Visualização de Poliedros com Realidade Virtual (RV) em A-frame
autor: Paulo Henrique Siqueira - Universidade Federal do Paraná
contato: paulohscwb@gmail.com
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Deltaedros não convexos
Henry Martyn Cundy identificou 17 deltaedros côncavos (1952), levando a descoberta publicada por Roger Kaufman (2008) de que existem pelo menos 40 exemplos desse tipo. Os deltaedros são compostos somente por triângulos equiláteros, e existem apenas oito deltaedros convexos: tetraedro, octaedro, icosaedro, dipirâmide triangular (sólido de Johnson J12), dipirâmide pentagonal (J13), disfenoide snub (J84), prisma triaumentado triangular (J51) e dipirâmide quadrada giroalongada (J17).
Este trabalho mostra alguns deltaedros não convexos modelados para visualização em Realidade Virtual.
Modelos 3D
1. Tetraedro aumentado
Este deltaedro é construído a partir de um núcleo tetraédrico regular, ao qual são anexadas “tampas” tetraédricas (aumentos) em suas quatro faces.
faces: 12 | arestas: 18 | vértices: 8
2. Tetraedro giro-aumentado
Este deltaedro é construído a partir de um núcleo tetraédrico regular, ao qual são anexadas “tampas” octaédricas (aumentos) em suas quatro faces.
faces: 28 | arestas: 42 | vértices: 16
3. Octaedro aumentado
Este deltaedro é construído a partir de um núcleo octaédrico regular, ao qual são anexadas “tampas” octaédricas (aumentos) em suas quatro faces.
faces: 56 | arestas: 84 | vértices: 30
4. Octaedro escavado
Este deltaedro é construído a partir de um núcleo octaédrico regular, ao qual são escavados tetraedros regulares em suas oito faces.
faces: 24 | arestas: 36 | vértices: 14
5. Cubo aumentado
Este deltaedro é construído a partir de um núcleo cúbico regular, ao qual são anexadas “tampas” em formato de pirâmides quadradas (aumentos) em suas seis faces.
faces: 24 | arestas: 36 | vértices: 14
6. Cubo escavado
Este deltaedro é construído a partir de um núcleo cúbico regular, ao qual são excavadas pirâmides quadradas em suas seis faces.
faces: 24 | arestas: 36 | vértices: 14
7. Dodecaedro escavado
Este deltaedro é construído a partir de um núcleo dodecaédrico regular, ao qual são escavadas pirâmides pentagonais em suas doze faces.
faces: 60 | arestas: 90 | vértices: 32
8. Dodecaedro aumentado
Este deltaedro é construído a partir de um núcleo dodecaédrico regular, ao qual são anexadas “tampas” em formato de pirâmides pentagonais (aumentos) em suas doze faces.
faces: 60 | arestas: 90 | vértices: 32
9. Dodecaedro snub aumentado
Este deltaedro é construído a partir de um núcleo dodecaédrico snub regular, ao qual são anexadas “tampas” em formato de pirâmides pentagonais (aumentos) em suas doze faces pentagonais.
faces: 140 | arestas: 210 | vértices: 72
10. Dodecaedro snub escavado
Este deltaedro é construído a partir de um núcleo dodecaédrico snub regular, ao qual são escavadas pirâmides pentagonais em suas doze faces pentagonais.
faces: 140 | arestas: 210 | vértices: 72
11. Rombicuboctaedro aumentado
Este deltaedro é construído a partir de um núcleo rombicuboctaédrico, ao qual são anexadas “tampas” em formato de pirâmides quadradas (aumentos) em suas faces quadradas.
faces: 80 | arestas: 120 | vértices: 42
12. Rombicuboctaedro escavado
Este deltaedro é construído a partir de um núcleo rombicuboctaédrico, ao qual são escavadas pirâmides quadradas em suas faces quadradas.
faces: 80 | arestas: 120 | vértices: 42
13. Icosidodecaedro escavado
Este deltaedro é construído a partir de um núcleo icosidodecaédrico, ao qual são escavadas pirâmides pentagonais em suas faces pentagonais.
faces: 80 | arestas: 120 | vértices: 42
14. Cubo snub aumentado
Este deltaedro é construído a partir de um núcleo de cubo snub, ao qual são anexadas “tampas” em formato de pirâmides quadradas (aumentos) em suas faces quadradas.
faces: 56 | arestas: 84 | vértices: 30
15. Cubo snub escavado
Este deltaedro é construído a partir de um núcleo de cubo snub, ao qual são escavadas pirâmides quadradas em suas faces quadradas.
faces: 56 | arestas: 84 | vértices: 30
16. Pequeno icosicosidodecaedro snub escavado
Este deltaedro é construído a partir de um núcleo de pequeno icosicosidodecaedro snub, ao qual são escavadas pirâmides pentagrâmicas em suas faces pentagrâmicas.
faces: 160 | arestas: 240 | vértices: 82
17. Pequeno icosicosidodecaedro snub aumentado
Este deltaedro é construído a partir de um núcleo de pequeno icosicosidodecaedro snub, ao qual são anexadas “tampas” em formato de pirâmides pentagrâmicas (aumentos) em suas faces pentagrâmicas.
faces: 160 | arestas: 240 | vértices: 82
18. Grande icosaedro aumentado
Este deltaedro é construído a partir de um núcleo de grande icosaedro, ao qual são anexadas “tampas” em formato de tetraedros regulares (aumentos) em quatro faces.
faces: 28 | arestas: 42 | vértices: 16
19. Grande dodecaedro estrelado escavado
Este deltaedro é construído a partir de um núcleo de grande dodecaedro estrelado, ao qual são escavadas pirâmides pentagrâmicas em suas faces pentagrâmicas.
faces: 60 | arestas: 90 | vértices: 32
20. Grande icosaedro escavado
Este deltaedro é construído a partir de um núcleo de grande icosaedro, ao qual são escavados octaedros regulares em suas faces.
faces: 140 | arestas: 210 | vértices: 72
21. Grande icosidodecaedro ditrigonal escavado
Este deltaedro é construído a partir de um núcleo de grande icosidodecaedro ditrigonal, ao qual são escavadas pirâmides pentagrâmicas em suas faces pentagrâmicas.
faces: 80 | arestas: 120 | vértices: 42
22. Hexaedro truncado estrelado aumentado
Este deltaedro é construído a partir de um núcleo de hexaedro truncado estrelado, ao qual são anexadas “tampas” em formato de pirâmides octogrâmicas (aumentos) em suas faces octogrâmicas.
faces: 56 | arestas: 84 | vértices: 30
23. Hexaedro truncado estrelado escavado
Este deltaedro é construído a partir de um núcleo de hexaedro truncado estrelado, ao qual são escavadas pirâmides octogrâmicas em suas faces octogrâmicas.
faces: 56 | arestas: 84 | vértices: 30
24. Pequeno icosidodecaedro ditrigonal aumentado
Este deltaedro é construído a partir de um núcleo de pequeno icosidodecaedro ditrigonal, ao qual são anexadas “tampas” em formato de pirâmides pentagrâmicas (aumentos) em suas faces pentagrâmicas.
faces: 80 | arestas: 120 | vértices: 42
25. Pequeno icosidodecaedro ditrigonal escavado
Este deltaedro é construído a partir de um núcleo de pequeno icosidodecaedro ditrigonal, ao qual são escavadas pirâmides pentagrâmicas em suas faces pentagrâmicas.
faces: 80 | arestas: 120 | vértices: 42
26. Octaedro di-escavado
Este deltaedro é construído a partir de um núcleo de octaedro, ao qual são escavados tetraedros em duas faces paralelas.
faces: 12 | arestas: 18 | vértices: 8
27. Antiprisma quadrado di-escavado
Este deltaedro é construído a partir de um núcleo de antiprisma quadrado, ao qual são escavadas pirâmides quadradas em suas faces quadradas.
faces: 16 | arestas: 24 | vértices: 10
28. Antiprisma pentagonal di-escavado
Este deltaedro é construído a partir de um núcleo de antiprisma pentagonal, ao qual são escavadas pirâmides pentagonais em suas faces pentagonais.
faces: 20 | arestas: 30 | vértices: 12
29. Icosaedro tetrambiado
Este poliedro é formado por quatro conjuntos de quatro triângulos dispostos tetraedricamente no icosaedro, combinados simetricamente com um conjunto de dez triângulos equiláteros, gerando um deltaedro de Cundy com 44 faces.
faces: 44 | arestas: 66 | vértices: 24
30. Icosaedro hexasfeniado
Esse poliedro é formado pela combinação de estruturas esfenóides (cunhas tetraédricas), unidas a uma estrutura básica de icosaedro.
faces: 44 | arestas: 66 | vértices: 24
31. Antiprisma pentagrâmico aumentado
Este deltaedro é construído a partir de um núcleo de antiprisma pentagrâmico, ao qual são anexadas “tampas” em formato de pirâmides pentagrâmicas (aumentos) em suas faces pentagrâmicas.
faces: 20 | arestas: 30 | vértices: 12
32. Antiprisma pentagrâmico escavado
Este deltaedro é construído a partir de um núcleo de antiprisma pentagrâmico, ao qual são escavadas pirâmides pentagrâmicas em suas faces pentagrâmicas.
faces: 20 | arestas: 30 | vértices: 12
33. Antiprisma cruzado pentagrâmico aumentado
Este deltaedro é construído a partir de um núcleo de antiprisma cruzado pentagrâmico, ao qual são anexadas “tampas” em formato de pirâmides pentagrâmicas (aumentos) em suas faces pentagrâmicas.
faces: 20 | arestas: 30 | vértices: 12
34. Antiprisma cruzado pentagrâmico escavado
Este deltaedro é construído a partir de um núcleo de antiprisma cruzado pentagrâmico, ao qual são escavadas pirâmides pentagrâmicas em suas faces pentagrâmicas.
faces: 20 | arestas: 30 | vértices: 12
35. Grande icosidodecaedro aumentado
Este deltaedro é construído a partir de um núcleo de grande icosidodecaedro, ao qual são anexadas “tampas” em formato de pirâmides pentagrâmicas (aumentos) em suas faces pentagrâmicas.
faces: 80 | arestas: 120 | vértices: 42
36. Grande icosidodecaedro escavado
Este deltaedro é construído a partir de um núcleo de grande icosidodecaedro, ao qual são escavadas pirâmides pentagrâmicas em suas faces pentagrâmicas.
faces: 80 | arestas: 120 | vértices: 42
37. Grande dodecaedro truncado estrelado escavado
Este deltaedro é construído a partir de um núcleo de grande dodecaedro truncado estrelado, ao qual são escavadas pirâmides pentagrâmicas em suas faces pentagrâmicas.
faces: 140 | arestas: 210 | vértices: 72
38. Grande dodecaedro truncado estrelado aumentado
Este deltaedro é construído a partir de um núcleo de grande dodecaedro truncado estrelado, ao qual são anexadas “tampas” em formato de pirâmides pentagrâmicas (aumentos) em suas faces pentagrâmicas.
faces: 140 | arestas: 210 | vértices: 72
39. Grande icosidodecaedro snub invertido escavado
Este deltaedro é construído a partir de um núcleo de grande icosidodecaedro snub invertido, ao qual são escavadas pirâmides pentagrâmicas em suas faces pentagrâmicas.
faces: 140 | arestas: 210 | vértices: 72
40. Grande icosidodecaedro snub invertido aumentado
Este deltaedro é construído a partir de um núcleo de grande icosidodecaedro snub invertido, ao qual são anexadas “tampas” em formato de pirâmides pentagrâmicas (aumentos) em suas faces pentagrâmicas.
faces: 140 | arestas: 210 | vértices: 72
41. Grande icosidodecaedro snub aumentado
Este deltaedro é construído a partir de um núcleo de grande icosidodecaedro snub, ao qual são anexadas “tampas” em formato de pirâmides pentagrâmicas (aumentos) em suas faces pentagrâmicas.
faces: 140 | arestas: 210 | vértices: 72
42. Grande icosidodecaedro snub escavado
Este deltaedro é construído a partir de um núcleo de grande icosidodecaedro snub, ao qual são escavadas pirâmides pentagrâmicas em suas faces pentagrâmicas.
faces: 140 | arestas: 210 | vértices: 72
43. Grande icosidodecaedro retrosnub escavado
Este deltaedro é construído a partir de um núcleo de grande icosidodecaedro retrosnub, ao qual são anexadas “tampas” em formato de pirâmides pentagrâmicas (aumentos) em suas faces pentagrâmicas.
faces: 140 | arestas: 210 | vértices: 72
44. Grande icosidodecaedro retrosnub aumentado
Este deltaedro é construído a partir de um núcleo de grande icosidodecaedro retrosnub, ao qual são anexadas “tampas” em formato de pirâmides pentagrâmicas (aumentos) em suas faces pentagrâmicas.
faces: 140 | arestas: 210 | vértices: 72
45. Pequeno icosicosidodecaedro retrosnub aumentado
Este deltaedro é construído a partir de um núcleo de pequeno icosicosidodecaedro retrosnub, ao qual são anexadas “tampas” em formato de pirâmides pentagrâmicas (aumentos) em suas faces pentagrâmicas.
faces: 160 | arestas: 240 | vértices: 82
46. Pequeno icosicosidodecaedro retrosnub escavado
Este deltaedro é construído a partir de um núcleo de pequeno icosicosidodecaedro retrosnub, ao qual são escavadas pirâmides pentagrâmicas em suas faces pentagrâmicas.
faces: 160 | arestas: 240 | vértices: 82
47. Grande dodecicosidodecaedro snub escavado
Este deltaedro é construído a partir de um núcleo de grande dodecicosidodecaedro snub, ao qual são escavadas pirâmides pentagrâmicas em suas faces pentagrâmicas.
faces: 200 | arestas: 300 | vértices: 72
48. Grande dodecicosidodecaedro snub aumentado
Este deltaedro é construído a partir de um núcleo de grande dodecicosidodecaedro snub, ao qual são anexadas “tampas” em formato de pirâmides pentagrâmicas (aumentos) em suas faces pentagrâmicas.
faces: 200 | arestas: 300 | vértices: 72
49. Dodecadodecaedro snub aumentado
Este deltaedro é construído a partir de um núcleo de dodecadodecaedro snub, ao qual são anexadas “tampas” em formato de pirâmides pentagrâmicas e pentagonais (aumentos) em suas faces pentagrâmicas e pentagonais.
faces: 180 | arestas: 270 | vértices: 84
50. Dodecadodecaedro snub escavado
Este deltaedro é construído a partir de um núcleo de dodecadodecaedro snub, ao qual são escavadas pirâmides pentagrâmicas e pentagonais em suas faces pentagrâmicas e pentagonais.
faces: 180 | arestas: 270 | vértices: 84
51. Dodecadodecaedro snub escavado e aumentado
Este deltaedro é construído a partir de um núcleo de dodecadodecaedro snub, ao qual são escavadas pirâmides pentagrâmicas em suas faces pentagrâmicas, e são anexadas “tampas” em formato de pirâmides pentagonais (aumentos) em suas faces pentagonais.
faces: 180 | arestas: 270 | vértices: 84
52. Dodecadodecaedro snub invertido aumentado
Este deltaedro é construído a partir de um núcleo de dodecadodecaedro snub invertido, ao qual são anexadas “tampas” em formato de pirâmides pentagrâmicas e pentagonais (aumentos) em suas faces pentagrâmicas e pentagonais.
faces: 180 | arestas: 270 | vértices: 84
53. Dodecadodecaedro snub invertido escavado
Este deltaedro é construído a partir de um núcleo de dodecadodecaedro snub invertido, ao qual são escavadas pirâmides pentagrâmicas e pentagonais em suas faces pentagrâmicas e pentagonais.
faces: 180 | arestas: 270 | vértices: 84
54. Dodecadodecaedro snub invertido escavado e aumentado
Este deltaedro é construído a partir de um núcleo de dodecadodecaedro snub invertido, ao qual são escavadas pirâmides pentagrâmicas em suas faces pentagrâmicas, e são anexadas “tampas” em formato de pirâmides pentagonais (aumentos) em suas faces pentagonais.
faces: 180 | arestas: 270 | vértices: 84
55. Icosidodecadodecaedro snub aumentado
Este deltaedro é construído a partir de um núcleo de icosidodecadodecaedro snub, ao qual são anexadas “tampas” em formato de pirâmides pentagrâmicas e pentagonais (aumentos) em suas faces pentagrâmicas e pentagonais.
faces: 180 | arestas: 270 | vértices: 84
56. Icosidodecadodecaedro snub escavado
Este deltaedro é construído a partir de um núcleo de icosidodecadodecaedro snub, ao qual são escavadas pirâmides pentagrâmicas e pentagonais em suas faces pentagrâmicas e pentagonais.
faces: 180 | arestas: 270 | vértices: 84
57. Icosidodecadodecaedro snub escavado e aumentado
Este deltaedro é construído a partir de um núcleo de icosidodecadodecaedro snub, ao qual são escavadas pirâmides pentagrâmicas em suas faces pentagrâmicas, e são anexadas “tampas” em formato de pirâmides pentagonais (aumentos) em suas faces pentagonais.
faces: 180 | arestas: 270 | vértices: 84
58. Deltaedro de Möbius
Os deltaedros de Möbius são simplesmente isômeros das versões do triângulo de Möbius do tetraedro (24 faces), cubo e dodecaedro.
faces: 24 | arestas: 36 | vértices: 14
59. Hexaedro octakis de Möbius
O hexaedro octakis é um deltaedro de Möbius com 48 faces derivado do cubo e do triacontaedro rômbico medial.
faces: 48 | arestas: 72 | vértices: 26
60. Octaedro hexakis de Möbius
O octaedro hexakis é um deltaedro de Möbius com 48 faces derivado do cubo e do triacontaedro rômbico medial.
faces: 48 | arestas: 72 | vértices: 26
61. Icosaedro hexakis de Möbius
O icosaedro hexakis é um deltaedro de Möbius com 120 faces derivado do icosaedro e do grande triacontaedro rômbico.
faces: 120 | arestas: 180 | vértices: 62
62. Dodecaedro 10-akis de Möbius
O Dodecaedro 10-akis é um deltaedro de Möbius com 120 faces derivado do dodecaedro e do grande triacontaedro rômbico.
faces: 120 | arestas: 180 | vértices: 62
Non-convex deltahedra: visualization with Virtual Reality de Paulo Henrique Siqueira está licenciado com uma Licença Creative Commons Atribuição-NãoComercial-SemDerivações 4.0 Internacional.
Como citar este trabalho:
Siqueira, P.H., "Non-convex deltahedra: visualization with Virtual Reality". Disponível em: <https://paulohscwb.github.io/polyhedra3/deltahedra/pt-br/>, Junho de 2026.
Referências:
Weisstein, Eric W. “Archimedean Solid” From MathWorld-A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/ArchimedeanSolid.html
McCooey, D. I. “Visual Polyhedra”. http://dmccooey.com/polyhedra/
Cundy, H. M. “Deltahedra”. Math. Gaz. v. 36, pp. 263-266, 1952
Kaufman, R. “The Cundy Deltahedra”. http://www.interocitors.com/polyhedra/Deltahedra/Cundy