeira projeção: A'B'. Construa as circunferências com centros em C e D, e raios VC e VD para determinar o vértice V na planificação. Temos a face lateral VCD representada em VG.
• 
  A face adjacente VDA pode ser determinada com a construção das circunferências de centros V e D e raios VA e AB = AD.
• 
  A face adjacente VBA pode ser determinada com a construção das circunferências de centros V e A e raios VB e AB.
• 
  Podemos construir a face adjacente VBC a partir de VB ou de VC. Neste caso, construímos VDC a partir da aresta VC. Construa as circunferências de centros V e C e raios VB e BC = AB. Temos todas as faces laterais representadas em VG.
• 
  Nas arestas em VG, construa os segmentos V2 em VB, V1 em VA, V4 em VD e V3 em VC. Destaque o tronco de pirâmide que será planificado.
• 
  A "tampa" da seção é feita com a construção do quadrilátero 1234. Começando pelo lado 14, podemos construir a diagonal 24 (que está representada na VG da seção). O encontro das circunferências de centros em 1 e 4 e raios 12 e 24 determina a posição do ponto 2. Para encontrar o ponto 3, basta construir as circunferências de centros em 2 e 4 e raios 23 e 34.

📏 📐 Solução

O tetraedro da página 55 é seccionado pelo plano de topo γ. Represente os traços do plano de topo.

• 
  Como este plano é projetante em π'', as interseções de γπ'' com as arestas AD, BD e CD determinam os 3 pontos da seção no tetraedro. Represente a VG da seção usando mudança de plano horizontal ou rebatimento.
• 
  A planificação fica parecida com a que fizemos nos exercícios anteriores. A representação do tronco do tetraedro está em destaque, e a "tampa" da seção é feita com a construção do triângulo de lados 12, 23 e 13. Estas medidas estão na VG da seção plana.

📏 📐 Solução

Construa os traços γπ' e γπ'' do plano de topo. Como este plano é projetante em π'', as interseções de γπ'' com as arestas AE, AB, BF, CF, DF e AD determinam os 6 pontos da seção no octaedro.

Para determinar a primeira projeção da seção, basta encontrar as interseções das linhas de chamada dos 6 pontos da seção com as respectivas arestas. A visibilidade da seção acompanha a visibilidade de cada aresta do octaedro.

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📏 📐 Resolução

• 
• 

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📏 📐 Resolução: 1ª parte

Vamos utilizar o método da Mudança de Planos Horizontal (MPH) para encontrar a verdadeira grandeza da base do sólido.

• 
  Marcar os pontos A e B em épura. Traçar a reta α π"
• 
  Traçar a nova linha de terra paralela ao traço do plano α π"
• 
  Fazer a MPH para os pontos A e B. Como é MPH, os afastamentos permanecem os mesmos, então os transportamos para o novo sistema. O afastamento do A é zero, vai permanecer zero e portanto A'₁ fica sobre a nova LT. Para transportar o afastamento do ponto B, tomamos essa medida com o compasso.
• 
  Transportamos o afastamento do ponto B, sobre a perpendicular à LT a partir da nova LT. A'₁B'₁ é a verdadeira grandeza do lado do hexágono da base.
• 
  Podemos agora desenhar o hexágono em VG.
• 
  Traçar as linhas de chamada em relação à 2ª LT pelos pontos C'₁, D'₁, E'₁ e F'₁ até o traço do plano απ". Encontrando as segundas projeções desses pontos C", D", E" e F".
• 
  Para encontrar as primeiras projeções desses pontos, traçamos as linhas de chamada dos mesmos com relação à 1ª LT.

📏 📐 Resolução: 2ª parte

• 
  Transportamos seus afastamentos, mostraremos o procedimento para o ponto C, os demais seguem o mesmo padrão. Tomamos o afastamento do ponto C.
• 
  Transportamos o afastamento do ponto C para a 1ª LT, obtendo o ponto C'.
• 
  Procedendo da mesma maneira que no passo anterior, obtemos D', E' e F'.
• 
  Agora que já temos a 1ª e 2ª projeções das bases do prisma, vamos marcar a altura. Lembre-se que a altura do prisma arquimediano é igual ao lado da base, pois suas faces laterais são quadrados. A altura é marcada para cima ou para baixo do traço do plano απ". Vamos marcar para cima e marcamos o outro plano de topo que contém a face: GHIJKL
• 
  Encontramos as segundas projeções dos pontos GHIJKL
• 
  Para encontrar as primeiras projeções desses pontos, fazemos suas linhas de chamada em relação à 1ª LT.
• 
  Marcamos os afastamentos desses pontos, seguindo o mesmo procedimento adotado para o ponto C. Obtendo: G'H'I'J'K'L'
• 
  Vamos traçar a visibilidade do sólido. Lembrando que o contorno aparente é sempre visível. Assim na segunda projeção, o contorno aparente é um retângulo e na 1ª projeção teremos um octógono.
• 
  Agora faremos a visibilidade do sólido começando pelas arestas visíveis. Os pontos de maior cota serão visíveis na 1ª projeção e os de maior afastamento serão visíveis na 2ª projeção. Começamos com a primeira projeção. O ponto de maior cota é o ponto I, portanto na 1ª projeção, tudo que for ligado a ele será visível. Logo IC, IH e IJ serão visíveis e as arestas unidas a esses pontos também serão visíveis.
• 
  O ponto de menor cota é o ponto F, portanto ele é invisível na 1ª projeção e tudo que é unido a ele, a menos que faça parte do contorno aparente, também será invisível.
• 
  Os pontos de maior afastamento são os pontos JD e KE, portanto essas arestas são visíveis na 2ª projeção. As aretas GA e BH serão invisíveis na 2ª projeção.
• 

Visualização em 3D

📏 📐 Solução

Construa os traços γπ' e γπ'' do plano de topo. Como este plano é projetante em π'', as interseções de γπ'' com as arestas VA, VB, BC e AF determinam os 4 pontos da seção na pirâmide.

Para determinar a primeira projeção da seção, basta encontrar as interseções das linhas de chamada dos 4 pontos da seção com as respectivas arestas. A visibilidade da seção acompanha a visibilidade de cada aresta da pirâmide.

📏 📐 Solução

Construa os traços γπ' e γπ'' do plano de topo. Como este plano é projetante em π'', as interseções de γπ'' com as arestas AE, BF, CG e DH determinam os 4 pontos da seção na prisma.

Para determinar a primeira projeção da seção, basta encontrar as interseções das linhas de chamada dos 4 pontos da seção com as respectivas arestas. A visibilidade da seção acompanha a visibilidade de cada aresta do prisma.

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📏 📐 Resolução

Vamos utilizar o método da Mudança de Planos Horizontal (MPH) para encontrar a verdadeira grandeza da base do sólido.

• 
  Marcar os pontos A e B em épura. Traçar a reta απ". Traçar a nova linha de terra paralela ao traço do plano απ".
• 
  Fazer a MPH para os pontos A e B. Como é MPH, os afastamentos permanecem os mesmos, então os transportamos para o novo sistema. O afastamento do B é zero, vai permanecer zero e portanto B'₁ fica sobre a nova LT.
• 
  A'₁B'₁ é a verdadeira grandeza do lado do quadrado da base.
• 
  Fazer o alçamento dos pontos C e D, encontrando C" e D".
• 
  Traçar as linhas de chamada em relação à 1ª LT pelos pontos C" e D" e transportar seus afastamentos, determinando as primeiras projeções desses pontos: A' e B'.
• 
  Na VG, determinar o centro da base.
• 
  Traçar a circunferência circunscrita ao quadrado. Traçar a outra base: E'₁F'₁G'₁H'₁.
• 
  Unir os vértices do sólido na VG. Determinar a altura do sólido, fazendo a perpendicular por C'₁F'₁ e marcar a hipotenusa do triângulo que é igual ao lado da base.
• 
  Com a ponta seca do compasso em F'₁, marcar a medida F'₁G'₁ até cortar a perpendicular traçada no passo anterior. A distância h é a altura do sólido.
• 
  Marcamos a altura do sólido a partir de απ", que será o lugar geométrico da base: EFGH. Observe que a altura pode ser marcada acima de απ" ou abaixo.
• 
  Fazer as linhas de chamada os pontos E'₁, F'₁, G'₁ e H'₁, determinando E"F"G"H".
• 
  Traçar as linhas de chamada desses pontos com relação à 1ª LT, e transportar seus afastamentos, determinando E'F'G'H'
• 
  Fazer a visibilidade do sólido na VG. Completar a visibilidade nas 1ª e 2ª projeções.

Visualização em 3D

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📏 📐 Solução

A mudança de planos segue os mesmos passos do exercício anterior. Porém devemos lembrar que na 1ª projeção teremos uma elipse, assim precisamos de pelo menos 4 pontos para representá-la.

Vamos utilizar os dois diâmetros que aparecem em VG, o diâmetro AB pertence a uma reta frontal e, portanto, está em VG na segunda projeção, já o diâmetro CD que é de topo, está em verdadeira grandeza na 1ª projeção.

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5. Planos: vertical e paralelo à linha de terra

Material da página 80 até a página 97

As construções geométricas dos exercícios da pág. 80 até a pág. 88 foram feitas pela profª Luzia Vidal de Souza.

Visualização em 3D

📏 📐 Resolução

απ' é oblíquo à LT e απ" é perpendicular à LT.

• 
  São necessários dois pontos para definir o plano vertical.
• 
  Qualquer figura contida no plano tem sua 1ª projeção reduzida a um segmento de reta.
• 
  Não tem projeção em VG.
• 
  É projetante em primeira projeção, pois é perpendicular à π'.
• 
  As retas do plano são: vertical, horizontal e qualquer.
• 
  O plano forma ângulo de 90° com π', e com π' e π" forma ângulo entre 0° e 90°.
• 
  O traço da reta no plano é o ponto rα, interseção da reta r com o traço απ'. A reta perpendicular ao plano é uma reta horizontal, tal que r' ⊥ απ'.

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📏 📐 Construção

Dado o plano vertical α e o ponto A, fazer o rebatimento do ponto A sobre o plano π"

• 
  Traçar por A" uma reta paralela à LT.
• 
  Com centro em P, construa um arco de circunferência, no sentido anti horário, até encontrar a LT em A'₁.
• 
  Por A'₁ construa uma perpendicular à LT, encontrando A''₁ com a reta paralela à linha de terra.

📏 📐 Resolução: rebatimento

• 
  Dados os pontos A e O, o plano vertical já fica definido pelos seus traços horizontal απ' e vertical απ"
• 
  Rebatemos o plano vertical sobre o plano π".
• 
  Construir a circunferência de centro O e raio OA.
• 
  Dividir a circunferencia em 8 partes iguais, traçando dois diâmetros perpendiculares entre si e fazendo as bissetrizes dos ângulos de 90°. Desenhar o octógono em VG
• 
  Fazer o alçamento (sentido contrário do rebatimento) dos pontos, encontrando suas primeiras projeções sobre απ'.
• 
  Encontrar as segundas projeções dos pontos.
• 
  Construir as projeções do octógono.

📏 📐 Solução: mudança de planos de projeção

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📏 📐 Solução

Um ponto comum entre os planos α e β está na interseção dos traços απ'' e βπ'', pois são planos projetantes em π''. Logo, a reta de interseção destes planos é αβ de topo.

Um ponto comum entre os planos γ e λ está na interseção dos traços γπ'' e λπ'', pois são planos projetantes em π'. Logo, a reta de interseção destes planos é λγ vertical.

📏 📐 Resolução

Dados os pontos A e B, o plano vertical fica definido pelos seus traços horizontal απ' e vertical απ".

• 
  Efetuar a MPV para o plano vertical sobre o plano α, colocando a 2ª LT paralela à απ'.
• 
  Fazer a MPV para os pontos A e B, encontrando A"₁ e B"₁
• 
  Observe que tem duas posições possíveis para o pentágono
• 
  Fazer o alçamento dos pontos, encontrando suas primeiras projeções sobre απ'
• 
  Fazer o alçamento em relação à 1ª LT, obtendo as segundas projeções dos pontos
• 
  Marcar a altura do sólido que é igual ao lado da base e representar a outra face do sólido e representar a visibilidade da 1ª projeção
• 
  Fazer o alçamento da face FGHIJ em relação à 1ª LT
• 
  Desenhar a visibilidade do sólido

Visualização em 3D

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📏 📐 Solução

Construa os traços θπ' e θπ'' do plano vertical. Como este plano é projetante em π', as interseções de θπ' com as geratrizes AC, BD, T₁T₂ e T₃T₄ determinam 4 pontos da seção elíptica.

Para determinar a segunda projeção da seção, basta encontrar as interseções das linhas de chamada dos 4 pontos da seção com as respectivas geratrizes. Podemos construir esta seção à mão livre. Faça a visibilidade da seção acompanhando a visibilidade do cilindro.

📏 📐 Solução

Construa os traços θπ' e θπ'' do plano vertical. Como este plano é projetante em π', as interseções de θπ' com as geratrizes VA, VB, VT₁ e VT₂ determinam 4 pontos da seção elíptica.

Para determinar a segunda projeção da seção, basta encontrar as interseções das linhas de chamada dos 4 pontos da seção com as respectivas geratrizes. Podemos construir esta seção à mão livre. Faça a visibilidade da seção acompanhando a visibilidade do cone.

📏 📐 Resolução

• 
  Dados os pontos A e B, o plano vertical já fica definido pelos seus traços horizontal (απ' e vertical (απ") e como as bases são paralelas, já podemos traçar o plano vertical que passa pelo ponto G.
• 
  Efetuar a MPV para os pontos A e B, colocando a 2ª LT paralela à απ', encontrando A"₁ e B"₁.
• 
  Desenhar o quadrado em VG
• 
  Fazer o alçamento dos pontos, encontrando suas primeiras projeções sobre απ' (C' e D')
• 
  Fazer o alçamento em relação à 1ª LT, obtendo as segundas projeções dos pontos C'' e D''
• 
  Traçar as arestas C'G' e C"G"
• 
  Como as arestas laterais são paralelas, basta traçar por A', B' e D', retas paralelas a C'G'. Os pontos E', F' e H' estarão sobre βπ'. Na segunda projeção as arestas também são paralelas e iguais.
• 
  Fazer linhas de chamadas das primeiras projeções dos pontos E', F' e H', encontrando E", F" e H"
• 
  Desenhar a visibilidade do sólido.

Visualização em 3D

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📏 📐 Resolução

• 
  Representar o plano vertical que passa pelo ponto Z e forma 30º com π"
• 
  Encontrar os pontos de seçao na 1ª e 2ª projeções: 1, 2, 3, 4
• 
  Representar a 1ª e a 2ª projeções da seção
• 
  Encontrar a vg da seção fazendo o rebatimento
• 
  Planificação

📏 📐 Resolução

Vamos representar a seção plana feita pelo plano vertical que passar por Z e forma 30º com π"

• 
  Represente o plano vertical que passa pelo ponto Z e forma 30º com π". Determine os pontos de seçao na 1ª e 2ª projeções: 1, 2, 3 e 4.
• 
  Encontre a VG da seção fazendo o rebatimento do plano vertical ou a mudança de plano vertical. Neste exemplo foi feita a mudança de plano.
• 
  Para planificar, precisamos encontrar as VGs das interseções com as arestas laterais. Construa o triângulo usado para determinar a altura com o cateto O''A'' no traço do plano frontal.
• 
  Construa as retas parelalas à linha de terra que passam por 1' e 2'. Nas VGs das arestas laterais, encontramos os pontos 1₁ e 2₁.
• 
  Agora podemos construir os quatro triângulos equiláteros que formam o tetraedro.
• 
  Com a distância da VG da aresta lateral, construa a circunferência com centro em V e raio V₁1₁, determinando o pontos 1 na representação da aresta VA.
• 
  Com a distância da VG da aresta lateral, construa as circunferências com centros em V e raios V₁2₁, determinando os pontos 2 nas representações da aresta VB.
• 
  Como os pontos 3 e 4 estão na base ABC que está em VG na segunda projeção, podemos construir as circunferências com centros em A e B e raios A''4'' e B''3''.
• 
  Para inserir a VG da seção, podemos construir o quadrilátero para cima de 14 para obter o tronco do tetraedro ou para baixo de 14 para obter a pirâmide truncada. Vamos construir o tronco de tetraedro, usando a diagonal 13 na VG da seção: construa as circunferências com centros em 1 e 4 e raios 1'₁3'₁ e 3'₁4'₁.
• 
  Construa as circunferências com centros em 1 e 3 e raios 12 e 23.
• 
  Agora podemos destacar o tronco de tetraedro planificado.

Podemos utilizar a Mudança de Plano Vertical para encontrar VG de figuras contidas em um Plano Vertical. Basta construir a 2ª linha de terra paralela ao traço απ' e marcar as cotas dos pontos a partir da nova linha de terra.

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📏 📐 Resolução

• 
  Dados os pontos A e B, o plano vertical já fica definido pelos seus traços horizontal (απ') e vertical (απ"). Como as bases são paralelas, podemos traçar o plano vertical com distância igual à aresta AB.
• 
  Efetuar a MPV para os pontos A e B, colocando a 2ª LT paralela à απ'
• 
  Fazer a MPV para os pontos A e B, encontrando A"₁ e B"₁
• 
  Desenhar o quadrado em VG
• 
  Fazer o alçamento dos pontos, encontrando suas primeiras projeções sobre απ' (C' e D')
• 
  Fazer o alçamento em relação à 1a LT, obtendo as segundas projeções dos pontos C e D
• 
  Marcar a altura do sólido que é igual à aresta
• 
  Representar os pontos E', F', G' e H'
• 
  Fazer o alçamento desses pontos, lembrando que as retas perpendiculares ao plano vertical são horizontais. Logo, as arestas AE, BF, CG e DH têm as segundas projeções paralelas à LT.
• 
  Desenhar o contorno aparente na 1ª e na 2ª projeções.
• 
  Desenhar as linhas internas, considerando os critérios de visibilidade.

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📏 📐 Exercício proposto 5.1
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📏 📐 Solução

Utilizamos a mudança de planos para construir uma base em VG do cilindro. A outra base pode ser construída por meio das geratrizes paralelas A'E' e B'F' na primeira projeção e T₁''T₂'' e T₃''T₄'' na segunda projeção.

As projeções das bases em π'' são elipses, com os diâmetros A''B'', C''D'', E''F'' e G''H''. Podemos construir as elipses à mão livre.

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📏 📐 Solução

Neste exercício, podemos construir a seção plana elíptica determinando outras geratrizes do cone: basta escolher um ponto qualquer (por exemplo, C'') da circunferência e encontrar a primeira projeção deste ponto no traço απ'.

As interseções das geratrizes com o traço do plano de seção βπ' determinam a primeira projeção da seção plana. Fazendo as linhas de chamada de cada interseção, temos a segunda projeção nas respectivas projeções das geratrizes do cone.

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As construções geométricas dos exercícios da pág. 89 até a pág. 97 foram feitas pela profª Deise Maria Bertholdi Costa.

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📏 📐 Resolução

Vamos estudar o Plano Paralelo à Linha de Terra, também denominado de Plano Rampa.

• 
  A característica espacial do Plano Paralelo à Linha de Terra é ser oblíquo tanto a π' quanto a π'' e perpendicular a π'''.
• 
  O Plano Paralelo à Linha de Terra pode ser representado em épura pelos seus traços. O primeiro traço απ' é uma reta fronto-horizontal de cota nula. Não precisamos representar a segunda projeção desse traço pois sempre estará sobre a Linha de Terra (LT).
• 
  O seu segundo traço απ'' é uma reta fronto-horizontal de afastamento nulo. Não precisamos representar a primeira projeção desse traço pois sempre estará sobre a Linha de Terra.
• 
  O seu terceiro traço απ''' é uma reta de perfil de abscissa nula concorrente com os dois primeiros traços. Não precisamos representar a primeira e segundas projeções desse traço pois estará sobre os eixos y e z, respectivamente.
• 
  O ângulo θ₁ que o Plano Paralelo à Linha de Terra forma com π' é o mesmo ângulo que o seu terceiro traço απ''' forma com π'. Em épura, é o ângulo que απ''' forma com a LT.
• 
  O ângulo θ₂ que o Plano Paralelo à Linha de Terra forma com π'' é o mesmo ângulo que o seu terceiro traço απ''' forma com π''. Em épura, é o ângulo que απ''' forma com o eixo y ≡ z. Temos que θ₁ + θ₂ = 90°.
• 
  O ângulo θ₃ que o Plano Paralelo à Linha de Terra forma com π''' é de 90°.
• 
  Como o Plano Paralelo à Linha de Terra é perpendicular a π''' então ele é projetante em terceira projeção. Assim, qualquer ponto, reta ou figura que estejam contidos nele terá a sua terceira projeção contida em απ'''. Dizemos que uma Figura F pertence ao Plano Paralelo à Linha de Terra ↔ F''' pertence a απ'''. Note que os pontos A, B e C pertencem ao plano.
• 
  Veja que o triângulo ABC não se projeta em VG em nenhuma projeção. Isso porque o plano ou é oblíquo ou perpendicular aos Planos de Projeção. Para obtermos a VG de algum elemento do plano utilizaremos o Método da Mudança de Planos.
• 
  As retas contidas num Plano Paralelo à Linha de Terra podem ser: fronto-horizontais, de perfil ou quaisquer. E para se representar um plano desse tipo é necessário apenas 2 pontos, desde que estejam sobre uma reta qualquer ou de perfil.

📏 📐 Resolução

Vamos obter o 1º e 2º traços do Plano Paralelo à Linha de Terra. O plano está determinado pela reta qualquer AB.

• 
  Para encontrar o traço απ' basta encontrar a reta fronto-horizontal do plano de cota nula. Vamos obter o ponto P da reta AB de cota zero. Obtenha P'' na interseção da 2ª projeção da reta r=AB com a Linha de Terra (LT).
• 
  Trace a Linha de Chamada (LC) do ponto P e obtenha sua 1ª projeção sobre r'=A'B'.
• 
  Desenhe por P' o traço απ' paralelo à LT. Pronto, já temos o 1º traço.
• 
  Para encontrar o traço απ'' basta encontrar a reta fronto-horizontal do plano de afastamento nulo. Vamos obter o ponto Q da reta AB de afastamento zero. Obtenha Q' na interseção da 1ª projeção da reta r=AB com a LT.
• 
  Trace a LC do ponto Q e obtenha a sua 2ª projeção sobre r''=A''B''.
• 
  Desenhe por Q'' o traço απ'' paralelo à LT. Pronto, temos agora os dois traços do plano.

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📏 📐 Solução

Para determinar απ', encontramos o ponto Q de cota nula da reta r(A, B). Para determinar απ'', encontramos o ponto P de afastamento nulo da reta r(A, B).

Os traços απ' e απ'' são paralelos à linha de terra, pois são retas fronto-horizontais. O traço απ''' é determinado pelos terceiras projeções dos pontos P e Q.

📏 📐 Resolução

O Plano Paralelo à Linha de Terra está determinado pelo ponto A e pelo traço απ'. Vamos aplicar uma MP Vertical (MPV) e, em seguida, uma MP Horizontal (MPH).

• 
  Vamos efetuar uma MPV para tornar o Plano Paralelo à Linha de Terra num Plano de Toponum novo sistema. Para isso, construa a 2ª Linha de Terra (2ª LT) perpendicular ao traço απ'. Coloque a marcação das barrinhas da 2ª LT para a direita.
• 
  Construa a Nova Linha de Chamada (LC) para o ponto A a partir de A'.
• 
  Marque sobre essa Nova LC a cota do ponto A do Sistema Anterior obtendo o ponto A"₁. Como a marcação das barrinhas está para a direita, a cota positiva deve ser marcada para a esquerda da 2ª LT.
• 
  Construa o απ"₁ ligando os pontos A"₁ e S. Note que nesse 2º Sistema o Primeiro Traço está perpendicular à 2ª LT e o Segundo Traço está oblíquo e, portanto, nesse Segundo Sistema o Plano é de Topo.
• 
  Agora vamos efetuar uma MPH para tornar esse Plano de Topo em Horizontal. Desenhe a 3ª LT paralela ao traço απ"₁. Coloque a marcação das barrinhas da 3ª LT para baixo.
• 
  Construa a Nova LC para o ponto A a partir de A"₁.
• 
  Marque sobre essa Nova LC o afastamento do ponto A do Sistema Anterior (do Segundo Sistema) obtendo o ponto A'₁. Como a marcação das barrinhas está para baixo, o afastamento positivo deve ser marcado para baixo da 3ª LT. Note que nesse 3º Sistema o Segundo Traço do Plano é paralelo à 3ª LT e, portanto, nesse sistema o Plano é Horizontal.

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📏 📐 Resolução

Para representar o quadrado contido no Plano Paralelo à Linha de Terra vamos utilizar o Método de Mudança de Planos (MP).

• 
  Represente os pontos A e B que definem o Plano Paralelo à Linha de Terra.
• 
  Vamos obter o traço απ' do Plano, para isso, encontre o ponto P da reta AB de cota nula.
• 
  Trace por P' a reta απ' paralela à Linha de Terra (LT).
• 
  Vamos efetuar uma MP Vertical para tornar o plano de topo nesse novo sistema. Para isso construa a 2ª linha de terra (2ª LT) perpendicular ao traço απ'. Coloque a marcação das barrinhas da 2ª LT para a esquerda.
• 
  Construa as novas linhas de chamada (LC) a partir de A' e B' e marque a cota dos pontos do sistema anterior (referente à 1ª LT) obtendo os pontos A''₁ e B''₁. Como a marcação das barrinhas está para a esquerda, a cota positiva deve ser marcada para a direita da 2ª LT. απ''₁ unindo os pontos A''₁ e B''₁.
• 
  Note que nesse 2º sistema o primeiro traço do plano está perpendicular à 2ª LT e o segundo traço está oblíquo e, portanto, nesse sistema o plano é de topo. Vamos efetuar agora uma MP Horizontal para tornar esse plano de topo em horizontal. Desenhe a 3ª LT paralela ao traço απ''. Como vamos representar um polígono, não é necessário deixar um espaço grande entre essas retas. Coloque a marcação das barrinhas da LT para baixo.
• 
  Construa as novas LC a partir de A''₁ e B''₁ e marque os afastamentos dos pontos do sistema anterior (referentes à 2ª LT) obtendo os pontos A'₁ e B'₁. Como a marcação das barrinhas está para baixo, o afastamento positivo deve ser marcado para baixo da 3ª LT.
• 
  Note que nesse 3º sistema o segundo traço do plano está paralelo à 3ª LT e, portanto, nesse sistema o plano é horizontal. Vamos construir agora o quadrado ABCD contido nesse plano. Construa o quadrado A'₁B'₁C'₁D'₁ em VG na primeira projeção. Destaque a projeção A'₁B'₁C'₁D'₁ do quadrado.
• 
  No 3º sistema obtenha a 2ª projeção dos pontos C e D, ou seja, os pontos C''₁ e D''₁ sobre o traço απ''₁. Lembre-se de traçar a LC perpendicular ao 3º traço.
• 
  Destaque a projeção A''₁B''₁C''₁D''₁ do quadrado.
• 
  Agora vamos fazer o alçamento (retorno) dos pontos C e D para o 2º sistema. Construa as LC dos pontos C''₁ e D''₁ perpendiculares à 2ª LT. Marque sobre essas LC os afastamentos dos pontos C e D do 3º sistema obtendo os pontos C' e D'. Veja o processo destacado para o ponto C.
• 
  Destaque a projeção A'B'C'D' do quadrado.
• 
  Para fazer o alçamento dos pontos C e D para o 1º sistema construa as LC dos pontos C' e D' perpendiculares à 1ª LT. Marque sobre essas LC as cotas do 2º sistema obtendo os pontos C'' e D''. Veja o processo destacado para o ponto C.
• 
  Destaque a projeção A''B''C''D''. Pronto! O quadrado está representado!

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📏 📐 Resolução: 1ª parte

Para representar o hexaedro regular com uma face contida no plano paralelo à linha de terra vamos utilizar o Método de Mudança de Planos (MP). Depois de representado o sólido vamos obter a seção plana nesse hexaedro por um plano de topo.

• 
  O plano paralelo à linha de terra está representado pelos pontos A e B. O primeiro traço do plano, a reta απ', já foi obtido. Vamos efetuar uma MP Vertical para tornar o plano de topo nesse novo sistema. Para isso construa a 2ª linha de terra (2ª LT) perpendicular ao traço απ'. Coloque a marcação das barrinhas da LT para a direita.
• 
  Construa as novas linhas de chamada (LC) a partir de A' e B' e marque as cotas dos pontos do sistema anterior (referente à 1ª LT) obtendo os pontos A''₁ e B''₁. Como a marcação das barrinhas está para a direita, a cota positiva deve ser marcada para a esquerda da 2ª LT.
• 
  Desenhe a reta απ''₁ unindo os pontos A''₁ e B''₁. Note que nesse 2º sistema o primeiro traço do plano está perpendicular à 2ª LT e o segundo traço está oblíquo e, portanto, nesse sistema o plano é de topo.
• 
  Vamos efetuar agora uma MP Horizontal para tornar esse plano de topo em horizontal. Desenhe a 3ª LT paralela ao traço απ''₁. Como vamos representar um sólido, deixe espaço entre essas retas. Coloque a marcação das barrinhas da LT para baixo.
• 
  Construa as novas linhas de chamada (LC) a partir de A''₁ e B''₁ e marque os afastamentos dos pontos do sistema anterior (referente à 2ª LT) obtendo os pontos A'₁ e B'₁. Como a marcação das barrinhas está para baixo, o afastamento positivo deve ser marcado para baixo da 3ª LT.
• 
  Note que nesse 3º sistema o segundo traço do plano está paralelo à 3ª LT e, portanto, nesse sistema o plano é horizontal. Vamos construir agora o hexaedro regular com a face ABCD contida nesse plano. Inicie construindo o quadrado A'₁B'₁C'₁D'₁ que está em VG na primeira projeção.
• 
  Obtenha a 2ª projeção dos pontos C e D, ou seja, os pontos C''₁ e D''₁ sobre o traço απ''₁. Lembre-se de traçar as LC perpendiculares ao 3º traço.
• 
  Vamos agora representar os demais vértices do hexaedro regular nesse 3º sistema. Como a face ABCD está sobre o plano α horizontal então a 1ª projeção da face EFGH será coincidente com a 1ª projeção da face ABCD. Represente os pontos E'₁, F'₁, G'₁ e H'₁ coincidentes, respectivamente, com A'₁, B'₁, C'₁ e D'₁.
• 
  Nesse 3º sistema, para representar a 2ª projeção da face EFGH marque a altura do sólido, que é a VG da aresta, a partir do traço απ''₁ e construa o 2º traço do plano horizontal γ paralelo a ele. No plano γ estarão os pontos E, F, G e H.
• 
  Marque os pontos E''₁, F''₁, G''₁ e H''₁ na interseção do traço γπ''₁ com as LC desses pontos.
• 
  Vamos aproveitar e representar a visibilidade do sólido no 3º sistema. Na primeira projeção do 3º sistema destaque o quadrado.
• 
  Na segunda projeção faça primeiro o contorno e depois represente as arestas conforme a visibilidade de cada uma. Note que a aresta CG é visível na 2ª projeção desse 3º sistema.

📏 📐 Resolução: 2ª parte

• 
  Agora vamos fazer o alçamento (retorno) dos pontos para o 2º sistema. Construa as LC dos pontos C''₁, D''₁, ..., H''₁ perpendiculares à 2ª LT. Marque sobre essas LC os afastamentos do 3º sistema. Veja o processo destacado para o ponto D.
• 
  Vamos aproveitar e fazer a visibilidade do sólido na 1ª projeção. No 2º sistema note que o ponto H possui a maior cota em relação aos demais, sendo visível na 1ª projeção.
• 
  Para fazer o alçamento dos pontos para o 1º sistema construa as LC dos pontos C', D', ..., H' perpendiculares à 1ª LT. Marque sobre essas LC as cotas do 2º sistema. Veja o processo destacado para o ponto D.
• 
  Represente a visibilidade na 2ª projeção. Repare que o ponto F possui o maior afastamento em relação aos demais, sendo visível na 2ª projeção. Pronto! O hexaedro regular está representado!
• 
  Vamos obter a seção plana agora. Represente o plano β de topo que passa pela origem e forma 45° com π'.
• 
  Como o plano β é projetante em 2ª projeção basta encontrar a interseção do traço βπ'' com cada aresta do sólido. Assim, βπ''' corta as projeções das arestas A''B'', E''F'', H''G'' e D''C'' nos pontos 1'', 2'', 3'' e 4'' respectivamente.
• 
  Trace as LC dos pontos de interseção, obtendo as suas 1as projeções nas primeiras projeções das arestas a que pertencem.
• 
  Represente a visibilidade da seção plana 1234 conforme a visibilidade de cada face do sólido.

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📏 📐 Exercício proposto 5.2
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📏 📐 Solução

Esse exercício também é parecido com os anteriores. Note que agora será representada uma pirâmide e, portanto, a altura deverá ser marcada a partir do centro da base da mesma.

A seção plana nessa pirâmide agora será dada por um plano vertical e como esse plano é projetante em 1ª projeção temos que a 1ª projeção da seção será um segmento de reta.

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📏 📐 Solução

Esse exercício também é parecido com os anteriores.

Note que agora será representado um octaedro regular e, portanto, a altura deverá ser marcada a partir do centro da seção equatorial do mesmo.

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📏 📐 Resolução

O Plano Paralelo à Linha de Terra está determinado pelo ponto A e pelo traço απ''. Vamos aplicar uma MP Horizontal (MPH) e, em seguida, uma MP Vertical (MPV).

• 
  Vamos efetuar uma MP Horizontal para tornar o Plano Vertical num novo sistema. Para isso, construa a 2ª Linha de Terra (2ª LT) perpendicular ao traço απ''. Coloque a marcação das barrinhas da 2ª LT para a esquerda.
• 
  Construa a Nova Linha de Chamada (LC) para o ponto A a partir de A''.
• 
  Marque sobre essa Nova LC o afastamento do ponto A do Sistema Anterior obtendo o ponto A'₁. Como a marcação das barrinhas está para a esquerda, o afastamento positivo deve ser marcado para a esquerda da 2ª LT.
• 
  Construa o απ'₁ ligando os pontos A'₁ e R. Note que nesse 2º Sistema o Segundo Traço está perpendicular à 2ª LT e o Primeiro Traço está oblíquo e, portanto, nesse Segundo Sistema o Plano é Vertical.
• 
  Agora vamos efetuar uma MP Vertical para tornar esse Plano Vertical em Frontal. Desenhe a 3ª LT paralela ao traço απ'₁. Coloque a marcação das barrinhas da 3ª LT para baixo.
• 
  Construa a Nova LC para o ponto A a partir de A'₁.
• 
  Marque sobre essa Nova LC a cota do ponto A do Sistema Anterior (do Segundo Sistema) obtendo o ponto A''₁. Como a marcação das barrinhas está para baixo, a cota positiva deve ser marcada para cima da 3ª LT. Note que nesse 3º Sistema o Primeiro Traço do Plano é paralelo à 3ª LT e, portanto, nesse sistema o Plano é Frontal.

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6. Plano qualquer

Material da página 98 até a página 104

As construções geométricas dos exercícios da pág. 98 até a pág. 104 foram feitas pela profª Deise Maria Bertholdi Costa.

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📏 📐 Resolução

Vamos estudar o Plano Qualquer.

• 
  A característica espacial do Plano Qualquer é ser oblíquo aos 3 Planos de Projeção.
• 
  O Plano Qualquer pode ser representado em épura pelos seus traços. O primeiro traço απ' é uma reta horizontal de cota nula. Não precisamos representar a segunda projeção desse traço pois sempre estará sobre a Linha de Terra (LT).
• 
  O seu segundo traço απ'' é uma reta frontal de afastamento nulo. Não precisamos representar a primeira projeção desse traço pois sempre estará sobre a LT. Note que o 1º e 2º traços concorrem sobre a LT.
• 
  O seu terceiro traço απ''' é uma reta de perfil de abscissa nula concorrente com os dois primeiros. Não precisamos representar a primeira e segundas projeções desse traço pois estará sobre os eixos y e z, respectivamente.
• 
  O Plano Qualquer não é perpendicular a nenhum Plano se Projeção e, portanto, não é projetante. Note que as primeiras projeções dos A, B e C não estão alinhadas, o mesmo acontece para as demais projeções.
• 
  Veja que o triângulo ABC não se projeta em VG em nenhuma projeção. Isso porque o plano é oblíquo aos Planos de Projeção. Para obtermos a VG de algum elemento do plano utilizaremos o Método da Mudança de Planos.
• 
  As retas contidas num Plano Qualquer podem ser: horizontais, frontas, de perfil ou quaisquer.
• 
  Para se representar um Plano Qualquer são necessários 3 pontos distintos e não colineares, que não definam nenhum dos planos anteriores.
• 
  O ângulo θ₁ que o Plano Qualquer forma com π' é o mesmo ângulo que uma de suas retas quaisquer, que seja perpendicular a απ'', forma com π'. Analogamente obtemos os ângulos θ₂ e θ₃. Podemos também obter o ângulo θ₁ efetuando uma MPV tornando-o de Topo num novo sistema, e obter o ângulo θ₃ efetuando uma MPH tornando-o Vertical num outro sistema. Não há relação entre os três ângulos que o Plano Qualquer forma com os Planos de Projeção.

📏 📐 Resolução

Devemos lembrar que uma reta é perpendicular a um plano quando ela for perpendicular ou ortogonal a duas retas concorrentes desse plano. E também lembrar da Propriedade 7 das Projeções Cilíndricas. Assim, vamos aplicar duas vezes essa Propriedade para obtermos a reta p!

• 
  Construa p' passando por P' e perpendicular a απ'. Como esse traço é uma horizontal do Plano Qualquer α então pela Propriedade 7 temos que as retas απ' e p formam 90°.
• 
  Construa p'' passando por P'' e perpendicular a απ''. Como esse traço é uma frontal do Plano Qualquer α então pela Propriedade 7 temos que as retas απ'' e p formam 90°. Temos então a reta p que passa pelo ponto dado P e é perpendicular ao plano dado α!

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📏 📐 Resolução

Vamos obter o 1º e 2º traços do Plano Qualquer. O plano está determinado pelos pontos A, B e C.

• 
  Para encontrar o traço απ' basta encontrar a reta horizontal do plano de cota nula. Ou seja, devemos obter dois pontos de cota zero do plano. Represente a reta BC em épura.
• 
  Vamos obter o ponto P da reta BC de cota zero. Marque P'' na interseção da 2ª projeção da reta BC com a Linha de Terra (LT).
• 
  Trace a Linha de Chamada (LC) do ponto P e obtenha sua 1ª projeção sobre B'C'.
• 
  Represente a reta AC em épura.
• 
  Vamos obter o ponto Q da reta AC de cota zero. Marque Q'' na interseção da 2ª projeção da reta AC com a LT.
• 
  Trace a LC do ponto Q e obtenha sua 1ª projeção sobre A'C'.
• 
  Os pontos P e Q possuem cota zero. Desenhe por P' e Q' o traço απ'. Pronto, já temos o 1º traço representado. Lembrando que a segunda projeção do 1º traço está sobre a LT.
• 
  Para obter o traço απ'' basta encontrar a reta frontal do plano de afastamento nulo. Ou seja, devemos obter dois pontos de afastamento zero do plano. Vamos obter o ponto R da reta AC de afastamento zero. Marque R' na interseção da 1ª projeção da reta AC com a LT.
• 
  Trace a LC do ponto R e obtenha sua 2ª projeção sobre A''C''.
• 
  O primeiro e segundo traços do Plano Qualquer são sempre concorrentes e o ponto de concorrência está sobre a LT. Marque o ponto S' de interseção de απ' com a LT. A 2ª projeção desse ponto coincide com a sua 1ª projeção então marque S'' ≡ S'.
• 
  Os pontos R e S possuem afastamento zero. Desenhe por R'' e S'' o traço απ''. Lembrando que a primeira projeção do 2º traço está sobre a LT. Pronto! Representamos o Plano Qualquer pelos seus dois traços!

📏 📐 Resolução

O Plano Qualquer está determinado pelo ponto A e pelo traço απ'. Vamos aplicar uma MP Vertical (MPV) e, em seguida, uma MP Horizontal (MPH).

• 
  Vamos efetuar uma MP Vertical para tornar o Plano de Topo num novo sistema. Para isso, construa a 2ª Linha de Terra (2ª LT) perpendicular ao traço απ'. Coloque a marcação das barrinhas da 2ª LT para a direita.
• 
  Construa a Nova Linha de Chamada (LC) para o ponto A a partir de A'.
• 
  Marque sobre essa Nova LC a cota do ponto A do Sistema Anterior obtendo o ponto A''₁. Como a marcação das barrinhas está para a direita, a cota positiva deve ser marcada para a esquerda da 2ª LT.
• 
  Construa o απ''₁ ligando os pontos A''₁ e S. Note que nesse 2º Sistema o Primeiro Traço está perpendicular à 2ª LT e o Segundo Traço está oblíquo e, portanto, nesse Segundo Sistema o Plano é de Topo.
• 
  Agora vamos efetuar uma MP Horizontal para tornar esse Plano de Topo em Horizontal. Desenhe a 3ª LT paralela ao traço απ''₁. Coloque a marcação das barrinhas da 3ª LT para baixo.
• 
  Construa a Nova LC para o ponto A a partir de A''₁.
• 
  Marque sobre essa Nova LC o afastamento do ponto A do Sistema Anterior (do Segundo Sistema) obtendo o ponto A'₁. Como a marcação das barrinhas está para baixo, o afastamento positivo deve ser marcado para baixo da 3ª LT. Note que nesse 3º Sistema o Segundo Traço do Plano é paralelo à 3ª LT e, portanto, nesse sistema o Plano é Horizontal.

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📏 📐 Resolução

Para representar o triângulo equilátero contido no plano qualquer vamos utilizar o Método de Mudança de Planos (MP).

• 
  O plano qualquer está representado pelas retas AB e απ'. Vamos efetuar uma MP Vertical para tornar o plano de topo nesse novo sistema. Para isso construa a 2ª linha de terra (2ª LT) perpendicular ao traço απ'. Coloque a marcação das barrinhas da 2ª LT para a direita.
• 
  Construa as novas linhas de chamada (LC) a partir de A' e B' e marque as cotas dos pontos do sistema anterior (referente à 1ª LT) obtendo os pontos A''₁ e B''₁. Como a marcação das barrinhas está para a direita, a cota positiva deve ser marcada para a esquerda da 2ª LT.
• 
  Desenhe a reta απ''₁ unindo os pontos A''₁ e B''₁. Note que nesse 2º sistema o primeiro traço do plano está perpendicular à 2ª LT e o segundo traço está oblíquo e, portanto, nesse sistema o plano é de topo.
• 
  Vamos efetuar agora uma MP Horizontal para tornar esse plano de topo em horizontal. Desenhe a 3ª LT paralela ao traço απ''₁. Como vamos representar um polígono, não é necessário deixar um espaço grande entre essas retas. Coloque a marcação das barrinhas da LT para baixo.
• 
  Construa as novas linhas de chamada (LC) a partir de A''₁ e B''₁ e marque os afastamentos dos pontos do sistema anterior (referente à 2ª LT) obtendo os pontos A'₁ e B'₁. Como a marcação das barrinhas está para baixo, o afastamento positivo deve ser marcado para baixo da 3ª LT.
• 
  Note que nesse 3º sistema o segundo traço do plano está paralelo à 3ª LT e, portanto, nesse sistema o plano é horizontal. Vamos construir agora o triângulo equilátero ABC contido nesse plano. Construa o triângulo A'₁B'₁C'₁ em VG na primeira projeção.
• 
  Destaque a projeção A'₁B'₁C'₁ do triângulo equilátero.
• 
  No 3º sistema obtenha a 2ª projeção do ponto C, ou seja, o ponto C''₁ sobre o traço απ''₁. Lembre-se de traçar a LC perpendicular ao 3º traço.
• 
  Destaque a projeção A''₁B''₁C''₁ do triângulo equilátero.
• 
  Agora vamos fazer o alçamento (retorno) do ponto C para o 2º sistema. Construa a LC do ponto C''₁ perpendicular à 2ª LT. Marque sobre essa LC o afastamento do ponto C do 3º sistema obtendo o ponto C'.
• 
  Destaque a projeção A'B'C' do triângulo equilátero.
• 
  Para fazer o alçamento do ponto C para o 1º sistema construa a LC do ponto C' perpendicular à 1ª LT. Marque sobre essa LC a cota do 2º sistema obtendo o ponto C''.
• 
  Destaque a projeção A''B''C''. Pronto! O triângulo equilátero está representado!

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📏 📐 Resolução

Para representar o prisma regular hexagonal com uma face contida no plano qualquer vamos utilizar o Método de Mudança de Planos (MP). O plano qualquer está representado pelas retas AB e απ'. Vamos efetuar uma MP Vertical para tornar o plano de topo nesse novo sistema.

• 
  Construa a 2ª linha de terra (2ª LT) perpendicular ao traço απ'. Coloque a marcação das barrinhas da LT para a esquerda.
• 
  Construa as novas linhas de chamada (LC) a partir de A' e B' e marque as cotas dos pontos do sistema anterior (referente à 1ª LT) obtendo os pontos A''₁ e B''₁. Como a marcação das barrinhas está para a esquerda, a cota positiva deve ser marcada para a direita da 2ª LT. Desenhe a reta απ''₁ unindo os pontos A''₁ e B''₁.
• 
  Note que nesse 2º sistema o primeiro traço do plano está perpendicular à 2ª LT e o segundo traço está oblíquo e, portanto, nesse sistema o plano é de topo. Vamos efetuar agora uma MP Horizontal para tornar esse plano de topo em horizontal. Desenhe a 3ª LT paralela ao traço απ''₁. Como vamos representar um sólido, deixe espaço entre essas retas. Coloque a marcação das barrinhas da LT para baixo.
• 
  Construa as novas linhas de chamada (LC) a partir de A''₁ e B''₁ e marque os afastamentos dos pontos do sistema anterior (referente à 2ª LT) obtendo os pontos A'₁ e B'₁. Como a marcação das barrinhas está para baixo, o afastamento positivo deve ser marcado para baixo da 3ª LT.
• 
  Note que nesse 3º sistema o segundo traço do plano está paralelo à 3ª LT e, portanto, nesse sistema o plano é horizontal. Vamos construir agora o prisma regular hexagonal com a face ABCDEF contida nesse plano. Inicie construindo o hexágono regular A'₁B'₁C'₁D'₁E'₁F'₁ que está em VG na primeira projeção.
• 
  Obtenha a 2ª projeção dos pontos C, D, E e F, ou seja, os pontos C''₁, D''₁, E''₁ e F''₁ sobre o traço απ''₁. Lembre-se de traçar as LC perpendiculares ao 3º traço. Vamos agora representar os demais vértices do prisma regular hexagonal nesse 3º sistema. Como a face ABCDEF está sobre o plano α horizontal então a 1ª projeção da face GHIJKL será coincidente com a 1ª projeção da face ABCDEF. Represente os pontos G'₁, H'₁, I'₁, J'₁, K'₁ e L'₁ coincidentes, respectivamente, com A'₁, B'₁, C'₁, D'₁, D'₁ e F'₁.
• 
  Nesse 3º sistema, para representar a 2ª projeção da face GHIJKL marque a altura do sólido, que é a medida h dada, a partir do traço απ''₁ e construa o 2º traço do plano horizontal γ paralelo a ele. No plano γ estarão os pontos G, H, I, J, K e L.
• 
  Marque os pontos G''₁, H''₁, I''₁, J''₁, K''₁ e L''₁ na interseção do traço γπ''₁ com as LC desses pontos.
• 
  Vamos aproveitar e representar a visibilidade do sólido no 3º sistema. Na primeira projeção do 3º sistema destaque o hexágono regular.
• 
  Na segunda projeção faça primeiro o contorno e depois represente as arestas conforme a visibilidade de cada uma. Note que as arestas EK e FL são visíveis na 2ª projeção desse 3º sistema.
• 
  Agora vamos fazer o alçamento (retorno) dos pontos para o 2º sistema. Construa as LC dos pontos C''₁, D''₁, ..., L''₁ perpendiculares à 2ª LT. Marque sobre essas LC os afastamentos do 3º sistema, obtendo os pontos C', D', ...., L'. Veja o processo destacado para o ponto D.
• 
  Vamos aproveitar e fazer a visibilidade do sólido na 1ª projeção. No 2º sistema note que o ponto J possui a maior cota em relação aos demais, sendo visível na 1ª projeção.
• 
  Para fazer o alçamento dos pontos para o 1º sistema construa as LC dos pontos C', D', ..., L' perpendiculares à 1ª LT. Marque sobre essas LC as cotas do 2º sistema, obtendo os pontos C'', D'', ...., L''. Veja o processo destacado para o ponto D. Como a 1ª projeção do ponto D está acima da LT lembre-se de marcar a cota dele a partir da LT e não a partir de D'!
• 
  Represente a visibilidade na 2ª projeção. Repare que o ponto D possui o menor afastamento em relação aos demais sendo, portanto, invisível na 2ª projeção. Pronto! O prisma regular hexagonal está representado!

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📏 📐 Exercício proposto 6.1
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📏 📐 Solução

Esse exercício também é parecido com os anteriores.

Agora será representada uma pirâmide regular hexagonal com a base contida no plano qualquer.

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📏 📐 Solução

Esse exercício também é parecido com os anteriores. Agora será representado um octaedro regular com a seção equatorial contida no plano qualquer.

O plano qualquer está definido pelos pontos A, B e P. Obtenha os pontos Q e R de cota nula do plano, a 1ª projeção deles define a reta απ'. Lembre-se que a altura deverá ser marcada a partir do centro da seção equatorial do mesmo.

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📏 📐 Solução

Esse exercício também é parecido com os anteriores.

Agora será representado um prisma arquimediano de bases pentagonais contidas em planos quaisquer. Lembre-se que a altura o sólido é igual à aresta da base.

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7. Desenho Técnico

Material da página 105 até a página 177

As construções geométricas dos exercícios da pág. 105 até a pág. 143 foram feitas pela profª Deise Maria Bertholdi Costa.

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👓 Realidade Aumentada e Realidade Virtual

Você pode acessar os recursos de RA e RV dos objetos modelados de Desenho Técnico usando o seguinte endereço:

https://paulohscwb.github.io/geometria-descritiva/dt.html

Os objetos modelados em 3D aparecem sobre as coordenadas da apostila. Você pode usá-los para conferir as construções ou apenas visualizar os objetos em 3D.

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📏 📐 Construção

Vamos acompanhar os passos necessários para a construção das vistas de um objeto. Começamos delimitando o objeto que será representado por meio das vistas ortográficas.

• 
  Modulamos as dimensões do objeto, observando as cotas das 3 dimensões. Neste exemplo, começamos pela largura.
• 
  Neste caso, a largura total do objeto mede 6 unidades: L = 6.
• 
  Depois, observamos as cotas da altura do objeto.
• 
  Neste caso, a altura do objeto mede 4 unidades: H = 4.
• 
  Finalmente, temos as cotas da profundidade do objeto.
• 
  Neste caso, a profundidade do objeto mede 4 unidades: P = 4. Agora passamos à identificação das vistas: VS: vista superior, VA: vista anterior (ou VF: vista frontal) e VLE: Vista Lateral Esquerda. Dependendo do objeto, representamos a VLD: Vista Lateral Direita ao invés da esquerda.
• 
  Podemos deixar 1 unidade entre as vistas, e temos as medidas indicadas de L + P na horizontal e H + P na vertical.
• 
  Logo, temos um espaço de 11 unidades na horizontal e 9 unidades na vertical. Agora podemos começar a desenhar as vistas. Neste exemplo, começamos com a vista frontal, que é equivalente à segunda projeção de Geometria Descritiva.
• 
  Depois podemos desenhar a vista lateral esquerda, que é equivalente a uma projeção de um plano de perfil em Geometria Descritiva.
• 
  Depois podemos concluir com a vista superior, que é equivalente à primeira projeção de Geometria Descritiva. Para finalizar o desenho, representamos as aretas invisíveis com linhas tracejadas.

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Item a | Item b | Item c | Item d | Item e | Item f

📏 📐 Solução

• 
• 

Realidade Aumentada: https://paulohscwb.github.io/geometria-descritiva/dt.html

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📏 📐 Solução

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📏 📐 Solução

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📏 📐 Resolução: 1ª parte

Vamos desenhar as Vistas do objeto que está representado em Perspectiva Isométrica. A representação será no primeiro diedro.

• 
  Na Perspectiva Isométrica temos os três eixos isométricos perspectivados. O ângulo formado entre os eixos x e z e entre y e z são retos mas em perspectiva aparecem deformados.
• 
  O mesmo acontece com o ângulo entre os eixos x e y. Como os ângulos entre os três eixos são projeções de ângulos retos então vamos utilizar essa informação para identificar no objeto as arestas que são perpendiculares ou ortogonais e as que são paralelas entre si.
• 
  Vamos iniciar analisando a forma do objeto. Percebemos que ele possui faces planas e paralelas a um dos Planos de Projeção. Vemos também que o mesmo é composto de prismas retos utilizados de maneira negativa, ou seja, subtraídos.
• 
  Vamos delimitar o objeto construindo um Paralelepípedo Envolvente que possua as maiores dimensões do mesmo. Obtemos então as maiores dimensões do objeto: 7 de largura, 4 de altura e 3 de profundidade.
• 
  Agora vamos identificar as Vistas Frontal (VF), Superior (VS) e Lateral Esquerda (VLE) na Perspectiva.
• 
  O próximo passo é modular o objeto para descobrirmos as suas dimensões menores. Na VF, traçando pelos vértices do objeto paralelas aos eixos isométricos, temos as medidas menores de largura: 2, 3 e 2.
• 
  Na mesma VF, traçando paralelas temos as medidas menores de altura: 2 e 2.
• 
  Na VS traçando paralelas teremos as medidas menores de profundidade: 1 e 2. A menor medida é utilizada como módulo básico.
• 
  As posições das Vistas já estão delimitadas pela malha quadriculada cuja unidade é definida pelo módulo básico. A VF é a Vista Principal. A VS fica abaixo da Principal e a VLE fica à direita da Principal.
• 
  Lembrando que na VF temos a Largura e a Altura, na VS temos a Profundidade e Largura. E na VLE temos a Profundidade e a Altura do objeto.
• 
  Podemos já marcar nas Vistas as medidas menores que temos.
• 
  Vamos agora detalhar as Vistas. Podemos iniciar com a VF. Temos uma face do objeto em formato de “U” que está contida na face Frontal Anterior do Paralelepípedo Envolvente.
• 
  Esta face se projeta na VF em VG e todos os seus lados projetados são visíveis nesta Vista. Desenhe os lados da face projetada utilizando as próprias dimensões do objeto, use linha contínua larga.

📏 📐 Resolução: 2ª parte

O objeto possui uma segunda face frontal.

• 
  Esta face se projeta na VF em VG e apenas um de seus lados projetados é visível nesta Vista. Desenhe o lado da face projetada com linha contínua larga.
• 
  O objeto possui uma terceira face frontal, porém os lados dessa face são projetados coincidentes com os outros lados já representados e não precisamos desenhar mais nada nesta Vista.
• 
  Vamos agora para a VS. Temos uma face do objeto em formato de “U” invertido que está contida na face Horizontal Superior do Paralelepípedo Envolvente.
• 
  Esta face se projeta na VS em VG e todos os seus lados projetados são visíveis nesta Vista. Desenhe os lados da face projetada utilizando as próprias dimensões do objeto, use linha contínua larga.
• 
  O objeto possui uma segunda face horizontal.
• 
  Esta face se projeta na VS em VG e apenas um de seus lados projetados é visível nesta Vista. Desenhe o lado da face projetada com linha contínua larga.
• 
  O objeto possui uma terceira face horizontal, porém os lados dessa face são projetados coincidentes com os outros lados já representados e não precisamos desenhar mais nada nesta vista.
• 
  Vamos agora para a VLE. Temos uma face do objeto que é um retângulo que está contido na face Lateral Esquerda do Paralelepípedo Envolvente.
• 
  Esta face se projeta na VLE em VG e todos os seus lados projetados são visíveis nesta Vista. Desenhe os lados da face projetada utilizando as próprias dimensões do objeto, use linha contínua larga.
• 
  O objeto possui uma segunda e terceira faces de perfil.
• 
  Estas faces se projetam na VLE em VG e são coincidentes. Como ficam atrás da primeira face de perfil então seus lados não são visíveis. Desenhe os lados da face projetada com linha larga tracejada. Note que nesta vista há sobreposição entre projeções de segmentos visíveis e não visíveis.
• 
  O objeto possui uma quarta face de perfil, porém os lados dessa face são projetados coincidentes com os outros lados já representados e não precisamos desenhar mais nada nesta Vista.
• 
  Pronto! As vistas do objeto foram representadas! Você pode aplicar as três regras Leitura das Vistas Ortográficas para verificar se todos os vértices, arestas e faces foram representados.

Visualização em 3D

📏 📐 Resolução: 1ª parte

Vamos desenhar as Vistas do objeto que está representado em Perspectiva Isométrica. A representação será no primeiro diedro.

• 
  Vamos iniciar analisando a forma do objeto. Percebemos que ele possui faces planas e paralelas a um dos Planos de Projeção. Vemos também que o mesmo é composto de prismas retos utilizados de maneira negativa, ou seja, subtraídos.
• 
  Vamos delimitar o objeto construindo um Paralelepípedo Envolvente que possua as maiores dimensões do mesmo. Obtemos então as maiores dimensões do objeto: 7 de largura, 4 de altura e 3 de profundidade.
• 
  Agora vamos identificar as Vistas Frontal (VF), Superior (VS) e Lateral Esquerda (VLE) na Perspectiva.
• 
  O próximo passo é modular o objeto para descobrirmos as suas dimensões menores. Na VF temos as medidas menores de largura: 2, 3 e 2. Na mesma VF temos as medidas menores de altura: 2 e 2. Na VS não temos medidas menores. A menor medida é utilizada como módulo básico.
• 
  As posições das Vistas já estão delimitadas pela malha quadriculada cuja unidade é definida pelo módulo básico. A VF é a Vista Principal. A VS fica abaixo da Principal e a VLE fica à direita da Principal.Lembrando que na VF temos a Largura e a Altura, na VS temos a Profundidade e Largura. E na VLE temos a Profundidade e a Altura do objeto.Podemos já marcar nas Vistas as medidas menores que temos.
• 
  Vamos agora detalhar as Vistas. Podemos iniciar com a VF. Temos uma face do objeto em formato de “U” que está contida na face Frontal Anterior do Paralelepípedo Envolvente.
• 
  Esta face se projeta na VF em VG e todos os seus lados projetados são visíveis nesta Vista. Desenhe os lados da face projetada utilizando as próprias dimensões do objeto, use linha contínua larga.
• 
  O objeto possui uma segunda face frontal, porém os lados dessa face são projetados coincidentes com os outros lados já representados e não precisamos desenhar mais nada nesta Vista.
• 
  Vamos agora para a VS. Temos três faces retangulares, duas delas contidas na face Superior do Paralelepípedo Envolvente e outraum pouco abaixo da mesma.
• 
  Estas faces se projetam na VS em VG. Somente dois lados da face central, os segmentos de topo, são não visíveis nesta Vista mas como ficam sob dois outros visíveis então os mesmos não são representados. Os demais são todos visíveis nesta Vista. Desenhe os lados das faces projetadas utilizando as próprias dimensões do objeto, use linha contínua larga.
• 
  O objeto possui uma quarta face horizontal, porém os lados dessa face são projetados coincidentes com os outros lados já representados e não precisamos desenhar mais nada nesta vista.

📏 📐 Resolução: 2ª parte

Vamos agora para a VLE. Temos uma face do objeto que é um retângulo que está contido na face Lateral Esquerda do Paralelepípedo Envolvente.

• 
  Esta face se projeta na VLE em VG e todos os seus lados projetados são visíveis nesta Vista. Desenhe os lados da face projetada utilizando as próprias dimensões do objeto, use linha contínua larga.
• 
  O objeto possui uma segunda e terceira faces de perfil.
• 
  Estas faces se projetam na VLE em VG e são coincidentes. Como ficam atrás da primeira face de perfil então seus lados não são visíveis. Desenhe os lados da face projetada com linha larga tracejada. Note que nesta vista há sobreposição entre projeções de segmentos visíveis e não visíveis.
• 
  O objeto possui uma quarta face de perfil, porém os lados dessa face são projetados coincidentes com os outros lados já representados e não precisamos desenhar mais nada nesta Vista.
• 
  Pronto! As vistas do objeto foram representadas! Você pode aplicar as três regras Leitura das Vistas Ortográficas para verificar se todos os vértices, arestas e faces foram representados.

Visualização em 3D

📏 📐 Resolução: 1ª parte

Vamos desenhar as Vistas do objeto que está representado em Perspectiva Isométrica. A representação será no primeiro diedro.

• 
  Vamos iniciar analisando a forma do objeto. Percebemos que ele possui faces planas e paralelas a um dos Planos de Projeção. Vemos também que o mesmo é composto por três prismas retos utilizados de maneira positiva, ou seja, adicionados. Suas bases estão contidas na face Horizontal Inferior do Paralelepípedo Envolvente.
• 
  Vamos delimitar o objeto construindo um Paralelepípedo Envolvente que possua as maiores dimensões do mesmo. Obtemos então as maiores dimensões do objeto: 7 de largura, 4 de altura e 3 de profundidade.
• 
  Agora vamos identificar as Vistas Frontal (VF), Superior (VS) e Lateral Esquerda (VLE) na Perspectiva.
• 
  O próximo passo é modular o objeto para descobrirmos as suas dimensões menores. Na VF temos as medidas menores de largura: 2, 3 e 2. Na mesma VF temos as medidas menores de altura: 2 e 2. Na VS temos as medidas menores de profundidade: 1 e 2. A menor medida é utilizada como módulo básico.
• 
  As posições das Vistas já estão delimitadas pela malha quadriculada cuja unidade é definida pelo módulo básico. A VF é a Vista Principal. A VS fica abaixo da Principal e a VLE fica à direita da Principal. Lembrando que na VF temos a Largura e a Altura, na VS temos a Profundidade e Largura. E na VLE temos a Profundidade e a Altura do objeto. Podemos já marcar nas Vistas as medidas menores que temos.
• 
  Vamos agora detalhar as Vistas. Podemos iniciar com a VF. Temos três faces retangulares, duas delas contidas na face Anterior do Paralelepípedo Envolvente e outra um pouco para trás da mesma.
• 
  Estas faces se projetam na VF em VG. Somente dois lados da face central, os segmentos verticais, são não visíveis nesta Vista mas como ficam sob dois outros visíveis então os mesmos não são representados. Os demais são todos visíveis nesta Vista. Desenhe os lados das faces projetadas utilizando as próprias dimensões do objeto, use linha contínua larga.
• 
  O objeto possui uma quarta face frontal, porém os lados dessa face são projetados coincidentes com os outros lados já representados e não precisamos desenhar mais nada nesta Vista.
• 
  Vamos agora para a VS. Temos três faces retangulares, duas delas contidas na face Superior do Paralelepípedo Envolvente e outraum pouco abaixo da mesma.
• 
  Estas faces se projetam na VS em VG. Somente dois lados da face central, os segmentos de topo, são não visíveis nesta Vista mas como ficam sob dois outros visíveis então os mesmos não são representados. Os demais são todos visíveis nesta Vista. Desenhe os lados das faces projetadas utilizando as próprias dimensões do objeto, use linha contínua larga.
• 
  O objeto possui uma quarta face horizontal, porém os lados dessa face são projetados coincidentes com os outros lados já representados e não precisamos desenhar mais nada nesta vista.

📏 📐 Resolução: 2ª parte

Vamos agora para a VLE. Temos uma face do objeto que é um retângulo que está contido na face Lateral Esquerda do Paralelepípedo Envolvente.

• 
  Esta face se projeta na VLE em VG e todos os seus lados projetados são visíveis nesta Vista. Desenhe os lados da face projetada utilizando as próprias dimensões do objeto, use linha contínua larga.
• 
  O objeto possui uma segunda e terceira faces de perfil em formato de “L” invertido.
• 
  Estas faces se projetam na VLE em VG e são coincidentes. Como ficam atrás da primeira face de perfil então seus lados não são visíveis. Desenhe os lados da face projetada com linha larga tracejada. Note que nesta vista há sobreposição entre projeções de segmentos visíveis e não visíveis.
• 
  O objeto possui uma quarta face de perfil, porém os lados dessa face são projetados coincidentes com os outros lados já representados e não precisamos desenhar mais nada nesta Vista.
• 
  Pronto! As vistas do objeto foram representadas! Você pode aplicar as três regras Leitura das Vistas Ortográficas para verificar se todos os vértices, arestas e faces foram representados.

Visualização em 3D

📏 📐 Resolução: 1ª parte

Vamos desenhar as Vistas do objeto que está representado em Perspectiva Isométrica. A representação será no primeiro diedro.

• 
  Vamos iniciar analisando a forma do objeto. Percebemos que ele possui faces planas e paralelas a um dos Planos de Projeção. Vemos também que o mesmo é composto por três prismas retos utilizados de maneira positiva, ou seja, adicionados. O prisma da esquerda, com a base em formato de “L” invertido,foi obtido pela subtração de um quarto prisma menor. Suas bases estão contidas na face Horizontal Inferior do Paralelepípedo Envolvente.
• 
  Vamos delimitar o objeto construindo um Paralelepípedo Envolvente que possua as maiores dimensões do mesmo. Obtemos então as maiores dimensões do objeto: 7 de largura, 4 de altura e 3 de profundidade.
• 
  Agora vamos identificar as Vistas Frontal (VF), Superior (VS) e Lateral Esquerda (VLE) na Perspectiva.
• 
  O próximo passo é modular o objeto para descobrirmos as suas dimensões menores. Na VF temos as medidas menores de largura: 1, 1, 3 e 2. Na mesma VF temos as medidas menores de altura: 2 e 2. Na VS temos as medidas menores de profundidade: 1, 1 e 1. A menor medida é utilizada como módulo básico.
• 
  As posições das Vistas já estão delimitadas pela malha quadriculada cuja unidade é definida pelo módulo básico. A VF é a Vista Principal.A VS fica abaixo da Principal e a VLE fica à direita da Principal. Lembrando que na VF temos a Largura e a Altura, na VS temos a Profundidade e Largura. E na VLE temos a Profundidade e a Altura do objeto. Podemos já marcar nas Vistas as medidas menores que temos.
• 
  Vamos agora detalhar as Vistas. Podemos iniciar com a VF. Temos quatro faces retangulares, duas delas contidas na face Anterior do Paralelepípedo Envolvente e as outras duas um pouco para trás da mesma, com profundidades diferentes.
• 
  Estas faces se projetam na VF em VG. Alguns lados dessas faces, alguns segmentos verticais, são não visíveis nesta Vista mas como ficam sob outros visíveisentão os mesmos não são representados. Os demais são todos visíveis nesta Vista. Desenhe os lados das faces projetadas utilizando as próprias dimensões do objeto, use linha contínua larga.
• 
  O objeto possui uma quinta face frontal, porém os lados dessa face são projetados coincidentes com os outros lados já representados e não precisamos desenhar mais nada nesta Vista.
• 
  Vamos agora para a VS. Temos três faces: duas retangulares e uma em formato de “L” invertido, duas delas contidas na face Superior do Paralelepípedo Envolvente e outra um pouco abaixo da mesma.
• 
  Estas faces se projetam na VS em VG. Somente dois lados da face central, os segmentos de topo, são não visíveis nesta Vista mas como ficam sob dois outros visíveis então os mesmos não são representados. Os demais são todos visíveis nesta Vista. Desenhe os lados das faces projetadas utilizando as próprias dimensões do objeto, use linha contínua larga.
• 
  O objeto possui uma quarta face horizontal, porém os lados dessa face são projetados coincidentes com os outros lados já representados e não precisamos desenhar mais nada nesta vista.

📏 📐 Resolução: 2ª parte

Vamos agora para a VLE. Temos duas faces retangulares, uma delas contida na face Esquerda do Paralelepípedo Envolvente e outra um pouco para trás da mesma.

• 
  Estas faces se projetam na VLE em VG. Somente um lado da face que está mais para trás, o segmento vertical da esquerda, não é visível nesta Vista mas como fica sob outro visível então o mesmo não é representado. Os demais são todos visíveis nesta Vista. Desenhe os lados das faces projetadas utilizando as próprias dimensões do objeto, use linha contínua larga.
• 
  O objeto possui uma terceira e quarta faces de perfil em formato de “L” invertido.
• 
  Estas faces se projetam na VLE em VG e são coincidentes. Como ficam atrás da primeira e segunda faces de perfil então seus lados não são visíveis. Desenhe os lados das faces projetadas com linha larga tracejada. Note que nesta vista há sobreposição entre projeções de segmentos visíveis e não visíveis.
• 
  O objeto possui uma quinta face de perfil, porém os lados dessa face são projetados coincidentes com os outros lados já representados e não precisamos desenhar mais nada nesta Vista.
• 
  Pronto! As vistas do objeto foram representadas! Você pode aplicar as três regras Leitura das Vistas Ortográficas para verificar se todos os vértices, arestas e faces foram representados.

Visualização em 3D

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📏 📐 Resolução: 1ª parte

Vamos desenhar as Vistas do objeto que está representado em Perspectiva Isométrica. A representação será no primeiro diedro.

• 
  Vamos iniciar analisando a forma do objeto. Percebemos que ele possui faces planas e paralelas a um dos Planos de Projeção. Vemos também que o mesmo é composto por três prismas retos. O prisma central está destacado na Perspectiva. As bases dos três prismas estão contidas na face Horizontal Inferior do Paralelepípedo Envolvente.
• 
  Vamos delimitar o objeto construindo um Paralelepípedo Envolvente que possua as maiores dimensões do mesmo. Obtemos então as maiores dimensões do objeto: 7 de largura, 4 de altura e 3 de profundidade.
• 
  Agora vamos identificar as Vistas Frontal (VF), Superior (VS) e Lateral Esquerda (VLE) na Perspectiva.
• 
  O próximo passo é modular o objeto para descobrirmos as suas dimensões menores. Na VF temos as medidas menores de largura: 1, 1, 3 e 2. Na VF e na VLE temos as medidas menores de altura: 2, 1 e 1. Na VS temos as medidas menores de profundidade: 1, 1 e 1. A menor medida é utilizada como módulo básico.
• 
  As posições das Vistas já estão delimitadas pela malha quadriculada cuja unidade é definida pelo módulo básico. A VF é a Vista Principal.A VS fica abaixo da Principal e a VLE fica à direita da Principal. Lembrando que na VF temos a Largura e a Altura, na VS temos a Profundidade e Largura. E na VLE temos a Profundidade e a Altura do objeto. Podemos já marcar nas Vistas as medidas menores que temos.
• 
  Vamos agora detalhar as Vistas. Podemos iniciar com a VF. Vemos quatro faces frontais, duas retangulares contidas na face Anterior do Paralelepípedo Envolvente, uma terceira face central, também retangular, um pouco para trás e uma quarta, em formato de “L” invertido, mais ainda para trás.
• 
  Estas faces se projetam na VF em VG. Alguns lados dessas faces, alguns segmentos verticais e outros fronto-horizontais, são não visíveis nesta Vista mas como ficam sob outros visíveisentão os mesmos não são representados. Os demais são todos visíveis nesta Vista. Desenhe os lados das faces projetadas utilizando as próprias dimensões do objeto, use linha contínua larga.
• 
  O objeto possui uma quinta face frontal, porém os lados dessa face são projetados coincidentes com os outros lados já representados e não precisamos desenhar mais nada nesta Vista.
• 
  Vamos agora para a VS. Vemos três faces horizontais: duas retangulares e uma outra central com oito lados. Apenasuma delas está contidana face Superior do Paralelepípedo Envolvente, as demais estão um pouco abaixo da mesma, com alturas diferentes.
• 
  Estas faces se projetam na VS em VG. Alguns lados dessas faces, alguns segmentos de topo e outros fronto-horizontais, são não visíveis nesta Vista mas como ficam sob outros visíveis então os mesmos não são representados. Os demais são todos visíveis nesta Vista. Desenhe os lados das faces projetadas utilizando as próprias dimensões do objeto, use linha contínua larga.
• 
  O objeto possui uma quarta face horizontal, porém os lados dessa face são projetados coincidentes com os outros lados já representados e não precisamos desenhar mais nada nesta vista.

📏 📐 Resolução: 2ª parte

Vamos agora para a VLE. Temos duas faces retangulares, uma delas contida na face Esquerda do Paralelepípedo Envolvente e outra um pouco para trás da mesma.

• 
  Estas faces se projetam na VLE em VG. Somente um lado da face que está mais para trás, o segmento vertical da esquerda, não é visível nesta Vista mas como fica sob outro visível então o mesmo não é representado. Os demais são todos visíveis nesta Vista. Desenhe os lados das faces projetadas utilizando as próprias dimensões do objeto, use linha contínua larga.
• 
  O objeto possui uma terceira e quarta faces de perfil retangulares.
• 
  Estas faces se projetam na VLE em VG. Como ficam atrás da primeira e segunda faces de perfil então seus lados não são visíveis. Desenhe os lados das faces projetadas com linha larga tracejada. Note que nesta vista há sobreposição entre projeções de segmentos visíveis e não visíveis.
• 
  O objeto possui uma quinta face de perfil em formato de “L” invertido.
• 
  Esta face se projeta na VLE em VG. Algumas partes dessa face não são visíveis nesta Vista. Há lados dessa face com porções visíveis e não visíveis, por exemplo temos o lado de topo onde a parte verde é visível e a azul não é visível nesta Vista.Desenhe os lados das faces projetadas com linha larga contínua ou tracejada conforme a visibilidade.
• 
  O objeto possui uma sexta face de perfil, porém os lados dessa face são projetados coincidentes com os outros lados já representados e não precisamos desenhar mais nada nesta Vista.
• 
  Pronto! As vistas do objeto foram representadas! Você pode aplicar as três regras Leitura das Vistas Ortográficas para verificar se todos os vértices, arestas e faces foram representados.

Visualização em 3D

📏 📐 Resolução

Vamos desenhar as Vistas do objeto que está representado em Perspectiva Isométrica. A representação será no primeiro diedro. Vamos iniciar analisando a forma do objeto. Percebemos que ele possui faces planas e paralelas a um dos Planos de Projeção.

• 
  Vamos delimitar o objeto construindo um Paralelepípedo Envolvente que possua as maiores dimensões do mesmo. Obtemos então as maiores dimensões do objeto: 6 de largura, 4 de altura e 2 de profundidade.
• 
  Agora vamos identificar as Vistas Frontal (VF), Superior (VS) e Lateral Esquerda (VLE) na Perspectiva.
• 
  O próximo passo é modular o objeto para descobrirmos as suas dimensões menores.
• 
  As posições das Vistas já estão delimitadas pela malha quadriculada cuja unidade é definida pelo módulo básico. Podemos já marcar nas Vistas as medidas que temos.
• 
  Vamos agora detalhar as Vistas. Podemos iniciar com a VF. As faces frontais estarão em VG nesta Vista. Desenhamos as arestas visíveis e não visíveis nesta Vista, utilizando linha larga contínua ou tracejada, respectivamente.
• 
  Vamos agora para a VS.As faces horizontais estarão em VG nesta Vista. Desenhamos as arestas visíveis e não visíveis nesta Vista, utilizando linha larga contínua ou tracejada, respectivamente.
• 
  Vamos agora para a VLE.As faces de perfil estarão em VG nesta Vista. Desenhamos as arestas visíveis e não visíveis nesta Vista, utilizando linha larga contínua ou tracejada, respectivamente.
• 
  Pronto! As vistas do objeto foram representadas! Você pode aplicar as três regras Leitura das Vistas Ortográficas para verificar se todos os vértices, arestas e faces foram representados.

Visualização em 3D

📏 📐 Resolução

Vamos desenhar as Vistas do objeto que está representado em Perspectiva Isométrica. A representação será no primeiro diedro. Vamos iniciar analisando a forma do objeto. Percebemos que ele possui faces planas e paralelas a um dos Planos de Projeção.

• 
  Vamos delimitar o objeto construindo um Paralelepípedo Envolvente que possua as maiores dimensões do mesmo. Obtemos então as maiores dimensões do objeto: 6 de largura, 4 de altura e 2 de profundidade.
• 
  Agora vamos identificar as Vistas Frontal (VF), Superior (VS) e Lateral Esquerda (VLE) na Perspectiva.
• 
  O próximo passo é modular o objeto para descobrirmos as suas dimensões menores.
• 
  As posições das Vistas já estão delimitadas pela malha quadriculada cuja unidade é definida pelo módulo básico. Podemos já marcar nas Vistas as medidas que temos.
• 
  Vamos agora detalhar as Vistas. Podemos iniciar com a VF. As faces frontais estarão em VG nesta Vista. Desenhamos as arestas visíveis e não visíveis nesta Vista, utilizando linha larga contínua ou tracejada, respectivamente.
• 
  Vamos agora para a VS. As faces horizontais estarão em VG nesta Vista. Desenhamos as arestas visíveis e não visíveis nesta Vista, utilizando linha larga contínua ou tracejada, respectivamente.
• 
  Vamos agora para a VLE. As faces de perfil estarão em VG nesta Vista. Desenhamos as arestas visíveis e não visíveis nesta Vista, utilizando linha larga contínua ou tracejada, respectivamente.
• 
  Pronto! As vistas do objeto foram representadas! Você pode aplicar as três regras Leitura das Vistas Ortográficas para verificar se todos os vértices, arestas e faces foram representados.

Visualização em 3D

📏 📐 Resolução

Vamos desenhar as Vistas do objeto que está representado em Perspectiva Isométrica. A representação será no primeiro diedro. Vamos iniciar analisando a forma do objeto. Percebemos que ele possui faces planas e paralelas a um dos Planos de Projeção.

• 
  Vamos delimitar o objeto construindo um Paralelepípedo Envolvente que possua as maiores dimensões do mesmo. Obtemos então as maiores dimensões do objeto: 5 de largura, 4 de altura e 3 de profundidade.
• 
  Agora vamos identificar as Vistas Frontal (VF), Superior (VS) e Lateral Direita (VLD) na Perspectiva.
• 
  O próximo passo é modular o objeto para descobrirmos as suas dimensões menores.
• 
  As posições das Vistas já estão delimitadas pela malha quadriculada cuja unidade é definida pelo módulo básico. A VF é a Vista Principal. A VS fica abaixo da Principal e a VLD fica à esquerda da Principal. Podemos já marcar nas Vistas as medidas que temos.
• 
  Vamos agora detalhar as Vistas. Podemos iniciar com a VF. As faces frontais estarão em VG nesta Vista. Desenhamos as arestas visíveis e não visíveis nesta Vista, utilizando linha larga contínua ou tracejada, respectivamente.
• 
  Vamos agora para a VS. As faces horizontais estarão em VG nesta Vista. Desenhamos as arestas visíveis e não visíveis nesta Vista, utilizando linha larga contínua ou tracejada, respectivamente.
• 
  Vamos agora para a VLD. As faces de perfil estarão em VG nesta Vista. Desenhamos as arestas visíveis e não visíveis nesta Vista, utilizando linha larga contínua ou tracejada, respectivamente.
• 
  Pronto! As vistas do objeto foram representadas! Você pode aplicar as três regras Leitura das Vistas Ortográficas para verificar se todos os vértices, arestas e faces foram representados.

Visualização em 3D

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📏 📐 Resolução

Vamos desenhar as Vistas do objeto que está representado em Perspectiva Isométrica. A representação será no primeiro diedro. Vamos iniciar analisando a forma do objeto. Percebemos que ele possui faces planas e paralelas a um dos Planos de Projeção.

• 
  Vamos delimitar o objeto construindo um Paralelepípedo Envolvente que possua as maiores dimensões do mesmo. Obtemos então as maiores dimensões do objeto: 5 de largura, 4 de altura e 3 de profundidade.
• 
  Agora vamos identificar as Vistas Frontal (VF), Superior (VS) e Lateral Direita (VLD) na Perspectiva.
• 
  O próximo passo é modular o objeto para descobrirmos as suas dimensões menores.
• 
  As posições das Vistas já estão delimitadas pela malha quadriculada cuja unidade é definida pelo módulo básico. A VF é a Vista Principal. A VS fica abaixo da Principal e a VLD fica à esquerda da Principal. Podemos já marcar nas Vistas as medidas que temos.
• 
  Vamos agora detalhar as Vistas. Podemos iniciar com a VF. As faces frontais estarão em VG nesta Vista. Desenhamos as arestas visíveis e não visíveis nesta Vista, utilizando linha larga contínua ou tracejada, respectivamente.
• 
  Vamos agora para a VS. As faces horizontais estarão em VG nesta Vista. Desenhamos as arestas visíveis e não visíveis nesta Vista, utilizando linha larga contínua ou tracejada, respectivamente.
• 
  Vamos agora para a VLD.As faces de perfilestarão em VG nesta Vista. Desenhamos as arestas visíveis e não visíveis nesta Vista, utilizando linha larga contínua ou tracejada, respectivamente.
• 
  Pronto! As vistas do objeto foram representadas! Você pode aplicar as três regras Leitura das Vistas Ortográficas para verificar se todos os vértices, arestas e faces foram representados.

Visualização em 3D

📏 📐 Resolução: 1ª parte

Vamos desenhar as Vistas do objeto que está representado em Perspectiva Isométrica. A representação será no primeiro diedro.

• 
  Vamos iniciar analisando a forma do objeto. Percebemos que ele possui faces planas, algumas são paralelas a um dos Planos de Projeção e há agora uma face inclinada, o retângulo ABCD! Vemos também que o objeto foi obtido por meio de um corte.
• 
  Vamos delimitar o objeto construindo um Paralelepípedo Envolvente que possua as maiores dimensões do mesmo. Obtemos então as maiores dimensões do objeto: 7 de largura, 3 de altura e 5 de profundidade.
• 
  Agora vamos identificar as Vistas Frontal (VF), Superior (VS) e Lateral Esquerda (VLE) na Perspectiva.
• 
  O próximo passo é modular o objeto para descobrirmos as suas dimensões menores. Na VF temos as medidas menores de largura: 3 e 4. Não temos medidas menores de altura ou profundidade.
• 
  As posições das Vistas já estão delimitadas pela malha quadriculada. Podemos já marcar nas Vistas as medidas que temos.
• 
  Vamos agora detalhar as Vistas. Podemos iniciar com a VF. Vemos uma face frontal, que é um trapézio retângulo, que está contida na face Anterior do Paralelepípedo Envolvente.
• 
  Esta face se projeta em VG na VF e todos os seus lados projetados são visíveis nesta Vista. Desenhe os lados da face projetada, use linha contínua larga.
• 
  O objeto possui uma segunda face frontal, que também é um trapézio retângulo, porém os lados dessa face são projetados coincidentes com os outros lados já representados e não precisamos desenhar mais nada nesta Vista.
• 
  Vamos agora para a VS. Vemos uma face do objeto, que é um retângulo, que está contida na face Horizontal Superior do Paralelepípedo Envolvente.
• 
  Esta face se projeta em VG na VSe todos os seus lados projetados são visíveis nesta Vista. Desenhe os lados da face projetada, use linha contínua larga.

📏 📐 Resolução: 2ª parte

O objeto possui uma segunda face visível na VS, que é o retângulo ABCD. Podemos notar que ela está oblíqua às faces superior e lateral esquerda do paralelepípedo envolvente e perpendicular à face anterior desse mesmo paralelepípedo e, portanto, estaface está contida num Plano de Topo. Dizemos que ela é uma face inclinada do objeto.

• 
  Essa face inclinada não se projeta em VG na VS: os lados frontais (em azul) não estão em VG nesta Vista embora seus lados de topo (em vermelho) estejam. Desenhe os lados da face projetada, use linha contínua larga.
• 
  O objeto possui uma outra face horizontal, que é um retângulo, porém os lados dessa face são projetados coincidentes com os outros lados já representados e não precisamos desenhar mais nada nesta vista.
• 
  Vamos agora para a VLE. Vemos novamente a face inclinada ABCD do objeto.
• 
  Essa face inclinada não se projeta em VG na VLE: os lados frontais (em azul) não estão em VG nesta Vista embora seus lados de topo (em vermelho) estejam. Desenhe os lados da face projetada, use linha contínua larga.
• 
  O objeto possui uma face de perfil, um retângulo contido na face lateral direita do paralelepípedo envolvente, porém os lados dessa face são projetados coincidentes com os outros lados já representados e não precisamos desenhar mais nada nesta Vista.
• 
  As vistas do objeto foram representadas! Você pode aplicar as três regras Leitura das Vistas Ortográficas para verificar se todos os vértices, arestas e faces foram representados.
• 
  Vamos obter agora a VG da face inclinada ABCD que está contida no Plano de Topo. Para isso realizaremos uma Mudança de Plano Horizontal (MPH)tornando o Plano de Topo em Plano Horizontal num Segundo Sistema. Para facilitar o processo vamos nomear os vértices dessa face nas Vistas.
• 
  Desenhe a primeira Linha de Terra (LT)de tal forma que contenha a segunda projeção da base do objeto.
• 
  Desenhe a segunda LT paralela a A’’B’’.
• 
  Transporte o afastamento dos pontos do Primeiro Sistema para o Segundo Sistema obtendo as novas primeiras projeções dos pontos.
• 
  Pronto! Temos a VG da face inclinada!

Visualização em 3D

📏 📐 Resolução: 1ª parte

Vamos desenhar as Vistas do objeto que está representado em Perspectiva Isométrica. A representação será no primeiro diedro.

• 
  Vamos iniciar analisando a forma do objeto. Percebemos que ele possui faces planas, algumas são paralelas a um dos Planos de Projeção e há uma face inclinada, o retângulo ABCD! Vemos também que o objeto foi obtido por meio de um corte.
• 
  Vamos delimitar o objeto construindo um Paralelepípedo Envolvente que possua as maiores dimensões do mesmo. Obtemos então as maiores dimensões do objeto: 7 de largura, 3 de altura e 5 de profundidade.
• 
  Agora vamos identificar as Vistas Frontal (VF), Superior (VS) e Lateral Esquerda (VLE) na Perspectiva.
• 
  O próximo passo é modular o objeto para descobrirmos as suas dimensões menores. Na VF temos as medidas menores de largura: 4 e 3. Não temos medidas menores de altura ou profundidade.
• 
  As posições das Vistas já estão delimitadas pela malha quadriculada. Podemos já marcar nas Vistas as medidas que temos.
• 
  Vamos agora detalhar as Vistas. Podemos iniciar com a VS. Vemos uma face horizontal, que é um trapézio retângulo, que está contida na face Superior do Paralelepípedo Envolvente.
• 
  Esta face se projeta em VG na VS e todos os seus lados projetados são visíveis nesta Vista. Desenhe os lados da face projetada, use linha contínua larga.
• 
  O objeto possui uma segunda face horizontal, que também é um trapézio retângulo, porém os lados dessa face são projetados coincidentes com os outros lados já representados e não precisamos desenhar mais nada nesta Vista.
• 
  Vamos agora para a VF. Vemos uma face frontal do objeto, que é um retângulo, que está contida na face Anterior do Paralelepípedo Envolvente.
• 
  Esta face se projeta em VG na VF e todos os seus lados projetados são visíveis nesta Vista. Desenhe os lados da face projetada, use linha contínua larga.

📏 📐 Resolução: 2ª parte

O objeto possui uma segunda face visível na VF, que é o retângulo ABCD. Podemos notar que ela está oblíqua às faces anterior e lateral esquerda do paralelepípedo envolvente e perpendicular à face superior desse mesmo paralelepípedo e, portanto, esta face está contida num Plano Vertical.Dizemos que ela é uma face inclinada do objeto.

• 
  Essa face inclinada não se projeta em VG na VF: os lados horizontais (em azul) não estão em VG nesta Vista embora seus lados verticais (em vermelho) estejam. Desenhe os lados da face projetada, use linha contínua larga.
• 
  O objeto possui uma outra facefrontal, que é um retângulo, porém os lados dessa face são projetados coincidentes com os outros lados já representados e não precisamos desenhar mais nada nesta vista.
• 
  Vamos agora para a VLE. Vemos novamente a face inclinada ABCD do objeto.
• 
  Essa face inclinada não se projeta em VG na VLE: os lados horizontais (em azul) não estão em VG nesta Vista embora seus lados verticais (em vermelho) estejam. Desenhe os lados da face projetada, use linha contínua larga.
• 
  O objeto possui uma face de perfil, um retângulo contido na face lateral direita do Paralelepípedo Envolvente, porém os lados dessa face são projetados coincidentes com os outros lados já representados e não precisamos desenhar mais nada nesta Vista.
• 
  As vistas do objeto foram representadas! Você pode aplicar as três regras Leitura das Vistas Ortográficas para verificar se todos os vértices, arestas e faces foram representados.
• 
  Vamos obter agora a VG da face inclinada ABCD que está contida no Plano Vertical. Para isso realizaremos uma Mudança de Plano Vertical (MPV) tornando o Plano Vertical em Plano Frontal num Segundo Sistema. Para facilitar o processo vamos nomear os vértices dessa face nas Vistas.
• 
  Desenhe a primeira Linha de Terra (LT) de tal forma que contenha a segunda projeção da base do objeto.
• 
  Desenhe a segunda LT paralela a A’D’.
• 
  Transporte a cota dos pontos do Primeiro Sistema para o Segundo Sistema obtendo as novas segundas projeções dos pontos.
• 
  Pronto! Temos a VG da face inclinada!

Visualização em 3D

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📏 📐 Resolução: 1ª parte

Vamos desenhar as Vistas do objeto que está representado em Perspectiva Isométrica. A representação será no primeiro diedro.

• 
  Vamos iniciar analisando a forma do objeto. Percebemos que ele possui faces planas, algumas são paralelas a um dos Planos de Projeção e há uma face inclinada, o triângulo ABC! Vemos também que o objeto foi obtido por meio de um corte.
• 
  Vamos delimitar o objeto construindo um Paralelepípedo Envolvente que possua as maiores dimensões do mesmo. Obtemos então as maiores dimensões do objeto: 7 de largura, 3 de altura e 5 de profundidade.
• 
  Agora vamos identificar as Vistas Frontal (VF), Superior (VS) e Lateral Esquerda (VLE) na Perspectiva.
• 
  O próximo passo é modular o objeto para descobrirmos as suas dimensões menores. Na VF temos as medidas menores de largura: 4 e 3. Não temos medidas menores de altura ou profundidade.
• 
  As posições das Vistas já estão delimitadas pela malha quadriculada. Podemos já marcar nas Vistas as medidas que temos.
• 
  Vamos agora detalhar as Vistas. Podemos iniciar com a VF. Vemos uma face frontal, que é um trapézio retângulo, que está contida na face Anterior do Paralelepípedo Envolvente.
• 
  Esta face se projeta em VG na VF e todos os seus lados projetados são visíveis nesta Vista. Desenhe os lados da face projetada, use linha contínua larga.
• 
  O objeto possui uma segunda face visível na VF, que é o triângulo ABC. Podemos notar que ela está oblíqua às faces superior, anterior e lateral esquerda do Paralelepípedo Envolvente e, portanto, esta face está contida num Plano Qualquer. Dizemos que ela é uma face inclinada do objeto.
• 
  Essa face inclinada não se projeta em VG na VF: os lados horizontal (em azul) e de perfil (em verde) não estão em VG nesta Vista embora seu lado frontal (em vermelho), já representado, esteja. Desenhe os lados da face projetada, use linha contínua larga.
• 
  O objeto possui uma segunda face frontal, que é um retângulo, porém os lados dessa face são projetados coincidentes com os outros lados já representados e não precisamos desenhar mais nada nesta Vista.
• 
  Vamos agora para a VS. Vemos uma face do objeto, que é um trapézio retângulo, que está contida na face Superior do Paralelepípedo Envolvente.
• 
  Esta face se projeta em VG na VS e todos os seus lados projetados são visíveis nesta Vista. Desenhe os lados da face projetada, use linha contínua larga.
• 
  Na VS vemos novamente a face inclinada ABC do objeto.

📏 📐 Resolução: 2ª parte

Essa face inclinada não se projeta em VG na VS: os lados frontal (em azul) e de perfil (em verde) não estão em VG nesta Vista embora seu lado horizontal(em vermelho), já representado, esteja. Desenhe os lados da face projetada, use linha contínua larga.

• 
  O objeto possui uma outra face horizontal, que é um retângulo, porém os lados dessa face são projetados coincidentes com os outros lados já representados e não precisamos desenhar mais nada nesta vista.
• 
  Vamos agora para a VLE. Vemos uma face de perfil, um triângulo retângulo, contida na face Esquerda do Paralelepípedo Envolvente.
• 
  Esta face se projeta em VG na VLE. Desenhe os lados da face projetada, use linha contínua larga.
• 
  Na VLE vemos novamente a face ABC do objeto.
• 
  Essa face inclinada não se projeta em VG na VLE: os lados horizontal (em azul) e frontal (em verde) não estão em VG nesta Vista embora seu lado de perfil (em vermelho), já representado, esteja. Desenhe os lados da face projetada, use linha contínua larga.
• 
  O objeto possui uma outra face de perfil, um retângulo contido na face lateral direita do Paralelepípedo Envolvente, porém os lados dessa face são projetados coincidentes com os outros lados já representados e não precisamos desenhar mais nada nesta Vista.
• 
  As vistas do objeto foram representadas! Você pode aplicar as três regras Leitura das Vistas Ortográficas para verificar se todos os vértices, arestas e faces foram representados.
• 
  Vamos obter agora a VG da face inclinada ABC que está contida no Plano Qualquer. Para isso realizaremos uma Dupla Mudança de Planos: primeiro uma MPV tornando o Plano Qualquer em Plano de Topo num Segundo Sistema e,depois, uma MPH tornando o Plano de Topo em Plano Horizontal num Terceiro Sistema. Para facilitar o processo vamos nomear os vértices dessa face nas Vistas.
• 
  Desenhe a primeira Linha de Terra (LT)de tal forma que contenha a segunda projeção da base do objeto. Prolongue a primeira projeção da reta horizontal AB. Desenhe a segunda LT perpendicular a A’B’.
• 
  Transporte a cota dos pontos do Primeiro Sistema para o Segundo Sistema obtendo as novas segundas projeções dos pontos.
• 
  Desenhe o novo Segundo Traço απ'₁ e construa a terceira LT paralela a ele.
• 
  Transporte o afastamento dos pontos do Segundo Sistema para o Terceiro Sistema obtendo as novas primeiras projeções dos pontos.Pronto! Temos a VG da face inclinada!

Visualização em 3D

📏 📐 Resolução: 1ª parte

Vamos desenhar as Vistas do objeto que está representado em Perspectiva Isométrica. A representação será no primeiro diedro.

• 
  Vamos iniciar analisando a forma do objeto. Percebemos que ele possui faces planas, algumas são paralelas a um dos Planos de Projeção e há uma face inclinada, o paralelogramo ABCD!Vemos também que o objeto foi obtido por meio de um corte.
• 
  Vamos delimitar o objeto construindo um Paralelepípedo Envolvente que possua as maiores dimensões do mesmo. Obtemos então as maiores dimensões do objeto: 7 de largura, 3 de altura e 5 de profundidade.
• 
  Agora vamos identificar as Vistas Frontal (VF), Superior (VS) e Lateral Esquerda (VLE) na Perspectiva.
• 
  O próximo passo é modular o objeto para descobrirmos as suas dimensões menores. Na VF temos as medidas menores de largura: 2, 3 e 2. Não temos medidas menores de altura ou profundidade.
• 
  As posições das Vistas já estão delimitadas pela malha quadriculada. Podemos já marcar nas Vistas as medidas que temos.
• 
  Vamos agora detalhar as Vistas. Podemos iniciar com a VF. Vemos uma face frontal, que é um trapézio retângulo, que está contida na face Anterior do Paralelepípedo Envolvente.
• 
  Esta face se projeta em VG na VF e todos os seus lados projetados são visíveis nesta Vista. Desenhe os lados da face projetada, use linha contínua larga.
• 
  O objeto possui uma segunda face visível na VF, que é o paralelogramo ABCD. Podemos notar que ela está oblíqua às faces superior, anterior e lateral esquerda do Paralelepípedo Envolvente e, portanto, esta face está contida num Plano Qualquer. Dizemos que ela é uma face inclinada do objeto.
• 
  Essa face inclinada não se projeta em VG na VF: os lados horizontais (em azul) não estão em VG nesta Vista embora seus lados frontais (em vermelho) estejam. O lado frontal BC já está representado na Vista. Podemos localizar também o ponto A nesta Vista, obtendo a segunda projeção do lado AB horizontal.
• 
  O ponto D não está cotado! Devemos então obter sua posição por meio de propriedades geométricas! Como a face ABCD é um paralelogramo então seus lados opostos são paralelos. Assim, em projeção também serão, ou seja, basta construir por A’’ uma paralela a B’’C’’ e por C’’ uma paralela a A’’B’’, obtendo na interseção o D’’.Destaque os lados da face projetada, use linha contínua larga.
• 
  O objeto possui uma segunda face frontal, que é um trapézio retângulo, porém os lados dessa face são projetados coincidentes com os outros lados já representados e não precisamos desenhar mais nada nesta Vista. Vamos agora para a VS. Vemos uma face do objeto, que é um trapézio retângulo, que está contida na face Superior do Paralelepípedo Envolvente.
• 
  Esta face se projeta em VG na VSe todos os seus lados projetados são visíveis nesta Vista. O ponto C está cotado assim é fácil obter a localização de C’ nesta Vista. Mas o ponto D não está cotado, então para obter a sua primeira projeção basta traçar sua de Linha de Chamada (LC) por D’’ obtendo D’ nesta Vista. Desenhe os lados da face projetada, use linha contínua larga.
• 
  Na VS vemos novamente a face inclinada ABCD do objeto.

📏 📐 Resolução: 2ª parte

Essa face inclinada não se projeta em VG na VS: os lados frontais (em azul) não estão em VG nesta Vista embora seus lados horizontais (em vermelho) estejam. O lado horizontal CD já está representado na Vista. Podemos localizar também as projeções dos pontos A e B nesta Vista, que estão cotados, obtendo os lados AB, AD e BC nesta Vista.Desenhe os lados da face projetada, use linha contínua larga.

• 
  O objeto possui uma outra face horizontal, que é um trapézio retângulo, porém os lados dessa face são projetados coincidentes com os outros lados já representados e não precisamos desenhar mais nada nesta vista.
• 
  Vamos agora para a VLE. Vemos novamente a face ABCDdo objeto.
• 
  Essa face inclinada não se projeta em VG na VLE: os lados horizontal (em azul) e frontal (em verde) não estão em VG nesta Vista.Para obter a projeção desta face nesta Vista basta obter as terceiras projeções dos vértices do paralelogramo. Desenhe os lados da face projetada, use linha contínua larga.
• 
  O objeto possui uma face de perfil, um retângulo contido na face lateral direita do Paralelepípedo Envolvente, porém os lados dessa face são projetados coincidentes com os outros lados já representados e não precisamos desenhar mais nada nesta Vista.
• 
  As vistas do objeto foram representadas! Você pode aplicar as três regras Leitura das Vistas Ortográficas para verificar se todos os vértices, arestas e faces foram representados.
• 
  Para obter a VG da face inclinada ABCD que está contida no Plano Qualquer foi utilizado o Método da Dupla Mudança de Planos.

Visualização em 3D

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📏 📐 Resolução: 1ª parte

Vamos desenhar as Vistas do objeto que está representado em Perspectiva Isométrica. A representação será no primeiro diedro.

• 
  Vamos iniciar analisando a forma do objeto. Percebemos que ele possui faces planas, algumas são paralelas a um dos Planos de Projeção e há uma face inclinada, o pentágono não regular ABCDE! Vemos também que o objeto foi obtido por meio de um corte.
• 
  Vamos delimitar o objeto construindo um Paralelepípedo Envolvente que possua as maiores dimensões do mesmo. Obtemos então as maiores dimensões do objeto: 7 de largura, 3 de altura e 5 de profundidade.
• 
  Agora vamos identificar as Vistas Frontal (VF), Superior (VS) e Lateral Esquerda (VLE) na Perspectiva.
• 
  O próximo passo é modular o objeto para descobrirmos as suas dimensões menores. Na VF temos as medidas menores de largura: 4 e 3. Na VS temos as medidas menores de profundidade: 3 e 2. Não temos medidas menores de altura.
• 
  As posições das Vistas já estão delimitadas pela malha quadriculada. Podemos já marcar nas Vistas as medidas que temos.
• 
  Vamos agora detalhar as Vistas. Podemos iniciar com a VS. Vemos uma face horizontal, que é um triângulo retângulo, que está contida na face Superior do Paralelepípedo Envolvente. Esta face se projeta em VG na VS e todos os seus lados projetados são visíveis nesta Vista. Porém, o ponto E não está cotado e não podemos representá-lo ainda! Portanto, não podemos representar agora esta face!
• 
  O objeto possui uma segunda face visível na VS, que é o pentágono não regular ABCDE. Podemos notar que ela está oblíqua às faces superior, anterior e lateral esquerda do Paralelepípedo Envolvente e, portanto, esta face está contida num Plano Qualquer. Dizemos que ela é uma face inclinada do objeto.
• 
  Essa face inclinada não se projeta em VG na VS: os lados frontais (em azul) e o de perfil (em verde) não estão em VG nesta Vista embora seus ladoshorizontais (em vermelho) estejam.
• 
  Podemos localizar os pontos cotados A, B e D nesta Vista. Também podemos localizar o ponto C, que embora não esteja cotado, sabemos que ele pertence à aresta vertical (em laranja) do Paralelepípedo Envolvente. Já temos os lados AB, BC, CD representados.
• 
  Lembra que o ponto E não está cotado!? Devemos então obter sua posição por meio de propriedades geométricas! A face ABCDE é um pentágono não regular onde os lados horizontais AB e ED são paralelos e os lados frontais AE e BC também são paralelos! Assim, basta construir por A’ uma paralela a B’C’ e por D’ uma paralela a A’B’, obtendo na interseção o E’. Destaque os lados da face projetada, use linha contínua larga.
• 
  Agora sim podemos representar a face triangular horizontal que está contida na face Superior do Paralelepípedo Envolvente! Esta face se projeta em VG na VS e todos os seus lados projetados são visíveis nesta Vista. Desenhe os lados da face projetada, use linha contínua larga.
• 
  O objeto possui uma segunda face horizontal, que é um trapézio retângulo, porém os lados dessa face são projetados coincidentes com os outros lados já representados e não precisamos desenhar mais nada nesta Vista.
• 
  Vamos agora para a VF. Vemos uma face frontal do objeto, que é um triângulo retângulo, que está contida na face Anterior do Paralelepípedo Envolvente. Esta face se projeta em VG na VF e todos os seus lados projetados são visíveis nesta Vista. Porém, o ponto C não está cotado e não podemos representá-lo ainda nesta Vista! Portanto, não podemos representar agora esta face!

📏 📐 Resolução: 2ª parte

Na VF vemos novamente a face inclinada ABCDE do objeto.

• 
  Essa face inclinada não se projeta em VG na VF: os lados horizontais (em azul) e o de perfil (em verde) não estão em VG nesta Vista embora seus lados frontais (em vermelho) estejam.
• 
  Podemos localizar os pontos cotados A, B e D nesta Vista. Também podemos localizar o ponto E nesta Vista, que embora não esteja cotado, sabemos que E’’ pertence à Linha de Chamada do ponto E e que ele pertence à reta que passa por D e é paralela à AB. Já temos os lados AB, AE e ED representados.
• 
  Vamos representar agora o ponto C nesta Vista! Devemos então obter sua posição por meio de propriedades geométricas! Bastar traçar por B’’ uma paralela à A’’E’’ e obter C’’ sobre a aresta vertical (em laranja) do Paralelepípedo Envolvente. Destaque os lados da face projetada, use linha contínua larga.
• 
  Agora sim podemos representar a face triangular frontal que está contida na face Anterior do Paralelepípedo Envolvente! Esta face se projeta em VG na VF e todos os seus lados projetados são visíveis nesta Vista.Desenhe os lados da face projetada, use linha contínua larga.
• 
  O objeto possui uma outra face frontal, que é um trapézio retângulo, porém os lados dessa face são projetados coincidentes com os outros lados já representados e não precisamos desenhar mais nada nesta vista.
• 
  Vamos agora para a VLE. Vemos novamente a face ABCDE do objeto.
• 
  Essa face inclinada não se projeta em VG na VLE: os lados horizontais (em azul) e frontais (em verde) não estão em VG nesta Vista embora seu lado de perfil (em vermelho) esteja.
• 
  Para obter a projeção desta face nesta Vista basta obter as terceiras projeções dos vértices do pentágono não regular. Desenhe os lados da face projetada, use linha contínua larga.
• 
  O objeto possui uma face de perfil, um outro pentágono não regular contido na face Lateral Direita do Paralelepípedo Envolvente, porém os lados dessa face são projetados coincidentes com os outros lados já representados e não precisamos desenhar mais nada nesta Vista.
• 
  As vistas do objeto foram representadas! Você pode aplicar as três regras Leitura das Vistas Ortográficas para verificar se todos os vértices, arestas e faces foram representados.
• 
  Para obter a VG da face inclinada ABCDE que está contida no Plano Qualquer foi utilizado o Método da Dupla Mudança de Planos.

Visualização em 3D

📏 📐 Solução

Neste exercício vamos desenhar as Vistas de uma Casinha!Vamos iniciar representando suas paredes externas e a laje.

Foram representadas as Vistas Frontal, Superior e Lateral Direita no primeiro diedro. Não temos faces inclinadas para obtermos a VG.

📏 📐 Resolução

Vamos incluir um telhado para a Casinha!

• 
  Foram representadas as Vistas Frontal, Superior e Lateral Direita no primeiro diedro.
• 
  A Casinha possui duas faces inclinadas congruentes, contidas em Planos Paralelos à Linha de Terra. A VG da face inclinada ABCD foi obtida por meio de Dupla Mudança de Planos.

Visualização em 3D

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📏 📐 Solução

Vamos ampliar a Casinha adicionando mais um cômodo!

Foram representadas as Vistas Frontal, Superior e Lateral Direita no primeiro diedro. Não temos faces novas inclinadas para obtermos a VG.

Visualização em 3D

📏 📐 Resolução

Vamos incluir um telhado para esse cômodo adicionado à Casinha.

• 
  Foram representadas as Vistas Frontal, Superior e Lateral Direita no primeiro diedro.
• 
  A Casinha possui duas novas faces inclinadas congruentes, contidas em Planos de Topo. A VG da face inclinada ABCD foi obtida por meio de Mudança de Planos Horizontal.

Visualização em 3D

📏 📐 Resolução

Vamos desenhar as Vistas do objeto que está representado em Perspectiva Isométrica. A representação será no primeiro diedro.

• 
  Identificamos as Vistas Frontal (VF), Superior (VS) e Lateral Esquerda (VLE) na Perspectiva.
• 
  Após analisarmos a forma do objeto e delimitar o mesmo obtemos as maiores dimensões do objeto: 15cm de largura, 9,5cm de altura e 9,5cm de profundidade. Desenhamos um esboço para as Vistas e marcamos essas dimensões maiores para termos uma ideia do espaço que será ocupado para o desenho.
• 
  Desenhamos três retângulos conforme o esboço, lembrando que devemos utilizar a escala 1:2 para representar as medidas e que devemos deixar um mesmo espaçamento entre os retângulos.
• 
  Marcamos nas Vistas as medidas menores.
• 
  Detalhamos as Vistas do objeto.

Visualização em 3D

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📏 📐 Exercício proposto 7.1
Visualização em 3D

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📏 📐 Resolução

Vamos representar uma escada pelas suas vistas ortográficas.

• 
  Construa as projeções da Vista Frontal a partir das outras Vistas. Lembre-se de aplicar as regras de Leitura das Vistas Ortográficas.
• 
  Indique o sentido da circulação na Vista Superior.

Visualização em 3D

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📏 📐 Resolução

Para construir a circunferência em perspectiva isométrica, vamos utilizar o quadrado ABCD circunscrito na circunferência. Os pontos de tangência dos lados do quadrado também serão utilizados nesta construção.

• 
  Vamos começar construindo os eixos isométricos x e y com o auxílio de uma reta r. Marque o vértice A e alinhe o maior cateto do esquadro de 30/60 com r e o ângulo de 90º à esquerda de A.
• 
  Deslize este esquadro até que a hipotenusa fique alinhada com A. Construa o segmento AB com a medida igual ao diâmetro da circunferência.
• 
  Agora coloque o ângulo de 90º à direita de A e alinhe o maior cateto do esquadro de 30/60 com r.
• 
  Deslize este esquadro até que a hipotenusa fique alinhada com A. Construa o segmento AD com a medida igual ao diâmetro da circunferência.
• 
  Construa os segmentos BC // AD e CD // AB. Temos os eixos x, y e z construídos em perspectiva isométrica.
• 
  Alinhe o menor cateto do esquadro de 30/60 com a reta r e deslize este esquadro até a hipotenusa ficar alinhada com o vértice C. Construa o segmento CE...
• 
  ... e deslize o esquadro até alinhar a hipotenusa com A, encontrando o segmento AG.
• 
  Agora inverta a posição do esquadro, alinhando o menor cateto com a reta r novamente. Deslize o esquadro até a hipotenusa ficar alinhada com o vértice C, e construa o segmento CH.
• 
  Deslize o esquadro até alinhar a hipotenusa com A. Construa o segmento AF.
• 
  Agora construa o arco com centro em A e raio AF = AG.
• 
  Construa o arco com centro em C e o mesmo raio AF = AG = CH = CE.
• 
  Considere os pontos I e J como interseções dos segmentos AF com CE e AG com CH. Construa o arco com centro em I e raio IF = IE.
• 
  Para finalizar nossa circunferência, construa o arco com centro em J e raio JG = JH.

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As construções geométricas dos exercícios da pág. 145 até a pág. 150 foram feitas pela profª Simone da Silva Soria Medina.

📏 📐 Resolução

Vamos construir a Perspectiva Isométrica Simplificada do Objeto.

• 
  Vamos construir os Eixos Isométricos. Posicione o esquadro de 45 com a hipotenusa na horizontal. Encaixe o cateto maior do esquadro de 30/60 sobre o primeiro esquadro e desenhe (com linha contínua estreita) um segmento de reta na posição vertical.
• 
  Deslize o esquadro de 30/60 para a esquerda e utilizando a hipotenusa desenhe um segundo segmento de reta concorrente com o primeiro.
• 
  Inverta o esquadro de 30/60 e utilizando a hipotenusa desenhe um terceiro segmento de reta concorrente com os outros dois.
• 
  Os eixos isométricos desenhados formam ângulos de 120° entre si.
• 
  Marcamos sobre os eixos os valores correspondentes às maiores medidas de largura, altura e profundidade.
• 
  Construímos o Paralelepípedo Envolvente do sólido (com linha contínua estreita).
• 
  Vamos representar as Faces do sólido na Perspectiva. Representamos, por exemplo, a face frontal, que está em VG (plano frontal). As linhas isométricas estão em VG porém as não isométricas (inclinadas) não estão.
• 
  Representamos as faces que aparecem em VG na vista superior (planos horizontais).
• 
  Representamos a face que aparece em VG na lateral esquerda (plano de perfil).
• 
  Representamos a face que aparece nas vistas superior e lateral esquerda (plano de topo). Observe que esta face não aparece em VG nas projeções.
• 
  Pronto! A Perspectiva Isométrica Simplificada está representada.

Visualização em 3D

📏 📐 Resolução

Vamos construir a Perspectiva Isométrica Simplificada do Objeto.

• 
  Note que o objeto a ser representado foi obtido a partir do anterior. Assim, reproduza a perspectiva isométrica que já fizemos.
• 
  Vamos representar as demais Faces do sólido na Perspectiva. A face frontal permanece como está.
• 
  O objeto possui duas faces horizontais superiores que são retangulares. Marque seus lados na Perspectiva.
• 
  Vamos representar as duas facesinclinadas do objeto que são retangulares e congruentes (plano de topo). Apenas os lados isométricos estão em VG. Marque os lados de topo na Perspectiva.
• 
  Complete a face frontal interna do Objeto.
• 
  O objeto possui uma terceira face inclinada também retangular (plano de topo). Apenas os lados isométricos que estão em VG. Marque os lados de topo, verticais e fronto-horizontaisdas faces frontais triangulares na Perspectiva.
• 
  Represente o lado frontal unindo os pontos correspondentes, esta lado não é isométrico e, portanto, não está em VG na perspectiva.
• 
  Pronto! A perspectiva está representada.

Visualização em 3D

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📏 📐 Resolução

Vamos construir a Perspectiva Isométrica Simplificada do Objeto.

• 
  Construímos os Eixos Isométricos.
• 
  Marcamos sobre os eixos os valores correspondentes às maiores medidas delargura, altura e profundidade.
• 
  Construímos o Paralelepípedo Envolvente do sólido (com linha contínua estreita).
• 
  Vamos representar as Faces do sólido na Perspectiva. Representamos, por exemplo, a face lateral esquerda, que está em VG (plano de perfil).Lembre-se que apenas os lados isométricos estão em VG.
• 
  Representamos a face que aparecem em VG na vista frontal (plano frontal).
• 
  Representamos a face que aparece em VG na vista superior (plano horizontal).
• 
  Representamos a face que aparece nas vistas superior e frontal (plano paralelo à linha de terra). Observe que esta face não aparece em VG nas projeções.
• 
  Pronto! A perspectiva está representada.

Visualização em 3D

📏 📐 Resolução

Vamos construir a Perspectiva Isométrica Simplificada do Objeto.

• 
  Note que o objeto a ser representado foi obtido a partir do anterior. Assim, reproduza a perspectiva isométrica que já fizemos.
• 
  Vamos representar as demais Faces do sólido na Perspectiva. As faceshorizontal e paralela à linha de terra permanecem como estão.
• 
  A face frontal tem laterais verticais menores que o sólido original. Marque seus lados na Perspectiva.
• 
  A face lateral esquerda do objeto possui agora um lado de perfil, que não é isométrico, assim marque os lados dessa face que são de topo e vertical. Note que o objeto possui uma nova face paralela à linha de terra mas que não aparece na perspectiva.
• 
  Pronto! A perspectiva está representada.

Visualização em 3D

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📏 📐 Resolução

Vamos construir a Perspectiva Isométrica Simplificada do Objeto.

• 
  Construímos o Paralelepípedo Envolvente do sólido (com linha contínua estreita).
• 
  Para construir a circunferência em perspectiva, marcamos o centro desta na face frontal e construímos a perspectiva do quadrado ABCD circunscrito à circunferência. Marcamos também os pontos médios dos lados do quadrado.
• 
  Unimos o vértice A com os pontos F e G e o vértice C com os pontos E e H. Obtemos assim os pontos I e J.
• 
  A circunferência em perspectiva será construída por quatro arcos: um arco com centro em A e raio AF = AG; um arco com centro em C e raio CE = CH; um arco com centro em I e raio IF = IE; e um arco de centro em J e raio JG = JH.
• 
  Pronto! A circunferência está representada em perspectiva na face frontal do objeto.

Visualização em 3D

📏 📐 Resolução

Vamos construir a Perspectiva Isométrica Simplificada do Objeto.

• 
  Construa os eixos isométricos e depois o Paralelepípedo envolvente. O objeto possui somente linhas isométricas. Represente as faces do sólido que aparecem em VG marcando seus lados na perspectiva.
• 
  Pronto! A perspectiva está representada.

Visualização em 3D

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📏 📐 Resolução

Vamos construir a Perspectiva Isométrica Simplificada do Objeto.

• 
  Construa os eixos isométricos e depois o Paralelepípedo envolvente. O objeto possui linhas isométricas e não isométricas. Represente as faces do sólido que aparecem em VG marcando seus lados na perspectiva. Atenção, pois, a face de topo possui três lados não isométricos!
• 
  Pronto! A perspectiva está representada.

Visualização em 3D

📏 📐 Resolução

Vamos construir a Perspectiva Isométrica Simplificada do Objeto.

• 
  Construa os eixos isométricos e depois o Paralelepípedo envolvente. O objeto possui linhas isométricas e não isométricas. Represente as faces do sólido que aparecem em VG marcando seus lados na perspectiva. Atenção, pois, as faces de topo possuem lados não isométricos!
• 
  Pronto! A perspectiva está representada.

Visualização em 3D

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📏 📐 Exercício proposto 7.2
Visualização em 3D

📏 📐 Resolução

Vamos construir a Perspectiva Isométrica Simplificada do Objeto.

• 
  Construímos o Paralelepípedo Envolvente, com os maiores valores de largura, altura e profundidade.
• 
  Na face frontal temos uma semicircunferência. Construímos um quadrado em perspectiva de lados iguais ao diâmetro da semicircunferência.
• 
  Construímos a perspectiva da circunferência inscrita no quadrado.
• 
  Reforçamos apenas os arcos correspondentes à semicircunferência.
• 
  Fazemos o mesmo com a semicircunferência contida na face posterior. Iniciamos com a perspectiva do quadrado circunscrito à circunferência.
• 
  Construímos a perspectiva da circunferência inscrita no quadrado.
• 
  Reforçamos apenas os arcos correspondente à semicircunferência e que não está escondido atrás de alguma face visível. Completamos as arestas de topo das faces horizontais. Pronto! A perspectiva está representada.

Visualização em 3D

📏 📐 Resolução

Vamos construir a Perspectiva Isométrica Simplificada do Objeto.

• 
  Construa os eixos isométricos e depois o Paralelepípedo envolvente. O objeto possui linhas isométricas e não isométricas. Represente as faces do sólido que aparecem em VG marcando seus lados na perspectiva. Atenção, pois, as faces de topo possuem lados não isométricos! Represente a perspectiva da semicircunferência.
• 
  Pronto! A perspectiva está representada.

Visualização em 3D

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📏 📐 Solução

Vamos desenhar a Vista Frontal (VF), a Vista Superior Parcial (VSP) e a Vista Auxiliar (VA). Usaremos a Unidade o mm e a Escala Natural.

A Vista Frontal é desenhada integralmente. A Vista Superior Parcial possui uma linha de ruptura, indicando que parte do Objeto não será representado pois não está em VG nesta Vista. A Vista Auxiliar foi obtida por meio de uma Mudança de Plano Horizontal, a mesma também possui uma linha de ruptura.

Visualização em 3D

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📏 📐 Solução

Vamos desenhar a Vista Frontal (VF), a Vista Superior Parcial (VSP) e a Vista Auxiliar (VA). Usaremos a Unidade o mm e a Escala Natural.

A Vista Frontal é desenha integralmente. A Vista Superior Parcial possui uma linha de ruptura, indicando que parte do Objeto não será representado pois não está em VG nesta Vista. A Vista Auxiliar foi obtida por meio de uma Mudança de Plano Horizontal, a mesma também possui uma linha de ruptura.

Visualização em 3D

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📏 📐 Solução

Vamos desenhar a Vista Frontal (VF), a Vista Superior Parcial (VSP) e a Vista Auxiliar (VA). Usaremos a Unidade o mm e a Escala Natural.

A Vista Frontal é desenha integralmente, porém a parte inclinada somente é possível representá-la após a construção da VA. A Vista Superior Parcial possui uma linha de ruptura, indicando que parte do Objeto não será representado pois não está em VG nesta Vista. A Vista Auxiliar foi obtida por meio de uma Mudança de Plano Horizontal, a mesma também possui uma linha de ruptura.

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📏 📐 Solução

Vamos desenhar a Vista Frontal (VF) e duas Vistas Auxiliares (VA1 e VA2). Usaremos a Unidade o mm e a Escala Natural.

A Vista Frontal é desenha integralmente. As Vistas Auxiliares foram obtidas por meio de Mudança de Planos Horizontal, cada uma possui linhas de rupturas indicando que parte o Objeto não será representado pois não está em VG na Vista correspondente.

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📏 📐 Solução

Vamos representar o corte indicado no objeto.

O corte é obtido por meio da interseção com um Plano Frontal definido pelos pontos A e B. Somente a seção resultante que é hachurada.

Visualização em 3D

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📏 📐 Solução

Vamos representar o corte indicado no objeto.

O corte é obtido por meio da interseção com um Plano Frontal definido pelos pontos A e B. Somente a seção resultante que é hachurada.

Visualização em 3D

📏 📐 Solução

Vamos representar o corte indicado no objeto.

O corte é obtido por meio da interseção com um Plano Frontal definido pelos pontos A e B. Somente a seção resultante que é hachurada.

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📏 📐 Exercício proposto 7.3
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Projeto 1

Autor do projeto: Leonardo M. https://3dwarehouse.sketchup.com/user/5a536402-64bf-4559-b8e4-239cb727f496/leonardo-M

Projeto 2

Autor do projeto: Steve Aull https://3dwarehouse.sketchup.com/user/1680783143301424257520896/Steve-Aull

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8. Telhados e Superfícies Topográficas

Material da página 105 até a página 139.

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Visualização em 3D

👓 Realidade Aumentada e Realidade Virtual

Você pode acessar os recursos de RA e RV das representações de telhados usando o seguinte endereço:

https://paulohscwb.github.io/geometria-descritiva/telhados.html

Os telhados modelados em 3D aparecem sobre as coordenadas da apostila. Você pode usá-los para conferir as construções ou apenas visualizar os modelos em 3D.

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📏 📐 Solução

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📏 📐 Solução

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📏 📐 Solução

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📏 📐 Solução

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📏 📐 Exercício Proposto 8.1
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📏 📐 Exercício Proposto 8.2
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📏 📐 Solução

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📏 📐 Solução

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📏 📐 Solução

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📏 📐 Solução

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📏 📐 Exercício Proposto 8.3
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📏 📐 Solução

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📏 📐 Solução

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👓 Realidade Aumentada e Realidade Virtual

Você pode acessar os recursos de RA e RV das representações de superfícies topográficas usando o seguinte endereço:

https://paulohscwb.github.io/geometria-descritiva/superficies.html

As superfícies topográficas modeladas em 3D aparecem sobre as coordenadas da apostila. Você pode usá-las para conferir as construções ou apenas visualizar os modelos em 3D.

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📏 📐 Traçado de curvas de nível

Para traças as curvas de nível podemos utilizar o método da triangularização. Acompanhe o procedimento.

• 
  Una os pontos dados formando quadriláteros.
• 
  No quadrilátero da esquerda temos duas diagonais. A diferença de cotas entre as extremidades de uma delas é de 80-79=1 e da outra 81-76=5u. Desenhamos a diagonal que nos dá a maior diferença de cotas.
• 
  No quadrilátero da direita procedemos da mesma maneira, desenhando a diagonal com a maior diferença de cotas.
• 
  Vamos dividir cada segmento representado em partes iguais. Nesse caso, como as extremidades possuem uma diferença de cotas de 3u, devemos dividir graficamente o segmento em 3 partes iguais, obtendo pontos de cotas 77u e 78u.
• 
  Repetimos o processo para os demais segmentos obtendo pontos de cotas inteiras.
• 
  Iniciando no primeiro triângulo da esquerda vamos unindo os pontos de mesma cota 77, sempre cuidando para ligar aos pontos de triângulos adjacentes. Formando assim a Curva de Nível de cota 77.
• 
  Analogamente, obtemos as demais Curvas de Nível.

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📏 📐 Resolução

Para representar a superfície topográfica por meio de Curvas de Nível vamos obter mais pontos da mesma utilizando uma interpolação linear.

• 
  Já temos a triangularização pronta e vários pontos de cotas inteiras representados. Nos segmentos a e d devemos obter pontos de cotas inteiras, com equidistância de 10 metros entre eles. Já nos segmentos b e c não é preciso pois a diferença de cotas entre suas extremidades é zero.
• 
  Divida o segmento a em 4 partes iguais, obtendo pontos de cotas 110, 120 e 130 metros.
• 
  Divida o segmento d em 4 partes iguais, obtendo pontos de cota 220, 230 e 240 metros.
• 
  Iniciando no segundo triângulo da esquerda vamos unindo os pontos de mesma cota 240, sempre cuidando para ligar aos pontos de triângulos adjacentes. Formando assim a Curva de Nível de cota 240.
• 
  Prossiga unindo os pontos formando as Curvas de Nível de cotas 230, 220, 210, 200, 190 metros.
• 
  Continue o processo, obtendo as Curvas de Nível de cotas 180, 170, 160 e 150 metros.
• 
  A partir do primeiro triângulo da esquerda obtenhas as Curvas de Nível de cotas 130, 120 e 110 metros. Sempre cuidando para ligar pontos de triângulos adjacentes.
• 
  Nos três primeiros triângulos de baixo obtenha as Curvas de Nível de cotas 130 a 70 metros.
• 
  Finalmente, obtenha as demais Curvas de Nível. Use o link abaixo para visualizar esta superfície e suas curvas de nível em 3D.

Visualização em 3D

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📏 📐 Resolução

Para traçar as Curvas de Nível vamos utilizar o método da triangularização e a interpolação linear. Acompanhe o procedimento.

• 
  Una os pontos dados formando quadriláteros.
• 
  Em cada quadrilátero desenhe a diagonal com a maior diferença de cotas. Vamos agora obter pontos de cotas inteiras.
• 
  O segmento possui extremidades de cotas 20,5m e 23,5m. Devemos obter pontos de cotas inteiras, ou seja, 21m, 22m e 23m. Vamos dividir esse segmento em partes proporcionais a 0,5u, 1u, 1u e 0,5u aplicando o Teorema de Tales. Encaixe a régua com a marcação de 20,5 no ponto da esquerda, trace um segmento auxiliar e faça marcações no 21, 22, 23 e 23,5cm.
• 
  Una o último ponto marcado à extremidade da direita do segmento e pelos demais trace paralelas a esse segmento, obtendo os pontos de cotas inteiras 21m, 22m e 23m.
• 
  Esse segmento possui extremidades de cotas 23,8m e 26,2m. Devemos obter pontos de cotas inteiras, ou seja, 24m, 25m e 26m.Vamos dividir esse segmento em partes proporcionais a 0,2u, 1u, 1u e 0,2u aplicando o Teorema de Tales. Encaixe a régua com a marcação de 23,8 no ponto da esquerda, trace um segmento auxiliar e faça marcações no 24, 25, 26 e 26,2cm.
• 
  Una o último ponto marcado à extremidade da direita do segmento e pelos demais trace paralelas a esse segmento, obtendo os pontos de cotas inteiras 24m, 25m e 26m.
• 
  Divida os demais segmentos da triangularização obtendo pontos de cotas inteiras seguindo o procedimento anterior.
• 
  Inicie a construção das Curvas de Nível pela de cota 26m. Lembre-se de unir os pontos de mesma cota sempre observando os triângulos adjacentes.
• 
  Para a Curva de Nível de cota 21m, note que na diagonal do quadrilátero inferior da direita não temos pontos de cota 21 e portanto a Curva de Nível não corta essa linha.
• 
  Finalmente construa a Curva de Nível de cota 20m. Pronto! A superfície está representada pelas suas Curvas de Nível!

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📏 📐 Resolução

Para obtermos o perfil topográfico devemos encontrar os pontos comuns da superfície natural do terreno com o plano de corte vertical.

• 
  Marque os pontos de interseção da reta A’B’ com as curvas de nível do terreno.
• 
  Vamos rebater o plano vertical a partir do eixo que está na horizontal. Em cada ponto obtido no passo anterior construa perpendiculares à reta A’B’ e marque no sistema de eixos a cota correspondente.
• 
  Devemos agora marcar a cota do ponto C que está entre as curvas de nível de cota 70m e 80m. Esse processo pode ser por aproximação, ou seja, estimando uma cota em torno de 75m.
• 
  Marque no sistema de eixos a cota correspondente.
• 
  Analogamente marcamos a cota correspondente do ponto D, que estimando é em torno de 25m.
• 
  Basta agora unir os pontos obtidos que são adjacentes definindo o Perfil Topográfico.

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📏 📐 Exercício Proposto 8.4
Visualização em 3D

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📏 📐 Solução

Para obtermos o perfil topográfico devemos encontrar os pontos comuns da superfície natural do terreno com o plano de corte vertical. Siga o procedimento como no exercício anterior.

Visualização em 3D

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📏 📐 Resolução

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📏 📐 Resolução

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📏 📐 Exercício Proposto 8.5

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📏 📐 Exercício Proposto 8.6
Visualização em 3D

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📏 📐 Resolução

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página desenvolvida por:

Paulo Henrique Siqueira

construções geométricas feitas pelos professores do Grupo de Estudos em Expressão Gráfica (GEEGRAF) da Universidade Federal do Paraná (UFPR):

Deise Maria Bertholdi Costa

Luzia Vidal de Souza

Paulo Henrique Siqueira

Simone da Silva Soria Medina

Objetos 3D programados em RA e RV:

Paulo Henrique Siqueira

contato: paulohscwb@gmail.com

Para ver os objetos em Realidade Aumentada, visite a página:

https://paulohscwb.github.io/geometria-descritiva/ra.html

em qualquer navegador com um dispositivo de webcam (smartphone, tablet ou notebook).

O acesso às páginas dos modelos 3D é feito clicando no círculo azul que aparece em cima dos marcadores.

      

Geometria Descritiva de Paulo Henrique Siqueira está licenciado com uma Licença Creative Commons Atribuição-NãoComercial-SemDerivações 4.0 Internacional.

Como citar este trabalho:

Siqueira, P.H., Costa, D.M.B, Souza, L.V.S., Medina, S.S.S. "Geometria Descritiva". Disponível em: <https://paulohscwb.github.io/geometria-descritiva/>, Outubro de 2020.

Referências:

1. Etienne, J. AR.js - Augmented Reality for the Web - Scripts do ambiente de Realidade Aumentada: https://github.com/jeromeetienne/AR.js.
2. Ngo, K. Orbit controls for A-Frame - Scripts de controle de órbita nas páginas programadas com Realidade Virtual: https://github.com/supermedium/superframe/tree/master/components/orbit-controls/.
3. Plesch, A. Geometry from vertices and faces - Scripts para construções das faces de poliedros nos ambientes de Realidade Aumentada e Realidade Virtual: https://github.com/andreasplesch/aframe-faceset-component.
4. Plesch, A. Geometry from vertices and faces - Scripts para construções das faces de poliedros nos ambientes de Realidade Aumentada e Realidade Virtual: https://github.com/andreasplesch/aframe-faceset-component.
5. Lacourt, H. Noções e Fundamentos de Geometria Descritiva. Ed. Guanabara Koogan, 1995.
6. Montenegro, G.A. Geometria Descritiva. Edgard Blücher, 1991.
7. Nascimento Jr., José Ribeiro do. Geometria Descritiva: projeção mongeana. Curitiba: UFPR, 1981
8. Costa, M.D.; Costa, A.P.A. Geometria Gráfica Tridimensional. UFPE, 1992.
9. Costa, D.M.B.; Souza, L. V.; Siqueira, P.H. Apostila de Projeções Cotadas. UFPR, 2020.
10. Demeterco, A. Geometria descritiva aplicada : engenharia, agronomia e desenho industrial. Curitiba: Editer, 1977.
11. Machado, A. Geometria Descritiva. Editora Atual, 1993.
12. Montenegro, G.A. Geometria Descritiva. Edgard Blücher, 1991.
13. Iezzi, G. Fundamentos da Matemática Elementar –Geometria Plana e Espacial. São Paulo : Atual, 2013. Vol 9 e 10.
14. Ricca, G. Geometria descritiva: método de monge. Lisboa: Fundação Calouste Gulbenkian, 2000
15. Materiais didáticos dos Professores: Andrea Faria Andrade, Luzia Vidal de Souza, Mariana Pohlmann de Oliveira, Víctor Gamarra Rosado e Zuleica Faria de Medeiros.
16. Bornancini, J. C.; Petzold, N. I.; Orlandi Junior, H. Desenho Técnico Básico – Fundamentos Teóricos e exercícios à mão livre.
17. French, T. E.; Vierck, C. Desenho Técnico e Tecnologia Gráfica. São Paulo: Ed. Globo.
18. Rezende, A. S.; Gransotto, L. R. Desenho de Projetos e Edificações, UFRGS, 2007.
19. Silva, A.; Ribeiro, C. T.; Dias, J.; Souza, L. Desenho Técnico Moderno. Ed. LTC.
20. Silva, Silvio. A Linguagem do Desenho Técnico. Rio de Janeiro. LTC.