Visualização de Poliedros com Realidade Virtual (RV) em A-frame
autor: Paulo Henrique Siqueira - Universidade Federal do Paraná
contato: paulohscwb@gmail.com
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Transformações de Escher em poliedros
A obra técnica Gravitação foi concluída em 1952 pelo artista holandês Maurits Cornelis Escher. Esta obra mostra o poliedro não convexo pequeno dodecaedro estrelado de Kepler-Poinsot com transformações geométricas em cada face. Utilizando-se os pontos médios de partes das faces, as entradas trapezoidais são utilizadas por Escher para inserir as cabeças e patas de tartarugas sem cascos.
Este trabalho mostra as transformações e algumas composições feitas com poliedros, baseando-se nas transformações geométricas com recortes trapezoidais nas faces ou em partes das faces destes sólidos, modelados para visualização em Realidade Virtual.
Modelos 3D
1. Dodecaedro côncavo
Partes das faces deste poliedro foram transformadas com a remoção de trapézios e triângulos.
2. Composição de cubo com octaedro
Composição de um cubo com o dual octaedro, com partes das faces destes poliedros transformadas com a remoção de quadrados e triângulos.
3. Dodecaedro disdiakis
As faces deste poliedro foram transformadas com a remoção de trapézios.
4. Triacontaedro disdiakis
As faces deste poliedro foram transformadas com a remoção de trapézios.
5. Composição de dodecaedro com icosaedro
Composição de um dodecaedro com o dual icosaedro, com as faces destes poliedros transformadas com a remoção de pentágonos e triângulos.
6. Sólido de Escher
As faces deste poliedro foram transformadas com a remoção de trapézios.
7. Sólido de Escher v2
As faces deste poliedro foram transformadas com a remoção de trapézios.
8. Grande dodecaedro disdiakis
As faces deste poliedro foram transformadas com a remoção de trapézios.
9. Grande dodecaedro
Composição de um grande dodecaedro com o dual pequeno dodecaedro estrelado, com partes das faces do grande dodecaedro transformadas com a remoção de trapézios.
10. Grande dodecaedro v2
Composição de um grande dodecaedro com o grande icosaedro, com partes das faces destes poliedros transformadas com a remoção de trapézios.
11. Grande dodecaedro v3
Composição de um grande dodecaedro com o grande icosaedro, com partes das faces destes poliedros transformadas com a remoção de trapézios.
12. Grande dodecaedro v4
Composição de um grande dodecaedro com o grande icosaedro, com partes das faces destes poliedros transformadas com a remoção de trapézios.
13. Grande dodecicosacro
Partes das faces deste poliedro foram transformadas com a remoção de trapézios e triângulos.
14. Grande dodecicosacro v2
Partes das faces deste poliedro foram transformadas com a remoção de trapézios e triângulos.
15. Grande icosaedro
Partes das faces deste poliedro foram transformadas com a remoção de trapézios e triângulos.
16. Grande icosaedro v2
Partes das faces deste poliedro foram transformadas com a remoção de trapézios e triângulos.
17. Grande icosaedro v3
Partes das faces deste poliedro foram transformadas com a remoção de trapézios e triângulos.
18. Grande icosaedro v4
Composição de um grande icosaedro com o grande dodecaedro, com partes das faces destes poliedros transformadas com a remoção de trapézios.
19. Grande icosaedro v5
Composição de um grande icosaedro com o grande dodecaedro, com partes das faces destes poliedros transformadas com a remoção de trapézios.
20. Grande rombihexacro
As faces deste poliedro foram transformadas com a remoção de trapézios.
21. Grande dodecaedro estrelado
Partes das faces deste poliedro foram transformadas com a remoção de trapézios e triângulos.
22. Grande icosaedro triâmbico
Partes das faces deste poliedro foram transformadas com a remoção de trapézios e triângulos.
23. Dipirâmide heptagrâmica
Partes das faces deste poliedro foram transformadas com a remoção de trapézios e triângulos.
24. Tetraedro hexakis
As faces deste poliedro foram transformadas com a remoção de trapézios.
25. Hexecontaedro deltoidal medial
Partes das faces deste poliedro foram transformadas com a remoção de trapézios e triângulos.
26. Hexecontaedro deltoidal medial v2
Partes das faces deste poliedro foram transformadas com a remoção de trapézios e triângulos.
27. Hexecontaedro deltoidal medial v3
Partes das faces deste poliedro foram transformadas com a remoção de trapézios e triângulos.
28. Hexecontaedro icosacrônico medial
Partes das faces deste poliedro foram transformadas com a remoção de trapézios e triângulos.
29. Hexecontaedro icosacrônico medial v2
Partes das faces deste poliedro foram transformadas com a remoção de trapézios e triângulos.
30. Triacontaedro rômbico medial
Partes das faces deste poliedro foram transformadas com a remoção de trapézios e triângulos.
31. Triacontaedro rômbico medial v2
Partes das faces deste poliedro foram transformadas com a remoção de trapézios e triângulos.
32. Icosaedro triâmbico medial
Partes das faces deste poliedro foram transformadas com a remoção de trapézios e triângulos.
33. Merkaba
Composição de dois tetraedros, com as faces destes poliedros transformadas com a remoção de triângulos.
34. Deltaedro de Möbius
As faces deste poliedro foram transformadas com a remoção de trapézios.
35. Hexaedro octakis de Möbius
As faces deste poliedro foram transformadas com a remoção de trapézios.
36. Octaedro hexakis de Möbius
As faces deste poliedro foram transformadas com a remoção de trapézios.
37. Icosaedro hexakis de Möbius
As faces deste poliedro foram transformadas com a remoção de trapézios.
38. Dodecaedro 10-akis de Möbius
As faces deste poliedro foram transformadas com a remoção de trapézios.
Escher’s transformations in polyhedra: visualization with Virtual Reality de Paulo Henrique Siqueira está licenciado com uma Licença Creative Commons Atribuição-NãoComercial-SemDerivações 4.0 Internacional.
Como citar este trabalho:
Siqueira, P.H., "Escher's transformations in polyhedra: visualization with Virtual Reality". Disponível em: <https://paulohscwb.github.io/polycompound/escher1/pt-br/>, Junho de 2026.
Referências:
Weisstein, Eric W. “Polyhedron Compound” From MathWorld-A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/PolyhedronCompound.html
Weisstein, Eric W. “Uniform Polyhedron.” From MathWorld–A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/UniformPolyhedron.html
McCooey, David I. “Visual Polyhedra”. http://dmccooey.com/polyhedra/